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\begin{document}
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\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries  \begin{center} Pour faire  plaisir à  votre professeur
    de Physique-Chimie \end{center}}
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\vspace{0.5cm}

\begin{exercice}[0.2white]{Chimie~:~coefficient de dissociation}

L'état d'équilibre de la réaction  de dissociation de $N_2O_4$ peut être
caractérisé par la valeur du  coefficient de dissociation $\alpha$. À la
température de  27 \textdegree~C, ce  coefficient est lié à  la pression
totale P par la relation~:

\[\alpha^2=\frac{1}{24P+1}\]


\begin{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0;1]$ par 

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{24x+1}}\]


\begin{enumerate}
\item Étudiez le sens de variation de $f$.
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij où 1cm représente
  $0,1$ en abscisse et 2cm représentent $0,1$ en ordonnée. 

Dans ce repère, tracez la courbe représentative de $f$.
\item  Montrez  que   l'équation  $f(x)=\frac{1}{2}$  admet  une  unique
  solution  sur $[0;1]$.  Résolvez cette  équation.  Comment interpréter
  chimiquement ce résultat~?
\end{enumerate}

\item Dans  cette question, on identifie  $x$ à la pression  totale P et
  $f(x)$ à $\alpha$.
 
  \begin{enumerate}
  \item On  considère que la  dissociation de $N_2O_4$  est pratiquement
    totale  si  $\alpha=0,99$.  Déterminez  la  valeur  de  la  pression
    correspondante.
\item   De  manière  plus   générale,  exprimez   $P$  en   fonction  de
  $\alpha$. Pourquoi définit-on ainsi une fonction~? Pouvait-on le prévoir~? 
\item  Dressez le  tableau  de variation  de  la fonction  définie à  la
  question précédente.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[0.2white]{Mouvement dans le champ de pesanteur}

On lance un objet d'un point O avec une vitesse $\ve{v_0}$ formant un angle $\alpha$
avec l'horizontale. On se place dans  le plan formé par O, $\ve{v_0}$ et
son projeté  sur l'horizontale. On considère alors  le repère orthonormé
\oik où $\ve{\imath}$ dirige l'axe horizontal.

On note $M$ la position de l'objet à un certain temps $t$ et $\bigl(x;z\bigr)$ les
coordonnées du vecteur $\ve{OM}$ dans \oik au temps $t$.

Par  application  de  la  relation  fondamentale  de  la  dynamique,  on
obtient~:

\[
\begin{cases}
x=\bigl(v_0\cos(\alpha)\bigr)t\\
z=-\frac{gt^2}{2}+\bigl(v_0\sin(\alpha)\bigr)t
\end{cases}
\]
  
\begin{enumerate}
\item Exprimez $z$ uniquement en  fonction de $x$, $v_0$ et $\alpha$. On
  note alors $f$ la fonction qui à $x$ associe $z$.
\item Étudiez la fonction $f$ et dressez son tableau de variation.
\item Étudiez la fonction qui  à $\alpha$ associe l'altitude maximale de
  l'objet pour $v_0$ considéré comme fixe. Comment choisir $\alpha$ pour
  que l'objet  atteigne la  hauteur la plus  grande possible~?  Quel est
  l'inconvénient de cette méthode de tir~?
\item À  $v_0$ fixé,  comment choisir $\alpha$  pour tirer le  plus loin
  possible~? Quelle est alors la hauteur maximale atteinte par l'objet~?
\item On  suppose que  $v_0=20 m\cdot s^{-1}$.  On souhaite  que l'objet
  retombe sur  le sol  20 mètres  plus loin. Quel  angle de  tir doit-on
  choisir~?

\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}
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