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\entete{\large \bfseries DS 3}{DS 3}{Lycée Jean \textsc{Perrin} - T\up{ale}S4}%g,d,b

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.9white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries   \begin{center}  Devoir  surveillé   de  mathématiques
    n\textdegree 3 - T\up{ale}S4 - Mercredi 18 novembre 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\begin{multicols}{2}


\exot{(exercice 4 du poly corrigé en cours)}


On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
$f(x)=\fr{x^3-4}{x^2+1}$ et on note $\CR$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormé d'unité 1cm. \begin{enumerate} \item On pose
$g(x)=x^3+3x+8$. 
\begin{enumerate} 
\item \'Etudiez le sens de variation de $g$
et montrez que l'équation $g(x)=0$ admet sur $\bbr$ une unique
solution $\al$ dont vous donnerez un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$. 
%\jok{emploi classique du théorème de la bijection.}
\item Précisez le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate} 
\item \'Etudiez les limites de $f$ en $-\infty$ et
$+\infty$. 
\item Calculez $f'(x)$ et dressez le tableau de
variation de $f$. 
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate} 
\item Montrez qu'il existe quatre réels $a,\ b,\ c$,
et $d$ tels que
$$f(x)=ax+b+\fr{cx+d}{x^2+1}$$
\item Déduisez en que $(\CR)$ admet une asymptote oblique $\Delta$
et étudiez la position de $(\CR)$ par rapport à $\Delta$.

Vérifiez en particulier que $(\CR)$ rencontre $\Delta$ en un
unique point $\Delta$. 
\end{enumerate} 
\item Déterminez les abscisses des
point $B$ et $B'$ de $(\CR)$ admettant une tangente parallèle à
$\Delta$. 
\item  Vérifiez que $f(\al)=3\al/2$.
Déduisez en une valeur approchée de $f(\al)$. 
  \end{enumerate}



\exot{(exercice 5 du poly)}

On désigne par $g$ la fonction définie sur $] -1~;~ 1[$ par $g(0) = 0$ et $g'(x) =	\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$	où $g'$ désigne la
dérivée de la fonction $g$ sur $] -1~;~ 1[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.\\
On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $] -\pi~;~ 0[$ par \\$h(x) = g (\cos x)$.
\begin{enumerate}
\item On  rappelle que $\cos^2x+\sin^2x=1$ pour tout  réel $x$. Exprimez
  alors $1-\cos^2x$ en fonction de $\sin^2x$.
\item  Démontrer que pour tout $x$ de $] -\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$, où $h'$ désigne la dérivée de $h$.
\item  Calculer $h\left(- \dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$.
\end{enumerate}


\exot{(extrait de l'exercice 16 du poly dont un corrigé a été distribué)}


 On munit le plan d'un repère orthonormé.

 Soit $f$ la fonction définie sur $[0,1]$ par

$$f(x)=x-2\sqrt{x}+1$$

et $(\CR)$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé.

\begin{enumerate} \item \'Etudiez les variations de $f$. 

\item Factorisez $f(x)$.


\item Démontrez que pour tout $x\in[0,1]$ $(f\circ f)(x)=x$

\item Construisez la courbe $(\CR)$. 

\item Est-ce que $(\CR)$ est un arc de cercle. Comme on dit au Bac, \emph{dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative , même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
\end{enumerate}


% \exot{(exercice 26 du poly)}

% On considère une fonction $f$ définie sur un intervalle I et un nombre réel $a$ appartenant à I.

% \begin{enumerate} \item Rappeler la définition de « $f$ est dérivable en $a$ ».

% \item Dans chacun des cas suivants, indiquer si les deux propriétés
% citées peuvent être vérifiées simultanément ou non. Si la réponse est « oui », donner un exemple (un graphique sera accepté) ; dans le
% cas contraire, justifier la réponse.

% \begin{itemize} \item $f$ est continue en $a$ et $f$ est dérivable
% en $a$ ;
% \item $f$ est continue en $a$ et $f$ n'est pas dérivable en $a$ ;
% \item $f$ n'est pas continue en $a$ et $f$ est dérivable en $a$ ;
% \item $f$ n'est pas continue en $a$ et $f$ n'est pas dérivable en $a$.

% \end{itemize}

% \end{enumerate}


% \end{enumerate}


\exot{}

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t$ de l'intervalle $[-7;5]$ par \[f(t)=1-3t^2\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminez les  valeurs  exactes  sous la  forme  la plus  simple
      possible des images des nombres suivants~:
      \[
        -12~;~\frac{3}{\sqrt{2}}~;~\sqrt{7}~;~\sqrt{(-7)^2}~;~7\times 10^{-15}
      \]

%\item   Calculez  l'image   de  $(u+3)$   sous  forme   développée  avec
    %  $u\in[-10;2]$.

\item Factorisez $f(t)$.

\item Déterminez les éventuels antécédents de $7$, $-7$, $0$ et $1$.



\item Résolvez sur $[-7;5]$ l'équation $f(z)=0$.

\item Résolvez sur $[-7;5]$ l'inéquation $f(T)>1$.

\end{enumerate}


% \exot{}



% \begin{enumerate}
% \item  A $ =  \dfrac{2}{13} - \dfrac{5}{13} :  \dfrac{10}{16}$.
 
% Calculer A en donnant le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
 
% \item B $ = \dfrac{5 \times 10^{-7} \times 39 \times 10^4 }{1,3 \times 10^{-5}}$.

% 	\begin{enumerate}
% 		\item  Calculer B sous forme décimale. 
% 		\item  Donner le résultat sous la forme d'une écriture scientifique.
% 	\end{enumerate}
% \item C $ = 5\sqrt{12}+ \sqrt{27} - 10\sqrt{3}$.
 
% Écrire C sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers.
% \item 
% On considère l'expression $\text{D} =  (2x + 3)^2 + (x - 5)(2x + 3).$

% \begin{enumerate}
% \item  Développer et réduire l'expression D. 
% \item Factoriser l'expression D. 
% \item Résoudre l'équation $\text{D} = 0$. 
% \end{enumerate}
% \end{enumerate}
 



\end{multicols}
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%%% TeX-master: t
%%% End: 
