
%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{BacJuin2007newcourbes.mp}

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex



input newcourbes;input couleur;

 
beginfig( 0)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                   t-(ln(1+t))/(1+t)           % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-2,6,-1,5,2cm,2cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(1,0.4white);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);

%draw f_courbe(fx,fy,-0.99,6,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
u_reccourbe(fx,fy,4,0,3,-0.99,6,1);

r_fin;
endfig;





beginfig(1);
%u=1cm;
pair d,p,pp,o,a,aa;
d:=origin;
p:=(6u,0);
o:=(6u,3u);
a:=(9u,0);
aa:=(a scaled 0.5) rotated 90;
pp-o=whatever*(d-aa) rotated 90;
pp=whatever[d,aa];

draw d--aa;
draw d--a;
draw o--pp;
draw o--p;
draw d--o dashed evenly;
draw fullcircle scaled 0.5u;
perpendiculaire(p,a);
perpendiculaire(pp,o);

dotlabel.bot(btex $ $ etex, origin);
label.ulft(btex $d$ etex,(-0.2u,0.1u));
dotlabel.rt(btex $A$ etex,o);
label.rt(btex $d(A,P)$ etex, (6u,1.5u));
label.lrt(btex $d(A,d)$ etex, 0.5*(o+d));
label.top(btex $d(A,P')$ etex, 0.5*(o+pp));
label.bot(btex $P$ etex, a);
label.top(btex $P'$ etex, aa);


endfig;











end

\end{filecontents*}














\begin{filecontents*}{Arbres.mp}

input rboxes;input TEX;






beginfig(1);
  arbreDD("G","F","P","$\overline{P}$","P","$\overline{P}$","1/4","3/4","1/10","9/10","1/3","2/3");
endfig;



end
\end{filecontents*}






\begin{filecontents*}{TabVar.mp}
input tableauVariation;


verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex



beginTableau(6)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $-1$ etex);
  val(btex  $0$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 
 
  newLigneVariations(btex Variations de  $ N(x)$ etex);
   nonDefBarre;
  limDroite(btex ? etex,0);
  valBarre("0");
  valPos(btex ? etex,1);
  

endTableau;

beginTableau(7)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $-1$ etex);
  val(btex  $0$ etex);
  val(btex  $4$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 
 
  newLigneVariations(btex Variations de  $ f(x)$ etex);
   nonDefBarre;
  limDroite(btex ? etex,1);
  valPos(btex 0 etex,0 )
  valBarre(btex $4-\efr{\ln(5)}{5}$ etex )
  valPos(btex ? etex,1);
  

endTableau;
end

\end{filecontents*}







\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/TabVar/}}
\entete{Bac S - 14 Juin 2007}{Obligatoire}{T\textsuperscript{ale}S spé maths}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\Enc{Bac S - Juin 2007 - Obligatoire}{0.9white}{0.7} % titre,couleur,taille h

\exot{}

\begin{enumerate}
\item Le plan (P) admet comme vecteur normal  $\ve{u}$ de coordonnées $(1\pv2\pv-1)$ et $(P')$ admet comme
vecteur normal $\ve{u'}$ de coordonnées $(-1\pv1\pv1)$. 

Or  $\ps{u}{u'}=-1+2-1=0$,  donc  les vecteurs  $\ve{u}$  et  $\ve{u'}$  sont orthogonaux.  Nous  en
déduisons que (P) et $(P')$ sont perpendiculaires. 

\item Soit $M_t$ un  point quelconque de $(d)$. Il existe donc un réel  $t$ tels que ses coordonnées
  sont $(-\ofr{1}{3}+t\pv-\ofr{1}{3}\pv t)$. 

Or les coordonnées de $M_t$ vérifient les équations de (P) et $(P')$, donc la droite (d) est incluse
à la fois dans (P) et dans $(P')$, donc dans leur intersection. 

D'autre part, les deux plans sont orthogonaux, donc leur intersection est une droite. Il s'agit donc
de $(d)$. 

