\modenormal

\chapterimage{clouseau}
\chaptertext{}


\chapter{EXPONENTIELLE}


\section{Le programme}


\begin{itemize}
\item ROC: savoir démontrer l'unicité d'une fonction dérivable sur $\bbr$ égale à sa
  dérivée et  qui vaut 1 en  0. \textit{La fonction exponentielle  est présentée
    comme  l'unique  fonction $f$  dérivable  dur  $\bbr$  telle que  $f'=f$  et
    $f(0)=1$. L'existence est admise.}
\item ROC: savoir démontrer que $
  \displaystyle\lim_{x\to  +\infty}\exp(x)=+\infty$ et  $\displaystyle\lim_{x\to
    -\infty}\exp(x)=0$>
  \textit{On étudie des exemples de fonctions de la forme $x\mapsto\exp(ux)$}
\item Savoir utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.
\item  Connaître le  sens  de variation  et la  représentation  graphique de  la
  fonction exponentielle. \textit{On  fait le lien etre le nombre  dérivé en 0 et
    la limite en 0 de $\frac{\exp(x)-1}{x}$}
  \item      Connaître      et     exploiter      $      \displaystyle\lim_{x\to
      +\infty}\frac{\exp(x)}{x}=+\infty$ et $ \displaystyle\lim_{x\to  -\infty}x\exp(x)=0$.
\end{itemize}












\section{Souvenirs de 1\up{ère}}


\subsection{La touchante}

\pro   Le   problème  de   la   tangente   intriguait  les   mathématiciens   du
XVII\eme.  Fermat avait  résolu le  problème de  la <<~touchante~>>  sur un  cas
particulier, de manière algébrique et au prix de pas mal de 
ce  qui nous  apparaît comme  des tours  de passe  passe (je  divise par  $h$ et
ensuite  je suppose  que $h=0$  mais ce  genre de  magouilles hante  les traités
actuels de  mathématiques financières...). Leibniz  a eu le  mérite d'introduire
des notations et des formulations claires. 
 

\tsx Mais qu'est-ce qu'une tangente ? On l'avait définie l'année dernière à l'aide des dérivées. 

\pro Une tangente, ou une << touchante >> comme disait Fermat, était définie au XVII\eme comme une <<~droite limite~>> qui ne <<~toucherait~>> la courbe localement qu'en un seul point\footnote{Aujourd'hui, la notion de  tangente n'est plus uniquement liée à une droite, mais se définit à partir d'une limite}. 

\tsx Je me souviens : on fait tourner des droites autour d'un point 



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.21}
\end{center}


\pro Voilà, mais il faut être un peu plus précis pour comprendre l'intuition de Leibniz (et d'autres)




\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.22}
\end{center}

La pente de la droite $(AM_h)$ vaut 

 $$p_h=\fr{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{M_h}-y_A}{x_{M_h}-x_A}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

L'idée est alors que plus $h$ sera petit, plus la droite $(AM_h)$ se rapprochera de la tangente, et plus $p_h$ se rapprochera de la pente de la tangente. 

Pour nous, grands mathématiciens du XXI\eme siècle, il suffit donc de faire tendre $h$ vers 0 et de prendre la limite de $p_h$, si elle existe.

$$p=\lim_{h\to 0}\fr{f(a+h)-f(a)}{h}$$

% \subsection{Avec XCAS}

% Étudions sur un exemple ce que donne cette sécante un peu spéciale

% \begin{lstlisting}
%   f:=x->0.5*x^2:; // on étudie sur un exemple
%   C:=plotfunc(f(x),x=-2.5..2.5,couleur=vert) // on trace la courbe
%   P:=point(1,f(1),affichage=bleu);  // on considère un point quelconque de la courbe
%   u:=element((-10) .. 10,1.0) // on considère un réel quelconque entre -10 et 10 
%   D:=droite(y-f(1)=u*(x-1),affichage=bleu)  // quelle est cette droite ?
%   T:=couleur(tangente(C,P),rouge+dash_line)  // XCAS sait tracer la tangente
%   size(inter(D,C)) // en combien de points D coupe-t-elle C ?
% \end{lstlisting}



\subsection{Qu'est-ce que la dérivée d'une fonction en un point ?} 

\pro Les deux problèmes que nous venons de voir, ceux de la
vitesse instantanée et de la tangente, vous ont convaincu,
j'espère, de l'importance fondamentale en mathématiques et en
physique de la limite du taux d'accroissement d'une fonction. Il
fallait absolument lui donner un  nom et rendre la notion rigoureuse car
nous avions  été bloqués au moment d'étudier  les dérivées intuitivement
dans le chapitre 2.



  \begin{definition}

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de
$\bbr$, et soit $a$ un élément $I$.

On dit que \textbf{\mg$f$ est dérivable en $a$} lorsque le taux
d'accroissement $\ds\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie
quand $x$ tend vers $a$. Cette limite est alors appelée
\textbf{\mg dérivée de $f$ en $a$}, et est notée $f'(a)$ :
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$
ou encore $$f'(a)=\ds\lim_{h\to 0}\fr{f(a+h)-f(a)}{h}$$

\end{definition}
  

Ainsi, la vitesse instantanée $V(t)$ n'est autre que $x'(t)$, la
dérivée en $t$ de la fonction position $x$. Et la pente de la
tangente à la courbe d'équation $y=f(x)$ au point d'abscisse $a$
est égale à $f'(a)$, la dérivée de $f$ en $a$.



\begin{idee}{ D'où vient la notation $\fr{\text{d}y}{\text{d}x}$~?}

En physique, vous employez plus volontiers la notation $\fr{\text{d}y}{\text{d}x}$ alors qu'en mathématiques, nous privilégions la notation $y'(x)$.

