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\chapterimage{wendelin}

\chaptertext{
En 2006,  un probabiliste reçoit pour  la première fois une  médaille Fields. Il
s'agit  du français  Wendelin \textsc{Werner}.  Voici comment  il décrivait  ses
travaux:
\og {\itshape Take scissors  and cut completely at random a shape  in a piece of
  paper. What  can you say  about this  shape? Part of  the question is  to make
  sense  of notion  ``completely at  random''  because there  are infinitely  many
  possibilities.  One motivation  to  study  this type  of  question comes  from
  physics: If you consider a physical  system and raise its temperature, then at
  certain  values  of  the  temperature,  there  occurs  sudden  change  of  its
  macroscopic  behaviour: Liquid  becomes  vapour, iron  looses its  spontaneous
  magnetisation etc.  It has  been observed  empirically that  when a  system is
  exactly at  such a ``critical''  temperature, it can exhibit  random macroscopic
  features.  For instance,  if the  system is  planar, then  the two  phases may
  coexist and  the lines  separating the  regions corresponding  to each  of the
  phases are then random loops, just as those cut out by scissors.}\fg{}

C'est l'aboutissement de  presque 400 ans d'évolution depuis le  mémoire sur les
jeux de hasard de Gerolamo \textsc{Cardano} au XVI\up{e} siècle en passant par l'axiomatisation
des probabilités en 1933 par  \textsc{\foreignlanguage{russian}{Колмогоров}.}
}


\chapter{Probabilités discrètes}


\section{Préambule énigmatique: le hasard, ça existe?}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3cm]{godice}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}



Le hasard  est symbolisé  par le  lancement d'un dé.  Pourtant, rien  n'est plus
\textit{déterministe}!  Le  dé  obéit  aux lois  physiques:  inertie,  friction,
élasticité  et bien  sûr  la gravité.  On connaît  parfaitement  ces lois  assez
simples à étudier...et pourtant...

Les jeux de hasard dans un casino ou le choix aléatoire de nombres nécessaires à
la  sécurité  informatique  dépendent  d'une  fonction  qui  renvoie  un  nombre
\textit{au hasard}.  Mais comment  un algorithme peut-il  renvoyer un  nombre au
hasard? D'autant plus que ces nombres sont générés par une formule du style:

$$ X_{n+1} = (a \cdot X_n + c) \mod m$$





\section{Préambule philosophiqe: le hasard, qu'est-ce que c'est?}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.2cm]{laplace}
      \caption{Pierre-Simon de \textsc{Laplace}\\(1749 - 1827)}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-7cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}

Alors que les êtres humains se sont intéressés à la géométrie depuis la nuit des
temps, et  qu'une première  présentation rigoureuse (~les  mathématiciens disent
\textit{axiomatique}~) en  a été  proposée trois  siécles avant  JC par  le grec
\textsc{Euclide}, il a fallu attendre le  XVI\eme siècle pour qu'on s'intéresse enfin aux
probabilités, et encore était-ce pour aider  les princes à améliorer leurs gains
au jeu.


Qu'est-ce que le hasard?


Parmi  toutes  les définitions  possibles,  nous  en  retiendrons deux  qui  ont
influencé la théorie des probabilités:

\begin{itemize}
  \setindent{\indentationcours+1cm}
\item \textbf{pour  certains}, tout  a une  cause, et le  hasard n'est  que le  reflet de
  l'ignorance  que  nous  avons  des  lois de  la  Nature.  Cet  esprit  souffla
  particulièrement au XVIII\up{e} siécle au moment où \textsc{Laplace} posa les bases d'une
  première théorisation  des probabilités. C'est  dans cet esprit que  vous avez
  étudié les  probabilités jusqu'ici.  Les probabilités  sont alors
  déterminées \textit{a priori}, par  des considérations non expérimentales. Par
  exemple,  un dé  a six  faces, donc,  on peut  poser d'avance  que l'événement
  <<~obtenir  5~>> a  une  probabilité de  $\ofr{1}{6}$.  Cette symétrie,  cette
  <<~géométrie du hasard~>> selon les termes  de \textsc{Pascal}, permet de calculer sans
  ressentir  le besoin  de recourrir  à  l'expérience. Elle  implique la  notion
  centrale d'\textbf{équiprobabilité} : une probabilité est égale au
  rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles.  

Cette conception peut apparaître assez naïve  : il est illusoire de penser qu'un
dé puisse être parfaitement équilibré, mais doit-on être gêné pour autant ? Nous
en reparlerons un peu plus loin. 
\item\textbf{ pour d'autres}, le hasard constitue notre univers. La théorie du chaos mise
  en forme par René Thom en 1955  montre en effet que dans certaines situations,
  on aura beau  observer un phénomène pendant  un temps très long,  on ne pourra
  prévoir son évolution. De même en physique quantique, la connaissance du passé
  et du présent  ne permettent que d'obtenir une estimation  des états possibles
  futurs. Les probabilités ne peuvent alors être calculées {a priori}. 

\end{itemize}

Cet  antagonisme  peut  se  résumer  en  considérant  l'expérience  très  simple
suivante: on  jette une punaise en  l'air; va-t-elle retomber sur  la pointe ou
sur la tête~?  

Pour les <<~Laplaciens~>>, il existe  un nombre parfaitement déterminé, mais pas
encore calculable \textit{a priori}. On peut néanmoins l'approcher par une série
de mesures expérimentales. 

Pour d'autres, c'est prêter à la  Nature des intentions mathématiques, alors que
cette interprétation chiffrée n'est qu'\oe uvre humaine. 

\sm

Qui a raison~? Qui  a tort~? Le débat est encore  ouvert. Nous pouvons néanmoins
réunir  deux  grands groupes.  Ceux  qui  prônent  une étude  expérimentale  des
probabilités ne sont en fait pas  très éloignés des <<~Laplaciens~>>, car l'idée
centrale contenue dans la Loi des grands nombres qui gouverne les probabilités du
lycée ( en gros, la
limite\footnote{ il  s'agit de la limite  stochastique qui n'a rien  à voir avec
  les limites  étudiées au  lycée...} des  fréquences observées  est égale  à la
probabilité :  plus on  fait de mesures,  plus la fréquence  se rapproche  de la
probabilité ) est  basée sur la définition Laplaciennne de  la probabilité: cas
favorables sur cas possibles. 

Inversement, la  géométrie du hasard des  Laplaciens ( 1 chance  sur 6 d'obtenir
chacune des faces  d'un dé ) repose sur  la parfaite symétrie du dé.  Mais un dé
peut-il être  parfaitement symétrique ? Pour  le vérifier, il faudrait  faire un
grand nombre d'expériences... 

\sm

Bref, au  lieu de s'opposer,  ces deux visions se  complètent. Mais il  faut les
avoir en tête: tout n'est pas  équiprobable ( voir le jeu du \textit{passadieci}
que nous allons étudier) et la
probabilité ne peut se réduire à la limite des fréquences, ne serait-ce que dans
le cas d'une  expérience qui ne peut  se répéter: quelle est  la probabilité de
survivre à  une guerre  nucléaire ?  Il semble  difficille d'imaginer  une série
d'expériences pour s'approcher de cette probabilité... 

\sm

Mêmes si elles  peuvent apparaître antagonistes, ces deux notions  ont en commun
de postuler que l'issue de l'expérience (  le jeter d'un dé ) est indépendant de
l'observateur. Ceci  peut ne plus  être vrai  dans certains domaines,  comme par
exemple l'économie. Comme le disait John Stuart Mill : \textit{ we must remember
  that the probability of an event is not  a quality itself, but a mere name for
  the degree of ground which we, or  someone else, have for expecting it}. Faute
de données  sures, en économie on  estime a priori les  probabilités de certains
événements élémentaires, puis  on utilise ensuite des  théorèmes abstraits issus
des mathématiques. 


\subsection*{Oublions tout ce que nous venons de dire !}

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=3.2cm]{kolmogorov}
      \caption{\foreignlanguage{russian}{Андрей Николаевич \\ КОЛМОГОРОВ} \\(1903 - 1987)}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}


A-t-on besoin de savoir tout ça pour  réussir au Bac ? Par exemple, depuis votre
tendre  enfance, vous  calculez  avec  les nombres  entiers  sans connaître  les
axiomes  de Peano,  vous travaillez  en géométrie  euclidienne même  si elle  ne
correspond pas  à la réalité  : avez-vous  déjà rencontré un  véritable triangle
rectrangle ?  Et pourtant  vous arrivez  quand même à  démontrer le  théorème de
Pythagore. 

Mais le débat est plus passionné au sujet des  probabilités car il a fallu attendre 1933 et le Russe
 \textsc{\foreignlanguage{russian}{Колмогоров}.},  dont vous  pouvez apprécier  le sourire  ci-contre, pour  enfin les
axiomatiser, alors  qu'\textsc{Euclide} avait fait cela  pour la géométrie 2300  ans plus
tôt...  
 
C'est ce sujet encore brûlant que nous allons encore explorer cette année à travers
quelques chapitres qui sauront, je n'en doute pas, 
vous passionner !