\item Le repère étant orthonormal, les distances sont données par 

  \begin{itemize}
  \item $\d(A,P)=\fr{\ab{0+2-1+1}}{\sqrt{1+4+1}}=\fr{\sqrt{6}}{3}$
  \item $\d(A,P')=\fr{\ab{0+1+1}}{\sqrt{1+1+1}}=\fr{2\sqrt{3}}{3}$
  \end{itemize}

\item Voici la situation 

\begin{center}
  \includegraphics{BacJuin2007newcourbes.1}
\end{center}


 Une figure dans un plan orthogonal à $(d)$ s'impose

\begin{center}
  \includegraphics{BacJuin2007.1}
\end{center}

$d(A,d)=\sqrt{\bigl(d(A,P)\bigr)^2+\bigl(d(A,P')\bigr)^2}=\sqrt{2}$



\end{enumerate}




\exot{}

\begin{enumerate}
\item Voir cours
\item
  \begin{enumerate}
  \item On intégre par parties de deux manières différentes
\bel
\item         On        pose        \intpp{\E^x}{\sin(x)}{\E^x}{-\cos(x)}.         On        obtient
  $I=\Bigl[-\E^x\cos(x)\Bigr]_0^{\pi}+\ds\int_0^{\pi}\E^x\cos(x)\d x=e^{\pi}+1+J$

\item   On        pose        \intpp{\sin(x)}{\E^x}{\cos(x)}{\E^x}.         On        obtient
  $I=\Bigl[\E^x\sin(x)\Bigr]_0^{\pi}-\ds\int_0^{\pi}\E^x\sin(x)\d x=0-J=-J$
\el
\item Nous en déduisons que $I=-I+\E^{\pi}+1$ et donc \[I=\fr{\E^{\pi}+1}{2}=-J\]
  \end{enumerate}

\end{enumerate}



\exot{}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item $P(\I)=\I^3-(4+\I)\I^2+(13+4\I)\I-13\I=-\I+4+\I+13\I-4-13\I=0$
\item $P(z)=(z-\I)(az^2+bz+c)=az^3+(b-a\I)z^2+(c-\I b)z-\I c$. On obtient $a=1$, $b=-4$ et $c=13$. 
\item $P(z)=0\ssi (z-\I)(z^2-4z+13)=0\ssi \begin{cases} z-\I=0\\\text{ou}\\z^2-4z+13=0\end{cases}$

Résolvons l'équation $z^2-4z+13=0$. $\Delta=16-52=-36=(6\I)^2$, donc l'équation admet deux solutions
conjuguées, $2+3\I$ et $2-3\I$ et finalement 

\[\SR_E=\bigl\{\I,2+3\I,2-3\I\bigr\}\]


\end{enumerate}




\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On obtient $(z_{A'}-z_B)=(z_A-z_B)\E^{\efr{\I\pi}{4}}$, c'est-à-dire après calculs
\[z_{A'}=2+(3-2\sqrt{2})\I\]
\item Comme  $A'$, B  et C ont  la même  abscisse 2, ils  appartiennent tous les  trois à  la droite
  d'équation $x=2$ dans le repère \ouv et donc sont alignés. 

De $z_{\ve{BA'}}=-2\sqrt{2}\I$ et  $z_{\ve{BC}}=-6\I$, donc $\ve{BA'}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ve{BC}$, on
déduit que  le rapport de l'homothétie vaut  $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et donc que  son écriture complexe
est 

\[z'-(2+3\I)=\frac{\sqrt{3}}{2}\bigl(z-(2+3\I)\bigr)\]

\end{enumerate}


Encore un exercice sans aucun intérêt...


\exot{}

\begin{enumerate}
\item Soit X  la variable aléatoire associée au  nombre de produits vendus. X suit  la loi $\BR(5\pv
  0,2)$. 