D'une part, l'une  est due à Leibniz, l'autre  à Lagrange. D'autre part,
la première  est liée à la figure  précédente : la pente  de la tangente
ressemble  à $\fr{\Delta  y}{\Delta x}$  quand ces  grandeurs deviennent
infiniment petites. Devenu infiniment petit, le $\Delta$ devient d et la
pente  devient   donc  d$y$/d$x$.   C'est  une  vision   intuitive,  qui
<<~marche~>>  pour  les  fonctions  de  $\bbr$ dans  $\bbr$,  mais  trop
restrictive pour  le mathématicien qui  est amené à travailler  avec des
fonctions  vectorielles   dans  des  espaces   de  dimension  quelconque
(!). Pour le  mathématicien, d$y$ est alors une  fonction de $\bbr$ dans
l'ensemble  des  fonctions  linéaires   de  l'ensemble  de  départ  dans
l'ensemble d'arrivée, et le d$y$  du physicien sera plutôt d$y_x(h)$, if
you see what I mean...


 
\end{idee}




\subsection{Comment calculer la dérivée d'une fonction en a~?}

\tsx Ben vous venez de le dire, avec un calcul de limite.

\pro Ah bé dame, c'est sûr. Y a plus qu'à s'y mettre. Considérez la fonction $\fonc{f}{\bbr}{[0,+\infty[}{x^2}$

Calculez $f'(a)$ pour tout réel $a$.

\tsx Et bien $$p_h=\frac{(a+h)^2-a^2}{h}$$
En développant $(a+h)^2$ , on a
$$p_h=\fr{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=2a+h$$
et on en déduit que la dérivée de $f$ existe pour tout réel $a$ et vaut
$$f'(a)=\lim_{h\to0}p_h=2a$$

Incroyable ! On retrouve la formule.

\pro On peut même s'occuper de la fonction inverse, de la dérivée d'un produit, d'un quotient, d'une composée : je vous laisse vous en occuper à titre d'exercice... 






\subsection{L'idée fondamentale du calcul différentiel : l'approximation locale des fonctions par des fonctions affines}

\pro \`A l'aide du dessin ci-dessous, essayons d'estimer l'erreur faite en remplaçant $\Gamma$ par $\mathscr{T}$ localement au voisinage de $a$


\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.24}
\end{center}



Pour un $x$ donné, l'erreur vaut

$$e(x)=f(x)-\big(f(a)+(x-a)f'(a)\big)$$
puisque vous connaissez une équation de la tangente $\mathscr{T}$. 

Maintenant, abordons une notion que Leibniz n'avait pas su rigoureusement traiter. On <<~sent~>> que plus $x$ va se rapprocher de $a$, plus $e(x)$ sera <<~petit~>>, mais comment définir ce terme ? Vous vous doutez qu'une fourmi est <<~petite~>> par rapport au système solaire mais <<~grande~>> par rapport à un quark, donc la notion de $e(x)$ devient petit ne peut nous satisfaire. Alors observons.

En ré-écrivant la relation, on obtient  $$f(x)=\underbrace{f(a)}_{\text{constante}}+\underbrace{(x-a)\times f'(a)}_{\text{de l'ordre de }x-a}+e(x)$$

Il faudrait donc connaître l'ordre de $e(x)$ par rapport à $(x-a)$. Pour cela on étudie leur rapport

$$\Lim{a}\fr{e(x)}{(x-a)}=\Lim{a}\pa{\fr{f(x)-f(a)}{x-a}-f'(a)}=0$$

d'après la définition de $f'(a)$ puisqu'on suppose que  $f$ est dérivable en $a$. Donc l'erreur $e(x)$ est <<~petite~>> ou <<~négligeable~>> devant $x-a$. On peut alors écrire 


  \begin{propriete}{\bf Approximation locale d'une courbe par sa tangente}\label{approx}


 Au voisinage de d'un nombre $a$ où $f$ est dérivable, $$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)e(x)\quad
 \text{avec}  \ \Lim{a}e(x)=0$$ 


\end{propriete}
  

 On pourra retenir une formulation mnémotechnique mais peu rigoureuse  $$f(x)\ese{a}f(a)+(x-a)f'(a)$$


\sm

On peut donc localement approcher une fonction dérivable par une fonction affine, ce qui peut pas mal nous simplifier la vie pour étudier son comportement ou la modéliser.

\sm

Considérons par exemple la fonction $\fonc{f}{[-1,+\infty[}{\bbr^+}{\sqrt{x+1}}$ et étudions la au voisinage de 0. On obtient facilement $f(0)=1$ et $f'(0)=1/2$, donc

$$\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}+xe(x)\quad \text{avec}  \ \Lim{0}e(x)=0$$

Vérifions par le calcul

$$
\begin{array}{rcl}
\sqrt{1+1/1000}&\simeq&1,000499875\\
1+{1}/{2000}&=&1,0005
\end{array}$$

Donc l'erreur commise est de l'ordre de $1,2510\times 10^{-7}$, c'est à dire vraiment négligeable devant $x$ qui vaut $10^{-3}$. 

\sm

Cette propriété inspira Euler qui s'en  servi pour obtenir un tracé approximatif
de  solutions d'équations  différentielles comme  nous  allons le  voir tout  de
suite.



\section{À la recherche d'une fonction proportionnelle à sa dérivée}


\subsection{Enquête}



On a retrouvé le corps de la pauvre Laura \textsc{Palmer} à 6 heures du matin. Le médecin a
relevé une température du corps de  \SI{30}{\celsius}. Quinze minutes plus tard,
la température était tombée à \SI{29,5}{\celsius}.
La température extérieure est restée stable toute la nuit et égale à \SI{0}{\celsius}.

À quelle heure a eu lieu le crime?

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{laura}
\end{center}
%\end{figure}

Une loi  physique a  été établie  par \textsc{Newton}, encore  lui, au  sujet du
refroidissement des  corps inertes,  qu'il s'agisse d'un  morceau de  fromage ou
d'une jeune américaine assassinée:


\begin{quote}
  {\itshape
La  vitesse  de refroidissement  d'un  corps  inerte  est proportionnelle  à  la
différence de température entre ce corps et le milieu ambiant 
    }
  \end{quote}


Si on appelle $\theta(t)$ la température du corps à l'instant $t$, la vitesse de
refroidissement s'exprime  donc comme  la limite  du taux  d'accroissement entre
deux instants \og très proches\fg{}:

$$v_f(t)=\displaystyle\lim_{dt\to 0}\frac{\theta(t+dt)-\theta(t)}{dt}=\theta'(t)$$

Or cette vitesse est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante, ici
0. Il existe donc une constante de proportionnalité $k$ telle que:

$$\theta'(t)=k\cdot\theta(t)$$


On  dit que  $\theta$  est une  solution  de \textit{l'équation  différentielle}
$f'=k\cdot f$, une équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette
fonction à sa dérivée.



