\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\usepackage[upright]{fourier}

\entete{\theNumLecon - \NomLecon}{\rightmark\markright\leftmark\markboth}{T\textsuperscript{ale}S5 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,d,b

\renewcommand{\Def}[1]{\addtocounter{Def}{1}  \textbf{Définition \theDef}}


\renewcommand{\Prop}[1]{\addtocounter{Prop}{1} \textbf{Propriété \theProp}}
\renewcommand{\Props}[1]{\addtocounter{Prop}{1}  \textbf{Propriétés \theProp}}


\renewcommand{\Thm}[1]{\addtocounter{Th}{1}  \textbf{Théorème \theTh\ \ }}
\renewcommand{\eme}{\textsuperscript{ème}\ }
\renewcommand{\ere}{\textsuperscript{ère}\ }



\renewcommand{\mat}{Téhessin}



\renewcommand{\MAT}[1]{
\smallskip

{ \textbf{Téhessin} : #1}

\smallskip
}

\renewcommand{\pro}{
\smallskip

 \textbf{Mathémator}~: }


\renewcommand{\tsx}{
\smallskip

 \textbf{Téhessin}~: }


\renewcommand{\MATA}[1]{
\smallskip

{ \textbf{Téhessin (à part)} : \textit{#1}} }

\renewcommand{\REV}{\mat, vous rêvez ! Je vous entends !}



\renewenvironment{Abstract}[1]    % résumé avant chapitre ou ds
{\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Où en sommes-nous~?} \footnotesize{#1}} {\end{minipage}
\end{center}
\bigskip\bigskip}





\newcommand{\pstEllipse}[5][]{% 
\psset{#1} 
\parametricplot{#4}{#5}{#2\space t cos mul #3\space t sin mul}} 
\graphicspath{{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}}








\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\setlength{\parindent}{0mm}
\setcounter{NumLecon}{10}

\LECOND{X}{Dixième}{  APPROCHE INTUITIVE }{   DE L'INT\'EGRATION }{APPROCHE INTUITIVE DE L'INT\'EGRATION}{leibniz.eps}



\begin{Abstract}
Tout le monde le croyait mort~: il est pourtant de retour. Mais
trop longtemps prisonnier de la terrible tribu des fisyssiuns,
Mathemator a adopté leur langage et semble avoir oublié sa rigueur
mathématique...
\end{Abstract}









\section{LE PRINCIPE DE SOMMATION INFINIE}


\subsection{Qu'est-ce qu'une intégrale ?}


\MAT{Tout d'abord, je suis heureux de vous retrouver sain et sauf
aprés ce terrible séjour chez les fizyssiuns.}

\pro Merci, cher disciple.

\MAT{Avide de connaissances mathématiques, j'ai jeté un coup d'\oe il
sur mon livre de Terminale pendant votre absence et j'ai cru
comprendre qu'une intégrale était une aire. }

\pro C'est un point de vue \mat, mais pour bien appréhender la
notion d'intégrale, il vaut mieux  revenir à l'interprétation
physique, le seul point de vue en termes d'aire est trop
réducteur.

\sm

Les physiciens utilisent les intégrales  pour calculer bien
d'autres choses que des aires : une masse, une énergie, un volume
ou encore un potentiel électrique peuvent s'écrire comme
l'intégrale d'une fonction d'une variable sur un segment. Dans
tous les cas, y compris celui du calcul d'aire,
 c'est
 la notion intuitive de
sommation infinie qui permet de faire ce lien entre une grandeur
physique et une intégrale.
 Pour vous faire une idée de ce qu'est une sommation infinie, je vous propose d'examiner
 ensemble trois exemples : un calcul de distance, un calcul d'aire et un calcul de volume.


\subsection{Comment calculer la distance parcourue connaissant les
vitesses instantanées ?}\label{long}

\pro Supposez, \mat,  que le compteur kilométrique de votre
scooter soit en panne et que vous ne disposiez que du compteur des
vitesses qui donne à tout instant $t$ la vitesse arithmétique
$v(t)$. Pouvez-vous calculer la distance $\ell$ parcourue entre
deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ ?

\MAT{Si la vitesse est constante et égale à $v_0$, on a
$\ell=v_0\,(t_2-t_1)$. Mais sinon..., je ne vois pas.}


\pro Eh bien sinon, on se ramène à des intervalles de temps
«~très petits~» où la vitesse est «~presque constante~». En
cela, nous allons raisonner en physicien, le but étant d'avoir une
bonne intuition de ce qu'est une intégrale, mais il ne faut pas
croire que vous pourrez utiliser ce genre d'arguments dans un
raisonnement mathématique. Je m'explique.

 Nous allons imaginer que
l'intervalle $[t_{1},t_{2}]$ est découpé en une infinité de petits
intervalles de temps de durée $dt$. Pendant l'un de ces
intervalles $[t,t+dt]$, on parcourt approximativement la distance
$v(t)\,dt$, car l'intervalle
 étant infiniment petit, on peut supposer que la vitesse est constante et égale
à $v(t)$ entre $t$ et $t+dt$. La distance totale $\ell$ correspond
donc à la somme, en nombre infini, de ces distances infiniment
petites, pour $t$ variant de $t_{1}$ à $t_{2}$.
%Graphiquement,
%la distance parcourue entre $t$ et
%$t+dt$ s'assimile à l'aire infiniment petite hachurée.
%
%\bigskip
%\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
En notation intégrale, cela s'écrit
$$ \ell=\int_{a}^{b}v(t)\,dt.$$
\MAT{Mais pourquoi utilise-t-on le symbole $\int$ ?}

\pro Parce qu'il représente le S de \emph{summa} qui signifie
somme en latin ; il a été inventé par Leibniz de même que les
notations $dt$, $dx$... Vous voyez bien qu'une intégrale est avant
tout une somme !

\MAT{D'autre part, je ne vois pas bien quel sens précis on
pourrait
 donner à cette somme en nombre
infini de quantités infiniment petites...}

\pro Il y a effectivement un vrai problème de définition. Mais
vous ne saurez exactement ce que représente $\int_{a}^{b}v(t)\,dt$
que l'année prochaine. En attendant, voici d'autres exemples.



\subsection{Quelle est l'aire délimitée par une courbe ?} \pro Parlons un peu, \mat, de l'aire d'une portion de plan délimitée par la
courbe représentative d'une fonction. On considère donc une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, et pour $c$ et $d$ dans $ [a,b]$ avec
$c<d$, on note $\mathcal{A}(c,d)$ l'aire de la portion de plan comprise entre les droites d'équations $x=c$, $x=d$, $y=0$ et la courbe
d'équation $y=f(x)$.

\begin{center}
\includegraphics{limfonc.671}
\end{center}

Pour comprendre comment peut se calculer $\mathcal{A}(a,b)$, nous
allons, comme pour le calcul de distance de tout à l'heure,
découper  l'intervalle $[a,b]$ en une infinité
 de petits
intervalles de la forme $[x,x+dx]$ correspondant à une petite aire
$\mathcal {A}(x,x+dx)$.



\begin{center}
\includegraphics{limfonc.672}
\end{center}


\MAT{ Et j'imagine qu'on va dire que $\mathcal {A}(a,b)$ est la
somme en nombre infini des aires $\mathcal{A}(x,x+dx)$ infiniment
petites pour $x$ variant de $a$ à $b$.}

\pro Quel talent~!

\MAT{J'ai compris le principe, mais en quoi suis-je avancé, une
fois que j'ai fait ce découpage ? Je me retrouve avec une infinité
de calculs à faire, au lieu d'un seul.}

\pro Certes, mais ce qui est intéressant, c'est qu'on peut donner
une valeur approximative de $\mathcal{A}(x,x+dx)$. En effet, comme
$dx$ est infiniment petit,  $f$ est presque constante et égale à
$f(x)$  sur tout l'intervalle $[x,x+dx]$. Donc
$\mathcal{A}(x,x+dx)$ vaut à peu près l'aire d'un rectangle de
base $dx$ et de hauteur $f(x)$, c'est à dire $f(x)dx$.

 Avec les mêmes
notations que dans le problème précédent, on a donc, en faisant la
somme pour $x$ variant de $a$ et $b$ des aires infiniment petites
$f(x)dx$
$$\mathcal{A}(a,b)=\int_a^bf(x)\,dx.$$

Voilà pourquoi un calcul d'aire peut se ramener à un calcul
d'intégrale.

\subsection{Quel est le volume intérieur à une sphère ?}

\MAT{Après la dimension 1 et la dimension 2, maintenant la
dimension 3, c'est ça~?}

\pro Oui, une distance, une aire, un volume sont en fait des
\textit{mesures} d'objets à une, deux ou trois dimensions. Et qui
dit mesure, dit intégrale.

\MAT{Vous allez donc exprimer le volume intérieur à une sphère
comme une intégrale.}

\pro Effectivement, nous allons imaginer que l'intérieur de la
 sphère est découpé
en une infinité de parties de volume infiniment petit, puis
effectuer la somme de ces petits volumes. Il y a plusieurs
manières de procéder : découper  l'intérieur de la sphère en une
infinité de sphères concentriques, comme des poupées russes, ou
alors considérer qu'elle est composée de tranches horizontales
infiniment fines.
%Nous allons effectuer le calcul
%du volume à l'aide du découpage en tranches, mais pour vous entraîner \mat,
%vous pourrez essayer ensuite la méthode des poupées russes
%vous-même. Une indication quand même : l'aire d'une sphère de rayon $r$ est $4\pi r^2$.
%
\MAT{Je préférerais les tranches Professeur, car je ne joue plus à
la poupée.}

\pro Comme vous voulez. Alors commençons par supposer que la
sphère a pour rayon $R$ et pour équation dans un repère orthonormé
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$, et découpons.


\begin{center}
  \includegraphics{sphere.1}
\end{center}

Il faudrait maintenant <<~calculer~>> le volume de la tranche
hachurée qui correspond aux points dont l'altitude est comprise
entre $z$ et $z+dz$. Et cette fois, \mat, en quoi va consister
l'approximation ?

