\documentclass[10pt,a4paper]{report}
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\usepackage[upright]{fourier}
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%\entete{}{}{}%g,d,b


\input cyracc.def
\DeclareFontFamily{U}{russian}{}
\DeclareFontShape{U}{russian}{m}{n}
{<5><6>wncyr5
<7><8><9>wncyr7
<10><10.95><12><14.4><17.28><20.74><24.88><29.87> <43.00>
      <61.92> <89.16> <128.39> <184.88> <266.23>wncyr10}{}
\DeclareSymbolFont{Russian}{U}{russian}{m}{n}
\makeatletter
\newcommand{\textcyr}[1]{%
{\fontencoding{U}\fontfamily{russian}\selectfont\cyracc#1}}

%

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Devoir surveillé de mathématiques  n°1  - 2\textsuperscript{nde} 8\\
\textcyr{Sreda 25 sentyabrp1skii0 } - CORRIGÉ
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}
         

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 1}

\medskip

\textcolor{0.6white}{\small  Répondre par vrai ou faux en justifiant vos réponses~:}
\begin{enumerate}
\item  \textcolor{0.6white}{\small  Un entier est positif.} FAUX : -2 est un entier.
\item  \textcolor{0.6white}{\small  Un entier n'est pas un décimal.} FAUX : si $k$ est un entier, il peut
  s'écrire sous la forme $k=\frac{k}{10^0}$~:~c'est donc aussi un décimal.
\item  \textcolor{0.6white}{\small  Un décimal est un rationnel.} VRAI~:~un décimal est le rapport d'un
  entier et d'une puissance de 10, c'est donc en particulier le rapport de deux entiers et donc
  c'est un rationnel.
\item  \textcolor{0.6white}{\small  Un quotient de deux nombres est un rationnel.} FAUX~:~cela peut être
  faux. Par exemple, $\frac{\sqrt{2}}{2}$ est un quotient de deux nombres mais n'appartient pas à $\bbq$.
\item  \textcolor{0.6white}{\small  Un nombre peut être à la fois un entier naturel et un entier relatif.}
  VRAI~:~tout entier naturel est en particulier un entier relatif positif.
\item  \textcolor{0.6white}{\small  3 est un nombre rationnel.} VRAI~:~$3=\frac{30}{10}\in\bbq$.
\end{enumerate}


\sm

\bigskip

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 2}

\medskip
\textcolor{0.6white}{\small   On considère tous les nombres compris entre -4 et 3 inclus.}
\begin{enumerate}
\item\textcolor{0.6white}{\small   Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbn$ ~?} Il en
  contient 4~:~0, 1, 2 et  3.
\item\textcolor{0.6white}{\small   Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbz$ ~?} Il en
  contient 8~:~$-4$, $-3$, $-2$, $-1$, 0, 1, 2 et 3.
\item\textcolor{0.6white}{\small   Combien cet intervalle contient-il d'éléments de $\bbq$ ~?} Une infinité.
\item\textcolor{0.6white}{\small   Citer un élément de cet intervalle qui soit entier non naturel.} $-2$
\item\textcolor{0.6white}{\small   Citer un élément de cet intervalle qui soit un rationnel non décimal.} $\frac{1}{3}$
\item\textcolor{0.6white}{\small   Citer un élément de cet intervalle qui soit un réel mais pas un
    rationnel.} $\sqrt{2}$
\end{enumerate}


\sm

\bigskip

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 3}

\medskip

			\textcolor{0.6white}{\small  	On donne un rectangle STUV dont les dimensions exactes en centimètres sont : 	
				$$ST = L = 16 + 4\sqrt2 ~\textrm{ et } ~TU = \ell = 16 - 4\sqrt2.$$
				Calculer, en détaillant et en donnant les valeurs exactes des résultats :}
				\begin{enumerate}
				\item\textcolor{0.6white}{\small   Le périmètre $\PR$ du rectangle $STUV$ en
                                    centimètres.} $\PR=2(L+\ell)=2\times 32=64$
				\item\textcolor{0.6white}{\small   L'aire $\AR$ ~du rectangle $STUV$ en
                                    centimètres carrés.}$\AR=L\times\ell=\left(16+4
                                    \sqrt{2}\right)\left(16-4 \sqrt{2}\right)=16^2-\left(4 \sqrt{2}\right)^2=224$
				\item\textcolor{0.6white}{\small   La longueur $d$ de la diagonale du
                                    rectangle $STUV$ en centimètres.}\\
                                  $d^2=L^2+\ell^2=16^2+2\times16\times4 \sqrt{2}+\left(4
                                    \sqrt{2}\right)^2+16^2-2\times16\times4 \sqrt{2}+\left(4
                                    \sqrt{2}\right)^2 = 2\times 288=576$, donc
                                  $d=\sqrt{576}=24$
				\end{enumerate}