\subsection*{Ce qu'ils en pensent}

\og \textit{Le nom seul de calcul des probabilités est un paradoxe:
la probabilité, opposée  à la certitude, c'est ce qu'on  ne sait pas, et
comment peut-on calculer ce que l'on ne connaît pas?}\fg{}

Henri \textsc{Poincaré} - La Science et l'hypothèse (1908)

\medskip


\og \textit{ [La théorie des probabilités] donne les
aperçus les plus sûrs qui puissent nous guider dans nos jugements.
[...] Il n'est point de science plus digne de nos méditations, et
qu'il soit plus  utile de faire entrer dans  le système de l'instruction
publique.}\fg{}

Pierre  Simon   de  \textsc{Laplace}  -  Essai   philosophique  sur  les
probabilités (rédigé de 1795 à 1825) 


\medskip

\og  \textit{ The  true  logic   of  this   world  lies   in  the   calculus  of
probabilities}\fg{}

James C. \textsc{Maxwell} - The Scientific Letters and Papers of James C. Maxwell, Vol. 1, 1846-1862

\medskip


\og\textit{ We cannot predict whether a given  photon will arrive at A or B. All
we can predict is that out of  100 photons that come down, an average of
4 will be reflected by the front surface. Does this mean that physics, a
science of  great exactitude, has  been reduced to calculating  only the
probability of  an event, and  not predicting exactly what  will happen?
Yes. That's  a retreat, but that's the  way it is: Nature  permits us to
calculate only probabilities. Yet science has not collapsed. } \fg{}

Richard P. \textsc{Feynman} - The strange theory of light and matter (1985)
\medskip


\og\textit{The generation of random numbers is too important to be left to chance.}\fg{}

Clifford \textsc{Pickover} - Computers, Pattern, Chaos and Beauty, Courier Corporation, (2012)



\section{Préambule ludique: au commencement était le jeu}

\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=2.8cm]{cardan}
      \caption{Gerolamo \textsc{Cardano}\\(1501 - 1576)}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-6cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}


C'est comme ça que tout a commencé et ce sera notre fil rouge tout le long de ce
chapitre.  \textsc{Cardano}  a  été  un  des scientifiques  les  plus  importants  de  la
Renaissance dans des  domaines aussi divers que les  mathématiques, la physiaue,
la chimie, l'astronomie,  la philosophie,...Il est célèbre pour  ses travaux sur
les  gyroscopes, le...\textit{cardan}  en  mécanique,  les nombres  imaginaires,
l'étude des équations du troisième et du quatrième degré.

C'était  également  un  joueur invétéré  ce  qui  l'a  incité  à être  l'un  des
fondateurs de la future théorie des  probabilités dans son \textit{Liber de ludo
  aleae } écrit vers 1564. Il a pris les jeux de dés pour illustrer son propos.
On trouve notamment l'étude du problème des trois dés.


% \setindent{0cm}
% \begin{flushleft}
%   \begin{minipage}[t]{3.2cm}
%     \begin{figure}
%       \includegraphics[width=2.8cm]{galilee}
%       \caption{Galileo \textsc{Galilei}\\(1564 - 1642)}
%     \end{figure}
%   \end{minipage}
% \end{flushleft}
% \setindent{\indentationcours}
% \vspace{-5.8cm}
% \begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
% \end{minipage}


Le jeu du \textit{passadieci} consistait à  lancer trois dés et à additionner le
numéro des faces. Il fallait obtenir au moins 11 pour gagner.


Presqu'un siècle plus tard, \textsc{Galilée} publia \textit{Sopra le Scoperte dei Dadi}, un mémoire sur le même problème que
lui avait en fait posé son protecteur, le Grand Duc de Toscane:

\begin{quote}
  Supposons que trois dés soient lancés  et que les trois numéros obtenus soient
  additionnés. Les scores de neuf, dix,  onze et douze peuvent être obtenus avec
  six  combinaisons  différentes. Pourquoi  alors  une  somme  de dix  ou  onze
  apparaît plus souvent qu'une somme de neuf ou douze?
\end{quote}


% \vfill

% \eject

\begin{recherche}
  Résolvez le problème du Duc de Toscane
\end{recherche}



Pour vous aider, voici ce qu'en dit \textsc{Cardano}:


\begin{figure}

  \begin{center}
    \begin{multicols}{2}
      \includegraphics[height=11.5cm]{cardan13_1}
      
       \includegraphics[height=11.5cm]{cardan13_2}
    \end{multicols}

   


\end{center}


\caption{Chapitre 13 du \textit{Liber de Ludo Aleae}}
\end{figure}


Pour vous éviter de  lancer un million de fois trois dés,  faisons faire la sale
besogne à Python:

\begin{pythoncode}
from numpy.random import randint
from collections  import Counter

nbExp = 10**6

lesSommes = [sum( randint(1,7,size = 3) )  for k in range(nbExp)]

effectifs = Counter(lesSommes)
\end{pythoncode}

et nous obtenons:

\begin{pythoncode}
In [1]: effectifs
Out[1]: 
Counter({3: 4662,
         4: 13696,
         5: 27906,
         6: 46576,
         7: 69602,
         8: 96970,
         9: 115599,
         10: 125020,
         11: 125103,
         12: 115728,
         13: 97174,
         14: 69291,
         15: 46405,
         16: 27640,
         17: 14007,
         18: 4621})
\end{pythoncode}



Est-ce     qu'on     s'intéresse     aux     évènements     du     style     \og
obtenir\drawde{4}\drawde{4}\drawde{2}\fg{}? \og
obtenir\drawde{4}\drawde{2}\drawde{4}\fg{}? 
\og
obtenir\drawde{5}\drawde{1}\drawde{4}\fg{}? 


Ou bien \og obtenir une somme égale à 10\fg{}?


Il est temps de passer à un peu de théorie...



\section{Rappels de 1\up{ère}: loi de probabilité}



Vous vous souvenez que l'$univers$ probabilisable, souvent noté
$\Omega$, est constitué de toutes les \og~éventualités~\fg{} ou
\og~issues~\fg{} d'une expérience aléatoire.

Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le
terme \textit{discrètes}~: il traduit le fait que l'on peut
\og~dénombrer~\fg{} chacune des issues; on peut leur donner un numéro.
Nous étudierons en Terminale des lois de probabilité
$continues$~: on ne pourra pas donner un numéro à chacune des
issues; par exemple, on ne peut pas compter tous les nombres réels
compris entre 2 et 3.


\begin{definition}[Variable aléatoire (réelle)]
  Soit $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$ un
univers muni d'une probabilité. On appelle \textbf{variable
aléatoire} toute fonction  de $\Omega$ dans $\bbr$...qui  a certaines propriétés
que nous ne pouvons pas décrire à notre niveau...
\end{definition}





Bon,  c'est un  peu  frustrant mais  il  faut  juste en  fait  que chaque  image
réciproque d'un intervalle  de $\bbr$ soit un évènement de  $\Omega$ dont on peut
calculer la probabilité...Mouais.




La d\'{e}finition pr\'{e}c\'{e}dente n'est pas tr\`{e}s parlante, il faut
essentiellement retenir que l'on va s'int\'{e}resser \`{a} des \'{e}v\'{e}%
nements d\'{e}crits par des nombres, les variables al\'{e}atoires nous
permettent de d\'{e}crire, et donc de noter, facilement des \'{e}v\'{e}%
nements \`{a} l'aide de nombres.







Une v.a. est \emph{réelle} car X est à valeurs dans $\bbr$ et \emph{finie}
  car l'univers est fini donc l'ensemble image de X aussi.
\begin{DANGER}
Vous noterez  qu'une \emph{variable}  aléatoire réelle (v.a.r.  pour les
intimes) est en fait une \emph{fonction}~!...
\end{DANGER}


Soit $x_1,\cdots,x_k$ les différentes valeurs prises par la
fonction $X$.
On note $\{X=x_i\}$ l'événement \og~la variable aléatoire prend la
valeur $x_i$~\fg{}. Il se note rigoureusement $$\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x_i\}$$
 ce qui se lit \og~l'ensemble des évènements $\omega$ de l'univers $\Omega$ tels
que $X(\omega)=x_i$~\fg{}.






Nous noterons $\mathcal{V}_{X}=X\left( \Omega \right) $ l'ensemble des
valeurs prises par la v.a. $X$.


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[decoration={random steps,segment length=2mm}]

\draw [decorate,fill=blue!20]
(0,0) circle (1.25cm) node {$A$};
\draw [decorate]
(0,0) circle (2cm);
\draw [->]
(7,-3) -- (7,3); 
\draw [blue,line width=3pt]
(7,-1) -- (7,-0.75);
\draw [blue,line width=3pt]
(7,-0.25) -- (7,1);

\node[right] at (7,3) {$(\VR_X,\bbp{}_X)$};
\node[left] at (-1,2) {$(\Omega,\bbp{})$};
\node[right,blue] at (7,0) {$A'=X(A)$};

\draw[->, thick, dashed] (0,0.25) to [out=70,in=110] node [sloped,above] {$X$} (6.9,0);



\end{tikzpicture}
\end{center}



















\begin{definition}[Loi de probabilité]
   Soit $(\Omega,p)$ un univers  muni d'une probabilité $\bbp$
et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\varphi$ de $\bbr$ dans $[0,1]$
définie par:


$$\varphi~:\ x\mapsto \bbp(\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x\})$$

ou avec les abus de notation:



$$\varphi~:\ x\mapsto \bbp(\{X=x\})$$
\end{definition}

\begin{NB}
  Si $x\not\in \Omega$, alors $\{X=x\}=\emptyset$ et donc
$\bbp(\{X=x\})=0$.
\end{NB}





\begin{NB}[Ce qui sert vraiment - Méthode à suivre]
Tout ce qui vient d'être écrit ne sert à rien. Ce qui est utile est de suivre la
méthode suivante.