\MAT{Facile, facile, je vais dire que cette tranche a un rayon
constant puisque son épaisseur $dz$ est infiniment petite, et donc
c'est un cylindre.}

\pro Oui, poursuivez donc le calcul, je vois que vous êtes bien
parti !

\MAT {Cette tranche a approximativement pour volume
$\pi\,r^2(z)\,dz$ où $r(z)$ est le rayon de la section d'altitude
$z$. Il me reste à calculer $r(z)$, mais là, je suis un peu en panne. Un petit indice, Professeur ?}

\pro Il tient en un mot : Pythagore.

\MAT{Merci, Professeur.



 D'après le théorème de Pythagore, on a
$r^2(z)+z^{2}=R^{2}$ et le volume total est donc
$$V=\int_{-R}^{R}\pi(R^{2}-z^{2})dz.$$ Et j'ai fini !}

\pro Très bien, \mat, mais ça ne sera fini que lorsqu'on aura
simplifié cette intégrale ! Cela se fait en utilisant les
techniques de calcul d'intégrales à l'aide de primitives,
 et avec ces techniques, on obtient facilement
la formule classique
 $\ds V={4\over3}\,\pi\,R^3$.


%\subsection{Est-ce que la sommation infinie a un rapport avec les séries ?}
%
%\MAT{Si vous voulez savoir mon avis, c'est oui. Dans les deux cas, il s'agit bien
%d'une somme avec un nombre infini de termes.
%}
%
%
%Certes, mais malgré les apparences, il n'y a pas de rapport !
%La notion intuitive de somme en nombre
%infini de quantités infiniment petites est très différente de la notion
%de somme d'une série. La somme d'une série s'interprète bien comme
% la somme d'un nombre infini de termes, mais ces termes sont les termes d'une suite donnée,
%ce qui ne peut pas être le cas pour une sommation infinie ou pour une intégrale.
%
%\MAT{Alors là, je  ne suis pas d'accord. J'ai
%étudié la méthode des rectangles pour approcher $\ds\int_0^1f(x)\,dx$ :
%on découpe l'intervalle $[0,1]$
%en $N$ intervalles  de même longueur $1/N$, et on
%appelle $S_N$ l'aire totale des petits rectangles.
%
%\DESSIN
%
%Alors $S_N$ est la somme partielle d'une série puisque
%$$ S_N=\sum_{n=1}^Nf\left({n\over N}\right)\times{1\over N},$$
%et $\ds \int_0^1f(x)\,dx$ est bien la somme d'une série car on a
%montré que
%$$\lim_{N\to+\infty}S_N=\int_0^1f(x)\,dx.$$
%}
%
%
%
%Attention \mat, on ne peut pas interpréter $S_N$ comme la somme partielle d'une série
%car le terme général de la somme définissant $S_N$ dépend de $N$.
%Autrement dit, $S_N$ n'est pas de la forme
%$\ds \sum_{n=1}^Nu_n$, mais de la forme $\ds \sum_{n=1}^Nu_{n,N}$, ce qui est très différent.
%Croyez-moi, il n'y a vraiment pas moyen de se ramener aux séries pour définir une intégrale.
















\subsection{Calcul de la longueur d'un arc}


On considère  la courbe d'équation  $y=f(x)$. Imaginez  un moyen d'obtenir  la longueur de  l'arc de
cette courbe compris entre les points d'abscisse $x_i$ et $x_f$.








\section{EXERCICES : INT\'EGRATION SANS PRIMITIVES}
 \setlength{\parindent}{0pt}





\exot{} Calculez les intégrales suivantes, après avoir fait un petit
dessin.
$$I_1=\int_a^bk\,dx\ \ \text{avec }\ k>0\qquad I_2=\int_0^4(3-x)\,dx\qquad
I_3=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx  $$

\exot{} Dans cet exercice, vous pourrez utiliser les résultat
suivant~: $\int_0^1x^2\,dx=1/3$ pour calculer certaines des
intégrales proposées. \been \item $I_4=\ds\int_0^1(5x^2+3x)\,dx$
\item $I_5=\ds\int_{-1}^1x^2\,dx$  \item
$I_6=\ds\int_{-1}^1(x^2-3x+8)\,dx$
\item
$I_7=\ds\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^5x\,dx$\een

\exot{} \been
      \item Prouvez que, pour tout $t\in[0,1]$,
      $\fr{t^2}{2}\ie\fr{t^2}{1+t}\ie t^2$.
      \item Déduisez-en un encadrement de
      $I=\ds\int_0^1\fr{t^2}{1+t}\,dt$.
      \een
\exot{} Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ telle que, pour
tout $x\in[0,1]$, il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m\ie
f(x)\ie M$.

Déterminez la limite de la suite de terme général
$$u_n=\int_0^{1/n}f(x)\,dx$$

\exot{} \'Etudiez la limite de la suite de terme général
$u_n=\ds\int_n^{n+1}e^{-x}\,dx$.

Vous pourrez commencer par encadrer $e^{-x}$ sur $[n,n+1]$ en
fonction de $n$.

\exot{} On pose $I_n=\fr{1}{n!}\ds\int_0^1(1-x)^ne^{-x}\,dx$, pour
tout $n\in\bbn$.

Prouvez que $0\ie I_n\ie \fr{1}{n!}\ds\int_0^1e^{-x}\,dx$ et
déduisez-en $\lin{I_n}$.

















\section{Propriétés de l'intégrale}

\subsection{Relation de Chasles} 



Il s'agit de monter

\ENC{\Thm\ \  Relation de Chasles}{Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$, sur $[b,c]$ et sur $[a,c]$, alors 
$$\ds\int_a^bf(x)\d x+\int_b^cf(x)\d x=\int_a^c f(x)\d x$$}



Pour s'en convaincre \textbf{intuitivement} , il suffit de penser <<~aire~>> et  le cas des fonctions positives devient assez naturel.


%\begin{center}
%\includegraphics[height=5cm]{integ.2} 
%\end{center}

On peut prouver ainsi les propriétés que vous connaissez bien : l'idée à retenir, même si vous verrez des définitions différentes l'an prochain, c'est que les propriétés  de l'intégrale s'obtiennent  \textbf{par passage à la limite} de sommes \textsf{discrètes}, c'est pourquoi elles ont posé problème aussi longtemps :  il a fallu attendre plusieurs siècles pour avoir une définition correcte des limites. En ce qui vous concerne, vous vous contenterez de quelques mois...

\sm 

Rappelons donc ces propriétés.

\subsection{Autres propriétés}

\ENC{\Prop\ \ Propriétés de l'intégrale}{Avec $f$ et $g$ des fonctions intégrables sur $[a,b]$, \bel
\item $\ds\int_a^af(x)\d x=0$
\item $\ds\int_a^bf(x)\d x=-\int_b^af(x)\d x$
\item $\ds\int_a^b\cro{\la f(x)+\mu g(x)}\d x=\la \int_a^bf(x)\d x+\mu\int_a^bg(x)\d x$ avec $\la$ et $\mu$ des réels : c'est la linéarité de l'intégrale.
\item $f(x)\se 0 \ \text{ pour tout }x\in[a\pv b]\Longrightarrow \ds\int_a^bf(x)\d x\se0$
 \item $f(x)\ie g(x) \ \text{ pour tout }x\in[a\pv b]\Longrightarrow \ds\int_a^bf(x)\d x\ie \int_a^bg(x)\d x$ : c'est la croissance de l'intégrale.
\item $\ab{\ds\int_a^bf(x)\d x}\ie \int_a^b\ab{f(x)}\d x$ : c'est l'inégalité triangulaire appliquée aux intégrales.\el}



\section{Valeur moyenne}

\subsection{Définition}

La moyenne d'un nombre entier de valeurs est facile à obtenir : il suffit d'additionner ces valeurs et de les diviser par leur nombre

$$m_n(f)=\fr{f(a_0)+f(a_1)+\cdots+f(a_{n-1})}{n}$$

On pense tout naturellement à passer à la limite et à remplacer la somme discrète par une intégrale. Mais attention : ceci n'est valable que si la subdivision n'est pas trop irrégulière. On pourrait imaginer en effet que la subdivision prenne une infinité de valeurs entre $a$ et $(b-a)/2$ et aucune ailleurs mis à part $b$, alors $m_n(f)$ ne pourrait pas représenter une approximation  convenable d'une moyenne. Nous continuerons donc à considérer des subdivisions régulières.

Nous admettrons donc le résultat suivant

\ENC{\Thm\ \ Valeur moyenne}{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $(a_k)_{0\ie k\ie n-1}$ une subdivision \textbf{régulière} de $[a,b]$, alors
$$\lin\fr{1}{n}\ds\sum_{k=0}^{n-1}f(a_k)=\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$$
On appelle $\mu= \ds\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$ la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$}

Vous pouvez retenir également qu'intuitivement, la valeur moyenne est une sorte de somme  des valeurs de $f(x)$ affectées des coefficients $\d x$ le tout divisé par la somme des coefficients $\d x$.
Or on a déjà montré que  $$\ds\int_a^b\d x=b-a$$ et on retrouve intuitivement le résultat.


\subsection{Est-ce que la valeur moyenne est une valeur prise par la fonction ?}

\c Ca n'a rien d'évident a priori, puisque vous pouvez avoir 15 de moyenne en n'ayant jamais eu de note égale à 15 (14 et 16 par exemple).

Et pourtant c'est vrai pour les fonctions continues comme nous allons le prouver : comme quoi le passage à la limite du discret au continu présente quelques dangers~!