\textit{L'équation différentielle} $f'=k\,f$ se retrouve dans de
nombreux problèmes : désintégration des noyaux des atomes d'un
corps radioactif, datation au carbone 14, évolution d'une
population où la croissance est proportionnelle au nombre
d'habitants, etc. Le problème est de trouver une fonction la
satisfaisant.

Par exemple, certains phénomènes en mécanique conduisent à étudier
l'équation différentielle $f''=-f$. Nous connaissons au moins deux
fonctions la satisfaisant : cosinus et sinus.

Le problème avec $f'=kf$, c'est que nous ne connaissons aucune
fonction solution.




\subsection{Construction approchée du graphe d'une solution par la
méthode d'Euler}

Nous allons simplifier le problème: soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=f(x)$. 


\begin{enumerate}

\item Soit $h$ un réel voisin de zéro. Montrez que, pour tout réel
$a$, l'approximation affine donnée par le calcul des dérivées
s'écrit
$$f(a+h)\simeq (1+h)\times f(a)$$
\item On prend $h=0,001$. On note $(a_n)$ la suite définie par
$a_0=0$ et $a_{n+1}=a_n+h$. Donnez une approximation de
$f(a_{n+1})$ en fonction de $f(a_n)$.

Déduisez-en que la suite des approximations de $f(a_n)$ est une
suite géométrique que vous caractériserez.

\item Faîtes de même avec $h=-0,001$.

% \item Imaginez alors, à l'aide d'un tableur, une construction
% point par point de la représentation graphique d'une approximation
% de $f$ sur l'intervalle $[-2,2]$.

\item Montrez que $f(1)\simeq \pa{1+\fr{1}{n}}^n$ et calculez la
valeur approchée correspondante de $f(1)$ pour $n=10\,000$.


\item On en déduit que l'algorithme suivant devrait nous permettre de tracer une
  représentation graphique de notre fonction mystérieuse:

   \begin{algo}
          \ALGO{d'Euler pour tracer la solution de f'=f avec f(0)=1}
          \VAR
          \DECLVAR{x, y, h}{réels}
          \BEGIN
          \STATE{x \recoit{}0}
          \STATE{y \recoit{} 1}
          \STATE{h \recoit{} 0,000001}
          \WHILE{x < 2}
          \STATE{x \recoit{} x + h}
          \STATE{y \recoit{} .....}
          \STATE{Placer le point (x,y)}
          \ENDWHILE
          \END
        \end{algo}
        Complétez la ligne incomplète.

\item Que se passe-t-il sii $h=0$? $h=2$?

\item Expliquez pourquoi, avec $h\in]0,2]$ il est certain que
  l'algorithme terminera.
\item Quelle partie de la  courbe obtient-on? Comment faire pour avoir
  la partie de la courbe correspondant aux abscisses entre $-2$ et 0?
\end{enumerate}

Avec   Python,  on   peut   tracer  une   courbe   avec  la   fonction
\mintinline{python}{plot}  en  donnat  comme  argument  la  liste  des
abscisses et la liste des ordonnées des points. Cela donne ici:

\begin{pythoncode}
def euler(h, x0, y0, xmax):
    x, y = x0, y0
    X, Y = [], []
    while x < xmax:
        x += h
        y *= (1 + h)
        X.append(x)
        Y.append(y)
    plt.plot(X,Y, label=str(h))
\end{pythoncode}


On peut observer d'abord l'influence de $h$:

\begin{pythoncode}
for p in range(1,20):
    euler(0.1*p,0,1,2)

euler(1e-5,0,1,2)
plt.legend()
plt.show()
\end{pythoncode}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{../PYTHON/Euler1}
\end{center}
%\end{figure}

En modifiant un peu les conditions on peut avoir un tracé sur $[-3,2]$ par exemple:


\begin{pythoncode}
def euler(h, x0, y0, xmax):
    x, y = x0, y0
    X, Y = [], []
    while x < xmax if h > 0 else x > xmax :
        x += h
        y *= (1 + h)
        X.append(x)
        Y.append(y)
    plt.plot(X,Y, label=str(h))

euler(1e-5,0,1,2)
euler(-1e-5,0,1,-3)
\end{pythoncode}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=8cm]{../PYTHON/Euler2}
\end{center}
%\end{figure}



\subsubsection*{Avec la Casio...}

Il y a au moins deux  possibilités pour illustrer notre construction sur l'écran
d'une Casio:

\begin{description}
\item[En traitant une suite comme une fonction habituelle]
On  veut  par   exemple  tracer  les  201  premiers  termes   de  la  suite  des
$f(a_n)=(1+h)^n$  pour $h=0.01$. Le  maximum  en  ordonnée  sera
$f(a_{200})=1,01^{200}\simeq 7,3$.

On      va     sur      le     menu      \menu{GRAPH}{black}.     On      rentre
\function{Yequal}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{dot}\key[scale=1.5]{zero}\key[scale=1.5]{1}\key[scale=1.5]{power}\key[scale=1.9]{XthetaT}\key[scale=1.5]{EXE}

On tape ensuite sur \function{DRAW}.

On peut régler la fenêtre avec \key[scale=1.5]{SHIFT}\function{VWIN-b} puis
\begin{itemize}
\item \texttt{Xmin : 0}
\item \texttt{Xmax : 200}
\item \texttt{Ymin : 0}
\item \texttt{Ymax : 8}
\end{itemize}
%$
\item[En utilisant le mode Récursion] On va sur \menu{RECUR}{black}

 
On                                                                          tape
\function{an1}\texttt{=}
\key[scale=1.5]{1}
\key[scale=1.5]{dot}
\key[scale=1.5]{zero}
\key[scale=1.5]{1}
\texttt{=}
\function{an}


On va ensuite sur \function{SET-b} et on règle:

\begin{itemize}
\item \texttt{Start : 0}
\item \texttt{End : 200}
  \item \texttt{ao : 1}
\end{itemize}

Enfin on sélectionne \function{TABL} puis \function{GPLT}.

