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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=bleu_ciel,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
\begin{center}
{\LARGE\bfseries 
 T\textsuperscript{ale}STI GE - Mathématiques - DS n°3}

\smallskip

Mercredi 20 décembre 2006
\end{center}
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}





\exot{Lecture de courbes}

À partir des trois courbes suivantes, donnez les tableaux de variation complets et les équations des
éventuelles asymptotes.




%\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}

\begin{center}
\includegraphics{dslim.1}\caption{Courbe 1}
\end{center}

%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{center}
\includegraphics{dslim.2}\caption{Courbe 2}
\end{center}
%\end{minipage}

\begin{center}
\includegraphics{dslim.3}\caption{Courbe 3}
\end{center}

\break


\exot{Bac STI GE 1996}



\begin{center}
  \textbf{Partie A}
\end{center}

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $]1\pv +\infty[$. On donne ci-dessous son tableau de variation.


\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.0}
\end{center}


De plus on admet que, pour tout $x$  élément de $]1\pv +\infty[$, $f(x)$ peut s'écrire sous la forme
$f(x)=ax+\fr{b}{x-c}$, où $a$,  $b$ et $c$ sont trois  nombres réels (avec $a$ et $b$  non nuls) que
l'on se propose de déterminer à partir des indications fournies par le tableau de variation de $f$. 

On  appelle $\CR$  la représentation  graphique de  $f$ dans  le plan  muni d'un  repère orthonormal
d'unité graphique 2 cm. 

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Utiliser  le tableau de  variation pour justifier  l'existence d'une droite  $\DR$ asymptote
    $\CR$. Donner une équation de $\DR$. 
  \item En déduire la valeur de $c$. 
  \end{enumerate}

\smallskip
Pour les questions suivantes, on prendra $c=1$. On a donc \[f(x)=ax+\fr{b}{x-1}\]
\smallskip

\item Le  tableau de  variation nous  fournit les coordonnées  d'un point  particulier de  $\CR$. En
  déduire une relation entre les nombres réels $a$ et $b$. 

\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ (on rappelle que $a$ et $b$ sont des constantes). 

Utiliser le tableau de variation pour trouver une deuxième relation entre $a$ et $b$. 

\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ à partir des deux questions précédentes.

\end{enumerate}


\begin{center}
  \textbf{Partie B}
\end{center}


On admet pour la  partie \textbf{B}  que la fonction $f$  de la partie \textbf{A} est
définie par \[f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\DR'$ d'équation $y=\dfrac{x}{2}$ est asymptote à $\CR$.
\item  \begin{enumerate}
  \item Résoudre, par le calcul, sur l'intervalle $]1\pv +\infty[$, l'équatio $f(x)=3$.
  \item Résoudre sur l'intervalle $]1\pv +\infty[$ l'inéquation $f(x)>3$ (on précisera la méthode utilisée).
  \end{enumerate}
\item Quelle est la dérivée de la fonction $f$~? 

Écrire une équation de la droite $\TR_1$, tangente à $\CR$ au point M d'abscisse 2, et  une équation de la droite $\TR_2$, tangente à $\CR$ au point M d'abscisse 5.

\item Construire les droites $\DR$, $\DR'$, $\TR_1$, $\TR_2$ et la courbe $\CR$. 

\item Calculez les coordonnées du point P d'intersection de $\TR_1$ et $\TR_2$. 



\end{enumerate}




\exot{Primitives}

Déterminez des primitives des fonctions définies par :

\begin{nliste}{3}
\item $ f(x)=\dfrac{x^3-3x+1}{2x^3} $
\item $g(x)=\sin \left(3x+\dfrac{\pi}{2}\right)$
\item $h(x)=2(5x-2)^3$

\end{nliste}


% \begin{center}
%   \textbf{Partie C}
% \end{center}

% \begin{enumerate}
% \item Déterminer deux primitives F et G de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1\pv +\infty[$. 
% \item Calculer $F(5)-F(2)$ et $G(5)-G(2)$.
% \end{enumerate}





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%%% TeX-master: t
%%% End: 