\sm

Comme notre fonction $f$ est continue sur $[a,b]$, elle est bornée, donc il existe deux réels $m$ et $M$ tels que, pour tout $x\in[a\pv b]$ 
$$m\ie f(x)\ie M$$
Alors, on obtient successivement
\begin{align*}\ds\int_a^bm\d x&\ie \int_a^bf(x)\d x\ie \int_a^bM\d x\\
                     m(b-a)&\ie \int_a^bf(x)\d x\ie M(b-a)\end{align*}

et finalement 

$$m\ie\mu\ie M$$

Donc $\mu$ appartient à l'intervalle image de $f$\footnote{C'est à dire $f\pa{[a\pv b]}$} : il existe donc un réel $x_0\in[a,b]$ tel que $f(x_0)=\mu$.

\ENC{\Thm\ \ Formule de la moyenne}{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, alors il existe un réel $x_0\in[a,b]$ tel que $$f(x_0)=\mu=\fr{1}{b-a}\int_a^bf(x)\d x$$}



%\begin{center}
%\includegraphics[height=5.5cm]{integ.3} 
%\end{center}

\begin{description}
\item[Remarque 1]~: le rectangle de dimensions $\mu$ et $b-a$ a la même aire que celle définie par la courbed'quation $y=f(x)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
\item[Remarque 2]~: la formule s'écrit aussi $\int_a^bf(x)\d x=(b-a)f(x_0)$ ce qui constitue un résultat très utile, puisqu'il permet de remplacer <<~une intégrale~>> en une expression <<~plus simple~>>.
\end{description}


\section{Primitive et intégrale}

\subsection{Intégrale fonction de sa borne supérieure}

Considérons une fonction $f$ que nous supposerons continue sur un intervalle $[a,b]$ pour simplifier notre propos. 

On peut donc définir une fonction $S$ sur $[a,b]$ telle que 
$$\Fonc{S}{[a,b]}{\bbr}{t}{\ds\int_a^tf(u)\d u}$$

Du point de vue graphique, on peut interpréter $S(t)$ comme l'aire algébrique du domaine bleu :

\begin{center}
 \includegraphics[height=4.5cm]{limfonc.67} 
\end{center}
\subsection{Comment retrouver $\Mathbold{f}$ connaissant $\Mathbold{S~:~t\mapsto \int_a^bf(u)\d u}$ ~?}

Rappelons d'abord la définition d'une primitive :

\ENC{\Def\ \ Primitive}{Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$. Alors \textbf{$F$ est une primitive de $f$} lorsque $F$ est dérivable sur $I$ et que $F'=f$}

Nous allons donc essayer de retrouver $f$ connaissant $S$.

\SUBSUBSECTION{Approche intuitive}

On fixe $t$ dans $[a,b[$ et on considère un <<~petit~>> réel strictement positif $h$. Observons ce qui se passe sur le <<~petit~>> intervalle $[t,t+h]$ 

\begin{center}
 \includegraphics[height=4.5cm]{limfonc.68} 
\end{center}

On <<~voit~>> que, pour $h$ petit, l'aire noire est <<~petite~>> devant l'aire bleue du rectangle situé en dessous. Cela donne
$$S(t+h)-S(t)=h\times f(t)+\text{aire noire}\simeq h\times f(t)$$

et donc $$\fr{S(t+h)-S(t)}{h}\simeq f(t)$$

Ainsi, le taux d'accroissement de $S$ entre $t$ et $h$ <<~ressemble~>> à $f(t)$ quand $h$ est <<~petit~>>. 

On <<~sent~>> donc que $S$ est dérivable en $t$ et que $S'(t)=f(t)$ et donc que $S$ est une primitive de $f$, ce qui crée le lien bien connu entre  primitive et intégrale.

Il reste à prouver cette intuition.

\SUBSUBSECTION{Preuve de notre intuition}

Nous allons utiliser la formule de la moyenne vue précédemment appliquée à la fonction $f$ continue sur $[t,t+h]$. Cela donne qu'il existe un réel $t_h$\footnote{$t_h$ dépend bien sûr de $h$} tel que
$$\fr{1}{t+h-t}\ds\int_t^{t+h}f(u)\d u=\fr{1}{h}\times \big(S(t+h)-S(t)\big)=f(t_h)$$

C'est à dire que $$\fr{S(t+h)-S(t)}{h}=f(t_h)$$

Or $f$ est continue sur $[t,t+h]$, donc quand $h$ tend vers 0, $f(t_0)$ tend vers $f(t)$ et donc $S$ est dérivable à droite en $t$, et 

$$S'(t)=\ds\lim_{h\to 0}\fr{S(t+h)-S(t)}{h}=f(t)$$

Il resterait à faire la même preuve pour $h$ négatif pour avoir la dérivabilité tout court.

On obtient donc le résultat suivant


\ENC{\Thm\ \ Théorème fondamental }{Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et à valeurs dans $\bbr$ et soit 
$$\Fonc{S}{[a,b]}{\bbr}{t}{\ds\int_a^tf(u)\d u}$$
alors $S$ est dérivable sur $[a,b]$ et $S'=f$}

\subsection{Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive~?}


Rappelons une propriété bien connue


\ENC{\Prop}{Deux primitives d'une même fonction définie sur un intervalle diffèrent d'une constante}

En effet, si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$, alors $F'=G'=f$ et donc $F'-G'=(F-G)'=0$. La fonction $F-G$ est donc constante sur $I$ et il existe un réel $k$ tel que $F(x)-G(x)=k$ pour tout $x\in I$.

\sm

Soit donc $F$ une primitive de $f$. Comme la fonction $S$ est elle aussi une primitive de $f$, il existe donc un réel $k$ constant tel que 
$S(t)=F(t)+k$ pour tout $t\in[a,b]$. Alors

$$\ds\int_a^bf(u)\d u=S(b)-S(a)=\big(F(b)+k\big)-\big(F(a)+k\big)=F(b)-F(a)$$

\ENC{\Prop\ \ Intégrale et primitive}{Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, alors 
$$\ds\int_a^bf(u)\d u=F(b)-F(a)$$}


\subsection{Intégrations par parties}

Nous n'avons que peu de méthodes d'intégration en terminale. Une des plus importantes est l'intégration par parties.

Si $u$ et $v$ sont deux fonction dérivables sur $[a,b]$ de dérivées $u'$ et $v'$ contiues sur $[a,b]$, alors $(uv)'=u'v+uv'$ soit encore $u'v=(uv)'-uv'$  et donc

\[ \ds\int_a^bu'(x)v(x)\d x=[uv]_a^b-\int_a^bu(x)v'(x)\d x \]






\section{\'ENONC\'ES DES EXERCICES}


\exot{Quizz}{\been
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} L'intégrale d'une fonction continue et
impaire est nulle.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\int_{-2}^2f(t)\,\d t=0$, alors $f$ est
impaire.
\item{} Trouvez une fonction paire, non identiquement nulle sur
$[-2,2]$, telle que $\int_{-2}^2f(t)\,\d t=0$.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $\Lim{+\infty}f(x)=0$, alors
$\int_{1}^xf(t)\,\d t$ admet une limite finie quand $x$ tend vers
$+\infty$.
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)\,\d t=+\infty$
\item{} Trouvez une fonction telle que $\Lim{+\infty}f(x)=0$ et
$\Lim{+\infty}$ $\int_1^xf(t)\,\d t=32$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?}Soit $u$ un réel strictement positif, alors
$\int_0^uE(x)\,dx\in\bbn$, $E(x)$ désignant la \textsl{partie
entière} de $x$.
\item Trouvez une fonction telle que
$\ab{\int_a^bf(t)\,\d t}=\int_a^b\ab{f(t)\,\d t}$
\item{}Trouvez une fonction $f$ telle que
$\ab{\int_a^bf(t)\,\d t}<\int_a^b\ab{f(t)\,\d t}$
\item{} Trouvez une \textsl{condition nécessaire et suffisante} sur
$f$ pour que $\ab{\int_a^bf(t)\,\d t}=\int_a^b\ab{f(t)\,\d t}$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2\,\d t=\int_2^3xt^2\,dx$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} $\int_2^3xt^2\,\d t=\int_2^3x^2t\,dx$
\item{} Trouvez deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[1,2]$,
distinctes, telles que $\int_1^2f(t)\,\d t=\int_1^2g(u)\,du$
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est bornée sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u)\,du$ l'est aussi.
\item\textbf{Vrai  ou faux~?} Si $f$ est croissante sur $[a,b]$, alors la
fonction $x\mapsto \int_a^xf(u)\,du$ l'est aussi.
\item Déterminez   une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et dont la valeur
moyenne  sur $[-2~;~2]$ est 0.
\een}


\exot{Calculs de primitives}{Calculez une primitive de $f_i$ dans les cas suivants :
\begin{nliste}{2}
\item $f_1(x)=\fr{x+1}{(x^2+2x+2)^3}$
\item $f_2(x)=\fr{\ln x}{x}$
\item $ f_3(x)=\tan x$
\item $ f_4(x)=\fr{1}{x\ln x}$
\end{nliste}

\exot{Calculs d'intégrales}{Calculez les intégrales suivantes
\begin{nliste}{3}
\item $I_1=\ds\int_1^23(x-1)^2\ln (x)\,\d x$
\item $ I_2=\ds\int_0^{\pi}\sin(x){\rm e}^{-x}\,\d x $ 
\item $ I_3=\ds\int_0^{\pi/4}\fr{x}{\cos^2(x)}\,\d x $
 \item$I_4=\ds\int_1^3\fr{x+1}{x}(\ln(x)+x)^3\,\d x$
 \item $ I_5=\ds\int_{-1}^1\fr{\d x}{1+{\rm e}^{-x}} $ 
\item $  I_6=\ds\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\d x$
\end{nliste}
}