\sm

\bigskip


{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 4}


\medskip

\textcolor{0.6white}{\small   Compléter toutes les cases du tableau suivant par le symbole $\in$ ou $\notin$}\\
	\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
  &\rotatebox{90}{$\cfrac{35}{7}=5$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{27}{100}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=4$}& 
  \rotatebox{90}{$1+ 2\sqrt{3}$} &
  \rotatebox{90}{$-\cfrac{1+ 2}{3}=-1$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{12}{7+ 5}=1$} &
	\rotatebox{90}{$\sqrt{5^2-4^2}=3$} &
	\rotatebox{90}{$(1 + \sqrt{5})(1 - \sqrt{5})=-4$} &
	\rotatebox{90}{$\cfrac{3 + 2\sqrt{3}}{4-\sqrt{3}}$} &
  \rotatebox{90}{$\cfrac{341}{19}$} 
  \\\hline
	$\bbn$ &$\in$ &$\notin$ &$\in$ &$\notin$ &$\notin$ &$\in$ &$\in$ &$\notin$ &$\notin$ &$\notin$ \\ \hline
	$\bbz$ &$\in$ &$\notin$ &$\in$ &$\notin$ &$\in$    &$\in$ &$\in$ &$\in$    &$\notin$ &$\notin$ \\ \hline
	$\bbd$ &$\in$ &$\in$    &$\in$ &$\notin$ &$\in$    &$\in$ &$\in$ &$\in$    &$\notin$ &$\notin$ \\ \hline
	$\bbq$ &$\in$ &$\in$    &$\in$ &$\notin$ &$\in$    &$\in$ &$\in$ &$\in$    &$\notin$ &$\in$    \\ \hline
        $\bbr$ &$\in$ &$\in$    &$\in$ &$\in$    &$\in$    &$\in$ &$\in$ &$\in$    &$\in$    &$\in$    \\ \hline
	\end{tabular} 
	\end{center}

\sm

\bigskip

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 5}

\medskip

	\begin{enumerate}
	\item	\textcolor{0.6white}{\small   Montrer que
            $\sqrt{1+\frac{3}{5}}\times\sqrt{1-\frac{3}{5}}$ est rationnel.}\\
 $\sqrt{1+\frac{3}{5}}\times\sqrt{1-\frac{3}{5}}=\sqrt{\left(1+\frac{3}{5}\right)\left(1-\frac{3}{5}\right)}=\sqrt{\left(1^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2\right)}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$.
	\item	\textcolor{0.6white}{\small   Montrer que
            $\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2
3}+3\sqrt{2}\right)$ et
            $\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)^2$ sont des
            entiers.}$\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)=3 \sqrt{6}+9
          \sqrt{4}-\sqrt{9}-3 \sqrt{6}=15 $\\ $\left(\sqrt{2}+\sqrt{8}\right)^2=2+2 \sqrt{16}+8=18$
          
	\item	\textcolor{0.6white}{\small   Montrer que $\left(\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2$  est un rationnel.}\\
$\left(\sqrt{\frac{2}{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2=\frac{2}{5}-2 \sqrt{\frac{2}{5}\times \frac{5}{2}}+\frac{5}{2}=\frac{2}{5}-2+\frac{5}{2}=\frac{9}{10}$

