%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{BacJuin2007sti.mp}

input newcourbes;
input couleur;
input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

 
beginfig(1 )


repere(0,0,-4,5,-5,4.75,1cm,1cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);


pair a,b,c,d,o;
a:=r_p(-2,2*1.732);
b:=r_p(-2,-2*1.732);
c:=r_p(4,0);
d:=a rotated(30);
o:=r_p(0,0);

dotlabel.top(btex A   etex,a );
dotlabel.bot(btex B   etex,b );
dotlabel.urt(btex C   etex,c );
dotlabel.top(btex D   etex,d );

draw a--b--c--cycle withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor blue;

draw o--a;
draw o--d;

mark_angle(a,o,d,0,4);

label.ulft(btex \efr{\pi}{6} etex,r_p(-0.3,0.3) );

r_fin;
endfig;




 
beginfig( 2)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           t-1-(ln(t))/t                   % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-0.5,6,-1,3.75,2cm,2cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);

Aire(fx,fy,1,E,or);

draw f_courbe(fx,fy,0.1,12,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw r_droite(0,-1,1) dashed evenly scaled 3 withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.6white;

dotlabel.bot(btex e etex,r_p(E,0) );


r_fin;
endfig;


end
\end{filecontents*}





\begin{filecontents*}{TabVar.mp}

input tableauVariation;


verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex



%%
%%  Tableau de variations Bac STI Juin 2007
%%

beginTableau(8)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $0$ etex);
  val(btex  $1$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 
 
  newLigneVariations(btex Variations de  $ g(x)$ etex);
   nonDefBarre;
  limDroite(btex ? etex,0);
  valBarre("0");
  valPos(btex ? etex,1);

  newLigneSignes(btex $\hbox{\bf Signe de }\atop{\displaystyle g(x)}$ etex);
  nonDefBarre;moins ;valBarre("0"); plus; 
  

endTableau;



beginTableau(9)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $0$ etex);
  val(btex  $1$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 newLigneSignes(btex $\hbox{\bf Signe de }\atop{\displaystyle f'(x)}$ etex);
  nonDefBarre;moins ;valBarre("0"); plus;
  newLigneVariations(btex Variations de  $ f(x)$ etex);
   nonDefBarre;
  limDroite(btex $+\infty$ etex,1);
   valPos(btex 0 etex,0);   
  valPos(btex $+\infty$ etex,1);
  endTableau;




end






\end{filecontents*}









\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/TabVar/}}
\entete{Bac STI élec - optique}{18 juin 2007}{T\textsuperscript{ale}STI GE}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\Enc{Bac STI élec - Juin 2007}{0.9white}{0.7} % titre,couleur,taille h


\exot{}

\begin{enumerate}
\item $\Delta=4^2-4\times 16=-3\times 16=\left(4\I\sqrt{3}\right)$

On          obtient          donc          $x_1=\frac{-4-4\I\sqrt{3}}{2}=-2-2\I\sqrt{3}$          et
$x_2=\frac{-4+4\I\sqrt{3}}{2}=-2+2\I\sqrt{3}$


\[\SR=\big\{-2-2\I\sqrt{3}\pv-2+2\I\sqrt{3}\big\} \]

\item
  \begin{enumerate}
  \item $P(4)=4^3-64=0$
  \item   $P(z)=(z-4)({\rm  a}z^2+{\rm  b}z+\rm{c})={\rm   a}z^3+({\rm  b}-4{\rm   a})z^2+({\rm  c}-4{\rm
      b})z-4{\rm c}=z^3-64$

Par identification on obtient


\[{\rm a}=1\quad{\rm b}=4\quad {\rm c}=16\]

Quelle surprise~! 

\item $P(z)=(z-4)(z^2+4z+16)=0\ssi z-4=0 \text{ ou } z^2+4z+16=0$, donc 

\[\SR=\big\{-2-2\I\sqrt{3}\pv-2+2\I\sqrt{3}\pv 4\big\}\]
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item       $|z_A|=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2}=4$       et      $z_A=4       \left(-\frac{1}{2}+\I
      \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Or       $-\frac{1}{2}=\cos       \left(\ofr{2\pi}{3}\right)$      et       $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin
\left(\ofr{2\pi}{3}\right)$

donc $z_A=4\E^{\efr{2\I\pi}{3}}$. 

Or $z_B=\overline{z_A}$ donc $z_B=4\E^{\efr{-2\I\pi}{3}}$



\item La belle figure :

\begin{center}
  \includegraphics[height=9cm]{BacJuin2007sti.1}
\end{center}



$AB=|z_b-z_A|=|-4\I\sqrt{3}|=4\sqrt{3}$

$AC=|z_C-z_A|=|6-2\I\sqrt{3}|=\sqrt{36+4\times3}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

$BC=|z_C-z_B|=|6+2\I\sqrt{3}|=\sqrt{36+4\times3}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Le triangle ABC est donc équilatéral.