\exot{Primitives des puissances de cos et sin}{
\been
\item Calculez $\cos x$ en fonction de ${\rm e}^{ix}$ et ${\rm e}^{-ix}$.
\item Déduisez-en une expression de $\cos^5x$ comme  combinaison linéaire de $\cos(kx)$ avec $k\in[\![0,5]\!]$.
\item Calculez $\ds\int_{\pi/6}^{\pi/4}\cos^5t\,dt$
\een}


\exot{Limites de suites définies par une intégrale}{
\been
\item \`A l'aide de majorations ou d'encadrements, d\'eterminez la limite
 quand $n$ tend vers $+\infty$ de :
\begin{nliste}{4}
\item $\int_0^\pi{\sin x\over x+n}\d x$ \item $ \int_0^1{x^n\over1+x^2}\d x
$ \item $ \int_0^2\frac{x^{2n}}{1+x^n}\,\d x$ \item $ \int_1^{1+1/n}\sqrt{1+x^n}\,\d x$
\end{nliste}
\been[e)]
\item$\int_0^\pi\frac{n\,\sin x}{x+n}\,\d x\ 
\text{ en commençant par majorer } \int_0^{\pi}\pa{\fr{n\sin x}{x+n}-\sin x}\d x$
\een
\item 
 Soit $f:[0,1]\rightarrow\bbr$ dérivable et de dérivée continue. Montrez que
$$\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1x^nf(x)\d x=f(1)$$
 à l'aide d'une intégration par parties.\een}

\exot{Transformée de Laplace de la fonction rampe}{
On pose $I(t)=\ds\int_0^tt{\rm e}^{-px}\,\d x$ où $p$ est un paramètre réel. Calculez $I(t)$ puis $\Lim[t]{+\infty}I(t)$ en discutant selon les
valeurs du paramètre $p$.}



\exot{Transformée de Fourier du signal $\Mathbold{s(t)=\cos(\pi t)\Pi(t)}$}{
Il s'agit de calculer l'intégrale $X(s)=2\ds\int_{-1/2}^{1/2}\cos(\pi t)\cos(2\pi ft)\,\d t$  où $f$ est un paramètre positif.}

\exot{Lemme de Gronwall}{ Soit $f:[0,+\infty[\to\bbr$ continue telle que, pour tout  $x\se0$
$$ 0\ie f(x)\ie\int_0^xf(t)\,\d t$$
Montrez que $f$ est identiquement nulle. On pourra introduire la fonction
$$g~:~x\mapsto {\rm e}^{-x}\int_0^xf(t)\,\d t$$ et étudiez ses variations. Vous montrerez en particulier que $g$ est identiquement nulle.}



%\exot{Fonction définie par une intégrale}{
%Soit $f$ la fonction $x\mapsto \ds\int_x^{3x} \fr{\cos t}{t}\d t$. \'Etudiez $f$ : ensemble de définition, parité, sens de variation, %limites aux bornes, tracé. Pour la dérivée, on pourra écrire $f(x)=\Int{x}{1}\fr{\cos t}{t}\d t+\Int{1}{3x}\fr{\cos t}{t}\d t$ par %exemple.}

\exot{Développement en série entière de $\Mathbold{\ln(1-x)}$}{
Soit $x\in[0,1[$ et $n\in\bbn$. \been
\item Montrez que, pour tout $t\in[0,x]$, on a
$$\left\vert\frac{1}{1-t}-\sum_{k=0}^nt^k\right\vert\ie\frac{ t^{n+1}}{1-x}.$$
\item Soit $x\in [-1,0]$. Montrez que $\text{pour tout } t\in[x,0]\ \
\left\vert\fr{1}{1-t}-\ds\sum_{k=0}^nt^k\right\vert\ie |t|^{n+1}$.
\item Soit $x\in[-1,1[$. Déduisez des questions précédentes que $$\lin
\ds\sum_{k=0}^n\frac{x^{k+1}}{k+1}=-\ln (1-x)$$ On obtient ainsi ce qu'on appelle un développement en série entière de $\ln(1-x)$ : on
<<~remplace~>> une fonction compliquée par une sorte de <<~polynôme infini~>> à coefficients entiers. Cela permet dans certains cas de
simplifier des calculs (si si !). Vous verrez ça plus tard. \een}



\exot{Le problème de l'ivrogne} 
Nous nous proposons ici d'étudier le problème crucial suivant. Un ivrogne part à un instant donné d'un point donné. À
chaque seconde, il fait un pas dans une direction inconnue (et qui
peut changer de façon arbitraire à chaque pas). Comme il se
fatigue, ses pas sont de plus en plus courts. Peut-on prévoir
qu'au bout d'un certain temps il restera à moins d'un mètre d'une
certaine position si on admet que la longueur de son $n$-ième pas
est $1/n$ mètre ? $1/n^2$ mètre ?\\
\sm
\paragraph*{Étude de la convergence d'une série\footnote{Une série est une suite $(s_n)$ de terme général $s_n=\Sum_{k=0}^n u_k$, avec $u_k$ une suite.}}
\been \item Soit $\un$ une suite convergeant vers un réel $\ell$.
On considère la suite $(u_{2n})_{n\in\bbn}$ des termes de rang
pair de la suite $\un$. Montrez, à l'aide de la définition de la
convergence d'une suite, que $(u_{2n})_{n\in\bbn}$ converge aussi
vers $\ell$.
\item On pose $S_n=\ds\sum_{k=1}^n \fr{1}{k}$. Quel est le lien
avec l'ivrogne ?
\item Exprimez $S_{2N}-S_N$. Quel est le plus petit terme de cette
somme. Déduisez-en que $S_{2N}-S_N\se 1/2$ pour tout $N\in\bbn^*$.
\item Supposons maintenant que la suite $(S_n)_{n\in\bbn^*}$
converge vers un réel $\ell$. En utilisant le résultat précédent
et les propriétés des opérations sur les limites, montrez qu'on
arrive à prouver que $0\se1/2$. Qu'en concluez-vous sur
$(S_n)_{n\in\bbn^*}$ ?
\item Résolvez alors le premier problème de l'ivrogne. \een
\paragraph*{Utilisation du logarithme népérien et des suites
adjacentes}

On cherche maintenant à estimer la distance parcourue par
l'ivrogne faisant des pas de longueur $1/n$, même si l'on sait qu'elle tend vers l'infini.
\been
\item On définit deux suites $(v_n)_{n\in\bbn^*}$ et
$(w_n)_{n\in\bbn^*}$ vérifiant pour tout $n\in\bbn^*$
$$v_n=S_n-\ln(n+1) \quad \text{et}\quad w_n=S_n-\ln n$$
\been \item Montrez que, pour tout $t\in]-1,+\infty[$,
$\ln(1+t)\ie t$.
\item Prouvez alors que les suites $(v_n)_{n\in\bbn^*}$ et
$(w_n)_{n\in\bbn^*}$ sont adjacentes.
\item Montrez que leur limite commune $\gamma$ appartient à
l'intervalle $]0,1[$. \een
\item Montrez qu'il existe une suite
$(\e_n)_{n\in\bbn^*}$ telle que
$$S_n=\ln n+\gamma+\e_n\qquad \text{avec} \lin{\e_n}=0$$
\item Donnez, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée de
$\gamma$ à $10^{-2}$ près. Donnez également une approximation de
la distance parcourue par l'ivrogne au bout de 24 heures.
\een
\paragraph*{Comparaison série - intégrale}
On note $f$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par
$f(x)=1/x^2$.
\been
\item En utilisant le schéma
\label{rect2}

\begin{center}
 \includegraphics[height=3.5cm]{limfonc.69} 
\end{center}

 la relation de Chasles et la décroissance de $f$, montrez que
$$\ds \sum_{n=2}^Nf(n)\ie\int_{1}^Nf(x)\,dx$$
%
%\begin{center}
%
%\includegraphics{SerieInt.2}
%
%\end{center}
\item On pose $S'_n=\ds\sum_{k=1}^n\fr{1}{k^2}$. En utilisant la question précédente, prouvez que la
suite $(S'_n)_{n\in\bbn^*}$ converge. On notera $L$ la limite.
\item En utilisant judicieusement des petits rectangles, un peu
comme tout à l'heure, montrez que
$$\int_{N+1}^{K+1}f(t)\,dt\ie\sum_{p=N+1}^Kf(p)\ie\int_N^Kf(t)\,dt$$
\item Soit $F$ une primitive de $f$ sur $]0,+\infty[$ telle que
$\Lim{+\infty}F(x)=0$. En utilisant la double inégalité
précédente, montrez que
$$-F(N+1)\ie L-\sum_{p=1}^Nf(p)\ie -F(N)$$
\item Déduisez-en une valeur approchée de $L$ à $10^{-2}$ près.
 \item Que peut-on en déduire pour l'ivrogne ?
%\bigskip
%Pour illustrer notre propos, voici la courbe de l'ivrogne issue de l'étude du mouvement Brownien, ou comment  l'étude des probabilités
%mène à l'alcool.\label{ivrogne}
%\begin{center}
%\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/ts/ts/ivrognecourbe.eps}
%\end{center}
\een