Donc $\bbp(X=2)={5\co 2}\times 0,2^2\times0,8^3=0,2048$. \hfill {\bfseries Réponse d}


\item Dessinons un arbre 

\begin{center}
  \includegraphics{Arbres.1}
\end{center}



$\bbp(P)=\bbp(G)\times
\bbp_G(P)+\bbp(F)\times\bbp_F(P)=\fr{1}{10}\times\fr{1}{4}+\fr{3}{4}\times\fr{1}{3}=0,275$\hfill
{\bfseries Réponse b}

\item $\bbp_P(G)=\fr{\bbp(P\cap G)}{\bbp(P)}=\fr{\fr{1}{4}\times\fr{1}{10}}{0,275}=\simeq 0,091$\hfill
{\bfseries Réponse b}

\item $\bbp=\fr{\pi\times 30^2-\pi\times20^2}{\pi\times30^2}=1-\pa{\fr{2}{3}}^2=\fr{5}{9}$\hfill {\bfseries Réponse a}


\end{enumerate}




\exot{}

\subsection*{Partie A}


\begin{enumerate}
\item $f'(x)=1-\fr{\fr{1}{1+x}(1+x)-\ln(1+x)}{(1+x)^2}=\fr{x(x+2)+\ln(1+x)}{(1+x)^2}$

\item N est  dérivable sur $]-1\pv +\infty[$. $N'(x)=2(1+x)+\fr{1}{1+x}$.  Or $x>-1$, donc $N'(x)>0$
  sur $]-1\pv +\infty[$. 

$N(0)=0$  est donc  le  minimum de  N  sur $]0\pv  +\infty[$.  $N$ est  donc  positive sur  $]0\pv
+\infty[$ et négative sur $]-1\pv 0[$

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.6}
\end{center}

Or  $f'(x)=\fr{N(x)}{(1+x)^2}$.   Nous  en  déduisons   que  $f'(x)\se0$  sur  $]0\pv  +\infty[$  et
$f'(x)\ie0$ sur $]-1\pv 0]$ et donc que $f$
est croissante sur $]0\pv +\infty[$ et décroissante sur
 $]-1\pv 0]$. 

\item Résolvons l'équation $(E)~:~f(x)=x$. 

\begin{arrayl}
(E)&\ssi&x-\fr{\ln(1+x)}{1+x}=x\\
(E)&\ssi&\fr{\ln(1+x)}{1+x}=0\\
(E)&\ssi&\ln(1+x)=0\\
(E)&\ssi&x=0
\end{arrayl}

Donc le point d'intersection de $\DR$ et $\CR$ est O.

\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item Comme $f$ est croissante sur $]0\pv +\infty[$, elle conserve l'ordre. 

Ainsi, si $x\in[0\pv 4]$, alors $f(0)=0\ie f(x)\ie f(4)=4-\fr{\ln(5)}{5}\ie 4$. 

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.7}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item On obtient
\begin{center}
  \includegraphics{BacJuin2007newcourbes.0}
\end{center}
\item Sachant que  $u_0=4\in[0\pv 4]$, et que si  $u_n\in[0\pv 4]$, alors $u_{n+1}=f(u_n)\in[0\pv4]$
  d'aprés B-1, nous en déduisons par une récurrence immédiate que pour tout entier $n$, $u_n\in[0\pv
  4]$. 
\item $u_1=f(u_0)\ie  u_0$ car $f$ est  croissante sur $[0\pv 4]$.  On en déduit  par une récurrence
  immédiate que la suite $(u_n)$ est elle-même décroissante. 

\item La suite $(u_n)$ étant décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel $\ell$. 

\item  La fonction  $f$ étant  continue  sur l'intervalle  fermé $[0\pv  4]$  et à  valeurs dans  cet
  intervalle, et la suite définie par  la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ étant convergente,
  la limite $\ell$ de $f$ est un point fixe de $f$. 

D'après A-3, on en déduit que $\ell=0$ puisque 0 est le seul point fixe de $f$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