  
Définir \textit{la loi de probabilité d'une expérience aléatoire}
reviendra donc à:

\begin{itemize}
  
\setindent{\indentationcours+1cm}
\item déterminer toutes les valeurs
  possibles $x_1,\cdots,x_n$ prises par $X$;
\item calculer les
  probabilités $p_1,\cdots,p_n$ des événements correspondants;
\item
regrouper les résultats dans un tableau du type

\smallskip

%\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Valeurs prises par $X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline Probabilité correspondante $\bbp(\{X=x_i\})$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
%\end{center}
\end{itemize}

\end{NB}




En général, on se trouve dans la situation suivante:

\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\matrix[matrix of math nodes,row sep=1cm,column sep=1cm]{
|(A)| { \Omega } & |(B)| {\bbr} \\
|(Aprime)| {\bbr} & |(Bprime)| {\bbr} \\
};
\begin{scope}[every node/.style={pos=0.5,font=\scriptsize}]
\draw[->] (A) -- (B)
node[auto=left] {$X$}
;
\draw[->] (A) -- (Aprime) node[auto=right] {$\bbp{} \text{ inconnue }$};
\draw[->] (B) -- (Bprime) node[auto=left] {$\bbp{}_X \text{ connue}$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}

\end{center}



\begin{aparte}
  Dans la vraie vie, on connaît les valeurs prises par la v.a.r. mais on
  ne connaît pas bien $\Omega$, voire pas du tout. On réfléchit donc sur
  les lois et non pas sur des ensembles comme au lycée. 

Par  exemple, on  peut vouloir  réfléchir  au nombre  de plantages  d'un
réseau. On  estime statistiquement les probabilités de  tomber 0, 1,
2, etc. fois  en panne dans une  journée. On ne sait pas  trop ce qu'est
$\Omega$ mais on peut parler de la loi de $X$. 


En  fait, une  variable  aléatoire \og  transporte\fg{}  les calculs  de
probabilités d'un univers inconnu vers des valeurs réelles connues.


La  v.a.r. condense l'information
sur l'univers  en une information plus grossière  (numérique) mais c'est
déjà  bien car en  général on  ne connaît  de toute  manière pas  ou peu
l'univers de départ!...

\textbf{On  retiendra donc  que le  \og praticien\fg{}  travaille la  plupart du
temps  avec des  lois de  probabilités et  non pas  des  ensembles: cela
simplifie son travail  car il peut travailler sur  des espaces complexes
(l'univers de départ est souvent trop complexe voire inconnu) sans les connaître.
}\end{aparte}

L'information donnée par la loi est souvent plus grossière: par exemple,
on lance deux dés et on regarde la somme des deux faces. On a normalement 
 $2^{36}$ évènements possibles (pourquoi?...croyez-moi sur parole!) alors que dans le nouvel univers il n'y a plus
 que $2^{11}$ évènements (il y a 11 sommes possibles). 





\begin{tikzpicture}[outer    sep=0pt,decoration={random    steps,segment
length=2mm}]

\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n1) at (0,0)
[circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,red] {$A_1$};
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1]
 (n2) at (30:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,blue] {$A_2$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (blue)]
(n2);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n3) at (80:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,thick,orange] {$A_3$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (orange)]
(n3);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n4) at (330:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,green!20!black] {$A_4$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (green!20!black)]
(n4);
\node[draw opacity=0.8,fill opacity=0.3,text opacity=1] (n5) at (280:1.5) [circle,minimum size=1cm,fill,draw,black] {$A_5$};
\path (n1)  to[circle connection bar switch color=from  (red) to (black)]
(n5);


\fill[red] (7,0) circle (2pt) node[right=2pt] (x1){$x_1$};
\fill[blue] (7,0.75) circle (2pt) node[right=2pt] (x2){$x_2$};
\fill[orange] (7,1.5) circle (2pt) node[right=2pt] (x3){$x_3$};
\fill[green!20!black] (7,-0.75) circle (2pt) node[right=2pt] (x4){$x_4$};
\fill[black] (7,-1.5) circle (2pt) node[right=2pt] (x5){$x_5$};
\draw[->,red] (n1) -- (x1);
\draw[->,blue] (n2) -- (x2);
\draw[->,orange] (n3) -- (x3);
\draw[->,green!20!black] (n4) -- (x4);
\draw[->,black] (n5) -- (x5);

\draw[->] (7,-2.6) -- (7,3.5);

\node[right]    at    (7.1,2.2)    {$\substack{(\VR_X,\bbp{}_X)\\
\text{connu mais}\\ \text{plus grossier}}$};
\node[right] at (7,3.25) {$\bbr$};
\node[left,red] at (-0.25,2.2) {$\substack{(\Omega,\bbp{})\\ \text{inconnu}}$};


\draw[->, thick, dashed] (-0.15,2.5) to [out=70,in=110] node [sloped,above] {$X$} (6.9,2.5);


\end{tikzpicture}





\begin{DANGER}
  Deux v.a.r. peuvent  avoir la même loi sans être  égales! On lance $n$
  fois une pièce non truquée. Considérez  X le nombre de pile tombés et
  $n-X$ le nombre de face. Ces deux v.a.r. suivent la même loi et pourtant elles
  ne sont pas égales. 
\end{DANGER}





% \begin{definition}[Fonction de  répartition: pas  au programme français  mais au
%   programme anglais]
%   Soit X une v.a.r. On appelle fonction de répartition de X la fonction
%  F de $\bbr$ dans $\bbr$ définie par:

% $$F_X(x)=\bbp{}(X \leqslant  x)$$
% \end{definition}

% On note souvent cette fonction $F_X$.



% Voici quelques propriétés que vous démontrerez:

% \begin{theoreme}[Propriétés de $F_X$]\label{th:fonc_rep}
%   \begin{enumerate}
% \item $\forall x\in \mathbb{R},F_X(x)\in \left[ 0,1\right] $

% \item $F_X$ est croissante (sens large).

% \item $\bbp{} \left(  a<X\leq b \right) =F_X(b)-F_X(a)$

% \item $F_X(a)=\bbp{} \left(  X\leq a \right)=1-\bbp{} \left(  X>a%
%  \right) $

% \end{enumerate}
% \end{theoreme}





\section{Rappels de 1\up{ère}: variance et espérance}




\subsection{Espérance mathématique}


  \begin{definition}[Espérance mathématique]
    On appelle {espérance mathématique} de la variable
aléatoire discrète $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\cdot \bbp{}(\{X=x_1\})+x_2\cdot \bbp{}(\{X=x_2\})+\cdots+x_n\cdot
\bbp{}(\{X=x_n\})=\sum_{i=1}^nx_i\cdot \bbp{}(\{X=x_i\})$$
    \end{definition}
  

Exemple: on lance un dé honnête. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du dé est pair et 1 sinon.

Notons $\omega_i$ l'événement \og le  numéro de la face est $i$ \fg, alors $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4,\omega_5,\omega_6 \big\}$
et 



\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline $i$ & 1&2&3&4&5&6\\
\whline $\bbp{}(\omega_i)$ & 1/6 & 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\\
\whline $X(\omega_i)$ & 1&2&1&2&1&2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}



D'après le théorème précédent, on a $\bbe(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}+1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{1}{6}=\frac{3}{2}$


Nous aurions pu procéder autrement pour définir la loi de probabilité:



\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
Valeurs $x_i$ prises par X &1&2\\
\whline
 $\bbp{}(\{X=x_i\})$ & 1/2 &1/2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}



alors, d'après la définition, $\bbe(X)=1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$


\begin{NB}
  L'espérance est la  moyenne des valeurs prises par la  v.a.r. pondérée par leurs
  probabilités respectives ce qui est assez logique
\end{NB}



\subsection{Variance}

La variance mesure l'<<~écart~>> par  rapport à l'espérance en faisant
la somme  des carrés des \og  distances \fg entre chaque  valeur prise
par la variable  aléatoire et l'espérance pondérées  par la probabilité
correspondante, ce qui donne: 

  \begin{definition}[Variance]
    $\bbv(X)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot \bbp{}(\{X=x_i\})$
    \end{definition}
  


On a choisi d'utiliser les carrés de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes~; on aurait pu choisir une autre méthode mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue. La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. On va donc définir une distance proprement dite en en prenant la racine carrée~:~c'est ce qu'on appelle l'\textbf{écart-type}.


  \begin{definition}[Écart-type]
    $\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}$
    \end{definition}
  
Vous pouvez obtenir espérance, variance et écart-type très simplement à l'aide des modules statistiques de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable aléatoire en liste 1, les probabilités correspondantes en liste 2.



\subsection{Linéarité de l'espérance}

À partir de variables aléatoires existantes, on peut en créer de nouvelles.

Avec des notations usuelles on obtient:

 $aX+b$ : $\omega_i\mapsto aX(\omega_i)+b$ avec $a$ et $b$ des réels.


On peut alors démontrer la propriété suivante :






  \begin{theoreme}[Linéarité de l'espérance]
     $$\bbe(aX+b)=\displaystyle\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\cdot \bbp{}(\{X=x_i\})=a\bbe(X)+b$$

    \end{theoreme}
  
  Notons $Y=aX+b$.  

Pour  tout
$\omega_i\in\Omega$ on a  $Y(\omega_i)=aX(\omega_i)+b$ et donc $y_i=ax_i+b$
avec les notations usuelles donc $\bigl\{\omega\in\Omega | Y(\omega)=y_i\bigr\}=\bigl\{\omega\in\Omega | aX(\omega)+b=ax_i+b\bigr\}=\bigl\{\omega\in\Omega | X(\omega)=x_i\bigr\}$

Alors


$\bbe(Y)=\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i\bbp{}(Y=y_i)=\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\bbp{}(X=x_i)=a\sum_{i=1}^nx_i\bbp{}(X=x_i)+b\sum_{i=1}^n\bbp{}(X=x_i)$


On en déduit que $\bbe(Y)=a\bbe(X)+b$.





\begin{recherche}{Théorème de König-Huygens}
  
Johann \textsc{König}  (1712-1757) fut un  mathématicien allemand, élève
de  Jean \textsc{Bernoulli}  et  Christian \textsc{Huygens}  (1629-1695)
était lui néerlandais.



  $$\bbv(X)=\bbe \left((X-\bbe(X))^2\right)=\bbe \left(X^2\right)-\bigl(\bbe(X)\bigr)^2$$


À démontrer... 
\end{recherche}

\section{Dénombrements}

 \subsection{Permutations}

Le Père Noël a offert à ma petite cousine Josette un jeu de cubes
où sont inscrits les lettres de l'alphabet.