\section{EXERCICES DE BAC}


\exot{}

\textbf{Question de cours}\\
\smallskip
Pr\'erequis: positivit\'e et lin\'earit\'e de l'int\'egrale.\\
Soient $a$ et $b$ deux r\'eels d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ tels que $a\leqslant b$. D\'emontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $I$ telles que pour tout r\'eel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)\geqslant g(x)$, alors $\displaystyle\int_{a}^bf(x)\:\text{d}x\geqslant\int_{a}^bg(x)\:\text{d}x$.\\[1ex]
\medskip
\noindent\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un \'eel sup\'erieur ou \'egal \`a 1.\\
Calculer en fonction de $x$ l'int\'egrale $\displaystyle\int_{1}^x(2-t)\:\text{d}t$.
\item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ appartenant \`a l'intervalle $[1~;~+\infty[$, on a: $2-t\leqslant\dfrac1t$.
\item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que pour tout r\'eel $x$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1, on a:
$$-\frac12x^2+2x-\frac32\leqslant\ln x.$$
\end{enumerate}
\noindent\textbf{Partie B}\\
\smallskip
Soit $h$ la fonction d\'efinie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=-\dfrac12x^2+2x-\dfrac32$.\\
Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d'un rep\`ere orthogonal \oij{} dans lequel on a trac\'e les courbes repr\'esentatives des fonctions $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$. On a a trac\'e \'egalement la droite $(d)$ d'\'equation $x=4$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $\displaystyle\int_{1}^4h(x)\text{d}x=0$.
\item Illustrer sur le graphique le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente.
\end{enumerate}
\item On note $(D)$ le domaine du plan d\'elimit\'e par la droite $(d)$ et les courbes repr\'esentatives des fonction $h$ et logarithme n\'ep\'erien sur l'intervalle $[1~;~4]$.\\
 En utilisant un int\'egration par parties, calculer l'aire de $(D)$ en unit\'es d'aire.
\end{enumerate}



\begin{center}
  \includegraphics{figTSc_integrale.17}
\end{center}









\exot{ROC : intégrale - primitive}


On consid\`ere la fonction $f$, d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ par

\[f(t) = \dfrac{\text{e}^t}{t}.\]

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier la continuit\'e de $f$ sur $[1~;~ + \infty[$. 

\item Montrer que $f$ est croissante sur $[1~;~ + \infty[$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Restitution organis\'ee de connaissances}

On pourra raisonner en s'appuyant sur le graphique fourni.

 Pour tout r\'eel $x_{0}$ de $[1~;~ + \infty[$, on note $\mathcal{A}(x_{0})$ l'aire du domaine d\'elimit\'e par la courbe repr\'esentant $f$ dans un rep\`ere orthogonal, l'axe des abscisses et les droites d'\'equations $x = 1$ et $x = x_{0}$.

 On se propose de d\'emontrer que la fonction ainsi d\'efinie sur $[1~;~ + \infty[$ est une primitive de $f$.

\begin{enumerate} \item Que vaut $\mathcal{A}(1)$ ?

\item Soit $x_{0}$ un r\'eel quelconque de $[1~;~ + \infty[$ et $h$ un r\'eel strictement positif. Justifier l'encadrement suivant :

\[f(x_{0}) \leqslant \dfrac{ \mathcal{A}(x_{0}+ h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h}  \leqslant f(x_{0} + h).\]


\item Lorsque $x_{0} >1$, quel encadrement peut-on obtenir pour $h < 0$ et tel que $x_{0} + h \geqslant  1$ ?

\item En d\'eduire la d\'erivabilit\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi que le nombre d\'eriv\'e en $x_{0}$ de la fonction $\mathcal{A}$.

\item Conclure.

\begin{center}\psset{xunit=2.5cm, yunit=1.2cm}\begin{pspicture}(2.5,5)
\psaxes{->}(0,0)(2.5,5.2)
\psline[linestyle=dotted](1,0)(1,2.71828)(0,2.71828)
\psline[linestyle=dotted](1.2,0)(1.2,2.7668)
\psline[linestyle=dotted](1.35,0)(1.35,2.8574)
\psplot[plotstyle=curve]{0.5}{2.5}{2.71828 x exp x div}
\uput[l](0,2.71828){e}
\uput[d](1.2,0){$x_{0}$} \uput[d](1.45,0.08){$x_{0} + h$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{enumerate}




\exot{Style bac avec Roc}


\textsl{Le but de l'exercice est d'établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On prendra
comme prérequis la définition suivante :}

\noindent \textbf{Définition :} $H$ est une primitive de $h$ sur $[a~;~ b]$ si et seulement si $H$ est dérivable sur $[a~;~ b]$ et si
pour tout $x$ de $[a~;~ b]$ on a $H'(x) = h(x)$.

\noindent Dans la suite on note $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par

$$f(t) = \ln \left(t^2 + 1\right)$$

\begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $f$ est continue sur $[0, +\infty[$.

\item Montrer que $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$.

La fonction $f$ est représentée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(3.4,3.4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=5](0,0)(-0.4,-0.4)(3.4,3.4)
\psaxes{->}(0,0)(-0.4,-0.4)(3.4,3.4) \uput[dl](0,0){O} \uput[d](2.28,0){$x_{0}$}
\uput[d](2.57,0){$x_{0}+h$} \psplot{-0.4}{3.4}{x 2 exp 1 add ln}
\psline[linestyle=dotted](2.28,0)(2.28,1.8243) \psline[linestyle=dotted](2.57,0)(2.57,2.0288)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \psplot{2.28}{2.57}{x 2 exp 1 add ln}
\psline(2.57,0)(2.28,0)}
\end{pspicture}
\end{center}


Pour $\alpha \geqslant  0$, on note $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire de la portion de plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe
représentative de $f$ et la droite d'équation  $x = \alpha$.

\item \begin{enumerate} \item Soit $x_{0}$ et $h$ des réels strictement
positifs. En utilisant un  rectangle convenablement choisi, établir l'encadrenent

\[\ln \left(1 +x_{0}^2\right)  \leqslant    \cfrac{\mathcal{A}(x_{0 }+
h) - \mathcal{A}(x_{0})}{h} \leqslant   \ln \left[1 + \left(x_{0} +h\right)^2\right].\]

\item Quel encadrement peut-on obtenir de la même manière pour $h < 0$
et $h \geqslant -x_{0}$ ?

\item \textbf{Démontrer} que $\mathcal{A}$ est dérivable  en $x_{0}$. Quel est le nombre dérivé
de $\mathcal{A}$ en $x_{0}$ ?

\end{enumerate}

\item  Expliquer pourquoi $\ln (2) \leqslant \mathcal{A}(2) \leqslant 2
\ln(5).$

\end{enumerate}

\exot{Roc again}


\begin{enumerate} \item On considère la fonction numérique $f$ définie
sur $[1~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \fr{1}{x} \text{exp} \left( \fr{1}{x}\right).\]

\noindent On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \oij~ du plan.

\noindent Pour tout réel $\alpha \geqslant  1$, on considère les intégrales
    'i
\[J(\alpha) = \displaystyle\int_{\alpha}^{2\alpha} \fr{1}{x}
\:\text{d}x \qquad  \text{et} \qquad  K(\alpha) =\displaystyle\int_{\alpha}^{2\alpha} \fr{1}{x}\text{exp} \left(
\fr{1}{x}\right)\:\text{d}x.\]

Le but de l'exercice est d'étudier, sans chercher à la calculer, l'intégrale $K(\alpha)$.

\begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement le
résultat.

\item Étudier le sens de variation de $f$

\item Donner l'allure de la courbe $\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement le nombre $K(\alpha)$.

\item Soit $\alpha \geqslant  1$, montrer que

\[\fr{1}{2}\text{exp} \left(\fr{1}{2\alpha}\right) \leqslant
K(\alpha) \leqslant \text{exp} \left(\fr{1}{\alpha}\right).\]

\item En déduire que

\[\fr{1}{2}  \leqslant K(\alpha) \leqslant \text{e}.\]

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Calculer $J(\alpha)$.

\item Démontrer que pour tout réel $\alpha \geqslant  1$

\[\text{exp}\left(\fr{1}{2\alpha}\right) \ln (2) \leqslant
K(\alpha) \leqslant  \text{exp} \left(\fr{1}{\alpha}\right) \ln (2).\]

\end{enumerate}

\item \textbf{Démonstration de cours.}

\textbf{Prérequis :} Définition de la limite d'une fonction en $+ \infty$.

\textbf{Démontrer} le théorème suivant :

Soient $u,~ v$ et $w$ des fonctions définies sur $[1~;~ +\infty[$ telles que pour tout réel $x \geqslant 1,~ u(x) \leqslant (v(x)
\leqslant w(x)$.

S'il existe un réel \textsl{l} tel que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x) = \textsl{l}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} w(x)
= \textsl{l}$ alors $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} v(x) =  \textsl{l}$.

\item Déduire de ce qui précède la limite de $K(\alpha)$ lorsque
$\alpha$ tend vers $+ \infty$.

\end{enumerate}






\exot{Let's Roc}



\noindent \textbf{\gray Partie A}

On consid\`ere la fonction nutn\'erique $f$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur l'intervalle $[0 ~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \sqrt{x} \text{e}^{1 - x}.\]

\noindent On note $\mathcal{C}$ la  courbe representative de $f$ dans le plan rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \oij.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer la limite de $f$ en $+ \infty$
(on pourra pour cela justifier et exploiter l'\'ecriture pour tout $x$ r\'eel strictement positif : $\left.~ f(x) =
\cfrac{\text{e}}{\sqrt{x}} \times \cfrac{x}{\text{e}^x}\right)$. Interpr\'eter graphiquement le r\'esultat.

\item D\'emontrer que $f$ est d\'erivable sur $]0~;~+
\infty[$ puis calculer $f'(x)$.

\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes le tableau de variation
de $f$.

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ (unit\'e graphique : 2 cm). On admettra que
$\mathcal{C}$est tangente en O à l'axe des ordonn\'ees.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B}

On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} =\displaystyle\int_{n}^{n+1}\:
f(t)\:\text{d}t$.

\begin{enumerate} \item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement $u_{n}$.

\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ non
nul : $f(n +1) \leqslant  u_{n} \leqslant f(n)$.