Attention!  Le niveau  de récursion  est limité  sur les  Casio. Si  vous prenez
$h=1/1000$ par exemple, vous obtiendrez une erreur.

  
\end{description}



\subsection{Analyse~: étude des propriétés mathématiques d'une
solution}


Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$
et, pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.

\begin{enumerate}

\item Montrez que $f'(0)=k$.

\item Soit $y$ un réel fixé et $g$ la fonction définie par
$$g_y(x)=f(x+y)f(-x)$$

\begin{enumerate}

\item Montrez que $g_y$ est dérivable sur $\bbr$ et calculez
$g'_y(x)$.

\item Calculez $g_y(0)$ et déduisez-en que pour tous $x$ et $y$
réels,

$$f(x+y)\,f(-x)=f(y)\qquad \mg{(1)}$$

\end{enumerate}

\item Montrez alors successivement que:

\begin{enumerate}

\item pour tout réel $x$, $f(x)f(-x)=1$

\item $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$

\item pour tous réels $x$ et $y$


$$f(x+y)=f(x)\,f(y)$$

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{Unicité de la fonction solution}

Peut-on trouver une autre  fonction, $\varphi$,  distincte de $f$,
et vérifiant les mêmes propriétés que $f$, à savoir~: $\varphi$  est
une fonction dérivable sur $\bbr$,  vérifiant $\varphi(0)=1$ et, pour
tout $x$, $\varphi'(x)=k\,\varphi(x)$, avec $k\neq 0$~?

\medskip

Comme $f$ ne s'annule pas sur $\bbr$, on peut définir la
fonction $\psi=\varphi/f$.

Vérifiez que $\psi$ est dérivable sur $\bbr$, calculez sa dérivée.
Que peut-on en déduire pour $\psi$~? Montrez alors que $f=\varphi$.


\subsection{Synthèse}

Nous avons cherché des solutions au problème

\begin{center}

$f$ une fonction dérivable sur $\bbr$ vérifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=k\,f(x)$, avec $k\neq 0$.


\end{center}


Nous avons montré que, \textit{si une telle fonction existe}, alors elle est
unique et elle  vérifie nécessairement la relation


$$f(x+y)=f(x)\,f(y) \qquad (2)$$

Il reste à vérifier que, réciproquement, une fonction dérivable,
non nulle, vérifiant la relation (2)  est nécessairement telle que
$f(0)=1$ et vérifie pour tout réel $x$ $f'(x)=kf(x)$, avec $k$ un
réel non nul.

\bigskip

Cette vérification n'est pas anodine et conclut notre raisonnement
d'\textit{analyse-synthèse}.
%Par exemple, on cherche un plombier
%pouvant se glisser dans les canalisations d'une maison pour la
%réparer.
%
%Analyse : nécessairement, cet homme devra mesurer 1 cm de haut,
%avoir des branchies pour respirer sous l'eau, être nyctalope.
%Synthèse :


\begin{enumerate}

\item Montrez que $f$ ne s'annule pas et que $f$ est à valeurs
strictement positives.

\item Montrez que, comme $f$ n'est pas la fonction nulle, alors
$f(0)=1$ en utilisant la relation (2).

\item Soit $a$ un réel fixé. On définit la fonction $\varphi~:~x\mapsto
f(x+a)$ et la fonction $\psi~:~x\mapsto f(x)\times f(a)$.

Montrez que $f'(x+a)=f(a)\times f'(x)$, puis que, pour tout réel
$a$, $f'(a)=k\,f(a)$, où $k$ est un réel que vous déterminerez.

\end{enumerate}



\section{Les résultats essentiels du cours}


%$

\subsection{Théorème et définition}

Grâce à nos recherches précédentes,  nous pouvons maintenant énoncer le théorème
suivant:



  \begin{theoreme}[existence et unicité de la fonction exponentielle]
     Il existe une unique fonction $f$,
dérivable sur $\bbr$, telle que $f'=f$ et $f(0)=1$. \\
On la nomme
\textbf{fonction exponentielle} et on la note \textbf{exp}.\\
L'exponentielle est à valeurs strictement positives et vérifie la
relation
\[\exp(x+y)=\exp(x)\times\exp(y)\]
    \end{theoreme}



\paragraph*{Démonstration?}
    
Pour le Bac, il faut être  uniquement capable de démontrer l'unicité d'une telle
fonction. Comment faire?

On peut raisonner par l'absurde et supposer l'existence de deux fonctions $f$ et
$\varphi$ vérifiant  les mêmes propriétés puis  introduire $\psi=\varphi/f$ mais
pour cela il faudrait être sûr que $f$ ne s'annule jamais et recommencer tout ce
quenous avons fait dans la section précédente.


%$

\paragraph*{Résultat préliminaire}

Bon, en  fait, pour le  Bac, nous allons utiliser  un nouveau théorème  que nous
admettrons et qui sera utile aujourd'hui ettout au long de l'année:


\begin{theoreme}[Dérivée d'une composée de fonctions]

  Si $g$ est  dérivable en $x$ et  $f$ dérivable en $g(x$  alors la fonction
  composée $f\circ g$ est dérivable en $x$ et:

  $$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))\times g'(x)$$


  On dérive comme si $g(x)$ était une variable et on multiplie par la dérivée de \og l'intérieur\fg{}
\end{theoreme}


Par exemple,  prenons la fonction  $h:x\mapsto f(ax+b)$. Si on  note $g:x\mapsto
ax+b$ alors $h=f\circ g$.


Or $g'(x)=a$ donc $h'(x)=f'(ax+b)\times a$




\begin{theoreme}[Dérivée de $x\mapsto f(ax+b)$]

  Si $f$ est dérivable sur un intervalle $\bbr$  alors la fonction
  composée $h:x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $\bbr$ et:

  $$h'(x)=a\times f'(ax+b)$$
\end{theoreme}

Ainsi la dérivée de $f(-x)$ est $-f'(-x)$.