Très pédagogue, je lui donne d'abord les trois cubes A, B et C.
Combien de <<~mots~>> de 3 lettres peut-elle alors former~? Et si
je lui en donne quatre~? vingt-six~? trente-deux~?


Moralité~: avec un ensemble \textit{(non ordonné)} $\{a,b,c\}$ de
trois éléments, je peux former $3\times 2\times 1$ listes
\textit{(ordonnées)}, comme par exemple $(a,b,c)$, $(b,a,c)$,
$(c,b,a)$, etc.

Je peux donc \textit{permuter} 3 cubes de $3\times 2\times 1$
manières différentes.

\begin{definition}[factorielle]
  Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre $n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$ est appelé \textbf{factorielle n}. On
note
$$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$$
Conventionnellement, $0!=1$.
\end{definition}



D'après notre petite étude, nous pouvons donc dire maintenant que~:


\begin{theoreme}[nombre de permutations]
  Le nombre de \textbf{permutations} d'un ensemble contenant $n$ éléments est $n!$.
\end{theoreme}


\begin{exemple}[]
  \begin{enumerate}
  \item il y a trente-deux chaises dans une salle.
\textit{Dénombrer} toutes les manières possibles pour les 30 élèves
de $TS_4$ d'occuper les chaises de la salle~;
\item Combien y a-t-il d'annagrammes du mot ZO\'E~? du mot ANA~?
  \end{enumerate}
\end{exemple}


\subsection{Combinaisons}

Il  n'y  a  pas  assez  de  gagnants au  loto.  Il  faut  redonner  espoir  aux
Syldaves. Le nouveau président modifie donc les règles.
Il s'agit maintenant de trouver 3 numéros parmi 5.
Combien y a-t-il de grilles (combinaisons) possibles~?

Par exemple, on pourrait dire que j'ai cinq manières de choisir le
premier numéro, quatre choix pour le deuxième et trois choix pour
le troisième, donc il y a $5\times 4\times 3$ grilles différentes,


MAIS

\vspace{1.6cm}


Posons une petite définition pour clarifier les débats. Donnons en
fait un nom à une grille du loto, c'est à dire à un sous-ensemble
(une partie) contenant $p$ éléments d'un plus grand ensemble
contenant $n$ éléments.

\begin{definition}[combinaison]
  Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels et $E$ un ensemble contenant $n$ éléments. Un sous-ensemble de $E$ contenant $p$
éléments est appelé une \textbf{combinaison} de $p$ éléments de $E$ ou encore une \mg{$p$}\textbf{-combinaison} d'éléments de
\unboldmath${E}$.
\end{definition}


Or ce qui nous intéresse, c'est le nombre de ces combinaisons,
donc introduisons une notation~:

\begin{definition}[nombre de combinaisons]
  Le nombre de $p$-combinaisons d'un ensemble contenant $n$ éléments est noté
  $\ds{n\co p}$
\end{definition}

Revenons à notre mini-loto. Considérons une grille quelconque
(c'est à dire une 3-combinaison de l'ensemble des 5 numéros)~: par
exemple $\{2,4,5\}$. Nous  avons vu dans le paragraphe précédent
qu'il y a $3!$ facons d'ordonner ces nombres. Finalement, il y a
${5\co 3} \times 3!$ suites de 3 nombres ordonnées. Or nous en
avons comptées $5\times 4\times 3$ tout à l'heure. Nous en
déduisons finalement que
$${5\co 3}=\fr{5\times 4\times 3}{3!}$$

Il est alors aisé de généraliser la formule suivante:


\begin{propriete}[]
  $${n\co p}=\fr{n\big(n-1\big)\big(n-2\big)\cdots\big(n-(p-1)\big)}{p!}$$
\end{propriete}



Nous pouvons formuler cette propriété plus synthétiquement. En
effet~:

\begin{eqnarray*}
  {n\co
p}&=&\fr{n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{p!}\times
\fr{(n-p)(n-p-1)(n-p-2)\times\cdots\times 2\times
1}{(n-p)(n-p-1)(n-p-2)\times\cdots\times 2\times
1}\\
&=&\fr{n!}{p!(n-p)!}
\end{eqnarray*}

d'où~:


\begin{theoreme}[]
   $${n\co p}=\fr{n!}{p!(n-p)!}$$
\end{theoreme}


\subsection{Triangle de Pascal - Binôme de Newton}

\subsubsection{Raisonnement calculatoire}

À l'aide des formules précédentes, établissez que~:


\begin{propriete}[]
$$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$$
\end{propriete}


\'Etablissez, toujours par le calcul, la relation suivante, dite \textbf{Relation de Pascal} même si les mathématiciens chinois l'avaient
mise en évidence avant lui~:


\begin{propriete}[relation de \textsc{Pascal}]
   $$\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$$
\end{propriete}



Cette relation permet de calculer les coefficients binomiaux de proche en proche, ce qui s'avère fort utile car la fonction factorielle
croît extrêmement rapidement et dépasse vite les capacités d'une calculatrice de poche.

Ainsi, la procédure suivante permet de calculer les coefficients binomiaux assez
rapidement avec la calculatrice. Pour calculer $\binom{32}{10}$


\menu{RUN},  touches   \key[scale=1.5]{OPTN}  \function{PROB-b},  \key[scale=1.5]{3}\key[scale=1.5]{2}
\function{nCr-b} \key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{EXE}

\subsubsection{Raisonnement ensembliste}

Si je  forme un groupe  de 3 élèves  dans la classe,  j'obtiens du même  coup un
groupe de $30-3=27$ élèves puisque vous êtes 30: le groupe de ceux qui ne sont pas dans
votre groupe.

Si l'on compte le nombre de parties A  ayant $p$ éléments dans un ensemble E, il
revient au même de compter le nombre de parties 
complémentaires de A.  En quoi ce raisonnement nous permet-il  d'obtenir une des
formules précédentes? 




Considérons la classe de TS3 et ses  30 élèves. Je veux dénombrer les groupes de
trois élèves. On peut distinguer deux types de 
groupes:

\begin{itemize}
\item ceux qui ne vous contiennent pas. Il faut donc former des groupes de 3
  avec les 29 élèves restant : ça fait combien? 
\item ceux qui vous contiennent. On vous ajoute aux groupes de 2 formés avec
  les 29 élèves restant. Ça fait combien? 
\end{itemize}



Tenez   un  raisonnement   similaire   pour  établir   la  relation   de
\textsc{Pascal}.



\subsubsection{Formule du binôme de \textsc{Newton}}

Sir Isaac  n'a pas  fait que dormir  sous un  pommier. Il a  par exemple
établi que~:


\begin{theoreme}[Formule du binôme de \textsc{Newton}]
   Soit $a$ et $b$ des nombres complexes et $n$ un entier naturel non nul, alors
$$(a+b)^n=\sum_{p=0}^n\binom{n}{p}a^pb^{n-p}=a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+b^n$$
\end{theoreme}


On peut prouver cette formule par récurrence en remarquant que $(a+b)^{k+1}=a(a+b)^k+b(a+b)^k$ et en
utilisant la relation de Pascal au bon moment.

\sm

Cette formule nous permet donc d'obtenir de nouveaux <<~produits remarquables~>>, à conditions de connaître les coefficients binomiaux.

Testez la formule aux  rangs 2, 3, 4, 5. Disposez vos  résultats dans un tableau
en n'écrivant que les coefficients et conjecturer le 
triangle de \textsc{Pascal}... 



