\documentclass[11pt,a4paper]{report}
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\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}}
%\entete{DS    n°1}{Jeudi   4    octobre   2007}{Jean    Perrin    -   T
%extsuperscript{ale}S 5}%g,d,b






\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{gray}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}

\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{red}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{red},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{white},frame=single,frameround=tftt}








\begin{document}










\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
\fbox{%
\begin{minipage}{\linewidth}
\smallskip
{\bfseries \sffamily \begin{center} Devoir Surveillé n°2 \hfill CORRIGÉ \\
                                  BTS domotique 1\hfill 1 heure \end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\end{center}

\bigskip
%\begin{multicols}{2}





\exot{}
{\small \textcolor{0.6white}{%
Déterminez les dérivées de fonctions suivantes en factorisant au maximum les résultats trouvés :
}}
\begin{itemize}
\item $f(t)=\cos^3\pa{5t}$ 

%@Commande-1
\begin{lstlisting}
factor(diff((cos(5*x))^3),x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -15\left( \cos\left(5 x\right)\right)^2 \sin\left(5 x\right) \]}}




\item$ g(\o)=\fr{(\o+1)^2}{\o^2+\o+1}$

%@Commande-2
\begin{lstlisting}
factor(diff((x+1)^2/(x^2+x+1)),x)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{-(x-1)(x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{2}} \]}}

\item $h(\theta)=-2\theta+3-\fr{1}{\theta}$


%@Commande-3
\begin{lstlisting}
factor(diff(-2*x+3-1/x,x))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{-(x+\frac{\sqrt{2}}{2})(2 x-\sqrt{2})}{x^{2}} \]}}


\item $j(x)=\dfrac{x^2\E^{x}}{x+1}$

%@Commande-4
\begin{lstlisting}
factor(diff(x^2*exp(x)/(x+1),x))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(x^{2}+2 x+2) x e^{x}}{\left(x+1\right)^{2}} \]}}

\item $k(x)=(x+1)\E^{-x+1}$

%@Commande-5
\begin{lstlisting}
factor(diff((x+1)*exp(-x+1),x))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -x e^{-x+1} \]}}

\item $m(x)=\ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right)$

%@Commande-6
\begin{lstlisting}
factor(diff(ln((x+1)/(x-1)),x))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[  \frac{-2}{(x-1) (x+1)} \]}}

\end{itemize}


\exot{}

{\small \textcolor{0.6white}{%
Déterminez une équation de la tangente au point d'abscisse $a$ à la courbe représentative $\CR$ de la fonction $f$ définie par 
\[f~:~t\mapsto \fr{4t^2}{t^2+1}\qquad a=2\]
}}
La tangente a pour équation réduite $y=f'(a)\times(x-a)+f(a)$


Il faut calculer $f'(x)$~:

%@Commande-7
\begin{lstlisting}
factor(diff(4*t^2/(t^2+1),t))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{8 t}{\left(t^{2}+1\right)^{2}} \]}}


L'équation s'en déduit

%@Commande-8
\begin{lstlisting}
simplifier(equation(tangente(graphe(4*x^2/(x^2+1)),2)))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ y=\frac{(16 x+48)}{25} \]}}

\exot{}



{\small \textcolor{0.6white}{%
Dans le plan muni d'un repère orthonormé $\oij$, on considère la courbe $\CR$ 
représentant une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-3;3]$. 
La droite $\Delta$ est tangente à $\CR$ au point $A(-2;0)$ (voir figure ci-dessous). 
  }}
\begin{enumerate}[1.] 
\item Par lecture graphique, déterminer: 

 \begin{enumerate}[a)] 
 \item $f(1)$, $f(3)$, $f'(-2)$, $f'(1)$; 

$f(1)=1,5$, $f(3)=-4$, $f'(-2)=-3$, $f'(1)=0$.

 \item le signe de $f'(2)$ puis le signe de $f'(0)$. 


$f'(2)<0$, $f'(0)>0$


 \end{enumerate} 
 
{\small \textcolor{0.6white}{%
\item Dresser le tableau de signe: 
  }}
 \begin{enumerate}[a)] 
 \item de $f$; 

   \begin{center}
     \begin{TSc*}{100}
       TSc(x*(x^2-4),[-3,3],[],n,\tv)
       \end{TSc*}
     \end{center}


 \item de $f'$. 

\begin{center}
     \begin{TSc*}{200}
       TSc(-(x^2-1),[-3,3],[],n,\tv)
       \end{TSc*}
     \end{center}




 \end{enumerate} 
 
\item Dresser le tableau de variations de $f$. 



  \begin{center}
    \begin{TV*}{300}
      TV([-3,3],[],"f","x",-x*(x^2-4),1,n,\tv)
      \end{TV*}
    \end{center}

 
\end{enumerate}




% \exot{    }

% La fréquence du son fondamental d'une corde vibrante est donnée par la formule 
% $$N=\fr{1}{2\ell}\sqrt{\fr{F}{\mu}}$$
% où $\ell$ est la longueur de la corde, $F$ sa tension et $\mu$ sa masse par unité de longueur.

% Donnez l'expression de l'erreur relative  $\fr{\text{d}N}{N}$ en fonction des erreurs $\text{d}\ell$, $\text{d}F$ et $\text{d}\mu$.

% %\end{multicols}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