\paragraph*{La démonstration pour le Bac}

On raisonne par l'absurde et on suppose l'existence de deux fonctions $f$ et $g$
dérivables sur $\bbr$ vérifiant $f=f'$, $g=g'$, $f(0)=1$ et $g(0)=1$.

Introduisons  la  fonction  $\psi$  définie sur  $\bbr$  par  $\psi(x)=f(x)\cdot
g(-x)$.

Calculez la dérivée de $\psi$. Concluez.






\subsection{Conséquences immédiates}

Vous pouvez démontrer aisément que~:


  \begin{proprietes}[]

\begin{itemize}

\item $\exp(0)=1$

\item $\exp$ est dérivable sur $\bbr$ et $\exp'(x)=\exp(x)$

\item $\exp(u)=u'\cdot \exp(u)$

\item Pour tout réel $x$, $\exp(x)>0$

\item La fonction exp est strictement croissante sur $\bbr$



\item $\exp(-b)=\fr{1}{\exp(b)}$

\item $\exp(a-b)=\fr{\exp(a)}{\exp(b)}$

\item $\exp(ka)=\cro{\exp(a)}^k$, avec $k\in\bbz$

\item
$\exp\pa{\fr{a}{n}}=\sqrt[n]{\exp(a)}$=$\cro{\exp(a)}^{\frac{1}{n}}$,
avec $n\in\bbn^*$

\end{itemize}
\end{proprietes}
  
\subsection{La notation e\up{x}}

On pose $\mg{e=\exp(1)}$. Nous avons obtenu grâce à la méthode
d'Euler une approximation de $e$, car $e=\lin\pa{1+\fr{1}{n}}^n$

\[e\simeq 2,7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240766303535475945713821...\]%78525166427$$

Nous avons obtenu précédemment que pour tout entier $k$,
\[\exp(k)=\exp(k\times 1)=\pa{\exp(1)}^k=e^k\]


  \begin{propriete}[notation]
    Nous noterons  alors, \textbf{par convention}, que

$$\exp(x)=e^x$$


    \end{propriete}
  


Vous vérifierez que les propriétés vues précédemment sont
conformes à l'usage de la notation puissance.

\subsection{Propriétés analytiques de l'exponentielle}

\begin{itemize}

\item Prouvez que 

    \begin{propriete}[ROC]
      $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$
      \end{propriete}
    

 en étudiant la
fonction $\varphi~:~x\mapsto e^x-x$

\item Déduisez-en que 

  \begin{propriete}[ROC]
    $\Lim{-\infty}e^x=0$
  \end{propriete}


\item Comparez $e^{x/2}$ et $x/2$. Déduisez-en que


  \begin{propriete}
    $\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$
  \end{propriete}


\item Puis que

  \begin{propriete}
    $\Lim{-\infty}x{e^x}=0$
  \end{propriete}


  
  
\end{itemize}





\vfill

.

\pagebreak




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


%\begin{listeexercices}








\begin{exerciceb}[]
 Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes :

\begin{enumerate} \item exp est une fonction dérivable sur $\bbr$ ;

\item sa fonction dérivée, notée exp$'$, est telle que, pour tout nombre
réel $x$, $\exp'(x)$ =  $\exp(x)$ ;

\item $\exp(0) = 1$.

\end{enumerate}

En n'utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que

\begin{itemize} \item Pour tout nombre réel $x,~ \exp(x) \times
\exp(- x) = 1$ ;

\item pour tout nombre réel $a$ et tout nombre réel $b,~ \exp(a +
b) =  \exp(a) \times \exp(b)$.

\end{itemize}
\end{exerciceb}





\begin{exercicea}[]



Reconnaître  parmi  les  figures  ci-dessous  les  courbes  représentatives  des
fonctions suivantes~:
\begin{multicols}{6}
\begin{enumerate}
\item $x\mapsto \E^{-x}$
\item $x\mapsto \E^{x}$
\item $x\mapsto \E^{x+1}$
\item $x\mapsto \E^{x}+1$
\item $x\mapsto -\E^{x}$
\item $x\mapsto -\E^{x-1}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{../PYTHON/Expo1}
\end{center}

\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]




Développez et réduisez au maximum les expressions suivantes~:

\begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}
\item $\E^{x}\E^{-x}$
\item $\E^{x}\E^{-x+1}$
\item $\E\E^{-x}$
\item $\left(\E^{-x}\right)^2$
\item $\dfrac{\E^{2x}}{\E^{2-x}}$
\item $\dfrac{\left(\E^x\right)^3}{\E^{2x}}$
\item $\E^x \left(\E^x+\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x\right)^5 \left(\E^{-2x}\right)^2$
\item $\E^{-3x+1}\left(\E^x\right)^3$
\item $\sqrt{\E^{-2x}}$
\item $\dfrac{\E^{-4x}\E}{\left(\E^{-x}\right)^2}$
\item $\left(\E^x+\E^{-x}\right)^2-\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)^2-\E^{-x}\left(\E^{3x}-\E^{-x}\right)$
\item $\left(\E^x-\E^{-x}\right)\left(\E^{2x}+\E^x+1\right)$
  \end{enumerate}
\end{multicols}



\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]



Calculez  et factorisez  les  dérivées  et les  limites  aux bornes  des
ensembles de définitions des fonctions définies 
par les expressions suivantes~:

\begin{multicols}{3}
  \begin{enumerate}

\item $f_1(x)=\E^x+x^2+1$
\item $f_2(x)=5\E^x+5x\E^x$
\item $f_3(x)=\E^x\sin(x)$
\item $f_4(x)=\dfrac{\E^x+1}{\E^x-1}$
\item $f_5(x)=\dfrac{3x+1-\E^x}{\E^{x}}$
\item $f_6(x)=x^3\E^{-x}$
\item $f_7(x)=\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$
\item $f_8(x)=\dfrac{\E^{x}}{x}$
\item $f_9(x)=\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{10}(x)=\left(\E^x\right)^2+\dfrac{1}{\E^x}$
\item $f_{11}(x)=\E^{-x}$
\item $f_{12}(x)=\E^{4x+1}$
\item $f_{13}(x)=\E^{\cos(x)}$
\item $f_{14}(x)=\E^{5x^3+7x+4}$
\item $f_{15}(x)=(x+1)\E^{-x+1}$
\item $f_{16}(x)=\dfrac{\E^{2x}-1}{x}$
  \end{enumerate}
\end{multicols}