\begin{center}
\includegraphics[height=8cm]{triangle} 
\end{center}



\section{Rappels de 1\up{ère}: ce que vous devez maîtriser avant la Terminale}

\setindent{0cm}
{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}
  \hline
  CONTENUS & CAPACITÉS ATTENDUES & COMMENTAIRES \\
  \hline
  Variables aléatoires discrètes et lois  de probabilité. Espérance, variance et
  écart-type &  Déterminer et exploiter la loi d'une variable aléatoire.
                Interpréter  l'espérance comme  valeur moyenne dans  le cas
                 d'un grand nombre de répétitions.
                 &
                 À l'aide de simulations et d'une approche heuristique de la loi
                 des  grands nombres,  on fait  le lien  avec la  moyenne et  la
                 variance d'uine série de données.\newline
                 On  exploite les  fonctionnalités  de la  calculatrice ou  d'un
                 logiciel   pour   déterminer   l'espérance,  la   variance   et
                 l'écart-type d'une variable aléatoire.\newline
                 On démontre les  formules suivantes:\newline $\bbe(aX+b)=a\bbe(X)+b$ et\newline
                 $\bbv(aX)=a^2\bbv(X)$
                 \\
                 \hline
                 Modèle de la répétition
d'expériences identiques et
indépendantes à deux ou trois
issues. &
Représenter la répétition
d'expériences identiques et
indépendantes par un arbre pondéré.
Utiliser cette représentation pour
déterminer la loi d'une variable
aléatoire associée à une telle
situation.
& Pour la répétition d'expériences identiques et
indépendantes, la probabilité d'une liste de
résultats est le produit des probabilités de
chaque résultat.\newline
La notion de probabilité conditionnelle est hors
programme.\newline
On peut aussi traiter quelques situations autour
de la loi géométrique tronquée.
 On peut simuler la loi géométrique tronquée
 \\ \hline
Modèle de la répétition 
d'expériences identiques et 
indépendantes à deux ou trois 
issues.
&
\begin{itemize}
\item Représenter la répétition 
d'expériences identiques et 
indépendantes par un arbre pondéré.
\item Utiliser cette représentation pour 
déterminer la loi d’une variable 
aléatoire associée à une telle 
situation. 
\end{itemize}
&
Pour la répétition d'expériences identiques et 
indépendantes, la probabilité d'une liste de 
résultats est le produit des probabilités de 
chaque résultat.\newline
On peut aussi traiter quelques situations autour 
de la loi géométrique tronquée.
On peut simuler la loi géométrique tronquée 
avec un algorithme.
\\
Épreuve de Bernoulli, loi de 
Bernoulli
\newline
Schéma de Bernoulli, loi 
binomiale (loi du nombre de succès).
\newline
Coefficients binomiaux, 
triangle de Pascal.
&
Reconnaître des situations 
relevant de la loi binomiale.
\newline
Calculer une probabilité dans le 
cadre de la loi binomiale.
\newline
ROC: démontrer que $\binom{k}{n}+\binom{k+1}{n}=\binom{k+1}{n+1}$
\newline
Représenter graphiquement la loi 
binomiale.
&
La représentation à l'aide d’un arbre est 
privilégiée: il s’agit ici d’installer une 
représentation mentale efficace. On peut ainsi: faciliter la découverte de la 
loi binomiale pour des petites valeurs de $n$ $(n \leqslant 4)$. 
\newline
Introduire le coefficient binomial $\binom{k}{n}$
comme nombre de chemins de l’arbre réalisant $k$ succès 
pour $n$ répétitions;
\newline
Établir enfin la formule générale de la loi 
binomiale.
\newline
On établit également la propriété de symétrie 
des coefficients binomiaux.
\newline
L’utilisation des coefficients binomiaux dans
des 
problèmes de dénombrement et leur écriture à 
l’aide des factorielles ne sont pas des attendus 
du programme.
En pratique, on utilise une calculatrice ou un
logiciel pour obtenir les valeur
s des coefficients 
binomiaux, 
calculer directement des probabilités
et représenter graphiquement la loi binomiale.
\\
Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale.
&
Utiliser l’espérance d’une loi 
binomiale dans des contextes variés.
&
La formule donnant l’espérance de la loi 
binomiale est conjecturée puis admise, celle de 
la variance est admise.
\newline
On peut simuler la loi binomiale avec un 
algorithme.
\\
\hline
\end{tabularx}
}

             \setindent{\indentationcours}

             \begin{recherche}
               Pointer dans le poly les parties qui correspondent aux notions de
               la seconde colonne de la première ligne, ce qui sert quoi.
             \end{recherche}

\newpage

\subsection{GRAPH 35 et loi binomiale}
\subsubsection{Calcul de P(X=k)}

Supposons que X suive la loi $\BR(10, 0.25)$. On veut calculer $\bbp(X=5)$.

Dans le menu de calcul \menu{RUN}, touches \key[scale=1.5]{OPTN} \function{STAT-b}, 
\function{DIST-b}, \function{BINM-b}, \function{Bpd}. Renseigner alors les trois
valeurs               $k$,               $p$               et               $n$:
\key[scale=1.5]{5}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{dot}\key[scale=1.5]{2}\key[scale=1.5]{5}\key[scale=1.5]{closeparen}\key[scale=1.5]{EXE}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom1}
\end{center}
%\end{figure}
\subsubsection{Calcul de P(X<k)}


Supposons que X suive la loi $\BR(10, 0.25)$. On veut calculer $\bbp(X \leqslant 4)$.

Dans le menu de calcul \menu{RUN}, touches \key[scale=1.5]{OPTN} \function{STAT-b}, 
\function{DIST-b}, \function{BINM-b}, \function{Bcd}. Renseigner alors les trois
valeurs               $k$,               $p$               et               $n$:
\key[scale=1.5]{4}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{dot}\key[scale=1.5]{2}\key[scale=1.5]{5}\key[scale=1.5]{closeparen}\key[scale=1.5]{EXE}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom2}
\end{center}
%\end{figure}


\subsubsection{Représentation graphique}

Dans le menu de calcul \menu{RUN}, touches \key[scale=1.5]{OPTN} \function{LIST-b}
\function{seq-b} puis 


\key[scale=1.5]{XthetaT}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{XthetaT}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{comma}
\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{comma}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{closeparen}\key[scale=1.5]{rightarrow}\function{List-b}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{EXE}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom3}
\end{center}
% \end{figure}

Dans le  menu \menu{STAT}, \function{DIST-b},  \function{BINM-b}, \function{Bcd}
et modifiez pour obtenir:



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom4}
\end{center}
% \end{figure}

puis \key[scale=1.5]{EXE}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom5}
\end{center}
% \end{figure}

puis \key[scale=1.5]{EXIT}\key[scale=1.5]{EXIT} \function{GRPH-b}\function{SET-b}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom6}
\end{center}
% \end{figure}

\key[scale=1.5]{EXE} \function{GPH1-b}




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3.5cm]{binom7}
\end{center}
% \end{figure}






             \vfill
             \eject

\section{Terminale: PROBABILIT\'ES CONDITIONNELLES}

\subsection{Description statistique}
Une enquête est effectuée auprès des 100 élèves d'un lycée syldave concernant le temps de travail hebdomadaire et le sexe des élèves.

On a obtenu le tableau suivant 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $< $ 5 minutes & $\geqslant $ 5 minutes \\
\whline
filles & 20 & 15 \\
\hline 
garçons & 60 & 5\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}


Soit T l'ensemble de ceux qui travaillent plus de 5 minutes par semaine et G l'ensemble des garçons. Alors on notera $\bar{T}$ le complémentaire de T dans la population totale du lycée, et $\bar{G}$ celui de G, c'est à dire l'ensemble des filles.

Alors on peut construire le tableau des fréquences correspondant

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{Y{2}}
\whline
\backslashbox{sexe}{travail} & $\bar{T}$ & T & fréquence par sexe \\
\whline
$\bar{G}$ & 20\% & 15\% & 35\% \\
\hline 
G & 60\% & 5\% & 65\% \\
\hline fréquence par temps de travail & 80\% &20\% &100\%\\
\whline
\end{tabularx} 
\end{center}




\subsection{Exemple de modélisation probabiliste à partir d'une situation statistique}

Une situation probabiliste n'existe que s'il y a une expérience ( à issue ) aléatoire. Il faut pour cela  introduire par exemple l'expérience habituelle <<~on prélève au hasard un élève du lycée syldave~>>. L'ensemble des issues de cette expérience est appelé mathématiquement l'\textbf{univers}, souvent noté $\Omega$ : c'est ici l'ensemble des 100 élèves du lycée.

Les parties T et G de $\Omega$ sont des \textbf{événements} qui seront décrits à l'aide de phrase entre guillemets. Par exemple, G est l'événement <<~l'élève syldave prélevé est un garçon~>>.

On suppose les élèves syldaves indiscernables à la vue, l'ouïe, le goût, le toucher et l'odorat : cette condition assure l'\textbf{équiprobabilité} vue en Première.

Ainsi, la probabilité que l'élève prélevé travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(T)=\fr{20}{100}$, la probabilité pour que ce soit un garçon vaut $\bbp(G)=\fr{65}{100}$ et la probabilité pour que l'élève prélevé soit un garçon qui travaille plus de 5 minutes vaut $\bbp(G\cap T)=\fr{5}{100}$




\sm

Maintenant, \textbf{parmi les garçons}, on en choisit un au hasard.   L'univers a donc changé, mais pas les propriétés du tirage, ce qui assure encore l'équiprobabilité.


La probabilité pour que ce garçon  travaille plus de 5 minutes vaut $\fr{5}{65}=\fr{1}{13}$.

On dit que c'est \textbf{la probabilité conditionnelle de T sachant G} qu'on note $\bbp_G(T)$.  

On constate ici que $\bbp_G(T)=\fr{5}{65}=\fr{\ofr{5}{100}}{\ofr{65}{100}}=\fr{\bbp(T\cap G)}{\bbp(G)}$. Or ce résultat est totalement indépendant des données numériques et ne dépend pas de l'équiprobabilité, donc on l'adoptera comme définition. 


\subsection{Une probabilité, au fait, qu'est-ce que c'est?}

Question bête, et pourtant... Vous avez découvert 
les années précédentes les probabilités dans un cas bien particulier: vous les
définissiez comme \textbf{le nombre de cas favorables sur le nombre de 
cas possibles}. Cette  manière de définir les probabilités  est étroitement liée
d'une part au fait que l'univers soit un ensemble fini et 
d'autre part au fait que chaque événement élémentaire a la même probabilité (cas
d'\textbf{équiprobabilité}). Nous en reparlerons plus en 
détail au moment de l'étude des lois continues en fin d'année, mais autant avoir
tout de suite une définition du 
concept de probabilité applicable dans un cadre général. 



\begin{definition}[probabilité ]
 Notons $\Omega$ l'ensemble des issues possibles d'une expérience
 (l'univers).

  On appelle probabilité sur $\Omega$  toute  fonction $\bbp$
 allant de l'ensemble
 des sous-ensembles de $\Omega$ dans $[0,1]$ et vérifiant
 $\bbp(\Omega)=1$ et $\bbp(A\cup B)=\bbp(A)+\bbp(B)$ pour tous sous-ensembles
 $A$ et $B$ de $\Omega$ \textsl{disjoints}.  
\end{definition}


\begin{recherche}
  
 \ill{Vous vérifierez qu'à partir de cette définition, on obtient les
 propriétés usuelles
 $$\bbp(\emptyset)=0,\quad \bbp(\overline{A})=1-\bbp(A),\quad \bbp(A\cup
 B)=\bbp(A)+\bbp(B)-\bbp(A\cap B)$$
 Pour la dernière propriété, je vous donne un petit coup de pouce : il faut découper
 notre réunion en ensembles disjoints en écrivant par exemple que 
\begin{itemize}
 \item $A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)$
\item $B=(B\setminus A)\cup (A\cap B)$
\item $A\cup B=(A\setminus B)\cup(A\cap B)\cup(B\setminus A)$
\end{itemize}
}{probas1s.74}

Vérifiez également que $A\subset B \Longrightarrow \bbp(A) \leqslant  \bbp(B)$.