\item En d\'eduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est d\'ecroissante.

\item Prouver la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ et d\'eterminer sa limite.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie C}

On consid\`ere la fonction num\'erique $F$ de la variable r\'eelle $x$ d\'efinie sur $[1~;~+ \infty[$ par :

\[F(x) = \displaystyle\int_{0}^x\:f(t)\:\text{d}t.\]

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que $F$ est d\'erivable sur $[1~;~+ \infty[$ et
calculer $F'(x)$.

\item En d\'eduire le sens de variations de $F$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que pour tout r\'eel $t$ positif : $t +
2 \geqslant  2\sqrt{2}\sqrt{t}$.

\item En d\'eduire que pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ :

\[F(x) \leqslant \cfrac{1}{2\sqrt{2}} \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:
\text{d}t.\]

\item À l'aide d'une int\'egration par parties, montrer que pour tout
$x$ appartenant à $[1~;~+ \infty[$ :

\[ \displaystyle\int_{0}^x\: (t + 2)\text{e}^{1 - t}\:\text{d}t = 4 -
(x + 3)\text{e}^{1-x}.\]

\item En d\'eduire que pour tout $x$ appartenant à $[1~;~+
\infty[~ :~ 0 \leqslant  F(x) \leqslant \sqrt{2}$.

\end{enumerate}

\item On note, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$S_{n}$ la somme des $n-1$ premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$. Exprimer $S_{n}$ à l'aide d'une int\'egrale. Montrer que la
suite $\left(S_{n}\right)$ converge et donner un encadrement de sa limite.

\end{enumerate}



\exot{Partage équitable}



Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.

\noindent Soient $f$ la fonction d\'efinie sur l'intervalle $[0~;~1]$ par $f'x) = \text{e}^{x - 1}$ et  $\mathcal{C}$ sa courbe
repr\'esentative dans le rep\`ere \oij.

\noindent On note  $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
 d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.

\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.

\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathcal{C}$.

\noindent  On d\'esigne  par $g(x)$ l'aire de $T_{x}$.

\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)

     \uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}

\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} \item Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0, 1],
calculer $g(x)$ en fonction de $x$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].

\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1] tel que
$g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e  de l'aire de $\Delta$.

\item Trouver une valeur approch\'ee de $\alpha $ à $10^{-3}$ pr\`es par d\'efaut.

\end{enumerate}




\exot{Partage équitable avec Roc}



Le plan est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal.

\noindent On note I le point de coordonn\'ees $(1~;~0)$.

\noindent Soient $f$ une fonction positive, strictement croissante et d\'erivable sur [0 ; 1], $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative
dans le rep\`ere \oij et $\Delta$ la portion de plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites
d'\'equations $x =  0$ et $x = 1$.

\noindent  Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'un unique r\'eel
 $\alpha$ appartenant à [0 ; 1] tel que, si $A$ est le point de
 $\mathcal{C}$ d'abscisse $\alpha$,
 le segment [I$A$] partage $\Delta$ en deux r\'egions de même aire.

\noindent  Pour tout $x$ appartenant à [0 ; 1] on note $M_{x}$ le point de coordonn\'ees $\left(x,~f(x)\right)$ et $T_{x}$ le domaine
d\'elimit\'e par la
 droite I$M_{x}$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonn\'ees et la courbe $\mathcal{C}$.

\noindent On d\'esigne par $F$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par $F(x) = \displaystyle\int_{0}^x f(t)\:\text{d}t$ et par $g(x)$
l'aire de $T_{x}$.

\begin{center}
    \psset{unit=5cm}
\begin{pspicture}(1.25,1.25)
     \psline{->}(-0.2,0)(1.25,0) \psline{->}(0,-0.1)(0,1.25)
     \psplot{0}{1}{2.71828 x 1 sub exp}
     \psline(1,0)(0.4,0.548811)
     \psline(1,0)(1,1)

     \uput[u](0.5,0.67){$\mathcal{C}$}
     \uput[dl](0,0){O}  \uput[ul](0.4,0.548811){$M_{x}$}
     \pscustom{\psline(0,0)(0,0.307879) \psplot{0}{0.4}{2.71828 x 1 sub exp}\psline(0.4,0.548811)(1,0)
     \gsave
     \psline(0,0)(1,0)
%\definecolor{lightblue}{rgb}{.68, .85, .9}
     \fill[fillstyle=solid,fillcolor=yellow]
     \grestore
     \psline(0.4,0)(0,0)}

\psline[linestyle=dotted](0.4,0)(0.4,0.548811) \uput[d](0.75,0.3){$\Delta$} \uput[d](0.4,0){$x$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate} \item Exprimer, pour tout $x$ appartenant à
l'intervalle [0 ; 1], $g(x)$ en fonction de $x,~f(x)$ et $F(x)$.

\item \textbf{D\'emonstration de cours} D\'emontrer que $F$ est
d\'erivable et a pour d\'eriv\'ee $f$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $g$ : $x
\mapsto g(x)$ sur [0 ; 1].

\item \begin{enumerate} \item Par des consid\'erations d'aires, montrer que
$g(0) \leqslant \cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^1 f(t)\:\text{d}t$.

\item Montrer qu'il existe un unique r\'eel $\alpha$ de [0 ; 1]
tel que $g(\alpha)$ soit \'egal à la moiti\'e de l'aire de $\Delta$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\exot{Un peu d'imagination...}



Les questions sont ind\'ependantes. II est demand\'e de justifier toutes les r\'eponses fournies.

\begin{enumerate} \item Dans chacun des cas suivants, proposer une
fonction $f$ qui v\'erifie les propri\'et\'es donn\'ees.

\noindent On donnera l'expression de $f(x)$.

\begin{enumerate} \item $f$ est d\'efinie sur $\bbr$ par $f(x) = a\text{e}^{2x} +
b\text{e}^{x} + c$, la limite de $f$ en $+ \infty$ est $+ \infty$ et l'\'equation $f(x) = 0$ admet deux solutions, $0$ et $\ln 2$.

\item $f$ est d\'efinie sur $]0~;~ + \infty[,~ f(2) = 4$ et, pour tout $x$ et tout $y$
r\'eels strictement positifs, $f(xy) = f(x) + f(y)$.

\item $f$ est une fonction polynôme de degr\'e sup\'erieur ou \'egal à 2 et la valeur
moyenne de $f$ sur $[-2~;~2]$ est 0.

\end{enumerate}

\item Soit $g$ une fonction d\'efinie et d\'erivable, de
d\'eriv\'ee $g'$ continue sur $[-1~;~ 1]$. La courbe repr\'esentative de $g$ est donn\'ee ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,2)
\psline{->}(-1.1,0)(1.1,0) \psline{->}(0,-1)(0,2) \psplot{-1}{1}{x 1 sub x mul} \uput[d](1,0){1} \uput[d](-1,0){-1} \uput[l](0,1){1}
\uput[l](0,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent Les affirmations suivantes sont-elles coh\'erentes avec le sch\'ema:

\begin{enumerate} \item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x= 0$~ ?

\item $\displaystyle\int_{0}^1 g'(x)\:\text{d}x \geqslant -
\cfrac{1}{2}$~ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\exot{Suite définie par une intégrale}

\noindent \textbf{Partie A}

On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie par :

\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]

\begin{enumerate}\item Montrer que la fonction $f~:~t \longmapsto (2 - t)\text{e}^t$ est une primitive de $g~:~t \longmapsto (1 - t)\text{e}^t$ sur $[0~;~1]$.

En d\'eduire la valeur de $u_{1}$.

\item Montrer \`a l'aide d'une int\'egration par parties que, pour tout $n$ non nul,

\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\quad \text{(R)}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

On regarde d'abord ce qu'affichent deux calculatrices diff\'erentes pour les valeurs approch\'ees des 25 premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ en utilisant pour le calcul la relation de r\'ecurrence (R) ci-dessus.

\noindent Voici les r\'esultats affich\'es par ces deux calculatrices :

\begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
Valeur & Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par &  Valeur de $u_{n}$ affich\'ee par\\ 
de $n$ & la premi\`ere calculatrice & le deuxi\`eme calculatrice\\ \hline
1&$7,1828182845$E$-01$&$7,1828182846$E$-01$\\\hline
2&$4,3656365691$E$-01$&$4,3656365692$E$-01$\\\hline
3&$3,0969097075$E$-01$&$3,0969097076$E$-01$\\\hline
4&$2,3876388301$E$-01$&$2,3876388304$E$-01$\\\hline
5&$1,9381941508$E$-01$&$1,9381941520$E$-01$\\\hline
6&$1,6291649051$E$-01$&$1,6291649120$E$-01$\\\hline
7&$1,4041543358$E$-01$&$1,4041543840$E$-01$\\\hline
8&$1,2332346869$E$-01$&$1,2332350720$E$-01$\\\hline
9&$1,0991121828$E$-01$&$1,0991156480$E$-01$\\\hline
10&$9,9112182825$E$-02$&$9,9115648000$E$-01$\\\hline
11&$9,0234011080$E$-02$&$9,0272128000$E$-02$\\\hline
12&$8,2808132963$E$-02$&$8,3265536000$E$-02$\\\hline
13&$7,6505728522$E$-02$&$8,2451968000$E$-02$\\\hline
14&$7,1080199309$E$-02$&$1,5432755200$E$-01$\\\hline
15&$6,6202989636$E$-02$&$1,3149132800$E$+00$\\\hline
16&$5,9247834186$E$-02$&$2,0038612480$E$+01$\\\hline
17&$7,2131811612$E$-03$&$3,3965641216$E$+02$\\\hline
18&$-8,7016273909$E$-01$&$6,1128154189$E$+03$\\\hline
19&$-1,7533092042$E$+01$&$1,1614249296$E$+05$\\\hline
20&$-3,5166184085$E$+02$&$2,3228488592$E$+06$\\\hline
21&$-7,3858986580$E$+03$&$4,8779825043$E$+07$\\\hline
22&$-1,6249077047$E$+05$&$1,0731561499$E$+09$\\\hline
23&$-3,7372887209$E$+06$&$2,4682591448$E$+10$\\\hline
24&$-8,9694930302$E$+07$&$5,9238219474$E$+11$\\\hline
25&$-2,2423732585$E$+09$&$1,4809554869$E$+13$\\\hline
\end{tabular} \end{center}

\noindent Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ quand on examine les r\'esultats obtenus avec la premi\`ere calculatrice ? Et avec les r\'esultats obtenus avec la deuxi\`eme calculatrice ?