\end{exercicea}





\begin{exercicea}[]
  Soit $g$ la fonction définie sur  $\bbr$ par $g(x)=x\exp(x)$. On note $\Gamma$
  sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\Gamma$
    avec l'axe des ordonnées.
  \item Déterminez les variations de la fonction $g$.
    \item Déterminez une équationde la tangente à $\Gamma$ au point d'abscisse 0.
  \end{enumerate}
  
\end{exercicea}




\begin{exercicea}[]

  Soient $f$ et  $g$ deux fonctions définies sur $\bbr$  par $f(x)=(x-1)\E^x$ et
  $g(x)=\frac{\E}{2}(x^2-1)$.

  \begin{enumerate}
  \item  Déterminez  les  coordonnées  des  points  d'intersection  des  courbes
    représentatives de $f$ et $g$ avec les axes de coordonnées.
  \item Montrez que les deux courbesont un point commun d'abscisse 1.
    \item  Démontrez que  les courbes  admettent une  tangente commune  au point
      d'abscisse 1 et donnez une équation de cette tangente.
  \end{enumerate}
  
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]
  Soient  $f$ et  $g$  deux fonctions  définies sur  $\bbr$  par $f(x)=\E^x$  et
  $g(x)=\E^{2x}$. On note $\Gamma_f$ et $\Gamma_g$ leurs courbes représentatives
  dans un RON.
  \item  Démontrez que  les deux  courbes ont  un unique  point commun  que l'on
    déterminera.
  \item Les tangentes auxdeux courbes en ce point sont-elles confondues?
    \item Étudiez les positions relatives des deux courbes.
    \end{exercicea}



    \begin{exercicea}[]
      Démontrez que pour tout réel $x$ on a $\E^x \geqslant x+1$
    \end{exercicea}
  


    \begin{exercicea}[]
      On     souhaite     étudier     la    fonction     $f$     définie     par
      $f(x)=\frac{\E^{2x}-1}{\E^{2x}+1}$.   On   notera   $\Gamma$   sa   courbe
      représentative.

      \begin{enumerate}
      \item  En étudiant  la  signe du  dénominateur,  déterminez l'ensemble  de
        définition de $f$.
      \item       Démontrez       que       pour      tout       réel       $x$,
        $f'(x)=\frac{4\E^{2x}}{(\E^{2x}+1)^2}$.
      \item Étudiez les variations de $f$ sur son ensemble de définition.
        \item  Déterminez  une équation  de  la  tangente  à $\Gamma$  au  point
          d'abscisse 0.
          \item  On  souhaite  dans  cette  question  encadrer  la  solution  de
            l'équation $f(x)=\frac{1}{2}$ à l'aide d'un algorithme.
            \begin{enumerate}
            \item Démontrez  que résoudre $f(x)=\frac{1}{2}$ revient  à résoudre
              $\E^{2x}=3$.
              \item Vérifiez  à l'aide  de la calculatrice  que la  solution est
                comprise entre 0 et 1.
              \item Faites fonctionner l'algorithme ci-dessous pour $k=2$:
                \begin{algo}
                   \ALGO{de résolution de $f(x)=\frac{1}{2}$}
          \VAR
          \DECLVAR{k}{entier naturel}
          \DECLVAR{a,b,m}{réels}
          \STATE{Saisir k}
          \BEGIN
          \STATE{a \recoit{}0}
          \STATE{b \recoit{} 1}
          \WHILE{$b-a \geqslant 10^{-k}$}
          \STATE{m \recoit{} $\frac{a+b}{2}$}
          \IF{$e^{2m}<3$}
          \STATE{a \recoit{} m}
          \ELSE
          \STATE{b \recoit{} m}
          \ENDIF
          \ENDWHILE
          \STATE{Afficher $a$ et $b$}
          \END
        \end{algo}
        \item Déduisez-en  unencadrement de la solution  d'amplitude strictement
          inférieureà $10^{-2}$.
            \end{enumerate}
      \end{enumerate}
      
    \end{exercicea}

    
\begin{exerciceb}[]
  À quelle heure a été assassinée Laura Palmer?
\end{exerciceb}



\vfill

\eject


\subsection{L'exponentielle à travers les sciences}

%\author{À rendre le vendredi 15 novembre 2002}
%


%\begin{document}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%\thispagestyle{empty}
%
%\maketitle
%
%\bigskip
%


\begin{exercicea}

 Les molécules d'un gaz enfermé dans un récipient à la
température $T$ sont animées d'une vitesse de $v$ cm.s$^{-1}$. Cet
état d'équilibre est caractérisé par la fonction de distribution
de vitesse de \textsc{Maxwell-Boltzmann}
$$F(v)=cv^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$


\smallskip

où $T$ est la température (en K), $m$ la masse d'une molécule et
$c$ et $k$ des constantes positives.\\
Montrez que la valeur maximale de $F$ a lieu en $v=\sqrt{2kT/m}$.


% \bfi\centering
% \includegraphics[height=6cm]{physiciens}
% \efi


\end{exercicea}


\begin{exerciceb}[]



\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\linewidth]{pink_elephant}
\end{center}




La fonction de croissance de \textsc{von Bertanlanffy} donne
approximativement la masse $W(t)$ (en kg) à l'âge $t$ (en années)
des éléphantes africaines. Son expression est
$$W(t)=2600\left(1-0,51 e^{-0,075\,t}\right)^3$$
\begin{enumerate}
\item \'Evaluez la masse et le taux de croissance d'un
nouveau-né (le taux de croissance à l'instant $t$ est évidemment
$W'(t)$).
\item Calculez et interprétez $\ds\lim_{t\to +\infty}W(t)$.
%\item Montrez que le taux de croissance le plus fort se situe
%entre 5 et 6 ans.
 \end{enumerate}



\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[]

 Un \textit{modèle de densité urbaine} est une formule qui lie
la densité de la population (en nombre de personnes par unité de
surface) à la distance $r$ (en unité de longueur) du centre ville.
La formule
$$D=a\,e^{-br+cr^2}$$
où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes positives ($a$ est la
densité au centre, $b$ le coefficient de décroissance), convient
pour certaines villes des \'Etats-Unis

Déterminez l'allure de la courbe représentative de ce modèle.