\end{recherche}



\begin{NB}
  Une probabilité  est une fonction qui  permet de \textbf{mesurer} le  degré de
  certitude d'un évènement sur une échelle de 0 à 1
\end{NB}


\begin{DANGER}
Faîtes  bien   attention  maintenant  à   ne  pas  confondre  univers   fini  et
équiprobabilité. Considérez par exemple la situation suivante:~on 
sonne à votre porte. Quelle est la probabilité pour que ce soit Emma \textsc{Stone}
(  ou Ryan  \textsc{Gosling}  si  vous préférez)  qui  vienne  vous demander  en
mariage? L'univers ne contient que 
deux événements élémentaires: ou bien c'est Emma ou bien ce n'est pas Emma.
Le rapport du nombre de cas favorables sur le nombre de cas
possibles est donc de 1/2, pourtant...
\end{DANGER}



\subsection{Un exemple pour comprendre}\label{exprobacon}


Considérons l'expérience simplissime  consistant à lancer deux fois un  dé à six
faces. L'univers $\Omega$ est donc  constitué de l'ensemble des couples $(i,j)$,
avec $i$ et $j$ appartenant à l'ensemble $[\![1,6]\!]$ : il y a donc 36 éléments
dans  $\Omega$. Intéressons  nous  à la  somme  des deux  chiffres  et soit  $A$
l'événement <<~le total fait neuf~>>.

$$A=\ac{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)}$$
donc
$$\bbp(A)=\fr{4}{36}=\fr{1}{9}$$

Soit $B$ l'événement : <<~on obtient 3 au premier lancer~>>, alors

$$B=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}$$
donc
$$\bbp(B)=\fr{6}{36}=\fr{1}{6}$$
Jusqu'ici, tout roule. Posons-nous maintenant  le problème suivant : sachant que
$B$  est réalisé,  i.e. que  l'on obtient  3 au  premier lancer,  quelle est  la
probabilité que  le total fasse  9~? On ne considère  plus tous les  éléments de
$\Omega$. Il semble alors nécessaire de  définir un nouvel univers (notre nouvel
ensemble des possibles)~:
$$\Omega'=\ac{(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}=\Omega\cap B$$
Puisque l'univers  change, la  probabilité aussi.  L'événement $A'$  <<~le total
fait neuf~>> dans ce nouveau modèle s'écrit
$$A'=\ac{(3,6)}=A\cap B$$
et donc
$$\bbp'(A')=\fr{1}{6}=\fr{\text{nombre d'éléments de } A\cap B}{\text{nombre d'éléments de } B}=\fr{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$
On retrouve notre formule


\begin{definition}[probabilité conditionnelle] Soient $A$ et $B$ deux événements
d'un    espace    probabilisé    muni    d'une    probabilité    $\bbp$,    avec
$\bbp(B)\neq0$.  \textbf{La probabilité  de \textit{A}  sachant \textit{B}}  est
définie par $$\bbp_B(A)=\fr{\bbp(A\cap B)}{\bbp(B)}$$
\end{definition}

Vous pourrez vérifier  pour votre confort intellectuel, bien que  ce ne soit pas
explicitement au programme, que l'application $\bbp_B$ est bien une probabilité,
qu'on appellera \textbf{probabilité conditionnelle sachant \textit{B}}.

\sm

Essayez de  vous débrouiller tout(e)  seul(e) avec  la situation suivante  : une
boîte contient 10 vipères, 5 mygales et 15 piranhas super mutants de la mort. Un
animal  est  sorti du  sac  au  hasard  et on  constate  que  ce n'est  pas  une
vipère. Quelle  est la probabilité que  la main de l'expérimentateur  finisse en
amuse-gueule pour un piranhas super mutant de la mort~?


\subsection{Arbre}

Reprenons  l'exemple de  la section  \vref{exprobacon} en  répondant aux
mêmes questions  à l'aide d'un  arbre \textit{pondéré}, c'est à  dire un
arbre dont  chaque branche  est marquée de  la probabilité  (du $poids$)
correspondant.

Alors la somme des probabilités de chaque <<~ramification~>> est égale à
1.


% \begin{pro-arbre22}{1} ["B",6/36,"@overline{B}"],["A",1/6,1/10],[]
% \end{pro-arbre22}

% Set the overall layout of the tree
\tikzstyle{level 1}=[level distance=3.5cm, sibling distance=2.5cm]
\tikzstyle{level 2}=[level distance=3.5cm, sibling distance=1.5cm]

% Define styles for bags and leafs
\tikzstyle{bag} = [text width=4em, text centered]
\tikzstyle{end} = [circle, minimum width=3pt,fill, inner sep=0pt]

% The sloped option gives rotated edge labels. Personally
% I find sloped labels a bit difficult to read. Remove the sloped options
% to get horizontal labels. 
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped]
\node[bag] {$\Omega$}
    child {
        node[bag] {B}        
            child {
                node[end, label=
                    {$\overline{A}$}] {}
                edge from parent
                node[above] {}
                node[below]  {$9/10$}
            }
            child {
                node[end, label=
                    {$A$}] {}
                edge from parent
                node[above] {$1/10$}
                node[below]  {}
            }
            edge from parent 
            node[above] {}
            node[below]  {$5/6$}
    }
    child {
        node[bag] {B}        
        child {
                node[end, label=
                    {$\overline{A}$}] {}
                edge from parent
                node[above] {}
                node[below]  {$5/6$}
            }
            child {
                node[end, label=
                    {$A$}] {}
                edge from parent
                node[above] {$1/6$}
                node[below]  {}
            }
        edge from parent         
            node[above] {$1/6$}
            node[below]  {}
    };
\end{tikzpicture}



À l'aide de  la formule des probabilités totales,  il est aisé d'obtenir
les résultats suivant:

\begin{enumerate}
\item \textbf{Calcul de $\bbp{}(A)$}


$B$ et $\overline{B}$ forment une partition. D'apr\`es la formule des probabilit\'es totales,\\

$\bbp{}(A)=\bbp{}(B \cap A)+\bbp{}(\overline{B} \cap A)
=\bbp{}(B) \times \bbp_B{}(A)+\bbp{}(\overline{B}) \times \bbp_{\overline{B}}(A)$\\

$\bbp{}(A)=\frac{1}{6}    \times   \frac{1}{6}   +    \frac{5}{6}   \times
\frac{1}{10}
=\frac{1}{9}$\\

\item \textbf{Calcul de $\bbp{}( \overline{A} )$}


$B$ et $\overline{B}$ forment une partition. D'apr\`es la formule des probabilit\'es totales,\\

$\bbp{}( \overline{A} )=\bbp{}(B  \cap \overline{A} )+\bbp{}(\overline{B} \cap
\overline{A} )
=\bbp{}(B)  \times  \bbp_B{}(  \overline{A})+\bbp{}(\overline{B})  \times
\bbp_{\overline{B}}( \overline{A})$\\

$\bbp{}(  \overline{A}  )=\frac{1}{6}  \times  \frac{5}{6}  +  \frac{5}{6}
\times \frac{9}{10}
=\frac{8}{9}$\\


\item \textbf{Probabilit\'es conditionnelles}

\begin{multicols}{2}
$\bbp_A{}(B)=\dfrac{\bbp{}(B \cap A)}{\bbp{}(A)}
=\dfrac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{9}}=\frac{1}{4}$\\

$\bbp_A{}(\overline{B})=\dfrac{\bbp{}(\overline{B} \cap A)}{\bbp{}(A)}
=\dfrac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}$\\


$\bbp{}_{\overline{A} }(B)=\dfrac{\bbp{}(B \cap
  \overline{A} )}{\bbp{}( \overline{A} )}
=\dfrac{\frac{5}{36}}{\frac{8}{9}}=\frac{5}{32}$\\

$\bbp_{\overline{A}}(\overline{B})=\dfrac{\bbp{}(\overline{B} \cap
  \overline{A} )}{\bbp{}( \overline{A} )}
=\dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{8}{9}}=\frac{27}{32}$\\
\end{multicols}
\end{enumerate}
% \begin{pro-ana22}{1}
% ["B",6/36,"@overline{B}"],["A",1/6,1/10]
% \end{pro-ana22}




\subsection{Formules des probabilit\'es totales}

Si on découpe  notre univers $\Omega$ en morceaux disjoints  $A_1$, $A_2$, ... ,
$A_n$, on  dit que $A_1$, $A_2$,  ... , $A_n$ réalise  \textbf{une partition} de
$\Omega$.