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie C}

Dans cette partie on se propose d'\'etudier la suite $\left(u_{n}\right)$ \`a partir de la d\'efinition : 

\[\text{pour tout entier naturel}~n~\text{non nul},~u_{n} = \displaystyle\int_{0}^1
(1 - t)^n \text{e}^t\, \text{d}t.\]

\begin{enumerate}\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n} \geqslant 0$.

\item \begin{enumerate}\item Montrer que pour tout r\'eel $t$ de l'intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul $n$

\[ (1 - t) ^n \text{e}^t \leqslant \text{e} \times (1 - t)^n.\]

\item En d\'eduire que pour tout $n$ non nul, $u_{n} \leqslant \dfrac{\text{e}}{n + 1}$.

\end{enumerate}

\item D\'eterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie D}

Dans cette partie, on se propose d'exploiter la relation de r\'ecurrence (R) v\'erifi\'ee par la suite $\left(u_{n}\right)$.

\[u_{n+1} = (n + 1)u_{n} - 1\]

\noindent Étant donn\'e un r\'eel $a$, on consid\`ere la suite $\left(v_{n}\right)$ d\'efinie par :

\[v_{1} = a\quad \text{et pour tout entier naturel non nul}~n,~v_{n+1} = (n + 1)v_{n} - 1.\]

\begin{enumerate}\item En utilisant le raisonnement par r\'ecurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul $n,~v_{n} = u_{n} + (n!)(a + 2 - \text{e})$ o\`u $n!$ d\'esigne le produit des $n$ premiers entiers naturels non nuls.

\item Étudier le comportement de la suite $\left(v_{n}\right)$ \`a l'infini suivant les valeurs de $a$.

(On rappelle que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} n! = + \infty$.)

\item En d\'eduire une raison susceptible d'expliquer les r\'esultats affich\'es par les deux calculatrices.

\end{enumerate}



\exot{}




On considère les fonctions $f$ et $g$ définies, sur l'intervalle $[0~ ;~ + \infty[$, par

\[ f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad  g(x) = \text{e}^x - 1.\]

On désigne par $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal
\oij. Ces courbes sont tracées sur la feuille annexe, dont le candidat disposera comme il le jugera utile ; cette annexe sera \`a joindre \`a la copie, avec les éventuels ajouts effectu\'es par le candidat,

\begin{enumerate}\item Vérifier que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ 	ont une tangente commune au point \\O(0 ; 0). Préciser la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à cette tangente.

\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ sont symétriques par rapport \`a la droite d'équation $y =x$.

\item Soit $a$ un nombre réel strictement positif. On se propose de calculer de deux façons différentes le nombre $I(a) = \displaystyle\int_{0}^a  \ln (x + 1)\,\text{d}x$.

\begin{enumerate}\item En utilisant des considérations d'aires, démontrer que
\[I(a)  = a \ln (a + 1) - \displaystyle\int_{0}^{\ln (a + 1)} \left(\text{e}^x - 1\right)\,\text{d}x.\]

\item En déduire la valeur de $I(a)$.

\item Retrouver la valeur de $I(a)$ en effectuant une intégration par parties.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


 \begin{center}
 
\noindent \psset{unit=2cm}\begin{pspicture}(4,4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10](0,0)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.75pt,labels=none]{->}(0,0)(4,4)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\ve{\imath}$}  \uput[dl](0,0){O}
\uput[l](0,0.5){$\ve{\jmath}$}
\psplot{0}{4}{x 1 add ln} 
\psplot{0}{1.6095}{2.71828 x exp 1 sub} 
 \end{pspicture} 

\end{center}



\exot{Constante d'Euler}


\begin{enumerate}\item D\'emontrer que pour tout $n$ de $\bbn^*$ et tout $x$ de [0 ; 1] :

\[\dfrac{1}{n} - \dfrac{x}{n^2} \leqslant \dfrac{1}{x + n} \leqslant \dfrac{1}{n}.\]

\item \begin{enumerate}\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{1}{x + n}\,\text{d}x$.

\item D\'eduire en utilisant \textbf{1.}, que :

\[\text{pour}~n \in \bbn^* \quad \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{2n^2} \leqslant \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right)\quad (1)\]

\[ \text{puis que}\quad \ln \left(\dfrac{n+1}{n}\right) \leqslant \dfrac{1}{n}.\]

\end{enumerate}

\item On appelle $U$ la suite d\'efinie pour $n \in \bbn^*$ par :

\[U(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n) = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n).\]

D\'emontrer que $U$ est d\'ecroissante (on pourra utiliser \textbf{2. b.}.)

\item On d\'esigne par $V$ la suite de terme g\'en\'eral :

\[V(n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{k=n} \dfrac{1}{k} - \ln (n + 1)  = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n} - \ln (n + 1).\]
D\'emontrer que $V$ est croissante.

\item  Démontrer que $U$ et $V$ convergent vers une limite commune notée $\gamma$.

Déterminer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près par la méthode de votre choix.

\end{enumerate}


\exot{Calcul de volume}


\begin{center}\psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(4,3) 
\psaxes{->}(0,0)(4,3) 
\qdisk(0,2.71828){1.5pt} \qdisk(1,1){1.5pt} 
\uput[ur](0,2.71828){A} \uput[ur](1,1){B} \uput[dl](0,0){O} 
\psplot{-0.1}{4.1}{2.71828 1 x sub exp} 
\end{pspicture}\end{center} 
\vspace{0,5cm} 

On a représenté ci-dessus, dans un repère orthonormal \oij, la courbe 
représentative de la fonction $f$ dérivable sur $\R$, solution de l'équation 
différentielle 

\[(\text{E})\qquad : \quad y' + y = 0 \quad \text{et telle que} \quad 
f(0) = \text{e}.\] 

\begin{enumerate} \item Déterminer $f(x)$ pour tout $x$ réel. 

\item Soit $t$ un réel donné de l'intervalle [1 ; e]. 

Résoudre dans $\R$ l'équation $\text{e}^{1 - x} = t$ d'inconnue $x$. 

\item Soit A le point d'abscisse 0 et B le point d'abscisse 1 de la courbe. 

On considère le solide obtenu par rotation autour de l'axe des ordonnées 
de l'arc de courbe $\wideparen{\text{AB}}$ comme représenté ci-dessous. On note V son volume. 

On admet que V $= \pi \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (1 - \ln t)^2\: 
\text{d}t$. 

Calculer V à l'aide de deux intégrations par parties successives. 

\end{enumerate} 

\begin{center} \psset{unit=2.5cm} \begin{pspicture}(-3,-0.2)(3,3) 
\psaxes{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,3) 
\psplot{0}{1}{2.71828 1 x sub exp} 
\psplot{-1}{0}{2.71828 1 x add exp} 
%\psset{origin={0,1}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linewidth=0.02]{1}{0.2}{-180}{0}} 
\rput(0,1){\pstEllipse[linestyle=dotted]{1}{0.2}{0}{180}} 
\end{pspicture}\end{center} 



\exot{Volume bis}


Soit $f$ la fonction définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par

\[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\]

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
\item \begin{enumerate}\item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathcal{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation

\[f(x) = \ln (x)\]

sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par :
\[g (x) = \ln (x) - f(x)\]

est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.

En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$
sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Déterminer à $10^{-3}$	près une valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer :
\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3  x^2\text{e}^{2x}\,\text{d}x.\]	

\item On définit le solide $\mathcal{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant  3$ dans le plan ($x$O$y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ du solide est donné par :
\[\mathcal{V}	=\displaystyle\int_{0}^3 \pi[f(x)]^2\,\text{d}x.\]

\begin{enumerate}\item Exprimer $\mathcal{V}$ en fonction de I.
\item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\exot{Calcul d'aire}


La  courbe $\mathcal{C}$ donn\'ee ci-dessous est la repr\'esentation graphique de 
la fonction $f$ d\'efinie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} + 1 - x.\]

\begin{center}\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-4)(3,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white](0,0)(0,-4)(3,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-4)(0,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dl](0,1){$\ve{\jmath}$}
\uput[dl](1,0){$\ve{\imath}$}
\uput[d](2.8,-1.1){$\mathcal{C}$}
\psplot{0.1515}{3}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\uput[u](.2,0){$\alpha$}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{
\psplot{0.1515}{1}{x ln x 0.5 exp div 1 add x sub}
\psline(1,0)(.1515,0)}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est d\'erivable et que,
 pour tout $x$ strictement  positif, $f'(x)$ est du signe de
\[N(x) = -\left[2\left(x\sqrt{x} -1 \right) + \ln x.\right]\]

\item Calculer $N(1)$ et d\'eterminer le signe de $N(x)$ en distinguant 
les cas \\$0 < x < 1$ et $x > 1$.

\item En d\'eduire le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ et les 
coordonn\'ees du point de $\mathcal{C}$ d'ordonn\'ee maximale.