\end{exerciceb}




\begin{exerciceb}[]



\begin{center}
  \includegraphics[width=.3\linewidth]{normal}
\end{center}




En statistiques, la \textit{distribution normale} est définie par la fonction de densité de probabilité
$$f(x)=\fr{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}\quad\text{où}\quad
z=\fr{x-\mu}{\sigma}$$ $\mu$ est la moyenne de cette distribution
et $\sigma^2$ la variance. L'étude de cette fonction est utilisée
dans des domaines qui vont de la mécanique quantique à la
répartition des notes du baccalauréat.
\'Etudiez cette fonction (sens de variation, limites) et tracez la
courbe représentative de $f$.

\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[]

 On considère un circuit électrique composé d'une force
électromotrice $U$, d'une résistance $R$ et d'une inductance $L$.
L'intensité du courant $I$ varie en fonction du temps $t$ selon la
formule
$$I=\fr{U}{R}\left(1-e^{-Rt/L}\right)$$
On considère que $R$ est la seule variable indépendante, $i.e.$
$U$, $L$ et $t$ sont considérés comme des constantes et $R$ comme
une variable. Calculez $\ds\limd[R]{0}I$.




\end{exerciceb}




\begin{exerciceb}[]


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\linewidth]{syldavie}
\end{center}



Dans la forêt syldave, des détritus naturels (~feuilles, branches, animaux morts, cadavres
d'espions, etc.) tombent sur le sol et s'y décomposent. La quantité $Q(t)$ exprimée en $g\cdot m^{-2}$ de
détritus jonchant le sol varie avec le temps $t$. On suppose que de nouveaux détritus tombent au sol
à un taux constant de $200\,g\cdot m^{-2}$ par année et que les détritus accumulés au sol se décomposent
au taux de $50\%$ de la quantité de détritus jonchant le sol.
\begin{enumerate}
\item On note $f(t)=Q(t)-200$. Déterminez une équation différentielle vérifiée par $f$.
\item En déduire l'expression générale de $Q(t)$.
\item Exprimer $Q(t)$ sachant qu'au temps $t=0$, on comptait $50\,g\cdot~m^{-2}$
\end{enumerate}


\end{exerciceb}






\begin{exerciceb}[]




\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\linewidth]{gateway}
\end{center}



  Si  vous allez  vous promener  dans la  ville de  Saint-Louis  dans le
  Missouri aux
  États-Unis, vous  pourrez y admirer  la célèbre \emph{Gateway  Arch to
  the   West}   conçue  en   1947   par   l'architecte  finlandais   Ero
  \textsc{Saarinen}   et   l'ingénieur   Hannskarl  \textsc{Bandel}   et
  dont la construction s'acheva en 1965.  Cette
  arche a la forme d'une \emph{chaînette} pondérée
  d'équation  $$y=212-21\ch(0,033x)$$  où $x$  et  $y$  sont mesurés  en
  mètres  et  rend  hommage  aux  pionniers  partis  à  la  conquête  de
  l'Ouest.\\
Pouvez-vous déterminer  la hauteur de  l'arche et la distance  entre les
deux pieds~?

\end{exerciceb}








\begin{exerciceb}[]


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.3\linewidth]{birds}
\end{center}




     L'équation   de   la
 hauteur $h$ par rapport au  sol d'un fil électrique suspendu entre deux
 poteaux       s'obtient       en       résolvant       l'\emph{équation
 différentielle} \[h''(x)=k \sqrt{1+\left(h'(x)\right)^2}\]
où $k$
 est un paramètre qui dépend de la densité et de la tension du fil et $x$
est mesuré en  mètres horizontalement à partir d'une  origine située sur
le sol en-dessous du point où la hauteur du fil est la plus faible.

\begin{enumerate}
\item  Vérifiez que  $h~:~x\mapsto  \frac{\E^{kx}+\E^{-kx}}{2k}$ satisfait  cette
      équation différentielle.
\item Quelle  est la hauteur  minimale du fil  si le paramètre  $k$ vaut
      $0,05$~?
\item Quelle  est la  hauteur des poteaux  (de même hauteur)  s'ils sont
      distants de 30~m et que le paramètre $k$ vaut 0,05~?
\end{enumerate}
\end{exerciceb}


\vfill

\eject


\subsection{Des exercices de Bac}






\begin{exerciceb}[Bac 2017]
  
Un fabricant doit réaliser un portail en bois plein sur mesure pour un particulier. L'ouverture du
mur d'enceinte (non encore construit) ne peut excéder 4 mètres de large. Le portail est constitué
de deux vantaux de largeur $a$ telle que $0 < a \leqslant 2$.

  
\[f(x)        =        -       \dfrac{b}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}}        +
    \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right) + \dfrac{9}{4} \quad \text{ où } b > 0.\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~2]$,\: $f(-x) = f(x)$. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2~;~2]$ :

\[f'(x) = - \dfrac{1}{8}\left(\text{e}^{\frac{x}{b}} - \text{e}^{-\frac{x}{b}}\right).\]

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~2]$ et en déduire les coordonnées du point S en fonction de $b$.
\end{enumerate}
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Bac 2017]
  
 On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d'établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi :\\ 

Pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l'air. 

\bigskip

\emph{On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position.}

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A - Cas général }


\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d'eau.

\item La goutte ralentit -elle au cours de sa chute ?

\item Montrer que $\lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$.  Cette limite s'appelle vitesse limite de la goutte. 


\item Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte  dépasse 99\:\% de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ? 

\end{enumerate}

\textbf{Partie B }

Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$. 

À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m.s$^{-l}.$


\begin{enumerate}
\item Depuis combien de temps la goutte s'est -elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde. 