Par exemple, séparer une classe en un groupe fille et un groupe garçon permet de
réaliser une partition de  la classe. Séparer une classe en  un groupe fille, un
groupe  garçon et  un groupe  d'abonnés  au chasseur  syldave ne  permet pas  de
réaliser une partition car certains élèves  peuvent appartenir à deux groupes en
même temps. Enfin séparer  une classe en un groupe de  porteurs de sandales avec
chaussettes  et un  groupe d'imitateurs  du Schblurb  syldave ne  permet pas  de
réaliser une partition car certains élèves ne  sont ni dans l'un ni dans l'autre
groupe.


\begin{propriete}[Formule des probabilités totales] Supposons donc qu'il existe une
partition $A_1$, $A_2$, ... , $A_n$ de $\Omega$, alors
$$B=B\cap \Omega=B\cap \pa{A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n}=(B\cap A_1)\cup(B\cap A_2)\cup\cdots\cup(B\cap A_n)$$
Cette union étant disjointe, on a donc
$$\bbp(B)=\bbp(B\cap A_1)+\bbp(B\cap A_2)+\cdots+\bbp(B\cap A_n)$$
\end{propriete}




Pour illustrer ce résultat, reprenons l'arbre de la section précédente. Comme $B$ et
$\bar{B}$  réalisent une  partition  évidente de  l'univers,  nous obtenons,  en
appliquant la formule des probabilités totales
$$\bbp(A)=\bbp(A\cap B)+\bbp(A\cap \bar{B})=\fr{1}{36}+\fr{5}{36}=\fr{1}{6}$$






\subsection{Formule de \textsc{Bayes}: retournement d'un arbre}

% Simplet, Goldorak et  Monica Bellucci reviennent de la forêt  avec trois paniers
% contenant respectivement 1,  2 et 3 champignons.  Dans chaque panier, il  y a un
% champignon vénéneux.

% On choisit  un des trois paniers  au hasard, et dans  ce panier on goûte  un des
% champignons, choisi lui  aussi au hasard.  Quelle est la  probabilité de se tordre
% de  douleur  puis  de  succomber dans  d'atroces  souffrances  quelques  minutes
% après?

% Un  élève syldave  qui passait  par là  a  choisi un  panier au  hasard puis  un
% champignon dans  ce panier. On constate  qu'il se tord de  douleur puis succombe
% dans  d'atroces souffrances:  quelle est  la probabilité  qu'il  ait goûté  un
% champignon venant du panier de Monica Bellucci~?



Cette formule correspond au \og retournement\fg{} d'un arbre.


\begin{theoreme}[Première formule de \textsc{Bayes}]
$$\bbp_B{}(A)=\frac{\bbp_A{}(B)\times \bbp{}(A)}{\bbp{}(B)}$$
\end{theoreme}



\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
  \begin{minipage}[t]{3.2cm}
    \begin{figure}
      \includegraphics[width=2.8cm]{bayes}
      \caption{Thomas \textsc{Bayes}\\(1701 - 1761)}
    \end{figure}
  \end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-3.5cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
  
\end{minipage}



On aurait pu écrire:


$$\bbp_{\text{effet}}{}(\text{cause})=\frac{\bbp_{\text{cause}}(\text{effet})\times \bbp{}(\text{cause})}{\bbp{}(\text{effet})}$$



Statistiquement, on a accès aux  effets connaissant les causes (c'est le
déterminisme...)  mais  dans la  réalité,  on  subit  les effets  et  on
voudrait en connaître la cause.

Le  cas   le  plus  célèbre  d'utilisation   de  la  \textit{statistique
bayesienne} est  le test de  grossesse. Les médecins  \og disposent\fg{}
d'un échantillon de femmes enceintes ou non (et donc de $\bbp{}(E)$ et $\bbp{}(\overline{E})$) et d'un test de
grossesse. Ils font subir le test à tout l'échantillon et disposent donc
de    statistiques   sur    $\bbp_E{}(T)$,   $\bbp_{\overline{E}}(\overline{T})$, $\bbp_{\overline{E}}(T)$ et $\bbp_E{}(\overline{T})$
mais ce qui intéresse le médecin et surtout la femme qui utilise le test
c'est $\bbp_T{}(E)$ et $\bbp_{\overline{T}}(\overline{E})$...


\subsection{Ind\'ependance}


La notions d'évènements indépendants est l'une des difficultés du calcul
des  probabilités.  Comme souvent,  cette  notion purement  mathématique
renvoie, par  son appellation, à  une notion intuitive utilisée  dans le
langage  courant.  Il  faut  bien  garder  en  mémoire  que  le  mot  du
vocabulaire courant  est souvent un <<~faux  ami~>>. \footnote{On aurait
  aussi  bien parler  de  szjwrttrpgklance, mais  cela  aurait été  plus
  difficile à prononcer.} Donnons tout d'abord sa définition.



\begin{definition}[Évènements
  indépendants\index{evenements@évènements!indépendants}]
Les évènements $A$ et $B$ sont dits \textbf{indépendants} si $\bbp{}(A\cap
B)=\bbp{}(A)\times\bbp{}(B)$
    \end{definition}



Ainsi,      dans      notre      exemple      de     dés,      on      a
$\bbp{}(A)\times\bbp{}(B)=\frac{1}{6}\times\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\bbp{}(A\cap
B)$, donc le  lancer du 2\up{ème} dé est indépendant  du premier, ce qui
est rassurant.


Cette notion  est purement abstraite  et ne renvoie qu'à  des propriétés
mathématiques dont la principale est:


\begin{theoreme}[Indépendance et probabilités conditionnelles]
  Soient  $A$ et  $B$ deux  évènements  tels que  $\bbp{}(B)\neq 0$.   Les
  évènements  $A$   et  $B$  sont   indépendants  si  et   seulement  si
  $\bbp_B{}(A)=\bbp{}(A)$
\end{theoreme}



On peut faire  dire ce que l'on veut à des  probabilités selon le modèle
choisi.

Supposons  que  sur   un  groupe  de  100  personnes,   20  portent  des
sous-vêtements en polystirène expansé  (pour avoir chaud l'hiver), 50 se
grattent la tête avec  l'index gauche et 10 font les deux  à la fois. On
met  ces  100   personnes  dans  une  boîte  et  on   en  tire  une  au
hasard.  Vérifiez que  les  évènements <<~la  personne  tirée porte  des
sous-vêtements en polystirène
expansé~>> et <<~ la personne tirée se gratte la tête avec
l'index gauche~>> sont indépendants.

\'Etudiez le même problème en considérant cette fois-ci que 15 personnes
se grattent la tête avec l'index gauche (pourquoi pas).
\footnote{De   façon   générale,    la   définition   probabiliste   de
  l'indépendance est plus large que la notion intuitive.}

Veillez   à  ne  pas   confondre  évènements   \textit{indépendants}  et
évènements \textit{incompatibles}.

On  peut  montrer  d'ailleurs   que  deux  évènements  incompatibles  de
probabilité non nulle ne sont jamais indépendants.

 En effet, A et B sont
incompatibles si, et seulement si, $A\cap B=\emptyset$, donc $\bbp{}(A\cap
B)=\bbp{}(\emptyset)=0$.   Si $\bbp{}(A)\neq  0$  et $\bbp{}(B)\neq  0$, on  a
forcément $\bbp{}(A\cap B)\neq \bbp{}(A)\times \bbp{}(B)$.



La  seule idée à  retenir est  que ,  si $A$  et $B$  sont indépendants,
\textbf{avoir  observé la réalisation  de \textit{A}  ne modifie  pas la
  probabilité d'une éventuelle réalisation de \textit{B}}.

Ainsi, en  supposant que la Française des  Jeux n'utilise pas
  de boules truquées, on peut  considérer que deux tirages successifs du
  loto sont indépendants.




  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  %
  % E X E R C I C E S
  %
  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \modeexercice


  \section{EXERCICES}


  \begin{exercice}[Bac 2017]
    
Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si nécessaire, au millième. 


La chocolaterie \og Choc'o \fg{} fabrique des tablettes de chocolat noir, de 100 grammes, dont la teneur en cacao annoncée est de 85\,\%. 


À l'issue de la fabrication, la chocolaterie considère que certaines tablettes ne sont pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc. 

La chocolaterie dispose de deux chaînes de fabrication: 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la chaîne A, lente, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98. 
\item[$\bullet~~$] la chaîne B, rapide, pour laquelle la probabilité qu'une tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

À la fin d'une journée de fabrication, on prélève au hasard une tablette et on note : 

$A$ l' évènement: \og la tablette de chocolat provient de la chaîne de fabrication A \fg{} ; 

$C$ l'évènement : \og la tablette de chocolat est commercialisable \fg. 

On note $x$ la probabilité qu'une tablette de chocolat provienne de la chaîne A. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(C) = 0,03x + 0,95$. 
\item À l'issue de la production, on constate que 96\,\% des tablettes sont commercialisables et on retient cette valeur pour modéliser la probabilité qu'une tablette soit commercialisable. 

Justifier que la probabilité que la tablette provienne de la chaîne B est deux fois égale à celle que la tablette provienne de la chaîne A. 
\end{enumerate}


  \end{exercice}
  




  \begin{exercice}[Bac 2017]
    

La  société Fibration  fournit des  abonnements Internet  et des  abonnements de
téléphone mobile. Un client de la  société Fibration souscrit soit un abonnement
Internet, soit un abonnement de téléphone mobile,  il ne cumule pas les deux. En
cas  de  difficulté, la  société  Fibration  propose  à  ses clients  une  ligne
d'assistance  téléphonique: le  client  doit d'abord  signaler  s'il est  client
Internet ou s'il est client mobile puis  son appel est mis en attente de réponse
par un opérateur.


Si nécessaire, les résultats seront arrondis à $10^{-3}.$



Si la durée d'attente avant l'obtention d'un opérateur dépasse 5 minutes, l'appel prend automatiquement fin. Sinon, l'appelant obtient un opérateur. 

On choisit au hasard un client qui appelle la ligne d'assistance. 

On admet que la probabilité que l'appel émane d'un client Internet est 0,7.

De plus, d'après la partie A, on prend les données suivantes : 


\begin{itemize}
\item Si l'appel provient d'un client Internet alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,95.

\item Si l'appel provient d'un client mobile alors la probabilité d'obtenir un opérateur est égale à 0,87. 

\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le client joigne un opérateur. 

\item Un client se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d'attente sans avoir obtenu d'opérateur. Est-il plus probable que ce soit un client Internet ou un client mobile? 