\end{enumerate}

\item On note  $\mathcal{A}(\alpha)$ l'aire, exprim\'ee en unit\'es d'aire, de la partie 
du plan gris\'ee sur la figure, où $\alpha$
d\'esigne un r\'eel de $]0~;  1[$.

\begin{enumerate} \item Exprimer $\mathcal{A}(\alpha)$ en fonction de $\alpha$ 
(on pourra utiliser une  int\'egration par parties).

\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers 0.
 Donner une interpr\'etation graphique de cette limite.

\end{enumerate}

\item On d\'efinit une suite $\left(u_n\right)_{n \in \bbn}$ par son premier terme 
$u_0$ \'el\'ement de [1 ; 2] et :

\[ \text{pour tout entier naturel} \quad  n,~ u_{n+1} = \dfrac{\ln 
u_n}{\sqrt{u_n}} + 1.\]

\begin{enumerate} \item D\'emontrer, pour tout r\'eel $x$ \'el\'ement de [1 ;  2], la double
 in\'egalit\'e \\$0 \leqslant \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}} \leqslant  1$.

\item D\'emontrer par r\'ecurrence que, pour tout entier naturel $n,~ u_n$ 
appartient  \`a [1 ; 2].

\end{enumerate}

\item En remarquant que, pour tout  entier naturel $n,~u_{n+1} = f(u_n) + 
u_n$, d\'eterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

\item \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \bbn}$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.

\item D\'eterminer la valeur exacte de $\ell$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{Calcul de e comme limite d'une somme}


\begin{center} \textbf{\gray Partie I} \end{center}
    
    On donne un entier naturel $n$ strictement positif, et on consid\`ere l'\'equation 
diff\'erentielle :

\[(\text{E}_{n})\qquad 	y'+y = \cfrac{x^n}{n!}\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} \item On fait l'hypoth\`ese que deux fonctions $g$ et $h$, d\'efinies et 
d\'erivables sur $\R$, v\'erifient, pour tout $x$ r\'eel :

	\[g(x) = h(x)\text{e}^{-x}.\]
	
\begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si, pour 
tout $x$ r\'eel,

\[h'(x) = \cfrac{x^n}{n!}.\]

\item En d\'eduire la fonction $h$ associ\'ee à une solution $g$ de (E$_{n}$), sachant que
 $h(0)= 0$.
 
Quelle est alors la fonction $g$ ?

\end{enumerate}

\item Soit $\varphi$ une fonction d\'erivable sur $\R$.

\begin{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est solution de (E$_{n}$) si et seulement si 
$\varphi - g$ est solution de l'\'equation :

\[(\text{F})\qquad 	y' + y = 0.\]

\item R\'esoudre (F). 

\item D\'eterminer la solution g\'en\'erale $\varphi$ de l'\'equation (E$_{n}$). 

\item D\'eterminer la solution $f$ de l'\'equation (E$_{n}$) v\'erifiant $f(0) = 
0$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{\gray Partie II} \end{center}
    
\noindent Le but de cette partie est de montrer que

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^{n} \cfrac{1}{k!} = 
\text{e} \quad  (\text{on rappelle que par convention} \quad 0! = 1).\]

\begin{enumerate} \item On pose, pour tout $x$ r\'eel,

\[f_{0}(x) = \text{e}^{-x},~f_{1}(x) = x\text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate} \item V\'erifier que $f_{1}$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle : $y' + y = f_{0}$.

\item Pour tout entier strictement positif $n$, on d\'efinit la fonction
 $f_{n}$ comme la solution de l'\'equation diff\'erentielle $y'+y = 
 f_{n-1}$ v\'erifiant $f_{n}(0) = 0$.
 
En utilisant la \textbf{\gray Partie I}, montrer par r\'ecurrence que, pour tout $x$ r\'eel
et tout entier $n \geqslant  1$ :

\[f_{n}(x) = \cfrac{x^{n}}{n!}\text{e}^{-x}.\]

\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose :

\[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 f_{n}(x)\:\text{d}x. \quad \text{(on 
ne cherchera pas à calculer}~ I_{n})\]

\begin{enumerate} \item Montrer, pour tout entier naturel $n$ et pour tout $x$ \'el\'ement de l'intervalle 
[0 ; 1], l'encadrement :

\[0 \leqslant f_{n}(x) \leqslant \cfrac{x^{n}}{n!}.\]

En d\'eduire que $0 \leqslant I_{n} \leqslant \cfrac{1}{(n+1)!}$,~ puis d\'eterminer 
la limite de la suite $\left(I_{n}\right)$.

\item Montrer, pour tout entier naturel $k$ non nul, l'\'egalit\'e : $I_{k} - 
I_{k-1} = - \cfrac{1}{k!}\text{e}^{-1}.$

\item Calculer I$_{0}$ et d\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede que :

\[I_{n} = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \cfrac{\text{e}^{-1}}{k!}\]

\item En d\'eduire finalement :

\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \sum_{k=0}^n \cfrac{1}{k!} = 
\text{e}.\]

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\exot{développement limité de $\Mathbold{x\mapsto \ln(1+x)}$}


\noindent \textbf{But de l'exercice :} approcher $\ln( 1 + a)$ par un polynôme de
 degr\'e 5 lorsque $a$ appartient \`a l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

Soit $a \in [0~;~+ \infty[$.

\noindent On note $I_0(a) = \displaystyle\int_0^a \cfrac{1}{1 + t} \:\text{d}t$ et pour 
$k \in \bbn^*$, on pose $I_k(a) = \displaystyle\int_0^a \cfrac{(t -a)^k}{(1 + 
t)^{k+1}} \:\text{d}t.$

\begin{enumerate} \item Calculez $I_0(a)$ en fonction de $a$.

\item \`A l'aide d'une int\'egration par parties, exprimez $I_1(a)$ en 
fonction de $a$

\item \`A l'aide d'une int\'egration par parties, d\'emontrez que

\[I_{k+1}(a) = 
\cfrac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1}	+ I_k(a) \quad \text{pour tout}\quad k \in \bbn^*.\]

\item Soit $P$ le polynôme d\'efini sur $\R$ par $P(x) = \cfrac{1}{5}x^5 
-\cfrac{1}{4}x^4 + \cfrac{1}{3}x^3 - \cfrac{1}{2}x^2 +x$.

\noindent D\'emontrez en calculant $I_2(a),~ I_3(a)$ et $I_4(a)$, que $I_5(a)
 = \ln(1 +  a) - P(a)$.

\item Soit $J(a) = \displaystyle\int_0^a  (t - a)^5\: \text{d}t$. Calculez $J(a)$.
		
\item \begin{enumerate} \item D\'emontrez que pour tout $t \in [0~ ;~a],~\cfrac{(t-a)^5}{(1+t)^6} 
\geqslant 	(t - a)^5$.
	
\item D\'emontrez que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[, ~J(a) \leqslant I_5(a) 
\leqslant 0$.

\end{enumerate}
	
\item En d\'eduire que pour tout $a \in [0~;~+ \infty[,~ \left|\ln (1 + a) - 
P(a)\right| \leqslant \cfrac{a^6}{6}$.

\item D\'eterminez, en justifiant votre r\'eponse, un intervalle sur lequel
 $P(a)$ est une valeur approch\'ee de $\ln (1 + a)$ \`a $10^{-3}$ pr\`es.
 
\end{enumerate} 



\exot{Intégrales et probabilités}



\been \item Le but de cette question est de déterminer la
probabilité que la somme de deux nombres choisis au hasard dans
l'intervalle $[0,1]$ ne dépasse pas 1 et que le produit fasse au
plus 2/9. \been \item Dans un repère orthonormé d'unité 10cm,
construisez la droite $(D)$ d'équation $y=-x+1$ et la courbe $(C)$
d'équation $y=\fr{2}{9x}$. \item Hachurez la partie du plan
$\ER=\{x\in[0,1],\ y\in[0,1]\ \big|\ x+y\ie1\ \text{et}\
xy\ie2/9\}$. \item Déterminez les coordonnées des points
d'intersection de $(D)$ et $(C)$. \item Montrez que l'aire $\AR$
de $\ER$ vaut $\fr{1}{3}+\fr{2}{9}\ln2 \ u.a.$ \item En remarquant
que la probabilité $p$ cherchée vaut $\fr{\AR}{\text{aire du carré
unité}}$, calculez $p$. Cette probabilité dépend-elle de l'unité
choisie~? \een \item Jouons~: on choisit au hasard et
successivement trois couples de nombres compris entre 0 et 1. On
gagne lorsque deux au moins des couples satisfont la condition de
la question 1).

Calculez la probabilité $\pi$ de gagner une partie en fonction de
$p$.
 \item Deux personnes $A$ et $B$ jouent à ce jeu.

Si $A$ gagne une partie et $B$ perd, $A$ est déclaré vainqueur.

Si $A$ perd une partie et $B$ gagne, $B$ est déclaré vainqueur.

Dans les autres cas, ils recommencent à jouer.

On note

$A_n$ l'événement~: «~$A$ est déclaré vainqueur après la $n$\eme
partie~».

$B_n$ l'événement~: «~$B$ est déclaré vainqueur après la $n$\eme
partie~».

$C_n$ l'événement~: «~le jeu continue après la $n$\eme partie~».

\been \item Calculez $p(A_1)$, $p(B_1)$ et $p(C_1)$. \item
Exprimez $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$. \item Déduisez-en
que $(C_n)_{n\in\bbn}$ est une suite géométrique et exprimez
$p(C_n)$ en fonction de $n$ et $p(C_1)$.

Donnez une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $p$ puis de $\pi$.
Calculez alors $\lin{C_n}$.
 \item Exprimez $p(A_{n+1})$ en
fonction de $p(C_n)$ et déduisez-en $p(A_n)$ en fonction de $n$.
 \een \een






\end{document}