  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item                    $Z_D=z_A\E^{\efr{\I\pi}{6}}=4\E^{\efr{2\I\pi}{3}}\times\E^{\efr{\I\pi}{6}}
    =4\E^{\efr{\I\pi}{6}+{\efr{2\I\pi}{3}}}=4\E^{\efr{5\I\pi}{6}}$

Donc $|z_D|=4$ et $\Arg(z_D)=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \quad k\in\bbz$

\item  $z_D=4   \left(\cos  \left(\frac{5\pi}{6}+\I\sin  \left(\frac{5\pi}{6}\right)\right)\right)=4
  \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\I \frac{1}{2}\right)=-2\sqrt{3}+2\I$
  \end{enumerate}


\end{enumerate}




\exot{}

\begin{enumerate}
\item $AR_1R_2R_3R_6R_7B$ ou $AR_1R_2R_4R_6R_7B$ ou $AR_1R_2R_5R_4R_6R_7B$ 

ou
$AR_8R_9R_{14}R_{16}R_{17}R_{18}B$ ou $AR_8R_{10}R_{12}R_{14}R_{16}R_{17}R_{18}B$ ou $AR_8R_{11}R_{13}R_{15}R_{17}R_{18}B$

\item Il y a équiprobabilité des parcours, donc
  \begin{enumerate}
  \item $p_1=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
  \item $p_2=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item On regarde la longueur des bonds : 12s pour 2 parcours ou 14s pour 3 parcours ou 16s pour 1 parcours. 
  \item On en déduit le tableau suivant
\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.75\textwidth}{Y{2}}
	     \whline
             $x_i$& 12 &14 &16\\
             \hline
             \vtab $p(X=x_i)$&$\frac{2}{6}$&$\frac{3}{6}$&$\frac{1}{6}$\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

\item $\ds\bbe(X)=12\times \frac{2}{6}+14\times \frac{3}{6}+16\times \frac{1}{6}=\frac{41}{3}$
  \end{enumerate}

\item Appelons $x$  la durée d'un bond, alors dans  ce cas $\ds\bbe(X)=6x\times \frac{2}{6}+7x\times
  \frac{3}{6}+8x\times \frac{1}{6}=\frac{41x}{6}$

On cherche $x$ tel que $\bbe(X)=10=\frac{41x}{6}$. On obtient $x=\frac{60}{41}\simeq 1,46$s


\end{enumerate}




\exot{}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  $g'(x)=2x+\frac{1}{x}>0$ pour  tout $x>0$,  donc $g$  est strictement  croissante  sur $]0\pv
  +\infty[$. 
\item $g(1)=1-1+0=0$. On en déduit le tableau suivant

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.8}
\end{center}


\end{enumerate}


\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=a-\frac{1-\ln(x)}{x^2}$
\item $\CR$ passe par le point de coordonnées $(1\pv 0)$, donc $f(1)=0=a+b$. 

En  ce point  la tangente  est horizontale,  donc de  coefficient directeur  nul. Or  ce coefficient
directeur vaut par définition $f'(1)$. Ainsi $f'(1)=0=a-1$. 

On obtient donc $a=1$ et $b=-1$. 


\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}


\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On obtient successivement 


$\left.  \begin{array}{l} \Lim{0}\ln(x)=-\infty\\
\Lim{0}\frac{1}{x}=+\infty\end{array}\right\}\Longrightarrow
\left.\begin{array}[t]{l}\Lim{0}\frac{\ln(x)}{x}=-\infty\\
                                                                          \Lim{0}x-1=-1\end{array}\right\}\Longrightarrow \Lim{0}f(x)=+\infty$

Donc $\CR$ admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ au voisinage de 0.

\item Cette fois $\left.  \begin{array}{l} \Lim{+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0\\
\Lim{+\infty}x-1=+\infty\end{array}\right\}\Longrightarrow\Lim{+\infty}=+\infty$


  \end{enumerate}


\item 
  \begin{enumerate}
  \item                                                                                       D'après
    B.1. $f'(x)=a-\frac{1-\ln(x)}{x^2}=1-\frac{1-\ln(x)}{x^2}=\frac{x^2-1+\ln(x)}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}$
   \item On en déduit que $f'(x)$ est du signe de $g(x)$ sur $]0\pv+\infty[$

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.9}
\end{center}


\item Par lecture du tableau, on en déduit que  0 est le minimum de $f$ sur $]0\pv +\infty[$ et donc
  que $f$ est positive sur $]0\pv +\infty[$

  \end{enumerate}

\item
  \begin{enumerate}
  \item      $f(x)-(x-1)=-\frac{\ln(x)}{x}$.     Or      $\Lim{+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$,     donc
    $\Lim{+\infty}f(x)-(x-1)=0$. 

On en déduit que $\CR$ admet $\DR$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$. 

\item $f(x)-(x-1)$ est du signe de $-\ln(x)$ sur $]0\pv +\infty$ car $x$ est positif. 

Donc $f(x)-(x-1)$ est positif sur $]0\pv 1]$  et négatif ailleurs, donc $\CR$ est au-dessus de $\DR$
sur $]0\pv 1]$ et en-dessous ailleurs. 

\item Voici le joli dessin

\begin{center}
  \includegraphics{BacJuin2007sti.2}
\end{center}
  \end{enumerate}


\end{enumerate}





\subsection*{PartieD}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item $H'(x)=2\times \fr{1}{x}\times \ln{(x)}$
  \item On en déduit qu'une primitive de $x\mapsto \frac{\ln(x)}{x}$ sur $]0\pv +\infty[$ est $\frac{1}{2}H(x)$ et donc
    qu'une     primitive      de     $f$      sur     cet     intervalle      est     \[F~:~x\mapsto
    \frac{x^2}{2}-x-\frac{1}{2}\bigl(\ln(x)\bigr)^2\]

  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item                                   Or                                   $\ds\int_1^{\E}f(x)\d
    x=F(\E)-F(1)=\frac{\E^2}{2}-\E-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1=\frac{\E^2}{2}-\E$. Donc 
\[\AR=\frac{\E^2}{2}-\E \text{ u.a.}\]

\item $\AR=\pa{\frac{\E^2}{2}-\E}\times 4$ cm$^2$ soit $\AR\simeq3,90$ mm$^2$.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