\item En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$. 
\end{enumerate}

\end{exerciceb}





\begin{exerciceb}[Bac 2017]
  
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^x\qquad \text{ et }\qquad  g(x) = \text{e}^{- x}.\] 

On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathscr{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan. 

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathscr{C}_g$ d'abscisse $a$. 

La tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathscr{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$. 

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$. 


\begin{center}
  \parbox{0.6\linewidth}{
    
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{../PYTHON/ExpoBac1}
\end{center}
%\end{figure}

}\hfill
\parbox{0.39\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&A   &B\\ \hline   
1	&\footnotesize Abscisse $a$&   \scriptsize Longueur $PQ$\\ \hline   
2	&$- 3$		&   2 \\ \hline   
3	&$- 2,5$	&   2\\ \hline    
4	&$- 2$		&   2 \\ \hline   
5	&$-1,5$		&   2 \\ \hline   
6	&$-1$		&   2 \\ \hline   
7	&$- 0,5$	&   2\\ \hline     
8	&0 			&   2\\ \hline    
9	&0,5		&   2 \\ \hline   
10	&1			&   2 \\ \hline   
11	&1,5		&   2\\ \hline    
12	&2			&   2 \\ \hline   
13	&2,5		&   2\\ \hline    
14	& 			&    \\ \hline 
\end{tabularx}}
\end{center}

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathscr{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathscr{C}_g$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ? 
		\item Démontrer cette conjecture. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


  
\end{exerciceb}












\begin{exerciceb}[Bac 2017]
  
  
Un protocole de traitement d'une maladie, chez l'enfant, comporte une perfusion longue durée d'un
médicament adapté. La concentration dans le sang du médicament au cours du temps est modélisée
par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :

\[C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1 - \text{e}^{-\frac{a}{80} t}\right)\]

\begin{list}{\textbullet}{où}
\item $C$ désigne la concentration du médicament dans le sang, exprimée en micromole par litre,

\item $t$ le temps écoulé depuis le début de la perfusion, exprimé en heure,

\item $d$ le débit de la perfusion, exprimé en micromole par heure,

\item $a$ un paramètre réel strictement positif, appelé clairance, exprimé en litre par heure.

\end{list}

Le paramètre $a$ est spécifique à chaque patient.

\medskip

En médecine, on appelle \og plateau \fg{} la limite en $+ \infty$ de la fonction $C$.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'un cas particulier}

\medskip

La clairance $a$ d'un certain patient vaut 7, et on choisit un débit $d$ égal à $84$.

Dans cette partie, la fonction $C$ est donc définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[C(t) =  12\left(1 - \text{e}^{-\frac{7}{80} t}\right).\]

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Pour être efficace, le plateau doit être égal à 15. Le traitement de ce patient est-il efficace ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de fonctions}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{105}{x} \left(1 - \text{e}^{- \frac{3}{40}x}\right).\]

Démontrer que, pour tout réel $x$ de  $]0~;~+ \infty[$, \:  $f'(x) = \dfrac{105g(x)}{x^2}$, où $g$ est la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{3x}{40}\text{e}^{- \frac{3}{40}x}\ + \text{e}^{- \frac{3}{40}x} - 1.\]

\item On admet que $g$ est strictement d'ecroissante de $[0,+\infty[$ dans $[-1,0]$

En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

\emph{On ne demande pas les limites de la fonction $f$}.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 5,9$ admet une unique solution sur l'intervalle [1~;~80].

En déduire que cette équation admet une unique solution sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Donner une valeur approchée de cette solution au dixième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : détermination d'un traitement adéquat}

\medskip

Le but de cette partie est de déterminer, pour un patient donné, la valeur du débit de la perfusion qui permette au traitement d'être efficace, c'est-à-dire au plateau d'être égal à $15$.

Au préalable, il faut pouvoir déterminer la clairance $a$ de ce patient. À cette fin, on règle
provisoirement le débit $d$ à 105, avant de calculer le débit qui rende le traitement efficace.

On rappelle que la fonction $C$ est définie sur l' intervalle $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[C(t) = \dfrac{d}{a}\left(1 - \text{e}^{-\frac{a}{80} t}\right)\]

\begin{enumerate}
\item On cherche à déterminer la clairance a d'un patient. Le débit est provisoirement réglé à $105$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $a$ la concentration du médicament $6$ heures après le début de la perfusion.
		\item Au bout de $6$ heures, des analyses permettent de connaître la concentration du médicament dans le sang; elle est égale à $5,9$ micromole par litre.
		
Déterminer une valeur approchée, au dixième de litre par heure, de la clairance de ce
patient.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la valeur du débit $d$ de la perfusion garantissant l'efficacité du traitement.
\end{enumerate}

\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[Bac 2018]
  
  Soit $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

\[g(x) = - 2x^3 + x^2 - 1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item Déterminer les limites de la fonction $g$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution dans $\R$, notée $\alpha$, et que
$\alpha$ appartient à $[-1~;~0]$.
\item En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$,

\[f(x) = \left(1 + x + x^2 + x^3\right)\text{e}^{-2x + 1}.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x > 1$,
		
		\[1 < x < x^2 < x^3.\]
		
		\item En déduire que, pour $x > 1$,
		
\[0 < f(x) < 4x^3 \text{e}^{-2x + 1}.\]
		
		\item On admet que, pour tout entier naturel $n$,\: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^n\text{e}^{-x} = 0$.

Vérifier que, pour tout réel $x$,\: $4x^3\text{e}^{-2x + 1} = \dfrac{\text{e}}{2} (2x)^3\text{e}^{-2x}$ puis montrer que :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 4x^3\text{e}^{-2x + 1}  = 0.\]
		
		\item On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.
		
En utilisant la question précédente, déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ et en donner une
interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $\R$,\: $f'(x) = \left(- 2x^3 + x^2 - 1\right)\text{e}^{-2x + 1}$.
\item  À l'aide des résultats de la partie A, déterminer les variations de $f$ sur $\R$.
\end{enumerate}
\end{exerciceb}


  
%\end{listeexercices}
\modenormal

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19"
%%% End:
