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\documentclass[fourier]{Polymaths}

\usepackage[height=240mm,width=173mm,a4paper]{geometry}
\usepackage{casio,ti83font}


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\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}}
        \renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}
   %     \renewcommand{\labelenumiii}{\theenumii)}
%\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumii}}




\begin{document}

 \setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}
\vspace{-6cm}
\pagestyle{empty}



\ENC{}{\begin{center}{\Large\floweroneleft \ \  2\textsuperscript{nde} 13  \ \ Devoir surveillé de mathématiques n°2  \floweroneright}\\
{\large Jeudi 23 novembre 2006 \ \ -\ \ Durée : 2 heures}\end{center}}





\exot{} 
 
\begin{minipage}{9.5cm} 
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[-3;5]$ par $f(x)=x^2-x-6$. 
 
Ci-contre, on donne $\CR_f$, la courbe représentative de $f$. 
 
\begin{enumerate} 
 
 \item Déterminer graphiquement: 
 
 \begin{itemize}
 \item $f(0)$: \dotfill 
 \item l'image de $3$ par $f$: \dotfill 
 \item les éventuels antécédents de $-4$ par $f$: 
 \dotfill 
 \item les éventuels antécédents de $10$ par $f$: 
 \dotfill 
 \item les éventuels antécédents de $-6$ par $f$: 
 \dotfill 
 \item l'ordonnée du point de $\CR_f$ d'abscisse $5$: \dotfill 
 \item les solutions de l'équation $f(x)=3$ \dotfill 
 \end{itemize} 
 
 \item Déterminer algébriquement l'image de $\frac{1}{2}$ par $f$. 
 \item Montrer que pour tout $x$ de $[-3;5]$, 
 $f(x)=(x-3)(x+2)$. 
 
 \item Retrouver algébriquement les antécédents de $0$ par $f$. 
 
\end{enumerate} 
 
\end{minipage} 
\hfill 
\begin{minipage}{7.2cm} 
 
\psset{xunit=0.8,yunit=0.4} 
\begin{pspicture}(-3.5,-8)(5.5,15) 
\MaGrille[5,xunit=0.5]{-6}{-7}{10}{14} 
\MesAxes[.6pt,Dy=5]{-3.5}{-8}{5.5}{15} 
\psplot[plotpoints=500]{-3}{5}{-1 x add x mul -6 add} 
\MonRepereij 
\rput(-0.3,-0.6){$O$} 
\rput(-3,6){\scalebox{0.8}{$\bullet$}} 
\rput(5,14){\scalebox{0.8}{$\bullet$}} 
 
\end{pspicture} 
 
\end{minipage} 
 
  





\exot{}

On considère la fonction
%\vspace{-0.77cm}
$
f :
\left\{
\begin{array}{ccc}
\bbr & \longrightarrow & \bbr\\
x & \longmapsto & \frac{1}{3}\,x^2-\frac{2}{x}
\end{array}
\right.
$

\vspace{.2cm}
Calculer :
$f(1)$, $f(-1)$, $f\left(\frac{3}{2}\right)$ et $f(\sqrt{3})$.

(\emph{ On détaillera les calculs et on simplifiera les réponses}). 




\exot{}

On pose $k(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$, la fonction $k$ étant définie sur l'intervalle $\left[\frac32 ; 5\right]$.
\begin{enumerate}
\item \'A l'aide de la calculatrice, dresser le tableau de valeurs de la fonction $k$ avec un pas d
e $\frac12$. Inutile
de recopier ce tableau sur la copie.
\item En déduire les valeurs minimales et maximales de $k(x)$. Tracer alors les axes du repère avec
une échelle
appropriée.
\item Placer les points obtenus grâce au tableau de valeurs.
\item Refaire un tableau de valeurs, pour $x$ compris entre $\frac32$ et $\frac52$, avec cette fois
un pas de
$\frac{1}{10}$.
\item Placer les nouveau points et tracer la courbe.
\item Résoudre graphiquement les équations $k(x)=2$, $k(x)=4$ et $k(x)=6$.
\item Résoudre alors $4\ie k(x)<6$. 
\end{enumerate} 








\exot{}

\begin{multicols}{2}
\begin{listerd}
\item Une affirmation juste cochée rapporte 1 point;
\item Une affirmation fausse cochée coûte 1 point.
\end{listerd}
\end{multicols}

\begin{enumerate}

\begin{minipage}{8.5cm}
\item La courbe de la fonction $f$ définie sur
	$[-5;4]$ est représenté ci-contre:
	\begin{qcm}
	\item $0$ admet trois antécédents par $f$.
	\item Tout élément de $[-3.4]$ admet trois antécédents.
	\item $f(-3)\leqslant f(1)$.
	\item Le minimum de $f$ sur $[-5;4]$ est compris entre $-2$ et $-1$.
	\item $f$ est croissante sur $[-5;0]$.
	\end{qcm}
	\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{5.5cm}
\raisebox{-\totalheight}[0\depth][.6\height]{%
\begin{pspicture}(-3,-3)(2.5,2.5)
\psset{unit=.5}
\MaGrille[5,gridwidth=.25pt]{-5}{-5}{4}{4}
{\small
\MesAxes[.6pt,labels=none]{-5.99}{-5.99}{4.99}{4.99}
\uput{.2cm}[225](0,0){$0$}
\uput{.3cm}[270](1,0){$1$}
\uput{.3cm}[180](0,1){$1$}
\MesAxesEtiquettes{$x$}{$y$}}
\psbezier(-5,-5)(-4.4,-.5)(-3,4)(-2,4)
\psbezier(-2,4)(-.8,4)(.7,-1.8)(1.7,-1.8)
\psbezier(1.7,-1.8)(2.7,-1.8)(3.4,1)(4,4)
\end{pspicture}}
\end{minipage}

\begin{minipage}{8cm}
\item $f$ est une fonction définie sur $I=[-4;5]$ et son tableau de variations
	est donné ci-contre.
	
