%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 


\begin{filecontents*}{trigo.mp}
 
input newcourbes;
input couleur;
input geometriesyr16;

%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex







 beginfig(1)



 numeric u ;
 u=4.5cm;
 drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
 drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
 draw fullcircle scaled 9cm withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor red;
 drawoptions(dashed evenly);
 path t[] ;
 t[1]=(u,0)--(cosd(60)*u,sind(60)*u)--(0,0);
 draw t[1] withcolor rose;
 for k=2 upto 6 : t[k]=t[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
   draw t[k] withcolor rose;
 endfor;
 path c[] ;
 c1 =(cosd(60)*u,-sind(60)*u)--(cosd(60)*u,sind(60)*u) ;
 draw c1 dashed evenly withcolor rose;
 c2 = c1 shifted (-u,0) ;
 draw c2 dashed evenly withcolor rose;
 z[1]=(u,0);
 for l=2 upto 6:
   z[l]=z[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
 endfor;
 drawoptions();
 dotlabel.lrt(btex $0$ etex,(u,0));
 label.lrt(btex $1 \over2$ etex,(u/2,0))withcolor rose;
 label.lrt(btex $- {1 \over 2}$ etex,(-u/2,0))withcolor rose;
 dotlabel.llft(btex $\pi$ etex,(-u,0));

 label.urt(btex {${\pi \over 3}$} etex, z[2])withcolor rose;
 label.ulft(btex {${2\pi \over 3}$} etex,z[3])withcolor rose;
 label.llft(btex {$-{2\pi \over 3}$} etex,z[5])withcolor rose;
 label.lrt(btex {$-{\pi \over 3}$} etex,z[6])withcolor rose;
 label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,sqrt(3)*u/2))withcolor rose;
 label.ulft(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(3)*u/2))withcolor rose;

%  drawoptions(dashed evenly);
%  path p[] ;
%  p[1]=(0,u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u)--(0,0);
%  draw p[1] withcolor  orange;
%  for k=2 upto 6 : p[k]=p[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
%    draw p[k] withcolor orange;
%  endfor;
%  path s[] ;
%  s1 =(-cosd(30)*u,sind(30)*u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u) ;
%  draw s1 dashed evenly withcolor  orange;
%  s2 = s1 shifted (0,-u) ;
%  draw s2 dashed evenly withcolor orange;

%  pair y[];
%  y[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u);
%  for l=2 upto 6:
%    y[l]=y[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
%  endfor;
%  drawoptions();
%  label.urt(btex ${\pi \over 6}$ etex,y[1])withcolor orange;
%  dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex, y[2]);
%  label.ulft(btex ${5\pi \over 6}$ etex,y[3])withcolor orange;
%  label.llft(btex $-{5\pi \over 6}$ etex,y[4])withcolor orange;
%  label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,y[5])withcolor orange;
%  label.lrt(btex $-{\pi \over 6}$ etex,y[6])withcolor orange;
%  label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%  label.lrt(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(-sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%  label.llft(btex ${1 \over 2}$ etex,(0,u/2))withcolor orange;
%  label.llft(btex $-{1 \over 2}$ etex,(0,-u/2))withcolor orange;

%  drawoptions(dashed evenly);

%  path r[] ;
%  r[1]=(cosd(45)*u,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u)--(0,0);
%  draw r[1] withcolor blue;
%  for k=2 upto 4 : r[k]=r[1] rotatedaround ((0,0),90*(k-1));
%    draw r[k] withcolor blue;
%  endfor;

%  pair w[];
%  w[1]=(u,0);
%  for n=2 upto 8:
%    w[n]=w[1] rotatedaround ((0,0),45(n-1));
%  endfor;
%  drawoptions();
%  label.urt(btex ${\pi \over 4}$ etex, w[2])withcolor blue;
%  dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex,w[3]);
%  label.ulft(btex ${3\pi \over 4}$ etex,w[4])withcolor blue;
% dotlabel.llft(btex ${\pi}$ etex,w[5]);
%  label.llft(btex $-{3\pi \over 4}$ etex,w[6])withcolor blue;
%  label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,w[7]);
%  label.lrt(btex $-{\pi \over 4}$ etex,w[8])withcolor blue;
%  label.ulft(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(-sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%  label.lrt(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,sqrt(2)*u/2))withcolor blue ;
%  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(2)*u/2))withcolor blue;

 endfig;











 beginfig(2)



 numeric u ;
 u=4.5cm;
 drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
 drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
 draw fullcircle scaled 9cm withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor red;
 drawoptions(dashed evenly);
 % path t[] ;
%  t[1]=(u,0)--(cosd(60)*u,sind(60)*u)--(0,0);
%  draw t[1] withcolor rose;
%  for k=2 upto 6 : t[k]=t[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
%    draw t[k] withcolor rose;
%  endfor;
 % path c[] ;
%  c1 =(cosd(60)*u,-sind(60)*u)--(cosd(60)*u,sind(60)*u) ;
%  draw c1 dashed evenly withcolor rose;
%  c2 = c1 shifted (-u,0) ;
%  draw c2 dashed evenly withcolor rose;
%  z[1]=(u,0);
%  for l=2 upto 6:
%    z[l]=z[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
%  endfor;
%  drawoptions();
%  dotlabel.lrt(btex $0$ etex,(u,0));
%  label.lrt(btex $1 \over2$ etex,(u/2,0))withcolor rose;
%  label.lrt(btex $- {1 \over 2}$ etex,(-u/2,0))withcolor rose;
%  dotlabel.llft(btex $\pi$ etex,(-u,0));

%  label.urt(btex {${\pi \over 3}$} etex, z[2])withcolor rose;
%  label.ulft(btex {${2\pi \over 3}$} etex,z[3])withcolor rose;
%  label.llft(btex {$-{2\pi \over 3}$} etex,z[5])withcolor rose;
%  label.lrt(btex {$-{\pi \over 3}$} etex,z[6])withcolor rose;
%  label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,sqrt(3)*u/2))withcolor rose;
%  label.ulft(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(3)*u/2))withcolor rose;

  drawoptions(dashed evenly);
  path p[] ;
  p[1]=(0,u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u)--(0,0);
  draw p[1] withcolor  orange;
  for k=2 upto 6 : p[k]=p[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
    draw p[k] withcolor orange;
  endfor;
  path s[] ;
  s1 =(-cosd(30)*u,sind(30)*u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u) ;
  draw s1 dashed evenly withcolor  orange;
  s2 = s1 shifted (0,-u) ;
  draw s2 dashed evenly withcolor orange;

  pair y[];
  y[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u);
  for l=2 upto 6:
    y[l]=y[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
  endfor;
  drawoptions();
  label.urt(btex ${\pi \over 6}$ etex,y[1])withcolor orange;
  dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex, y[2]);
  label.ulft(btex ${5\pi \over 6}$ etex,y[3])withcolor orange;
  label.llft(btex $-{5\pi \over 6}$ etex,y[4])withcolor orange;
  label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,y[5])withcolor orange;
  label.lrt(btex $-{\pi \over 6}$ etex,y[6])withcolor orange;
  label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
  label.lrt(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(-sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
  label.llft(btex ${1 \over 2}$ etex,(0,u/2))withcolor orange;
  label.llft(btex $-{1 \over 2}$ etex,(0,-u/2))withcolor orange;

%  drawoptions(dashed evenly);

%  path r[] ;
%  r[1]=(cosd(45)*u,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u)--(0,0);
%  draw r[1] withcolor blue;
%  for k=2 upto 4 : r[k]=r[1] rotatedaround ((0,0),90*(k-1));
%    draw r[k] withcolor blue;
%  endfor;

%  pair w[];
%  w[1]=(u,0);
%  for n=2 upto 8:
%    w[n]=w[1] rotatedaround ((0,0),45(n-1));
%  endfor;
%  drawoptions();
%  label.urt(btex ${\pi \over 4}$ etex, w[2])withcolor blue;
%  dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex,w[3]);
%  label.ulft(btex ${3\pi \over 4}$ etex,w[4])withcolor blue;
% dotlabel.llft(btex ${\pi}$ etex,w[5]);
%  label.llft(btex $-{3\pi \over 4}$ etex,w[6])withcolor blue;
%  label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,w[7]);
%  label.lrt(btex $-{\pi \over 4}$ etex,w[8])withcolor blue;
%  label.ulft(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(-sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%  label.lrt(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,sqrt(2)*u/2))withcolor blue ;
%  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(2)*u/2))withcolor blue;

 endfig;



 




 beginfig(3)



 numeric u ;
 u=4.5cm;
 drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
 drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
 draw fullcircle scaled 9cm withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor red;
 drawoptions(dashed evenly);
 % path t[] ;
%  t[1]=(u,0)--(cosd(60)*u,sind(60)*u)--(0,0);
%  draw t[1] withcolor rose;
%  for k=2 upto 6 : t[k]=t[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
%    draw t[k] withcolor rose;
%  endfor;
 % path c[] ;
%  c1 =(cosd(60)*u,-sind(60)*u)--(cosd(60)*u,sind(60)*u) ;
%  draw c1 dashed evenly withcolor rose;
%  c2 = c1 shifted (-u,0) ;
%  draw c2 dashed evenly withcolor rose;
%  z[1]=(u,0);
%  for l=2 upto 6:
%    z[l]=z[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
%  endfor;
%  drawoptions();
%  dotlabel.lrt(btex $0$ etex,(u,0));
%  label.lrt(btex $1 \over2$ etex,(u/2,0))withcolor rose;
%  label.lrt(btex $- {1 \over 2}$ etex,(-u/2,0))withcolor rose;
%  dotlabel.llft(btex $\pi$ etex,(-u,0));

%  label.urt(btex {${\pi \over 3}$} etex, z[2])withcolor rose;
%  label.ulft(btex {${2\pi \over 3}$} etex,z[3])withcolor rose;
%  label.llft(btex {$-{2\pi \over 3}$} etex,z[5])withcolor rose;
%  label.lrt(btex {$-{\pi \over 3}$} etex,z[6])withcolor rose;
%  label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,sqrt(3)*u/2))withcolor rose;
%  label.ulft(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(3)*u/2))withcolor rose;

%   drawoptions(dashed evenly);
%   path p[] ;
%   p[1]=(0,u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u)--(0,0);
%   draw p[1] withcolor  orange;
%   for k=2 upto 6 : p[k]=p[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
%     draw p[k] withcolor orange;
%   endfor;
%   path s[] ;
%   s1 =(-cosd(30)*u,sind(30)*u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u) ;
%   draw s1 dashed evenly withcolor  orange;
%   s2 = s1 shifted (0,-u) ;
%   draw s2 dashed evenly withcolor orange;

%   pair y[];
%   y[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u);
%   for l=2 upto 6:
%     y[l]=y[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
%   endfor;
%   drawoptions();
%   label.urt(btex ${\pi \over 6}$ etex,y[1])withcolor orange;
%   dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex, y[2])withcolor orange;
%   label.ulft(btex ${5\pi \over 6}$ etex,y[3])withcolor orange;
%   label.llft(btex $-{5\pi \over 6}$ etex,y[4])withcolor orange;
%   label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,y[5])withcolor orange;
%   label.lrt(btex $-{\pi \over 6}$ etex,y[6])withcolor orange;
%   label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%   label.lrt(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(-sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%   label.llft(btex ${1 \over 2}$ etex,(0,u/2))withcolor orange;
%   label.llft(btex $-{1 \over 2}$ etex,(0,-u/2))withcolor orange;

  drawoptions(dashed evenly);

  path r[] ;
  r[1]=(cosd(45)*u,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u)--(0,0);
  draw r[1] withcolor blue;
  for k=2 upto 4 : r[k]=r[1] rotatedaround ((0,0),90*(k-1));
    draw r[k] withcolor blue;
  endfor;

  pair w[];
  w[1]=(u,0);
  for n=2 upto 8:
    w[n]=w[1] rotatedaround ((0,0),45(n-1));
  endfor;
  drawoptions();
  label.urt(btex ${\pi \over 4}$ etex, w[2])withcolor blue;
  dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex,w[3]);
  label.ulft(btex ${3\pi \over 4}$ etex,w[4])withcolor blue;
 dotlabel.llft(btex ${\pi}$ etex,w[5]);
  label.llft(btex $-{3\pi \over 4}$ etex,w[6])withcolor blue;
  label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,w[7]);
  label.lrt(btex $-{\pi \over 4}$ etex,w[8])withcolor blue;
  label.ulft(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(-sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
  label.lrt(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,sqrt(2)*u/2))withcolor blue ;
  label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(2)*u/2))withcolor blue;

 endfig;






beginfig(4)



numeric u ;
u=4.5cm;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
draw fullcircle scaled 9cm withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor red;
drawoptions(dashed evenly);
path t[] ;
t[1]=(u,0)--(cosd(60)*u,sind(60)*u)--(0,0);
draw t[1] withcolor rose;
for k=2 upto 6 : t[k]=t[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
  draw t[k] withcolor rose;
endfor;
path c[] ;
c1 =(cosd(60)*u,-sind(60)*u)--(cosd(60)*u,sind(60)*u) ;
draw c1 dashed evenly withcolor rose;
c2 = c1 shifted (-u,0) ;
draw c2 dashed evenly withcolor rose;
z[1]=(u,0);
for l=2 upto 6:
  z[l]=z[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
endfor;
drawoptions();
dotlabel.lrt(btex $0$ etex,(u,0));
label.lrt(btex $1 \over2$ etex,(u/2,0))withcolor rose;
label.lrt(btex $- {1 \over 2}$ etex,(-u/2,0))withcolor rose;
dotlabel.llft(btex $\pi$ etex,(-u,0));

label.urt(btex {${\pi \over 3}$} etex, z[2])withcolor rose;
label.ulft(btex {${2\pi \over 3}$} etex,z[3])withcolor rose;
label.llft(btex {$-{2\pi \over 3}$} etex,z[5])withcolor rose;
label.lrt(btex {$-{\pi \over 3}$} etex,z[6])withcolor rose;
label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,sqrt(3)*u/2))withcolor rose;
label.ulft(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(3)*u/2))withcolor rose;

drawoptions(dashed evenly);
path p[] ;
p[1]=(0,u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u)--(0,0);
draw p[1] withcolor  orange;
for k=2 upto 6 : p[k]=p[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
  draw p[k] withcolor orange;
endfor;
path s[] ;
s1 =(-cosd(30)*u,sind(30)*u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u) ;
draw s1 dashed evenly withcolor  orange;
s2 = s1 shifted (0,-u) ;
draw s2 dashed evenly withcolor orange;

pair y[];
y[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u);
for l=2 upto 6:
  y[l]=y[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
endfor;
drawoptions();
label.urt(btex ${\pi \over 6}$ etex,y[1])withcolor orange;
dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex, y[2]);
label.ulft(btex ${5\pi \over 6}$ etex,y[3])withcolor orange;
label.llft(btex $-{5\pi \over 6}$ etex,y[4])withcolor orange;
label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,y[5])withcolor orange;
label.lrt(btex $-{\pi \over 6}$ etex,y[6])withcolor orange;
label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
label.lrt(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(-sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
label.llft(btex ${1 \over 2}$ etex,(0,u/2))withcolor orange;
label.llft(btex $-{1 \over 2}$ etex,(0,-u/2))withcolor orange;

drawoptions(dashed evenly);

path r[] ;
r[1]=(cosd(45)*u,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u)--(0,0);
draw r[1] withcolor blue;
for k=2 upto 4 : r[k]=r[1] rotatedaround ((0,0),90*(k-1));
  draw r[k] withcolor blue;
endfor;

pair w[];
w[1]=(u,0);
for n=2 upto 8:
  w[n]=w[1] rotatedaround ((0,0),45(n-1));
endfor;
drawoptions();
label.urt(btex ${\pi \over 4}$ etex, w[2])withcolor blue;
dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex,w[3]);
label.ulft(btex ${3\pi \over 4}$ etex,w[4])withcolor blue;
dotlabel.llft(btex ${\pi}$ etex,w[5]);
label.llft(btex $-{3\pi \over 4}$ etex,w[6])withcolor blue;
label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,w[7]);
label.lrt(btex $-{\pi \over 4}$ etex,w[8])withcolor blue;
label.ulft(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(-sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
label.lrt(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,sqrt(2)*u/2))withcolor blue ;
label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(2)*u/2))withcolor blue;

endfig;


















%avant la spirale




 
beginfig(5 )

  numeric u;
  u:=0.5cm;
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-3,3,-2.5,2.5,1cm,1cm);
r_axes;
r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;


draw (2.05u,0)--(2.05u,4u) withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
drawarrow (2.05u,4u)--(2.05u,5u ) withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed evenly;

draw (2.05u ,0)--(2.05u ,-3.75u ) withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue;

draw (2.05u ,-3.75u )--(2.05u ,-5u ) withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue dashed evenly;

%le cercle
draw fullcircle scaled 2.05cm;


label.urt(btex $0$ etex,(2.05u ,0) );
dotlabel.rt(btex $-1$ etex,(2.05u ,-2.05u ) );
dotlabel.rt(btex $1$ etex,(2.05u ,2.05u ) );
dotlabel.rt(btex $0,5$ etex,(2.05u,1.025u) );
dotlabel.rt(btex $\sqrt{2}$ etex,(2.05u,2.9u) );
label.lrt(btex $\bbr$ etex,(2.05u,4.75u) )withcolor red;
r_fin;

endfig;



%spirale

 
beginfig(6 )


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
        t*cos(t)/(2*Pi)
enddef;

vardef fy(expr t)=
         t*sin(t)/(2*Pi)                      % spirale passant par (1,0)
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-3,3,-2.5,2.5,2cm,2cm);
r_axes;
r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;



%On se débrouille pour que le cercle unite soit le cercle osculateur de la spirale :
%On fait une translation de (0,-1/(2Pi)) suivi d'une rotation de -Arctan(1/(2*pi)) autour de  (0,1/(2Pi))
path s,ss,S,sp,Sp,ssp;
s:=(f_courbe(fx,fy,2*Pi,13*Pi/3,1000) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
draw s withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
sp:=(f_courbe(fx,fy,13*Pi/3,13*Pi/3+Pi/6,1000) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
drawarrow ((f_point(fx,fy,13*Pi/3+Pi/6-0.05)-- f_point(fx,fy,13*Pi/3+Pi/6)) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061)withcolor red dashed evenly;
label.top(btex $\bbr$ etex,(f_point(fx,fy,13*Pi/3+Pi/6) shifted r_p(0,-1/(2*Pi)))rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061))withcolor red;
draw sp withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed evenly;
% vers les négatifs
ss:=(f_courbe(fx,fy,2*Pi,8*Pi/3,1000) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
S:=ss reflectedabout(r_p(0,0),r_p(1,0)); 
draw S withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue;
ssp:=(f_courbe(fx,fy,8*Pi/3,8*Pi/3+Pi/6,1000) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
Sp:=ssp reflectedabout(r_p(0,0),r_p(1,0));
draw Sp withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue dashed evenly;
%le cercle
draw fullcircle scaled 4.1cm withcolor orange;

pair a[];



a[1/2]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+0.48) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.rt(btex 0.5 etex,a[1/2] );


a[1.414]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+1.27) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.top(btex $\sqrt{2}$ etex,a[1.414] );



a[1]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+0.9) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.urt(btex $1$ etex,a[1] );



a[5/2]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+2.15) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.ulft(btex $\fr{5}{2}$ etex,a[5/2] );



a[3.14]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+2.6) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.ulft(btex $\pi$ etex,a[3.14] );



a[6.28]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+4.6) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.lrt(btex $2\pi$ etex,a[6.28] );


a[7.28]:=(f_point(fx,fy,2*Pi+5.14) shifted r_p(0,-1/(2*Pi))) rotatedaround(r_p(0,1/(2*Pi)),9.043061);
dotlabel.lrt(btex $2\pi+1$ etex,a[7.28] );




drawarrow a[5/2]{dir -85}..(-1.61cm,1.203cm){dir -45} dashed evenly;

drawarrow a[3.14]{dir -85}..(-2.05cm,0){dir -25} dashed evenly;



drawarrow a[6.28]{dir 20}..(2.05cm,0){dir 135} dashed evenly;

drawarrow a[7.28]{dir 50}..a[1]{dir 185} dashed evenly;

label.urt(btex $0$ etex,(2.05cm,0) );
dotlabel.lrt(btex $-1$ etex,(1.086cm,-1.75cm) );



r_fin;
endfig;

    




%la galette des rois





beginfig(7)



numeric u ;
u=2.5cm;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
draw fullcircle scaled 2u withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor red;
drawoptions(dashed evenly);
path t[] ;
t[1]=(cosd(60)*u,sind(60)*u)--(0,0);
draw t[1] withcolor rose;
for k=2 upto 6 : t[k]=t[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
  draw t[k] withcolor rose;
endfor;
path c[] ;
c1 =(cosd(60)*u,-sind(60)*u)--(cosd(60)*u,sind(60)*u) ;
%draw c1 dashed evenly withcolor rose;
c2 = c1 shifted (-u,0) ;
%draw c2 dashed evenly withcolor rose;
z[1]=(u,0);
for l=2 upto 6:
  z[l]=z[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
endfor;
drawoptions();
dotlabel.lrt(btex $0$ etex,(u,0));
%label.lrt(btex $1 \over2$ etex,(u/2,0))withcolor rose;
%label.lrt(btex $- {1 \over 2}$ etex,(-u/2,0))withcolor rose;
dotlabel.llft(btex $\pi$ etex,(-u,0));

label.urt(btex {${\pi \over 3}$} etex, z[2])withcolor rose;
label.ulft(btex {${2\pi \over 3}$} etex,z[3])withcolor rose;
label.llft(btex {$-{2\pi \over 3}$} etex,z[5])withcolor rose;
label.lrt(btex {$-{\pi \over 3}$} etex,z[6])withcolor rose;
%label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,sqrt(3)*u/2))withcolor rose;
%label.ulft(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(3)*u/2))withcolor rose;

drawoptions(dashed evenly);
path p[] ;
p[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u)--(0,0);
draw p[1] withcolor  orange;
for k=2 upto 6 : p[k]=p[1] rotatedaround ((0,0),60*(k-1));
  draw p[k] withcolor orange;
endfor;
path s[] ;
s1 =(-cosd(30)*u,sind(30)*u)--(cosd(30)*u,sind(30)*u) ;
%draw s1 dashed evenly withcolor  orange;
s2 = s1 shifted (0,-u) ;
%draw s2 dashed evenly withcolor orange;

pair y[];
y[1]=(cosd(30)*u,sind(30)*u);
for l=2 upto 6:
  y[l]=y[1] rotatedaround ((0,0),60(l-1));
endfor;
drawoptions();
label.urt(btex ${\pi \over 6}$ etex,y[1])withcolor orange;
dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex, y[2]);
label.ulft(btex ${5\pi \over 6}$ etex,y[3])withcolor orange;
label.llft(btex $-{5\pi \over 6}$ etex,y[4])withcolor orange;
label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,y[5])withcolor orange;
label.lrt(btex $-{\pi \over 6}$ etex,y[6])withcolor orange;
%label.llft(btex ${\sqrt{3} \over 2}$ etex,(sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%label.lrt(btex $-{\sqrt{3} \over 2}$ etex,(-sqrt(3)*u/2,0))withcolor orange;
%label.llft(btex ${1 \over 2}$ etex,(0,u/2))withcolor orange;
%label.llft(btex $-{1 \over 2}$ etex,(0,-u/2))withcolor orange;

drawoptions(dashed evenly);

path r[] ;
r[1]=(cosd(45)*u,sind(45)*u)--(0,0);
draw r[1] withcolor blue;
for k=2 upto 4 : r[k]=r[1] rotatedaround ((0,0),90*(k-1));
  draw r[k] withcolor blue;
endfor;

pair w[];
w[1]=(u,0);
for n=2 upto 8:
  w[n]=w[1] rotatedaround ((0,0),45(n-1));
endfor;
drawoptions();
label.urt(btex ${\pi \over 4}$ etex, w[2])withcolor blue;
dotlabel.urt(btex ${\pi \over 2}$ etex,w[3]);
label.ulft(btex ${3\pi \over 4}$ etex,w[4])withcolor blue;
dotlabel.llft(btex ${\pi}$ etex,w[5]);
label.llft(btex $-{3\pi \over 4}$ etex,w[6])withcolor blue;
label.llft(btex $-{\pi \over 2}$ etex,w[7]);
label.lrt(btex $-{\pi \over 4}$ etex,w[8])withcolor blue;
%label.ulft(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(-sqrt(2)*u/2,0))withcolor blue;
%label.lrt(btex ${\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,sqrt(2)*u/2))withcolor blue ;
%label.urt(btex $-{\sqrt{2} \over 2}$ etex,(0,-sqrt(2)*u/2))withcolor blue;

endfig;



%% Sin, Cos, Tan

beginfig(8);
numeric u;
u=2.5cm ;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
draw fullcircle scaled 5cm withcolor bleu;
draw (0,0)--(cosd(40)*u,sind(40)*u) withpen pencircle scaled 1.2bp;
draw (0,sind(40)*u)--(cosd(40)*u,sind(40)*u) dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor red;
draw (cosd(40)*u,0)--(cosd(40)*u,sind(40)*u) dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor orange;
%draw (u,-1.3*u)--(u,1.3*u)withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor rose;
drawarrow (0.2*u,0){dir 90}..(0.2*cosd(40)*u,0.2*sind(40)*u);
dotlabel.llft(btex $0$ etex, (0,0));
dotlabel.lrt(btex $I$ etex, (u,0));
dotlabel.ulft(btex $J$ etex, (0,u));
label.lft(btex $\sin(x)$ etex, (0,sind(40)*u))withcolor red;
label.bot(btex $\cos(x)$ etex, (cosd(40)*u,0))withcolor  orange;
%label.rt(btex $\tan(x)$ etex , (u,(sind(40)/cosd(40))*u)) withcolor rose;
dotlabel.top(btex $x$ etex,(cosd(40)*u,sind(40)*u));
endfig;


% lien triangle 3eme
_nfig:=8;
numeric u;
u=4cm ;
figure(-.25u,-.25u,1.5u,1.5u);
pair O,I,J,M,C;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0)dashed evenly;
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u)dashed evenly;
draw cercle(origin,u) withcolor blue dashed evenly;
O=origin;
I=(u,0);
J=(0,u);
M=(cosd(40)*u,sind(40)*u);C=(cosd(40)*u,0);
trace segment(O,M)withpen pencircle scaled 1.2bp;
trace segment(M,C) withcolor orange withpen pencircle scaled 1.2bp;
trace segment(O,C) withcolor red withpen pencircle scaled 1.2bp;
%trace Codeangle(O,C,M,1,btex x etex );
drawarrow (0.2*u,0){dir 90}..(0.2*cosd(40)*u,0.2*sind(40)*u);
trace codeperp(O,C,M,5);

label.rt(btex $x$ etex,(0.2*cosd(40)*u,0.2*sind(20)*u) );
dotlabel.llft(btex $0$ etex, (0,0));
dotlabel.lrt(btex $I$ etex, (u,0));
dotlabel.ulft(btex $J$ etex, (0,u));
%label.lft(btex $\sin(x)$ etex, (0,sind(40)*u))withcolor red;
label.bot(btex $C$ etex, (cosd(40)*u,0))withcolor  red;

dotlabel.urt(btex $M$ etex,(cosd(40)*u,sind(40)*u));

trace appelation(O,C,-2mm,btex \footnotesize \color{red}$\cos(x)$ etex );

trace appelation(C,M,-2mm,btex \footnotesize \color{orange}$\sin(x)$ etex );

trace appelation(O,M,2mm,btex \small 1 etex );
fin;








% fig 10 triangle equi

numeric u;
u=4cm ;
figure(-.25u,-.25u,1.5u,1.5u);
pair O,I,J,M,C;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0)dashed evenly;
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u)dashed evenly;
draw cercle(origin,u) withcolor blue dashed evenly;
O=origin;
I=(u,0);
J=(0,u);
M=(cosd(60)*u,sind(60)*u);C=(cosd(60)*u,0);
trace segment(O,M)withpen pencircle scaled 1.2bp;
trace segment(M,C) withcolor orange withpen pencircle scaled 1.2bp;
trace segment(O,C) withcolor red withpen pencircle scaled 1.2bp;
trace segment(M,I);
%trace Codeangle(O,C,M,1,btex x etex );
drawarrow (0.2*u,0){dir 90}..(0.2*cosd(60)*u,0.2*sind(60)*u);
drawarrow ((0.2*cosd(60)*u,0.2*sind(60)*u){dir -30}..(0.2*u,0){dir -90}) reflectedabout(M,C);
trace codeperp(O,C,M,5);

label.rt(btex $\small\ofr{\pi}{3}$ etex,(0.3*cosd(60)*u,0.3*sind(30)*u) );
label.lft(btex $\small \alpha$ etex,(0.3*cosd(60)*u,0.3*sind(30)*u)  reflectedabout(M,C));
dotlabel.llft(btex $0$ etex, (0,0));
dotlabel.lrt(btex $I$ etex, (u,0));
dotlabel.ulft(btex $J$ etex, (0,u));
%label.lft(btex $\sin\pa{\ofr{\pi}{3}}$ etex, (0,sind(60)*u))withcolor red;
label.bot(btex $C$ etex, (cosd(60)*u,0))withcolor  red;

dotlabel.urt(btex $M$ etex,(cosd(60)*u,sind(60)*u));

trace appelation(O,C,-2mm,btex \footnotesize \color{red}$\cos\pa{\ofr{\pi}{3}}$ etex );

trace appelation(C,M,-2mm,btex \footnotesize \color{orange}$\sin\pa{\ofr{\pi}{3}}$ etex );

trace appelation(O,M,2mm,btex \small 1 etex );
fin;















