% $Header: /cvsroot/latex-beamer/latex-beamer/solutions/conference-talks/conference-ornate-20min.en.tex,v 1.6 2004/10/07 20:53:08 tantau Exp $
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%\usepackage{fancyvrb}
\usepackage[baw]{fvrb-ex}
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%\usepackage{lmodern}
\usepackage{BeamerPolymaths}
\renewcommand{\La}{\LaTeX{}}
\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}
\renewcommand{\e}{{\rm e}}

\mode<presentation>
{
  \usetheme{Warsaw}
  % or ...

  \setbeamercovered{transparent}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[RELATION D'ORDRE] % (optional, use only with long paper titles)
{RELATION D'ORDRE \\ Exemple de construction mathématique}

\subtitle
{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the \inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)


\date[Septembre 2006] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Septembre 2006}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}


\section{Le but du jeu}

\begin{frame}
Nous allons jouer aux mathématiciens sorciers en créant une suite d'outils nécessaires à la résolution de problèmes concrets.
\begin{itemize}
\item Nous commencerons par énoncer de manière générale ce que nous cherchons à faire.
\item Nous nous mettrons d'accord sur un point de départ.
\item En étudiant des situations concrètes, nous dresserons une liste d'outils dont nous aurons besoin pour résoudre nos problèmes  : des théorèmes.
\item Nous essaierons de prouver que ces théorèmes sont  vrais  en les déduisant logiquement de notre définition de départ.  
\end{itemize}
 \end{frame}


\section{Quel est le problème ~?}

\begin{frame}

\pause 

Nous avons défini les nombres réels comme les abscisses des points d'une droite orientée munie d'une origine et d'une unité. Nous \textcolor{blue}{\textbf{voyons}} comment ils sont rangés, 

\pause

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.75}
\end{center}

\smallskip


\pause

mais comment \textcolor{blue}{\textbf{définir}} un ordre de rangement pour pouvoir calculer et raisonner sans avoir la droite réelle sous les yeux~?
 
\end{frame}


\section{Notre point de départ}

\subsection{Ce que nous savons déjà faire}
\begin{frame}

\pause

Nous venons de définir les nombres réels, mais nous savons déjà calculer avec eux : nous supposerons que vous savez déjà les additionner, les soustraire, les multiplier, les diviser. 

\pause

Nous supposerons également que vous savez définir leur signe, et que vous connaissez la règle des signes

\begin{regle}
\begin{itemize}
\item le produit de deux nombres de même signe est positif
\item le produit de deux nombres de signes différents est négatif
\end{itemize}
\end{regle}
\end{frame}

\subsection{La définition}

\begin{frame}

\begin{definition}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels quelconques.

Nous dirons que $a$ est \textcolor{blue}{\textbf{supérieur à}} $b$ lorsque la différence $a-b$ est positive.
On notera alors \[a\se b\]

\end{definition}


\end{frame}

\section{De quoi avons-nous besoin~?}


\subsection{Ordre et addition}

\begin{frame}

\pause

\begin{problem}

J'ai trouvé un diamant dans la rue. Je le pose sur une vieille balance avec une baguette de 200g et je  peux seulement lire sur le cadran abimé que la masse dépasse 800g. Qu'est-ce que je peux dire de la masse du diamant~? 

\end{problem}

\pause

Je sais, c'est un peu simple, mais qui vous a dit que le programme de Seconde était compliqué~?




\end{frame}




\begin{frame}
\frt{Traduction mathématique du problème}

\pause

Si on appelle $m$ la masse inconnue du diamant, on sait que \[ m+200\se 800 \]

\pause

On a envie \og d'enlever \fg 200 de chaque \og côté \fg de l'inégalité et on \textcolor{blue}{\textbf{sent}} bien que ça va \og marcher\fg, mais est-ce que notre nez mathématique n'est pas enrhumé~? 

\pause

Le seul moyen de s'en assurer, c'est de le prouver en utilisant notre définition de l'ordre des nombres réels.


\end{frame}

\begin{frame}
\frt{Preuve de notre intuition}

\pause

\begin{fact}
\begin{itemize}
\item Nous savons que $m+200\se 800$  \hspace{2cm}  
\item Nous connaissons notre définition : $A\se B\ssi A-B\se 0$ \hspace{2cm} 
\end{itemize}
\end{fact}

\pause


Nous déduisons de la donnée du texte et de notre définition que l'on peut écrire

\[ m+200-800\se 0\]


\pause

Ce qui s'écrit encore


\[ m-600\se 0\]


\pause

C'est à dire, d'après notre définition

\[ m\se 600\]
\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Enseignements à tirer de cet exemple}

\pause

Nous sommes partis d'une inégalité.

\pause

Nous avons soustrait 800 aux deux membres de l'inégalité.

\pause

Le sens de l'inégalité n'a pas changé.



\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Prolongements}

\pause

Nous venons de voir \gros{SUR UN EXEMPLE}, que soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité ne change pas son sens.

Pouvons-nous généraliser ?


\pause

Plusieurs problèmes se posent :

\pause

\begin{itemize}
\item Comment formuler \gros{algébriquement} (à l'aide d'une formule) notre propriété ?
\item Est-ce nécessaire ? 
\item Comment prouver le résultat dans le cas général ?

\end{itemize}

\end{frame}




\begin{frame}
\frt{Le théorème}

\begin{theorem}
On peut ajouter un même nombre réel aux deux membres d'une inégalité sans en changer le sens, ce qui s'écrit encore :
\begin{itemize}
\item Soit $a$ et $b$ deux réels vérifiant $a\se b$
\item Soit $c$ un réel quelconque
\item Alors on a toujours \[ a \textcolor{blue}{+c}\se b\textcolor{blue}{+c}\]
\end{itemize}

\end{theorem}


\end{frame}

\begin{frame}
\frt{UNE preuve}

\pause

Voici \gros{UNE} preuve possible en utilisant nos données

\pause

\begin{preuve}

\begin{itemize}

\item $a\se b$

\item $a-b\se 0$

\item $a-b\textcolor{blue}{+c-c}\se 0$

\item $a+c -b-c\se 0$

\item $(a+c)-(b+c)\se 0$

\item $a +c\se b+c$
\end{itemize}

\end{preuve}

\pause

Nous sommes partis de $a\se b$

\pause

Nous sommes arrivés à $a+c\se b+c$, et ce, quelque soit le réel $c$.

\pause

 Nous avons donc bien prouvé ce que nous voulions.

\end{frame}



\subsection{À vous d'imaginer...}

\begin{frame}


Quels autres théorèmes pouvez-vous imaginer... et démonter ?
\end{frame}



\end{document}