	De plus $f(-1)=0$.

	\begin{qcm}
	\item $f$ admet $4$ comme maximum sur $I$.
	\item L'équation $f(x)=0$ admet deux solutions.
	\item $f(1,5)<f(1)$
	\item $f(2)=0$
	\item $f(4)>0$
	\item $f$ admet $0$ comme minimum sur $I$.
	\item $f(4)>f(-2)$
	\end{qcm}
	
	\end{minipage}\hfill
	\begin{minipage}[b]{7cm}
	\raisebox{-\totalheight}[0pt][0pt]{%
	{\setlength{\TabTitreL}{1cm}
	\hspace{-\labelwidth}\begin{MonTableau}{1}{6}{1.5}
	
	\TabNewCol{0}
	\rTabPut{B}{-.5}{.25}{$x$}
	\rTabPut{B}{-.5}{.25}{\TabTitre{Var.}{f}}
	
	\TabNewCol{0}
	\rTabPut{B}{.30}{.25}{$-4$}
	\rTabPut{B}{.30}{.10}{$-3$}

	\TabNewCol{.333}
	\rTabPut{B}{0}{.25}{$0$}
	\rTabPut{B}{0}{.55}{$2$}

	\TabNewCol{.666}
	\rTabPut{B}{0}{.25}{$3$}
	\rTabPut{B}{0}{.30}{$0$}
	
	\TabNewCol{1}
	\rTabPut{B}{-.25}{.25}{$5$}
	\rTabPut{B}{-.25}{.75}{$4$}
	
	\TabFleche{B1}{C1}\TabFleche{C1}{D1}\TabFleche{D1}{E1}
	
	\TabFerme
	\end{MonTableau}}}
	\end{minipage}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\GR$ par: $f(x)=x^2-1$.
	
	\begin{minipage}[t]{15cm}
	\begin{qcm}
	\item L'équation $f(x)=-0,5$ admet deux solutions.
	\item $-2$ et $2$ sont les antécédents de $3$ par $f$.
	\item Si $a$ est un réel négatif, alors il n'y a pas d'antécédent de $a$
		par $f$.
	\item L'équation $f(x)=-2$ n'a pas de solution.
	\end{qcm}\end{minipage}
\end{enumerate}




\exot{}

\begin{enumerate}
\item Quel est le sens de variation des fonctions $f:x \mapsto -x+140$
et $\ g:x \mapsto -\dfrac{1}{520}x-800$ ?
\item Compléter les tableaux de {\it signes} suivants : (on expliquera
la méthode utilisée)

$$\begin{array}{cc}
%$$
\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x & & & & & \\ % **valeurs_particulieres**
\hline
& & & & & \\ % ** ligne des valeurs "MAX"**

-\dfrac{3}{4}x+5 & &\begin{minipage} {1cm}
\begin{picture}(1,1)
% \put(0,0){\vector(1,1){1}}
\end{picture}
\end{minipage} & &\begin{minipage} {1cm}
\begin{picture}(1,1)
% \put(0,1){\vector(1,-1){1}}
\end{picture}
\end{minipage} & \\
& & & & & \\ % **ligne des valeurs "MIN"**
\hline
\end{array}
%$$
&
%$$
\begin{array}{|c|lcccr|}
\hline
x & & & & & \\ % **valeurs_particulieres**
\hline
& & & & & \\ % ** ligne des valeurs "MAX"**

\dfrac{x}{7}+\dfrac{3}{5} & &\begin{minipage} {1cm}
\begin{picture}(1,1)
% \put(0,0){\vector(1,1){1}}
\end{picture}
\end{minipage} & &\begin{minipage} {1cm}
\begin{picture}(1,1)
% \put(0,1){\vector(1,-1){1}}
\end{picture}
\end{minipage} & \\
& & & & & \\ % **ligne des valeurs "MIN"**
\hline
\end{array}
%$$
\end{array}
$$
\end{enumerate}

\vfill
.


\break


\exot{}


\parpic{
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4,gridwidth=0.5pt](-5,-5)(5,5)
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\psline{->}(-5,0)(5,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)
\multido{\n=-5+1}{10}{\uput[d](\n,0){\n}}
\multido{\n=-5+1}{10}{\uput[l](0,\n){\n}}
\uput[d](5,0){$x$}
\uput[l](0,5){$y$}
\psplot{-5}{5}{x 2 mul 3 div}
\psplot{0.2}{2.2}{x 5 mul 6 sub}
\psplot{-5}{5}{x 4 div 3 add}
\psdots(-3,-2)(1,-1)(2,4)(-4,2)(4,4)(0,0)
\uput[ul](3,2){$d_2$}
\uput[ul](2,4){$d_1$}
\uput[ul](4,4){$d_3$}
\end{pspicture}
}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
\item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ci-contre représentent
respectivement les fonctions
affines $f_1$, $f_2$ et $f_3$.\\
Déterminer les expressions de chacune de ces fonctions.
\item Tracer la représentation graphique des fonctions :
$$g:\ x\mapsto 3-2x\ {\ \rm et\ } \ h:\ x\mapsto \dfrac{x+3}{2}.$$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\picskip{0}
\vspace{-4cm}








%\vspace{0.5cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \exot{}
% Résoudre dans $\bbr$ chacune des équations suivantes :
% \begin{enumerate}
% \item $\frac{2x+1}{3}-\frac{5-x}{2}=1$
% \item $3x^2-7x=0$
% \item $(2-x)-(2-x)(2-3x)=0$
% \end{enumerate}
% \vspace{0.5cm} 

\end{document}