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\entete{\large \bfseries DS 1}{DS 1}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - T\up{ale}S4}%g,d,b
\begin{document}
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\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries   \begin{center}  Devoir  surveillé   de  mathématiques
    n\textdegree 1 - T\up{ale}S4 - Jeudi 1\up{er} octobre 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}

\exot{ROC }
\emph{Pr\'erequis  :  la  définition  et les  propriétés  relatives  aux
  conjugués et le module d'un nombre complexe $z$ quelconque, not\'e $|z|$, v\'erifie $|z|^2 =z\overline{z}$ o\`u $\overline{z}$ est le conjugu\'e de $z$.}\\
D\'emontrer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$,
~ $| z_{1} \times z_{2}| =| z_{1}| \times | z_{2}|$.
\item[$\bullet~$] pour tout nombre complexe $z$ non nul, 
$\left|\dfrac{1}{z}\right|  = \dfrac{1}{|z|}$.
\end{itemize}


\exot{ROC}
On prend comme pr\'e-requis les r\'esultats suivants :
\begin{itemize}
\item  Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec k entier relatif
\item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec $k$ entier relatif
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, d\'emontrer que\\ arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ \`a $2k\pi$
pr\`es, avec $k$ entier relatif.
\item D\'emontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux \`a deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right)  = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ \`a $2k\pi$ pr\`es, avec $k$ entier relatif.
\end{enumerate}



\exot{}

\begin{enumerate}

\item Résoudre dans $\bbc$ les équations suivantes:
        \begin{enumerate}

        \item $\fr{z+2}{z+2i}=i$

\item $ 2z+i \overline{z} = 5-i$
        \end{enumerate}


\item Résoudre dans $\bbc\times\bbc$ le système suivant: $\left\{
        \begin{array}{rl}
        2iz+z' &=2i\\
        3z-iz' &=1
        \end{array}
        \right.$


\end{enumerate}



\exot{ VRAI ou FAUX }

  Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une d\'emonstration pour la r\'eponse indiqu\'ee. Dans le cas d'une proposition fausse, la d\'emonstration consistera \`a fournir un contre-exemple. Une r\'eponse sans d\'emonstration ne rapporte pas de point.\\
On rappelle que si $z$ est un nombre complexe, $\overline{z}$ d\'esigne le conjugu\'e de $z$ et $|z|$ d\'esigne le module de $z$.

\begin{enumerate}
\item Si $z = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\text{i}$, alors $z^4$ est un nombre r\'eel.
\item Si $z + \overline{z} = 0$, alors $z = 0$.
\item Si $z + \dfrac{1}{z} = 0$, alors $z = \text{i}$ ou $z = - \text{i}$.
\item Si $|z| = 1$ et si $|z + z'| = 1$, alors $z' = 0$.
\end{enumerate}




\exot{Géométrie complexe}


Le plan complexe est rapport\'e  \`a un rep\`ere orthonormal direct \Ouv
. On prendra pour unit\'e graphique 2 cm. Soit $f$ l'application qui \`a
tout point  $M$ du  plan d'affixe  $z$ non nulle  associe le  point $M'$
d'affixe $z'$ telle que 


\[z'= \dfrac{4}{\overline{z}}\]


 o\`u $\overline{z}$ d\'esigne le nombre complexe conjugu\'e de $z$.
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer l'ensemble des points invariants par $f$.
\item D\'eterminer l'ensemble des points dont l'image par l'application $f$ est le point J d'affixe 1.
\item Soit $\alpha$ un nombre complexe non nul. D\'emontrer que le point $A$ d'affixe $\alpha$ admet un ant\'ec\'edent unique par $f$, dont on pr\'ecisera l'affixe.
\item \begin{enumerate}
\item Donner une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{O}M},~\vect{\text{O}M'}\right)$.	Interpr\'eter g\'eom\'etriquement ce r\'esultat.
\item  Exprimer $\left |z'\right|$ en fonction de $\left |z\right|$. Si $r$ d\'esigne un r\'eel strictement positif, en d\'eduire l'image par $f$ du cercle de centre O et de rayon $r$.
\item  Choisir un point $P$ du plan complexe non situ\'e sur les axes de coordonn\'ees et tel que O$P$ = 3, et construire g\'eom\'etriquement son image $P'$ par $f$.
\end{enumerate}
\item On consid\`ere le cercle $\mathcal{C}_{1}$, de centre J et de rayon 1. Montrer que l'image par $f$ de tout point de $\mathcal{C}_{1}$ ,distinct de O, appartient \`a la droite $D$ d'\'equation $x = 2$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
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