%fig 11 cercle trigo paire impaire
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


figure(-1.25u,-1.25u,1.25u,1.25u);
numeric u;
u=3cm ;
drawarrow (-1.2*u,0)--(1.2*u,0);
drawarrow (0,-1.2*u)--(0,1.2*u);
draw fullcircle scaled 6cm withcolor blue;
draw (0,0)--(u,(cosd(45)/sind(45))*u) withcolor red;
draw (0,0)--(u,-(cosd(45)/sind(45))*u)withcolor vert_e;
draw (cosd(45)*u,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u) dashed evenly;
draw (0,-sind(45)*u)--(cosd(45)*u,-sind(45)*u) dashed evenly;
draw (0,sind(45)*u)--(cosd(45)*u,sind(45)*u) dashed evenly;
%draw (u,-1.3*u)--(u,1.3*u);
drawarrow (0.2*u,0){dir 90}..(0.2*cosd(45)*u,0.2*sind(45)*u);
drawarrow (0.2*u,0){dir -90}..(0.2*cosd(45)*u,-0.2*sind(45)*u);
dotlabel.ulft(btex $0$ etex, (0,0));
dotlabel.lrt(btex $I$ etex, (u,0));
dotlabel.ulft(btex $J$ etex, (0,u));
dotlabel.lft(btex   \footnotesize $\sin(x)$ etex, (0,sind(45)*u));
dotlabel.lft(btex \footnotesize $-\sin(x)$ etex, (0,-sind(45)*u));
dotlabel.urt(btex  \footnotesize $\cos(x)$ etex, (cosd(45)*u,0));
%dotlabel.rt(btex $\tan(x)$ etex , (u,(sind(45)/cosd(45))*u));
%dotlabel.rt(btex $-\tan(x)$ etex , (u,-(sind(45)/cosd(45))*u));
label.top(btex $x$ etex,(cosd(45)*u,sind(45)*u));
label.bot(btex $-x$ etex,(cosd(45)*u,(-sind(45)-0.05)*u));
endfig;














% fig 12
%parite
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
figure(-3u,-2u,3u,2u);
numeric u;
u=2cm ;



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           t*t*t*t-2*t*t -1                  % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-2,2,-2,2,3cm,2cm);

fillcolor:=jaune;
transparence r_p(-3,-3)--r_p(0,-3)--r_p(0,3)--r_p(-3,3)--cycle

r_axes;
r_origine;

r_labelxy;


draw f_courbe(fx,fy,0,2,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-2,0,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed withdots scaled 0.5;

pair X,mX,fX,fmX,Y;
numeric a;
a:=.5;
mX=r_p(-a,0); X=r_p(a,0); fX=f_point(fx,fy,a); fmX=r_p(fx(-a),fy(-a)); Y=r_p(0,fy(a));

drawarrow mX--fmX; drawarrow fmX--Y; drawarrow fX--Y; drawarrow X--fX;

dotlabel.top(btex $-x$ etex,mX );
dotlabel.top(btex $x$ etex,X );
dotlabel.llft(btex $f(-x)$ etex,Y );
dotlabel.lrt(btex $f(x)$ etex,Y );




r_fin;
endfig;
 












% fig 13
%  imparite
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
figure(-3u,-2u,3u,2u);
numeric u;
u=2cm ;



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           0.25*t*t*t                  % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-2,2,-2,2,3cm,2cm);

fillcolor:=jaune;
transparence r_p(-3,-3)--r_p(0,-3)--r_p(0,3)--r_p(-3,3)--cycle

r_axes;
%r_origine;

r_labelxy;


draw f_courbe(fx,fy,0,2,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-2,0,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed withdots scaled 0.5;

pair X,mX,fX,fmX,Y,mY;
numeric a;
a:=1.5;
mX=r_p(-a,0); X=r_p(a,0); fX=f_point(fx,fy,a); fmX=r_p(fx(-a),fy(-a)); Y=r_p(0,fy(a)); mY=r_p(0,fy(-a));

drawarrow mX--fmX; drawarrow fmX--mY; drawarrow fX--Y; drawarrow X--fX;

trace segment(fX,fmX);
trace codesegments(fmX,r_p(0,0),r_p(0,0),fX,2);

dotlabel.top(btex $-x$ etex,mX );
dotlabel.bot(btex $x$ etex,X );
dotlabel.lrt(btex $f(-x)$ etex,mY );
dotlabel.llft(btex $f(x)$ etex,Y );
label.lrt(btex O etex,origin );



r_fin;
endfig;
 












% fig 14
%cosinus
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  numeric u;
u=2cm ;
figure(-3.5u,-1.25u,3.5u,1.25u);



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
           cos(t)                  % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-3.5,3.5,-1.25,1.25,2cm,2cm);

fillcolor:=jaune;
transparence r_p(-4,-3)--r_p(0,-3)--r_p(0,3)--r_p(-4,3)--cycle

r_axes;
r_origine;
%r_unites;
r_labelxy;


draw f_courbe(fx,fy,0,Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-Pi,0,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed withdots scaled 0.5;

pair X,mX,fX,fmX,Y;
numeric a;
a:=Pi;
mX:=r_p(-Pi,0); X:=r_p(a,0); fX:=f_point(fx,fy,a); fmX:=r_p(-a,fy(-a)); Y:=r_p(0,fy(a)); mY:=r_p(0,fy(-a));

drawarrow mX--fmX; drawarrow fmX--Y; drawarrow fX--Y; drawarrow X--fX;

dotlabel.top(btex $-\pi$ etex,mX );
dotlabel.top(btex $\pi$ etex,X );
dotlabel.llft(btex $-1$ etex,mY );
dotlabel.urt(btex $1$ etex,r_p(0,1) );
label.urt(btex $\ofr{\pi}{2}$ etex,r_p(Pi/2,0) );
label.ulft(btex $-\ofr{\pi}{2}$ etex,r_p(-Pi/2,0) );


r_fin;
endfig;
 






% fig 15
%
%sinus
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   numeric u;
u=2cm ;
figure(-3.5u,-1.25u,3.5u,1.25u);




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
          sin(t)                  % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-3.5,3.5,-1.25,1.25,2cm,2cm);

fillcolor:=jaune;
transparence r_p(-4,-3)--r_p(0,-3)--r_p(0,3)--r_p(-4,3)--cycle

r_axes;
%r_origine;

r_labelxy;


draw f_courbe(fx,fy,0,Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-Pi,0,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red dashed withdots scaled 0.5;

pair X,mX,fX,fmX,Y,mY;
numeric a;
a:=Pi/2;
mX=r_p(-a,0); X=r_p(a,0); fX=f_point(fx,fy,a); fmX=r_p(fx(-a),fy(-a)); Y=r_p(0,fy(a)); mY=r_p(0,fy(-a));

drawarrow mX--fmX; drawarrow fmX--mY; drawarrow fX--Y; drawarrow X--fX;

%trace segment(fX,fmX);
%trace codesegments(fmX,r_p(0,0),r_p(0,0),fX,2);

dotlabel.top(btex $-\ofr{\pi}{2}$ etex,mX );
dotlabel.bot(btex $\ofr{\pi}{2}$ etex,X );
dotlabel.lrt(btex $-1$ etex,mY );
dotlabel.llft(btex $1$ etex,Y );
label.lrt(btex O etex,origin );

dotlabel.top(btex $-\pi$ etex,r_p(-Pi,0) );
dotlabel.bot(btex $\pi$ etex,r_p(Pi,0) );

r_fin;
endfig;
 












% FIG 16 : p É RIO DI CI Té
%
%

 numeric u;
u=2.75cm ;
figure(-3.5u,-1.25u,3.5u,1.25u);




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
          sin(t)                  % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-14,14,-1.25,1.25,0.75cm,2.5cm);

fillcolor:=jaune;
transparence r_p(-Pi,-3)--r_p(Pi,-3)--r_p(Pi,3)--r_p(-Pi,3)--cycle

r_axes;
%r_origine;

r_labelxy;


draw f_courbe(fx,fy,-Pi,Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,fy,-3*Pi,-Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue dashed withdots scaled 0.5;
draw f_courbe(fx,fy,Pi,3*Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.8white dashed evenly scaled 0.5;
draw f_courbe(fx,fy,-5*Pi,-3*Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor vert_e dashed evenly;
draw f_courbe(fx,fy,3*Pi,5*Pi,500)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor orange dashed withdots scaled 0.25;

dotlabel.urt(btex $\pi$ etex,r_p(Pi,0) );
 dotlabel.urt(btex $3\pi$ etex,r_p(3*Pi,0) );
dotlabel.urt(btex $-3\pi$ etex,r_p(-3*Pi,0) );
dotlabel.urt(btex $-\pi$ etex,r_p(-Pi,0) );
dotlabel.urt(btex $5\pi$ etex,r_p(5*Pi,0) );


drawarrow origin--r_p(1,0)withpen pencircle scaled 1.3bp;
drawarrow origin--r_p(0,1)withpen pencircle scaled 1.3bp;

label.lft(btex $\ve{j}$ etex,r_p(0,0.5) );

label.bot(btex $\ve{i}$ etex,r_p(0.5,0) );


drawarrow r_p(fx(Pi/4),fy(Pi/4))--r_p(fx(Pi/4+2*Pi),fy(Pi/4+2*Pi)) withcolor blue;
label.top(btex $2\pi\ve{i}$ etex, 0.5[r_p(fx(Pi/4),fy(Pi/4)),r_p(fx(Pi/4+2*Pi),fy(Pi/4+2*Pi))] ) withcolor blue;


drawarrow r_p(fx(-Pi/6),fy(-Pi/6))--r_p(fx(-Pi/6+2*Pi),fy(-Pi/6+2*Pi)) withcolor blue;
label.top(btex $2\pi\ve{i}$ etex, 0.5[r_p(fx(-Pi/6),fy(-Pi/6)),r_p(fx(-Pi/6+2*Pi),fy(-Pi/6+2*Pi))] ) withcolor blue;


drawarrow r_p(fx(-37*Pi/12),fy(-37*Pi/12))--r_p(fx(-37*Pi/12+2*Pi),fy(-37*Pi/12+2*Pi)) withcolor blue;
label.top(btex $2\pi\ve{i}$ etex, 0.5[r_p(fx(-37*Pi/12),fy(-37*Pi/12)),r_p(fx(-37*Pi/12+2*Pi),fy(-37*Pi/12+2*Pi))] ) withcolor blue;


drawarrow r_p(fx(-5*Pi/2),fy(-5*Pi/2))--r_p(fx(-5*Pi/2+2*Pi),fy(-5*Pi/2+2*Pi)) withcolor blue;
label.top(btex $2\pi\ve{i}$ etex, 0.5[r_p(fx(-5*Pi/2),fy(-5*Pi/2)),r_p(fx(-5*Pi/2+2*Pi),fy(-5*Pi/2+2*Pi))] ) withcolor blue;


fin;






 end


\end{filecontents*}


\begin{filecontents*}{tabvar.mp}

%input newcourbes;
input tableauVariation;
%input couleur;
%input geometriesyr16;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex







%%
%%  Tableau de variations cosinus
%%

beginTableau(1)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $-\pi$ etex);
  val(btex  $-\ofr{\pi}{2}$ etex);
  val(btex  0 etex);
  val(btex  $\ofr{\pi}{2}$ etex);
  val(btex $\pi$ etex);

 
  newLigneVariations(btex Variations de  $ \cos(x)$ etex);
  
  valPos(btex $-1$ etex,0);
  valPos(btex $0$ etex,0.5);
  valPos(btex $1$ etex,1);
  valPos(btex $0$ etex,0.5);
  valPos(btex $-1$ etex,0);


endTableau;


%%
%%  Tableau de variations sinus
%%

beginTableau(2)

 newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex $-\pi$ etex);
  val(btex  $-\ofr{\pi}{2}$ etex);
  val(btex  0 etex);
  val(btex  $\ofr{\pi}{2}$ etex);
  val(btex $\pi$ etex);

 
  newLigneVariations(btex Variations de  $ \sin(x)$ etex);
  
  valPos(btex $0$ etex,0.5);
  valPos(btex $-1$ etex,0);
  valPos(btex $0$ etex,0.5);
  valPos(btex $1$ etex,1);
  valPos(btex $0$ etex,0.5);


endTableau;





end

\end{filecontents*}


\begin{filecontents*}{trigoasy.asy}

import geometry;
texpreamble("\usepackage[boldsans]{ccfonts}");
texpreamble("\usepackage{beton,euler}");

size(10cm,0);

// currentcoordsys=cartesiansystem((0,0),i=(1,0.25),j=(-0.5,.75));
show(currentcoordsys, ipen=invisible);

point A=(1,0);
point B=(0,1);
point o=(0,0);
dot("$A$",A,SE,red);
dot("$B$",B,NW,red);

circle c=circle(o,1);
draw(c);


/* View the definition of line tangent(circle,point) */
line tx=tangent(c,A);
line ty=tangent(c,B);


draw(tx, grey);
draw(ty, grey);

point M=angpoint(c,30);

dot("$M$",M,N);

line l=line(o,M);
draw(l);

transform projx=projection(o,A);
transform projy=projection(o,B);

point P=projx*M;
point Q=projy*M;

draw(Q--M--P,dashed);
dot("$P$",P,S);
dot("$Q$",Q,W);

point T=intersectionpoint(l,tx);
point s=intersectionpoint(l,ty);


dot("$T$",T,SE);
dot("$S$",s,N);


point bis=angpoint(c,45);

line bisec=line(o,bis);
draw("$(\Delta)$",bisec,longdashdotted+.5green+1bp);


transform r=reflect(bisec);

point mp=r*M;
point sp=r*s;

dot(mp);
dot(sp);

markangle("$\alpha$",radius=1*markangleradius(),line(o,A),l,Arrow,blue);

\end{filecontents*}


\documentclass[10pt,a4paper]{book}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[boldsans]{ccfonts}
\usepackage{beton,euler}



\usepackage{preambule,picins,filecontents}


%\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/TabVar/}{/home/moi/Photos/Maths/}}
% \renewcommand\sectionmark[1]{\markboth{ #1}{ #1}}
\entete{\sffamily\MakeLowercase{\rightmark}}{\Large\bfseries TRIGONOMÉTRIE}{Lycée Jean
  Perrin - 2\textsuperscript{nde}12}%impair,pair,bas
\usepackage[dvips,colorlinks=true,linkcolor=0.2white]{hyperref}

\newlength{\longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\longarc}{$#1$}%
         \addtolength{\longarc}{-0.5em}%
\unitlength \longarc%
\ensuremath{%
         \stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
                 \qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
         \end{picture}}
         {#1}
}}






\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}






\setcounter{NumLecon}{7}
%\TITRE{IV}{Chapitre}{Vecteurs, bases}{et repères}{Vecteurs, bases et repères}{robin.eps}






\TITRE{VIII}{Chapitre }{TRIGONOMÉTRIE}{}{}{cosinus}




\section{Promenons-nous sur le cercle}

\subsection{Enroulons la droite des réels}

\begin{minipage}[t]{10cm}
Pour aller se promener, il est peu pratique d'emmener la droite des réels telle quelle~:~elle prend
trop de place. C'est pourquoi nous allons l'enrouler autour d'un cercle, mais comment faire~? 

On considère un cercle de  rayon 1 et de centre le centre du repère  \oij. On «~colle~» l'origine de
la droite des réels  sur le point I de coordonnées $(1\pv0)$, et on  enroule. Enfin, on imagine, car
il va être  difficile de trouver le  «~bout~» de la droite correspondant  à $-\infty$...Sans compter
qu'il va nous falloir pas mal de temps avant d'avoir fini de l'enrouler, mais ceci est un autre problème...
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{6cm}\vspace{-1cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{trigo.5}\end{flushright}
\end{minipage}

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.6}\label{enroul}
\end{center}

Comme vous  le savez bien, le  périmètre du cercle unité  vaut $2\times\pi\times \text{rayon}=2\pi$
puisque le rayon vaut 1. 

Donc,  le point  d'abscisse $2\pi$  de la  droite  des réels  vient se  «~coller~» sur  0, le  point
d'abscisse $2\pi+1$ de la droite des réels vient se «~coller~» sur 1 et plus
généralement, tout point d'abscisse $x$ voit  se coller sur lui $x+2\pi$, $x-2\pi$, $x+2\times2\pi$,
$x+3\times2\pi$, $\dots$


Nous pouvons  de plus  observer que nous  allons ainsi associer  à chaque  élément de la  droite des
réels, donc à chaque nombre réel $x$, un unique point sur le cercle. 


\subsection{Cercle trigonométrique}



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Cercle trigonométrique]
  Dans un repère orthonormé  \oij, Le cercle trigonométrique est le cercle de  centre O, de rayon 1,
  muni d'une orientation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.
   \end{Definition}
  \end{figure}

\begin{center}
  \psset{xunit=1.5cm, yunit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2.25)
\pstVerb{1 setlinejoin}
\psaxes[linewidth=0.6pt,labels=none]%
			{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
%C  (Cercle)
\psset{linewidth=0.2pt}
\psellipse(0,0)(1,1)
%O  (Point(s))
\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0}
\psdots(0,0)
%o  (Label)
\rput(-0.2,-0.2){\small $O$}\rput(1.2,-0.2){\small $1$}\rput(0.2,1.2){\small $1$}
%A  (Arc)
\psarc{->}(0,0){2}{41.4096}{75.5225}
%a  (Label)
\rput(0.8,1.2){\small \Large{\textbf{+}}}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{La galette des Rois}

Sachant qu'un  «~tour~» correspond  à $2\pi$,  on peut facilement  savoir à  quels points  du cercle
trigonométrique correspondent les fractions de $\pi$


\begin{center}
  \includegraphics{trigo.7}
\end{center}




Bien sûr, on pourrait placer les points correspondant à n'importe quel réel, mais c'est un peu moins
pratique\footnote{Essayez donc de couper une galette des Rois en $\sqrt{2}$ parts...}. 



\subsection{Le radian}



Soit $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique (de rayon 1).\\
Soit $\widehat{RST}$ un angle géométrique; on effectue la translation de vecteur $\ve{SO}$ de cet angle: on obtient l'angle $\widehat{R'OT'}$, qui est de même mesure que $\widehat{RST}$.\\
Soient $A$ et $M$ les points d'intersection respectifs des demi-droites $[OR ')$ et $[OT ')$ avec le cercle $\mathcal{C}$. On a alors $\widehat{RST}=\widehat{R'OT'}=\widehat{AOM}$ 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-2)(5,5)
\pstVerb{1 setlinejoin}
%P1  (Point(s))
\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0}
\psdots(3,-1)(1,0)(3.5,2)(0,1)(0.5,4)(-2,2)(-0.5,1.25)(-0.7,3.02)
%C  (Cercle)
\psset{linewidth=0.2pt}
\psellipse(-2,2)(1.6771,1.6771)
%L1  (Ligne Polyg.)
\psline(1,0)(4,-1.5)
%L2  (Ligne Polyg.)
\psline(1,0)(4,2.4)
%L'1  (Ligne Polyg.)
\psline(-2,2)(0.5,0.75)
%L'2  (Ligne Polyg.)
\psline(-2,2)(1,4.4)
%R  (Label)
\rput(3.5,2.3){\small $R$}
%S  (Label)
\rput(0.7,0){\small $S$}
%T  (Label)
\rput(3,-1.3){\small $T$}
%R'  (Label)
\rput(0.5,4.3){\small $R'$}
%S'  (Label)
\rput(0,0.7){\small $T'$}
%O  (Label)
\rput(-2.3,2){\small $O$}
%A  (Label)
\rput(-0.6,3.3){\small $A$}
%M  (Label)
\rput(-0.6,1.5){\small $M$}
%a1  (Arc)
\psarc(1,0){0.5}{333.4349}{39.8056}
%a2  (Arc)
\psarc(-2,2){0.5}{333.4349}{39.8056}
\end{pspicture}


\end{center}




\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Radian]
  La mesure en \textbf{radians} de l'angle géométrique $\widehat{RST}$ est égale à la longueur de l'arc $\wideparen{AM}$
   \end{Definition}
  \end{figure}

Demandez aux latinistes l'étymologie du mot \emph{radian}... 

\subsubsection*{Correspondance entre degrés et radians}

Il y a \textbf{proportionnalité} entre la mesure des  angles en degrés et mesure en radians; il faut
juste retenir que $180$ degrés correspondent à  $\pi$ radians et on retrouve alors facilement que le
coefficient de proportionnalité vaut...

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{Y{5}}
\whline
Mesure en degrés & $180$ & $30$ & $45$ & $60$ & $90$ & $360$ \\
\whline
Mesure en radians & $\pi$ & $\ofr{\pi}{6}$ & $\ofr{\pi}{4}$ & $\ofr{\pi}{3}$ & $\ofr{\pi}{2}$ & $2\pi$ \\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\pagebreak

\section{Sinus et cosinus}


\subsection{Définitions}


\begin{minipage}[t]{8cm}\begin{flushleft}
\includegraphics{trigo.8}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{10cm}\vspace{-6cm}
%\hspace{6cm}
Nous venons de voir  qu'il est simple de repérer des points associés  à des sous-multiples de $\pi$,
moins pour les autres. 

Pour y remédier, nous allons revenir à notre bon vieux système d'abscisses et d'ordonnées.

Pour les désigner, nous allons choisir  des petits noms qui sonnent bien, par exemple...\emph{sinus}
et \emph{cosinus}~! Ces  noms vous disent-ils quelque chose~? Pourtant au  collège, vous n'aviez pas
du tout  parlé de  radian, de  droite des réels  qui tourne  autour d'un
cercle et autres complications. 

On pourra  utilement se  reporter à l'exercice~\vref{lignes}  pour avoir
les  \emph{vraies} définitions  des \emph{lignes  trigonométriques} d'un
angle aigu.
\end{minipage}

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Cosinus et sinus]
  Quelque soit le réel $x$, on appelle \textbf{cosinus} et \textbf{sinus} du réel $x$ l'abscisse et l'ordonnée du point du cercle
trigonométrique associé à $x$. \\
On les note $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
   \end{Definition}
  \end{figure}






\begin{minipage}[t]{8cm}\begin{flushleft}
\includegraphics{trigo.9}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{10cm}\vspace{-6cm}
\hspace{6cm}



Y aurait-il malgré tout un lien~? 
Mmmmm... regardons la figure précédente de plus près... 

Pour des valeurs de  $x$ comprises entre 0 et $\ofr{\pi}{2}$, on
 retrouve  le  \emph{soca}  du  \emph{socatoa} vu  au  collège,  donc  au  moins  il n'y  a  pas  de
 contradiction avec ce qui a été vu dans le passé. 

Nous  avons   même  vu  (cf   exercice  \vref{valpart})   comment  calculer
géométriquement les lignes trigonométriques de quelques valeurs particulières. 

\medskip

Ce petit dessin nous permet en plus de vérifier certaines propriétés importantes.  Par exemple~:


    
   \end{minipage}

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[Première formule de trigonométrie]
Pour tout réel $x$
 \[(\cos x)^2+(\sin x)^2=1\] 
 \end{Propriete}
  \end{figure}



\medskip


\begin{figure}[!h]
  \begin{Remarque}[notation]
    On utilise souvent la notation $\cos^2 x$ au lieu de $(\cos x)^2$ et de même pour le sinus.
    \end{Remarque}
  \end{figure}


On peut encore remarquer que

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}
  Pour tout réel $x$, \[-1\ie\cos x\ie 1\quad \text{et}\quad -1\ie\sin x\ie 1\]
 \end{Propriete}
  \end{figure}

On remarquera également que les réels $x$ et  $x+2\pi$ sont associés au même point, donc ont le même
cosinus et le même sinus. 

\begin{figure}[!h]
  \begin{Propriete}[Périodicité]
  Pour tout réel $x$, \[\cos(x+2\pi)=\cos(x)\quad \text{et}\quad\sin(x+2\pi)=\sin(x)\]
 \end{Propriete}
  \end{figure}


Retenez les valeurs particulières suivantes 

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{trigo.4}
\end{center}


\pagebreak

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
  \rotatebox{90}{\Trigo{ Sinus}}
\end{center}

\subsection{Fonctions sinus et cosinus}


Nous venons  de voir qu'à chaque réel  $x$, nous pouvons associer  une unique valeur de  $\cos x$ et
$\sin x$. Nous allons donc pouvoir définir deux \emph{fonctions} cosinus et sinus

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Fonctions cosinus et sinus]
  \[\cos :\begin{array}{rll} \bbr &\to & [-1\pv 1] \\ x & \mapsto & \cos x\end{array} \qquad\qquad\qquad \sin :\begin{array}{rll} \bbr &\to & [-1\pv 1] \\ x & \mapsto & \sin x\end{array}\]
   \end{Definition}
  \end{figure}

%\pagebreak



\subsection{Parité}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Fonction paire]
  Dire qu'une fonction définie sur un ensemble $\DR$ est PAIRE signifie que :
\[ \text{Pour tout nombre } x \text{ appartenant à }\DR, {\Large f (-x)=f(x)}\]

   \end{Definition}
  \end{figure}

Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ dans un repère \emph{orthogonal} est \textbf{symétrique
par rapport à l'axe des ordonnées}

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.12}
\end{center}





\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Fonction impaire]
  Dire qu'une fonction définie sur un ensemble $\DR$ est IMPAIRE signifie que :
\[ \text{Pour tout nombre } x \text{ appartenant à }\DR, {\Large f (-x)=-f(x)}\]

   \end{Definition}
  \end{figure}

Dans ce cas, la courbe représentative de $f$ dans un repère \emph{orthogonal} est \textbf{symétrique
par rapport à l'origine}

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.13}
\end{center}



Nous avons vu à l'exercice \vref{parite}   que la fonction cosinus est paire et
la fonction sinus impaire. 



\subsection{Périodicité}


Vous  avez bien sûr  remarqué que  $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et  $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ pour  tout réel
$x$. 

Cela  se  comprend  à  la  fois  sur  le  cercle  trigonométrique  du  fait  de  l'enroulement  (cf
\vref{enroul}) et sur la représentation graphique des fonctions :


\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{trigo.16}
\end{center}





\subsection{Variations}


Nous retiendrons les résultats suivants :

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.1}
\end{center}

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.14}
\end{center}



\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.2}
\end{center}

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.15}
\end{center}


\section{Exercices}

\exot{Lignes trigonométriques}\label{lignes}


Dans un repère orthonormé, on a tracé un cercle de rayon 1,l'origine $ O$
du repère, le point $A$
de coordonéées $(1;0)$, le point $B$ de coordonnées $(0;1)$, un point $M$ quelconque de cercle et
quelques points associés à $ M$~:


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{trigoasy}
\end{center}
\end{figure}

On définit quelques fonctions de la variable $\alpha$~:

\begin{itemize}
\item la sécante de l'angle $\alpha$~:~$\sec(\alpha)=\dfrac{OT}{OA}$~;
\item la tangente de l'angle $\alpha$~:~$\tan(\alpha)=\dfrac{AT}{OA}$~;
\item le sinus de l'angle $\alpha$~:~$\sin(\alpha)=\dfrac{PM}{OA}$~;
\item on appelle cosécante, cotangente, cosinus de l'angle $\alpha$ et on note
$\cosec(\alpha)$,  $\cotan(\alpha)$ et $\cos(\alpha)$  respectivement la
sécante, la tangente et le sinus du \emph{complémentaire} de l'angle $\alpha$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Que pouvez-vous dire à propos de la droite $(\Delta)$~?
  \item Construisez les symétriques des points $M$, $P$, $A$, $O$ et $S$
    par rapport à $(\Delta)$.
  \item  On note  $\beta$ l'angle  $\ao{OA}{OM'}$~:~quel  rapport existe
    entre $\alpha$ et $\beta$~?
  \end{enumerate}
\setlength{\columnseprule}{0mm}

\begin{multicols}{2}
\item Montrez que $\sec(\alpha)=\dfrac{1}{\sin(\alpha)}$.
\item Montrez que $\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$.
\item Montrez que $\cotan(\alpha)=\dfrac{1}{\tan(\alpha)}$.
\item Montrez que $\cos(\alpha)=\dfrac{1}{\sec(\alpha)}$.
\item Exprimez simplement $\sin(\alpha)\times\sec(\alpha)$ et $\cos(\alpha)\times\cosec(\alpha)$.
\end{multicols}
\end{enumerate}

\exot{Valeurs particulières\label{valpart}}





\begin{minipage}[t]{10cm}
  On   veut   calculer    les   lignes    trigonométriques   de
$\ofr{\pi}{3}$. Pour cela, on considére le point M du cercle trigonométrique correspondant
au réel $\ofr{\pi}{3}$ et le point C tel que $OC=\cos \left(\ofr{\pi}{3}\right)$. 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle OMI~? 
\item Déduisez-en $\alpha$. 
\item Montrez alors que OMI est en fait un triangle équilatéral. 
\item Que représente le segment $[C,M]$ pour le triangle OMI~? 
\item Déduisez-en $\cos \left(\ofr{\pi}{3}\right)$ puis $\sin \left(\ofr{\pi}{3}\right)$. 
\item Imaginez maintenant un moyen de calculer les lignes trigonométriques de $\ofr{\pi}{6}$ et de $\ofr{\pi}{4}$.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{8cm}\vspace{-1cm}
\hspace{6cm} \begin{flushright}\includegraphics{trigo.10}\end{flushright}
\end{minipage}



\exot{Parité des fonctions sinus et cosinus\label{parite}}

Que vous inspire ce dessin :

\begin{center}
  \includegraphics{trigo.11}
\end{center}



\exot{\' Equation trigonométrique}
\begin{enumerate}
\item \` A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre sur
l'intervalle $[-\pi ; \pi]$ l'équation
$$
   \cos x = {\sqrt 3\over 2}
\leqno 
   (E)
$$

\item Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $[0; 2\pi ]$.

\end{enumerate}


\exot{\' Equation trigonométrique}

\begin{enumerate}
\item \` A l'aide du cercle trigonométrique, résoudre sur
l'intervalle $[-\pi ; \pi]$ l'équation
$$
   \sin x = -{1\over 2}
\leqno 
   (E)
$$

\item Résoudre l'équation $(E)$ sur l'intervalle $[0; 2\pi ]$
\end{enumerate}




\exot{Déterminer une coordonnée manquante}

\begin{enumerate}

\item Soit $x$ un nombre réel de l'intervalle $[0;\pi]$ tel que
$$
    \cos x = {3\over 5}
$$
Déterminer la valeur exacte de $\sin x$

\item Même question, mais $x$ est maintenant un nombre réel de
l'intervalle $[-\pi ;0]$.
\end{enumerate}


\exot{Périodicité}

On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr $ par $f (x) = \cos
2x$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f$ est paire.

\item Prouver que $f$ est périodique, de période $\pi $.

\end{enumerate}





\exot{Périodicité}


On considère la fonction $f$ définie sur $\bbr $ par $f (x) = \sin x
\cos x$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que $f$ est impaire.

\item Prouver que $f$ est périodique, de période $\pi $.

\end{enumerate}







\exot{\'Etablir une formule de trigonométrie}

Montrer que l'égalité ci-dessous est vraie pour tout réel $x$~:
$$
   \big( \sin x + \cos x \big) ^2 = 1 + 2 \sin x \cos x
$$







\exot{Déterminer une coordonnée manquante -- Utilisation des symétries}

\begin{enumerate}

\item Sachant que 
$\displaystyle
  \sin {\pi \over 12} = {\sqrt 6 - \sqrt 2\over 4}
$,
démontrer que
$$
  \cos {\pi \over 12} = {\sqrt 6 + \sqrt 2\over 4}.
$$

\item En déduire que
$$
   \tan {\pi \over 12} = 2 - \sqrt 3.
$$

\item En déduire les sinus et cosinus de
$$
   a = {11\pi \over 12}
     \qquad {\rm et} \qquad
   b = {23\pi \over 12}
$$

\end{enumerate}







\exot{Application d'une formule de trigonométrie}

Dans cet exercice, on admet que l'on a, pour tout réel $x$,
$$
   \sin 2x = 2 \sin x \cos x.
$$
et l'on va utiliser cette formule pour déterminer quelques sinus et
cosinus \og exotiques\fg .
\begin{enumerate}

\item On donne
$$
   \cos x = {\sqrt {2 + \sqrt 2}\over 2}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   x \in I = \left [ 0; {\pi \over 4}\right] .
$$

\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin x$.

\item En déduire $\sin 2x$.

\item Déterminer un encadrement de $2x$ lorsque $x$ est dans
      l'intervalle $I$.

\item Déduire des questions précédentes que 
$\displaystyle 
   x = {\pi \over 8}
$.

\end{enumerate}


\item On donne
$$
   \cos x = {\sqrt 6 + \sqrt 2\over 4}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   x \in I = \left [ 0; {\pi \over 4}\right] .
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $\sin 2x$ en procédant comme précédemment. 

\item En déduire $x$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\exot {\'Etablir une formule de trigonométrie}

Montrer que l'égalité ci-dessous est vraie pour tout réel $x$~:
$$
   \big( 1 + \sin x + \cos x \big) ^2 = 2 (1 + \cos x) (1 + \sin x).
$$




\exot{Transformations radian~$\leftrightarrow $~degré}

\begin{enumerate}
\item Convertir en radians les mesures suivantes données en
degrés~:
$$
   10, 
      \qquad
   53, 
      \qquad
   180, 
      \qquad
   60, 
      \qquad
   18.
$$

\item Convertir en degrés les mesures suivantes données en
radians~:
$$
   {\pi \over 3}, 
      \qquad
   {2\pi \over 3}, 
      \qquad
   {\pi \over 4}, 
      \qquad
   {\pi \over 2}, 
      \qquad
   {3\pi \over 8}.
$$


\end{enumerate}







\exot{Longueurs d'arcs circulaires}

Sur un cercle de rayon $10$cm, calculer la longueur de chacun des
arcs de cercle interceptés par des angles au centre de mesure~:

\begin{enumerate}

\item en radians~:
$$
   a) \quad {\pi \over 2}
      \qquad \qquad
   b) \quad {\pi \over 3}
      \qquad \qquad
   c) \quad {2\pi \over 3}
      \qquad \qquad
   d) \quad {3\pi \over 4}
      \qquad \qquad
   e) \quad 0, 2.
$$

\item en degrés~:
$$
   a) \quad 90
      \qquad \qquad
   b) \quad 120
      \qquad \qquad
   c) \quad 80.
$$

\end{enumerate}


\exot{} Tracer un cercle trigonométrique.
\begin{enumerate}
\item En noir, placer dessus à l'aide du compas, les points correspondant au angle de mesure $\cfrac{\pi}{4}$, $\cfrac{\pi}{6}$,$\cfrac{\pi}{3}$, $\cfrac{\pi}{2}$ et $\pi$.
\item En rouge, placer les points de mesure $\cfrac{2\pi}{3}$, $\cfrac{7\pi}{4}$,$\cfrac{5\pi}{6}$.
\item En vert, placer les points de mesure $\cfrac{-\pi}{3}$, $\cfrac{11\pi}{4}$,$\cfrac{-13\pi}{6}$.
\end{enumerate}


\exot{} On considère le cercle trigonométrique ci-dessous :\\
\begin{minipage}{5cm}
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\pspicture(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\pscircle(0,0){1}
\psline(-1,0)(1,0)
\psline(0,-1)(0,1)
\uput[ur](0,0){$O$}
\uput[ur](1,0){$A$}
\psline(0,0)(0.866,0.5)
\uput[r](0.866,0.5){$B$}
\psline(0,0)(0.5,0.866)
\uput[ur](0.5,0.866){$C$}
\uput[ur](0,1){$D$}
\psline(0,0)(-0.866,0.5)
\uput[l](-0.866,0.5){$F$}
\psline(0,0)(-0.5,0.866)
\uput[ul](-0.5,0.866){$E$}
\uput[ul](-1,0){$G$}
\psline(0,0)(-0.866,-0.5)
\uput[l](-0.866,-0.5){$H$}
\psline(0,0)(-0.5,-0.866)
\uput[dl](-0.5,-0.866){$I$}
\psline(0,0)(0.866,-0.5)
\uput[r](0.866,-0.5){$L$}
\psline(0,0)(0.5,-0.866)
\uput[dr](0.5,-0.866){$K$}
\uput[dr](0,-1){$J$}
\endpspicture
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
 \item Justifier que la mesure d'un secteur est de $\dfrac{\pi}{6}$ radian.
 \item Parmi les égalités suivantes, indiquer celles qui sont vraies et corriger les autres.
	   \begin{multicols}{2}
	   \begin{enumerate}
	    \item $\ao{OC}{OB}=\dfrac{-\pi}{6}$
	    \item $\ao{OA}{OD}=\dfrac{-3\pi}{2}$
	    \item $\ao{OL}{OD}=\dfrac{4\pi}{3}$
	    \item $\ao{OA}{OH}=\dfrac{7\pi}{6}$
	    \item $\ao{OG}{OK}=\dfrac{-2\pi}{3}$
	    \item $\ao{OB}{OK}=\dfrac{\pi}{2}$
	    \item $\ao{OA}{OH}=\dfrac{-5\pi}{6}$
	   \end{enumerate}
   \end{multicols}
\end{enumerate}
\end{minipage}


%\pagebreak
\exot{} Soit $\CR_0$ un cercle de centre $A$ et $B$ un point de ce cercle.
\begin{enumerate}
 \item Construire les points $C$, $D$, $E$, et $F$ du cercle $\CR_0$ tels que :
 $$\ao{AB}{AC}=\dfrac{\pi}{3} \quad ; \quad \ao{AB}{AD}=\dfrac{3\pi}{4} \quad ; \quad \ao{AB}{AE}=\dfrac{7\pi}{6} \quad ; \quad 
\ao{AB}{AF}=\dfrac{-3\pi}{4}$$
\item Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
 $$\ao{AC}{AE} \quad ; \quad \ao{AD}{AF} \quad ; \quad \ao{AE}{AB} \quad ; \quad \ao{AF}{AC} \quad ; \quad \ao{AF}{AE}$$
\end{enumerate}

\exot{} $ABCD$ est un carré. $ABJ$ et $CBK$ sont deux triangles équilatéraux tels que $J$ est à l'intérieur du carré et $K$ à l'extérieur.\\
\begin{minipage}{5cm}
$$\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(6,3.7)
\pspolygon(1,1)(3,1)(3,3)(1,3)
\pspolygon(1,1)(3,1)(2,2.73)
\psline(1,1)(3,1)
\psline(3,1)(3,3)
\psline(3,3)(1,3)
\psline(1,3)(1,1)
\psline(1,1)(3,1)
\psline(3,1)(2,2.73)
\psline(2,2.73)(1,1)
\psline(4.73,2)(3,3)
\psline(3,1)(4.73,2)
\rput[bl](0.95,0.69){$A$}
\rput[bl](2.96,0.68){$B$}
\rput[bl](2.94,3.26){$C$}
\rput[bl](0.97,3.25){$D$}
\rput[bl](1.8,2){$J$}
\rput[bl](4.8,2.09){$K$}
\end{pspicture*}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{11cm}
Donner une mesure en radian de chacun des angles orientés suivants :
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\ao{AB}{AJ}$
\item $\ao{DC}{DA}$
\item $\ao{KB}{KC}$
\item $\ao{BC}{BJ}$
\item $\ao{JD}{JA}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{minipage}


\exot{} \textit{Plusieurs mesures pour un même angle, mesure principale.}
\begin{enumerate}
\item Sur un cercle trigonométrique, placer les graduations  multiples de $\frac{\pi}{6}$.
\item Placer le point $M$ tel que l'angle $\ao{OA}{OM}$ mesure  $\frac{17\pi}{6}$ rad.
\item Quelle autre mesure, en radians, aurait-on pu donner pour cet angle ?
\item Donner encore quatre mesures différentes de cet angle (toujours en  radians) : 
	\begin{itemize}
	\item deux positives.
         \item deux négatives.
	\end{itemize}
\item Combien existe-t-il de mesures différentes de cet angle ?
\item Parmi toutes les mesures possibles, donner celle qui correspond à l'arc  le plus court.
	Cette mesure est dite \textit{mesure principale} de l'angle $\ao{OA}{OM}$.
\item Donner les mesures principales de chacun des angles suivants:
$$ \dfrac{23\pi}{6} \quad ; \quad  \dfrac{23\pi}{3} \quad ; \quad \dfrac{-23\pi}{4} \quad ; \quad \dfrac{-23\pi}{2}\quad ; \quad
\dfrac{15\pi}{4} \quad ; \quad \dfrac{-79\pi}{6} \quad ; \quad \dfrac{33\pi}{8} \quad ; \quad \dfrac{17\pi}{6}$$
\end{enumerate}
% \exot{} $\dfrac{-10\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ sont ils deux mesures d'un même angle orientés ?}





\exot{} Représenter graphiquement, sur l'intervalle $[-\pi ; 3\pi]$, les fonctions $f$ et $g$ définies par :
$$f(x)=\ab{\cos(x)} \quad ; \quad g(x)=\sin(x)+\ab{\sin(x)}$$

\exot{} \emph{Cosinus et sinus des angles associés}.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{5\pi}{3}$ ; $\frac{2\pi}{3}$ et  $\frac{4\pi}{3}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{3})$, $\cos(\frac{2\pi}{3})$, $\cos(\frac{4\pi}{3})$, $\sin(\frac{5\pi}{3})$, $\sin(\frac{2\pi}{3})$ et  $\sin(\frac{4\pi}{3})$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{5\pi}{6}$ ; $\frac{-\pi}{6}$ et  $\frac{7\pi}{6}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{5\pi}{6})$, $\cos(\frac{-\pi}{6})$, $\cos(\frac{7\pi}{6})$, $\sin(\frac{5\pi}{6})$, $\sin(\frac{-\pi}{6})$ et  $\sin(\frac{7\pi}{6})$.
	\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
	\item Placer sur un cercle trigonométrique les points de mesures  $\frac{3\pi}{4}$ ; $\frac{5\pi}{4}$ et  $\frac{7\pi}{4}$.
	\item En déduire les valeurs exactes de $\cos(\frac{3\pi}{4})$, $\cos(\frac{5\pi}{4})$, $\cos(\frac{7\pi}{4})$, $\sin(\frac{3\pi}{4})$, $\sin(\frac{5\pi}{4})$,  $\sin(\frac{7\pi}{4})$, $\tan(\frac{3\pi}{4})$, $\tan(\frac{5\pi}{4})$ et  $\tan(\frac{7\pi}{4})$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\exot{} Simplifier le plus possible :
\begin{enumerate}
 \item $A=\cos(-\pi)+\cos(-\dfrac{3\pi}{4})+\cos(-\dfrac{\pi}{2})+\cos(-\dfrac{\pi}{4})$
 \item $B=\cos(0)+\cos(\dfrac{\pi}{4})+\cos(\dfrac{\pi}{2})+\cos(\dfrac{3\pi}{4})+\cos(\pi)$
 \item $C=\sin(\dfrac{\pi}{6})+\sin(\dfrac{\pi}{3})+\sin(\dfrac{\pi}{2})+\sin(\dfrac{\pi}{3})+\sin(\dfrac{5\pi}{6})+\sin(\pi)$
\end{enumerate}



\exot{} On considère l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
	\item Dans un repère orthonormée, tracer un cercle trigonométrique et la droite d'équation $x=\dfrac{1}{2}$.
	\item En déduire les solutions de l'équation $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item En s'inspirant de la démarche effectuée à la question précédente, résoudre, à l'aide d'un cercle trigonométrique chacune des équations suivantes :
	\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item $\cos(x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
	\item $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
	\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
	\item $\cos(x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}

\exot{} Résoudre chacune des inéquations suivantes en utilisant un cercle trigonométrique :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
 \item $\sin(x)\geq0$ pour $x\in[-2\pi;\pi]$
 \item $\cos(x)\leq0$ pour $x\in[\pi;2\pi]$
 \item $\sin(x)<0$ pour $x\in[-\pi;0]$
 \item $\sin(x)>0$ pour $x\in[0;3\pi]$
\end{enumerate}
\end{multicols}


\exot{} On considère les intervalles :
$$I_1=]-\pi ; -\dfrac{\pi}{2}[ \quad ; \quad I_2=]-\dfrac{\pi}{2} ;0[ \quad ; \quad I_3=]0 ; \dfrac{\pi}{2}[ \quad ; \quad I_4=]\dfrac{\pi}{2} ;\pi[$$
\begin{enumerate}
 \item Sur un cercle trigonométrique, représenter par un arc de cercle chacun des intervalles définis ci-dessus.
 \item Associer à chacun des systèmes ci-dessous un arc puis un intervalle.
 $$\S_1 \left\lbrace \begin{array}{ccc}
                     \cos(x) & > & 0 \\
                     \sin(x) & < & 0 \\
                     \end{array}\right .
      \quad
      \S_2 \left\lbrace \begin{array}{ccc}
                     \cos(x) & > & 0 \\
                     \sin(x) & > & 0 \\
                     \end{array}\right .
      \quad
      \S_3 \left\lbrace \begin{array}{ccc}
                     \cos(x) & < & 0 \\
                     \sin(x) &  >& 0 \\
                     \end{array}\right .
      \quad
      \S_4 \left\lbrace \begin{array}{ccc}
                    \cos(x) & < & 0 \\
                     \sin(x) & < & 0 \\
                     \end{array}\right .
      $$
\end{enumerate}





\section{Module : Les radians}
\exot{}Un vélodrome est une piste circulaire pour les coureurs cyclistes. On y circule en partant de A et dans le sens indiqué par la flèche.
On choisit comme unité de longueur le rayon de la piste donc le rayon vaut $r=1$.



\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\pspicture(-1.1,-1.1)(1.1,1.1)
\uput[dl](0,0){$O$}
\pscircle(0,0){1}
\uput[ur](1,0){$A$}
\psset{dotstyle=x,dotsize=7pt}
\psdots(0,0)\psdots(1,0)
\psarc{->}(0,0){1.3}{22.5}{67.5}
\endpspicture
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Roger a parcouru la moitié de la piste ; il est arrivé en $C$ : 
	\begin{enumerate}
	\item Placer $C$.
	\item Quelle est la valeur exacte de la longueur de l'arc  $\arc{AC}$ ?
	\item A quelle mesure d'angle (en degrés)  correspond ce parcours ?
	\end{enumerate} 
\item Roger a parcouru les $\frac{3}{4}$ de la piste. Il est arrivé en $D$.
	\begin{enumerate}
	\item  Placer $D$.
	\item  Quelle est la valeur exacte de la longueur de l'arc  $\arc{AD}$ correspondant à ce parcours ?
	\item A quelle mesure d'angle (en degrés) correspond ce parcours ?
\end{enumerate}
	\item Roger a parcouru un arc de longueur $\frac{\pi}{2}$.
	\begin{enumerate}
	\item Placer son point d'arrivée B.
	\item A quelle mesure d'angle  correspond ce parcours ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

% \defi{radian}
% {   On considère un cercle de centre $O$ et de rayon 1.\\
%         On choisit sur ce cercle un point $A$ origine.\\
%         On peut alors définir une nouvelle unité de mesure d'angle appelée \textit{radian} (abréviation rad).\\
%         $M$ étant un point du cercle, dans cette unité, la mesure de l'angle $\widehat{AOM}$  est égale à la longueur de l'arc $\arc{AM}$.}



\exot{Graduations principales}
Le but de cet exercice est de placer les mesures principales connues en radian. On placera les points sur un cercle identique au précédent.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item Comment trace-t-on au compas la moitié d'un angle ?
		\item En remarquant que $\frac{\pi}{4}$ est la moitié de \dots\dots , placer sur le cercle le point $M_4$ de graduation $\frac{\pi}{4}$.
		\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
		\item $\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{\dots}$ donc pour placer $\frac{\pi}{3}$, il suffit de partager le cercle en $\dots$ parties égales. 
		\item Placer sur le cercle le point $M_3$ de graduation $\frac{\pi}{3}$.
		\end{enumerate}
\item En remarquant que $\frac{\pi}{6}$ est la moitié de \dots\dots , placer sur le cercle le point $M_6$ de graduation $\frac{\pi}{6}$.
\item En remarquant que $\frac{3\pi}{4}=3\times\frac{\pi}{4}$, placer la graduation $\frac{3\pi}{4}$.
\item Placer de même les graduations $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{7\pi}{6}$.
\end{enumerate}


\exot{Angles orientés}
\begin{enumerate}
\item Sur le cercle précédent, on a placé un point $M_3$ vérifiant  $\widehat{OAM_3}=\frac{\pi}{3}$ rad.\\
	 Sur ce même cercle, placer un point $M'_3$ , distinct de $M_3$ tel que $\widehat{OAM'_3}=\frac{\pi}{3}$ rad.
\end{enumerate}

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Sens direct-Positif-Trigonométrique]
On appelle \textit{sens positif} ou \textit{sens direct} ou \textit{sens trigonométrique}, le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens giratoire).
   \end{Definition}
  \end{figure}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[angle orientés]
Pour distinguer les deux points $M_3$ et $M'_3$ correspondants à un même angle géométrique, on utilisera les notations suivantes : 
\begin{itemize}
\item $\ao{OA}{OM_3}$  au lieu de $\widehat{OAM_3}$ et puisque pour passer de $\ve{OA }$ à $\ve{OM_3}$, on a un angle de $\frac{\pi}{3}$  en tournant  dans le sens trigonométrique, on écrira $\ao{OA}{OM_3} = + \frac{\pi}{3}$ rad,
\item $\ao{OA}{OM'_3}$  au lieu de $\widehat{OAM'_3}$ et puisque pour passer de $\ve{OA }$ à $\ve{OM'_3}$, on a un angle de $-\frac{\pi}{3}$  en tournant  dans le sens trigonométrique, on écrira $\ao{OA}{OM'_3} = - \frac{\pi}{3}$ rad,
\end{itemize}
Les angles $\ao{OA}{OM_3}$ et $\ao{OA}{OM'_3}$ sont appelés \textit{angles orientés}.
   \end{Definition}
  \end{figure}

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item Placer sur le cercle précédent les points $E$, $F$, $G$ et $H$ tels que :
	\begin{multicols}{2}
	\begin{enumerate}
	\item $\ao{OA}{OE}=\dfrac{-\pi}{4}$
	\item $\ao{OA}{OF}=\dfrac{-\pi}{6}$
	\item $\ao{OA}{OG}=\dfrac{-5\pi}{6}$
	\item $\ao{OA}{OH}=\dfrac{-7\pi}{3}$
	\end{enumerate}
	\end{multicols}
\end{enumerate}

\section*{Merci}

Je remercie  \href{http://mathsp.tuxfamily.org/}{Denis \textsc{Le Fur}},
\href{http://lyceeenligne.free.fr/spip/spip.php?auteur4}{Aymar         de
  \textsc{Saint Seine}} et \href{http://piprim.tuxfamily.org/index.html}{Philippe \textsc{Ivaldi}}

\end{document}






%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