\item 	\textcolor{0.6white}{\small   Plus généralement,montrer que les nombres
    $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ et
    $\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2$ le sont aussi.}\\
$\left(\sqrt{\frac{a}{c}}-\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2=\frac{a}{c}-2 \sqrt{\frac{a}{c}\times
  \frac{c}{a}}+\frac{c}{a}=\frac{a^{2}-2ac+c^{2}}{ca}=\frac{(a-c)^2}{ac}$\\
$\left(\sqrt{\frac{a}{c}}+\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2=\frac{a}{c}+2 \sqrt{\frac{a}{c}\times \frac{c}{a}}+\frac{c}{a}=\frac{a^{2}+2ac+c^{2}}{ca}=\frac{(a+c)^2}{ac}$
	\end{enumerate}


\bigskip
\sm

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 6}
	
\medskip

	\textcolor{0.6white}{\small  Un fil de section $S$ comporte $n$ électrons par unité de volume se déplaçant à la vitesse $v$.\\
L'intensité $I$ du courant circulant dans ce fil est donnée en ampère par la formule :
$$ I=nSqv $$
où $q$ désigne une charge électrique.\\
On donne :\\
$n=6  \times 10^{26}~m^{-3}$\\
$q=1,5  \times 10^{-19}~C$\\
$v=2 \times 10^{-3}~m.s^{-1}$\\
$S=1,2  \times 10^{-6}~m^2$.}

\begin{enumerate}
\item	\textcolor{0.6white}{\small   Faire le calcul de $I$, en ampère, à l'aide de la calculatrice, et donner le résultat.}0,216
\item	\textcolor{0.6white}{\small   Faire le calcul à la main en détaillant les étapes.}\\
$6  \times 10^{26}\times 1,5  \times 10^{-19}\times 2 \times 10^{-3}\times1,2  \times
10^{-6}=(6\times 1,5\times 2\times 1,2)\times 10^{26-19-3-6}=21,6\times10^{-2}=0,216 $
\end{enumerate}


\bigskip
\sm

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 7}

\medskip


	\textcolor{0.6white}{\small  Écrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : $A=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.}\\
$A=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\dfrac{\pa{2+\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}=\dfrac{2
  \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+3+\sqrt{6}}{3-2}=2
  \sqrt{3}+2 \sqrt{2}+3+\sqrt{6}$

\bigskip

\sm

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 8}

\medskip


	\textcolor{0.6white}{\small  Écrire sous forme de fraction irréductible : $B=\dfrac{1+\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3}}}$.}

$B=\dfrac{\frac{2+1}{2}}{1+\frac{1}{\frac{3+1}{3}}}=\dfrac{\frac{3}{2}}{1+\frac{1}{\frac{4}{3}}}=\dfrac{\frac{3}{2}}{1+\frac{3}{4}}=\dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{4}}=\dfrac{3}{2}\times
\dfrac{4}{7}=3\times \dfrac{2}{7}=\dfrac{6}{7}$

\bigskip

\sm

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 9}

\medskip


	\textcolor{0.6white}{\small  Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=\sqrt{5}-\sqrt{3}$, \quad
$AC=\sqrt{5}+2\sqrt{3}$ \quad et \quad $BC=5\sqrt{5}$.}\\

\begin{enumerate}
\item	\textcolor{0.6white}{\small   Donner à l'aide de la calculatrice un encadrement à $10^{-2}$ près
  de chacun des côtés.}

$0,50<AB<0,51\qquad  5,70<AC<5,71\qquad 11,18<BC<11,19             $

\item	\textcolor{0.6white}{\small   Donner les valeurs exactes de $AB^2$, $AC^2$ et $BC^2$.}

$AB^2=5-2\sqrt{5}\sqrt{3}+3=8-2\sqrt{15}\qquad AC^2=5+2\times2 \sqrt{3}\sqrt{5}+4\times 3=17+4
\sqrt{15}\qquad BC^2=25\times 5=125$

\item 	\textcolor{0.6white}{\small  Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?}
$AB^2+AC^2=25+2 \sqrt{15}\neq BC^2$ donc le triangle n'est pas rectangle.

\end{enumerate}



\sm

\bigskip

{\LARGE \textcyr{Uprazhnenie} 10}

\medskip

	\textcolor{0.6white}{\small  \textcyr{YA lyublyu moi utchelnik a on
            durak ?        }}\textcyr{Pravda !}





\end{document}

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