\end{enumerate}


  \end{exercice}


  \begin{exercice}[Bac 2017]
    
Un  entrepreneur décide d'installer un logiciel anti-spam, Ce logiciel détecte les messages
indésirables appelés spams (messages malveillants, publicités, etc.) et les déplace dans un fichier
appelé \og dossier spam \fg. Le fabricant affirme que 95\,\% des spams sont déplacés. De son côté, l'entrepreneur
sait que 60\,\% des messages qu'il reçoit sont des spams. Après installation du logiciel, il
constate que 58,6\,\% des messages sont déplacés dans le dossier spam.
Pour un message pris au hasard, on considère les évènements suivants :

\smallskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$D$ : \og le message est déplacé \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og le message est un spam \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(S \cap D)$.
\item On choisit au hasard un message qui n'est pas un spam. Montrer que la probabilité qu'il soit
déplacé est égale à $0,04$.
\item On choisit au hasard un message non déplacé. Quelle est la probabilité que ce message soit
  un spam ?

\end{enumerate}

  \end{exercice}




  \begin{exercice}[Bac 2017]
    
On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :
 
\begin{enumerate}
\item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ;
\item soit malade (atteint par le virus) ; 
\item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). 
\end{enumerate}

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. 


\begin{center}
\textbf{PARTIE A}
\end{center}


Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : 

\begin{enumerate}
\item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ;

\item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés.

\item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. 

\end{enumerate}

\medskip

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : 

$S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ;

$M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ;

$I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg.

\medskip

En semaine 0, tous les individus sont considérés \og de type S\fg, on a donc les probabilités suivantes :
 
\[P\left(S_0\right) = 1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et } P\left(I_0\right) = 0.\]


On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semaines 1 et 2. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous :

%\begin{center}
%%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
%\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
%\pstree[treemode=R]{\Tdot~[tnpos=a]{$S_0$}}
%{
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$S_1$}\taput{ $\cdots$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$M_1$}\taput{ $\cdots$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $\cdots$}
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\tbput{ $\cdots$}
%}
%\pstree
%{\Tdot~[tnpos=a]{$I_1$}\tbput{ $\cdots$}}
%{
%\Tdot~[tnpos=r]{$\cdots$}\taput{ $1$}
%}
%}
%\end{center}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.6]{./pics/ArbreBac}
\end{center}
%\end{figure}


\item Montrer que $P\left(I_2\right)= \np{0,2025}$.
\item Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ? 
\end{enumerate}

\bigskip


\begin{center}
\textbf{PARTIE B}
\end{center}

On étudie à long terme l'évolution de la maladie.

Pour tout entier naturel $n$, on  : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n + v_n + w_n=1$.

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$.
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}}r|*{4}{r|}}\hline
\hspace*{0.8cm} & \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} A& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} B& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} C&\cellcolor{lightgray}\hspace*{0.8cm} D\\\hline
1		&$n$	&$u_n$			&$v_n$			&$w_n$\\\hline
2		&0		&1				&0				&0\\\hline
3		&1		& \np{0,8500} 	& \np{0,0500} 	& \np{0,1000} \\\hline
4		&2		& \np{0,7225} 	& \np{0,0750} 	& \np{0,2025} \\\hline
5		&3		& \np{0,6141} 	& \np{0,0849} 	& \np{0,3010}\\\hline
6		&4		& \np{0,5220} 	& \np{0,0859} 	& \np{0,3921} \\\hline
7		&5		& \np{0,4437} 	& \np{0,0819} 	& \np{0,4744}\\\hline
8		&6		& \np{0,3771} 	& \np{0,0754} 	& \np{0,5474} \\\hline
\dots	&\dots	&\dots			&\dots			&\dots\\\hline
20		&18		&\np{0,0536} 	& \np{0,0133} 	& \np{0,9330}\\\hline
21		&19		&\np{0,0456} 	&\np{0,0113} 	&\np{0,9431}\\\hline
22		&20		&\np{0,0388} 	&\np{0,0096} 	&\np{0,9516} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\emph{Pour répondre aux questions \textbf{a.} et \textbf{b.} suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?
\item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent  à partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$.

En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, 

\[v_n = \dfrac{1}{4}\left(0,85^n - 0,65^n\right).\]
	\end{enumerate}
\item Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
\end{enumerate}

  \end{exercice}








  \begin{exercice}[Bac 2017]
    
Romane utilise deux modes de déplacement pour se déplacer entre son domicile et son lieu de
travail : le vélo ou les transports en commun.

Lorsque la journée est ensoleillée, Romane se déplace en vélo 9 fois sur 10.

Lorsque la journée n'est pas ensoleillée, Romane se déplace en vélo 6 fois sur 10.

La probabilité qu'une journée soit ensoleillée, dans la ville où habite Romane, est notée $p$.

Pour une journée donnée, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E$ l'évènement \og La journée est ensoleillée \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement\og Romane se déplace en vélo \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré représentant la situation.
\item Montrer que la probabilité que Romane se déplace en vélo lors d'une journée donnée
est 

\[P(V) = 0,3p + 0,6.\]
\item On constate que dans 67,5\,\% des cas, c'est en vélo que Romane se déplace entre son
domicile et son lieu de travail.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de $p$.
		\item Sachant que Romane s'est déplacée en vélo, montrer que la probabilité que la
journée soit ensoleillée est $\frac{1}{3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
  \end{exercice}



  
  \begin{exercice}[Bac 2017]
    
Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.


Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dé équilibré à $6$ faces.

Si elle obtient $1$ ou $2$, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo.
On note :
\begin{itemize}
\item $B$ l'évènement \og Sofia prend le bus \fg{} ;
\item $V$ l'évènement \og Sofia prend son vélo \fg{} ;
\item $C$ l'évènement \og Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, que Sofia mette entre $12$ et $14$ minutes est de $0,49$.
\item Sachant que Sofia a mis entre $12$ et $14$ minutes pour se rendre au cinéma, quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-2}$, qu'elle ait emprunté le bus ?
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}[Bac 2018]
  
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& 0,25 &\np{0,4375} &\np{0,3906} &\np{0,4023} &\np{0,3994} &\np{0,4001} &\np{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle conjecture peut-on émettre ?
\item On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		\item La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[Bac 2018]
  
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d'une ville.

La vaccination contre la grippe est possible; elle doit être renouvelée chaque année.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques
individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n'est pas toujours
totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la
grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l'issue de la période hivernale a permis de constater que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]40\,\% de la population est vaccinée ;
\item[$\bullet~~$]8\,\% des personnes vaccinées ont contracté la grippe ;
\item[$\bullet~~$]20\,\% de la population a contracté la grippe.
\end{itemize}

\smallskip

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les
évènements :

\begin{description}
\item[ ] $V$ : \og la personne est vaccinée contre la grippe \fg{} ;
\item[ ] $G$ : \og la personne a contracté la grippe \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $G$.
		\item Reproduire l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés indiqués sur quatre de ses branches.




\begin{center}
  \includegraphics[scale=.7]{./pics/ArbreBac2}
\end{center}
    
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe et soit vaccinée.
\item La personne choisie n'est pas vaccinée. Montrer que la probabilité qu'elle ait contracté la grippe est égale à $0,28$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette
ville.

\medskip

Après la période hivernale, on interroge au hasard $n$ habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à $n$ tirages successifs indépendants et avec remise. On suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à $0,4$.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les $n$
interrogées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ?
\item Dans cette question, on suppose que $n = 40$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement $15$ des $40$ personnes interrogées soient vaccinées.
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
                \end{enumerate}
              \end{enumerate}
            \end{exercice}




            \begin{exercice}[Concours ENI-GEIPI 2016]
              
Une chocolaterie fabrique deux sortes de chocolats: des chocolats noirs et des chocolats au lait.

60\,\% des chocolats fabriqués sont noirs. Parmi ceux-ci, 70\,\% sont fourrés, tandis que 30\,\% seulement
des chocolats au lait sont fourrés.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Dans cette partie, pour chaque probabilité demandée, on donnera sa valeur exacte}

\medskip

Un client fait une dégustation de chocolats et il en choisit un au hasard.

On considère les évènements suivants :
\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$N$ : \og le chocolat choisi est noir\fg
\item[ ]$F$ : \og le chocolat choisi est fourré \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_1$ que le chocolat choisi soit noir.
\item Déterminer la probabilité $P_2$ que le chocolat choisi soit noir et fourré.

Justifier la réponse.
\item On note $P_3$ la probabilité que le chocolat choisi soit fourré.

Justifier que $P_3 = 0,54$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un client achète une boîte de $n$ chocolats, où $n$ est un entier naturel non nul.

Chaque chocolat mis dans la boîte est choisi au hasard et on suppose le nombre de chocolats
suffisamment grand pour que l'on puisse considérer que les choix successifs sont faits de façon
identique et indépendante.

On note $X_n$ la variable aléatoire représentant le nombre de chocolats fourrés contenus dans la
boîte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $X_n$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item \textbf{Dans cette question n = 12 et, pour chaque probabilité demandée, on
donnera une valeur approchée à \boldmath $10^{-4}$\unboldmath\: près.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité $P_4$ que la moitié des chocolats de la boîte soient fourrés.
		\item Donner la probabilité $P_5$ que la boîte contienne au moins un chocolat fourré.
		\item Donner la probabilité $P_6$ que la boîte contienne au plus trois chocolats fourrés.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, $n$ est quelconque.}
	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction de $n$, la probabilité $q_n$ que la boîte contienne au moins un
chocolat fourré.
		\item Déterminer le nombre minimum $n_0$ de chocolats que doit acheter le client afin que
la probabilité que la boîte contienne au moins un chocolat fourré soit strictement
supérieure à $0,98$. Détailler les calculs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

            \end{exercice}
  
  \modenormal
%%%Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19_Probas"
%%% End:
