\chapterimage{bashful}
\chaptertext{Pour  initier  nos   aventures,  nous  allons  débuter  par
  quelques révisions  de l'école primaire puis tenter  de les développer
  un  peu   afin  d'avoir  un  minimum  d'outils   pour  comprendre  les
  mathématiques  pour  l'informatique.  Mais  tout  d'abord,  il  faudra
  apprendre à raisonner...}
\chapter{Timide introduction aux mathématiques discrètes}


\section{Prouver ou ne pas prouver?...}

\pro Qu'y a-t-il  de plus beau qu'une belle  preuve mathématique? Elle a
ceci  d'extraordinaire   qu'elle  permet  d'être   totalement  sûr  d'un
résultat, aussi compliqué soit-il...pour peu qu'on ne se soit pas trompé
dans la preuve. Il est parfois très difficile d'arriver à prouver qu'une
preuve est  correcte. Par  exemple, avant de  valider la  fameuse preuve
d'Andrew \textsc{Wiles} du
fameux théorème de \textsc{Fermat} proposée en 1993, trois siècles après
l'énoncé  du  théorème par  \textsc{Fermat},  il  a  fallu des  mois  de
vérification minutieuse par les plus grands mathématiciens.

\iutx  Moi  j'aime  pas  les  preuves.  De toute  façon  on  connaît  le
résultat. Et puis j'en aurai pas besoin en quittant l'IUT.

\pro Vous  avez pourtant choisi de  vous lancer dans des  études dans le
domaine de l'informatique,  qui est une science aussi  exigeante que les
mathématiques.  Habituer  son esprit  à  acquérir  clarté, précision,  à
développer ses facultés d'abstraction et de modélisation sans laisser de
côté  intuition  et  imagination   est  une  bonne  formation  pour  des
informaticiens qui souhaitent éviter  de créer des logiciels se bloquant
à chaque manipulation.


\iutx Dans  IUT, il  y a  T, donc faudrait  peut-être pas  confondre les
étudiants d'ici avec des doctorants en mathématique.

\pro  Certes, et  c'est pourquoi  nous  essaierons le  plus possible  de
découvrir les notions nouvelles à partir d'exemples et de les illustrer à
partir de situations informatiques concrètes. Nous explorerons également
de  fausses pistes,  des raisonnements  maladroits  car il  est aisé  de
passer à côté  d'un problème et d'aboutir ainsi à une  impasse ou un \og
bug\fg{}.  

Par exemple,  dans un langage quelconque,  on effectue un  test du style
\og  tant  que $x<0,3$  faire  bla bla  bla\fg{}.  Ça  bug. Pourtant  le
programme semble parfait. Mais observez plutôt:


\begin{itemize}
\item avec OCAML
\caml
\begin{lstlisting}[caption={}]
# 3.*.0.1-.0.3;;
- : float = 5.5511151231257827e-17
\end{lstlisting}

\item avec Python:
\sage
\begin{lstlisting}[caption={}]
>>> 3*0.1-0.3
5.551115123125783e-17
\end{lstlisting}

\item avec GP/Pari:
\maple
\begin{lstlisting}[caption={}]
? 0.3-3*0.1
%1 = 1.4693679385278593850 E-39
\end{lstlisting}
\end{itemize}

Il semblerait que $3\cdot 0,1$ ne soit pas égal à $0,3$...

\iutx !!!!

\pro Avec un peu d'informathique, nous apprendrons par exemple à expliquer et à éviter
ce genre d'erreur.

\vfill
\eject


\section{Comment raisonner?...}

\iutxap{Ding!  Dong!}  Voici un  problème  passionnant  mais qui  aurait
plutôt sa place dans ces merveilleux cours de philosophie que j'ai suivi
avec ardeur l'an passé en terminale.

\pro  Évidemment,  le  problème   est  vaste  et  demanderait  plusieurs
décennies de réflexion. Nous  nous contenterons d'aborder quelques types
de  raisonnements utiles  que nous  développerons plus  tard  de manière
beaucoup   plus  rigoureuse,  notamment   lorsque  nous   étudierons  la
logique. Il  y a  quelques années,  il aurait été  inutile de  faire les
rappels qui vont suivre, mais  que voulez-vous, on n'apprend plus rien à
l'école.

\iutxap{Quel  vieux xxx! Il  va pas  commencer l'année  à nous  faire le
  coup du  \og ah,  d'mon temps,  c'était aut'chose\fg{}. Il  a pas  l'air si
  gâteux pourtant. C'est sûrement  la déformation professionnelle. Un prof
  devient tôt  ou tard  un vieux xxx.}  Ah, comme vous  avez raison!
Heureusement, vous allez combler cette terrible lacune dans ma formation
intellectuelle.


\pro  Votre  enthousiasme me  ravit.  Commençons  donc  par un  problème
classique qui ravira l'informaticien en herbe que vous êtes.

\subsection{Récurrence, récursion, récursivité, induction \& Co.}


% \begin{flushright}
% \begin{quote}{\large\slshape 
% Définition: si vous ne comprenez toujours pas le sens du mot \og \textit{récursion}\fg{},
% relisez cette phrase.}
% \end{quote}
% \end{flushright}



% \subsubsection{Les tours de Hanoï}

\pro Commençons notre année par un petit jeu:


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[angle=-1,scale=1.4]{hanoi3}
\end{center}
%\end{figure}


Ce casse-tête a été posé  par le  mathématicien
français Édouard \textsc{Lucas} en 1883.

Le  jeu  consiste  en  une  plaquette  de bois  où  sont  plantés  trois
piquets. Au  début du jeu, 8  disques de diamètres croissant  de bas en
haut sont placés  sur le piquet de  gauche. Le but du jeu  est de mettre
ces disques dans le même ordre sur le piquet de droite en respectant les
règles suivantes:

\begin{itemize}
\item on ne déplace qu'un disque à la fois;
\item on ne peut poser un disque que sur un disque de diamètre supérieur.
\end{itemize}


Essayez d'abord avec 2 puis 3 disques.

\iutx  Bon, avec  deux, je  mets  le disque  là puis  l'autre là-bas  et
ensuite celui-ci ici. Ça marche.  Avec trois, je bouge celui-là, et puis
l'autre, celui-ci ici,  l'autre là, puis celui-là là  et l'autre là puis
le  dernier ici.  Ah,  c'est pas  le bon  piquet  mais ça  marche à  peu
près. Facile votre jeu.


\pro Alors essayez avec quatre, cinq, autant de disques que vous voulez.

\medskip

{\itshape Quelques minutes plus tard}

\iutx Pénible votre jeu!

\pro Les  choses se compliquent.  Il est temps  de parler de  la légende
rapportée par \textsc{ Lucas} dans ses \og \textit{récréations mathématiques}\fg{}:

\begin{quote}
  \textit{N. Claus de Siam a vu, dans ses voyages pour la publication des écrits
de  l'illustre  Fer-Fer-Tam-Tam,  dans   le  grand  temple  de  Bénarès,
au-dessous du  dôme qui  marque le centre  du monde, trois  aiguilles de
diamant,  plantées  dans une  dalle  d'airain,  hautes  d'une coudée  et
grosses comme  le corps  d'une abeille. Sur  une de ces  aiguilles, Dieu
enfila au commencement  des siècles, 64 disques d'or  pur, le plus large
reposant  sur  l'airain,  et  les  autres,  de  plus  en  plus  étroits,
superposés  jusqu'au sommet.  C'est la  tour sacrée  du Brahmâ.  Nuit et
jour, les  prêtres se  succèdent sur les  marches de l'autel,  occupés à
transporter  la tour  de la  première  aiguille sur  la troisième,  sans
s'écarter des  règles fixes que nous  venons d'indiquer, et  qui ont été
imposées  par Brahma.  Quand  tout sera  fini,  la tour  et les  brahmes
tomberont, et ce sera la fin des mondes !}
\end{quote}



C'est un problème  posé par un mathématicien mais  nous allons l'étudier
en \emph{informathicien}. Nous voudrions répondre à plusieurs questions:
\begin{itemize}
\item peut-on résoudre le problème des 64 disques?
\item si oui, en combien de mouvements?
\item peut-on trouver une tactique la plus efficace possible?
\item est-ce que la fin du monde est pour bientôt?
\end{itemize}

Au lieu  d'étudier des  cas séparés, nous  allons généraliser un  peu et
considérer une  tour avec $n$ disques,  $n$ étant un  entier naturel non
nul.


\iutx Cela va compliquer les choses. Pourquoi ne pas s'en tenir à un cas
précis? C'est une perversion de mathématicien.

\pro Détrompez-vous!  Au lieu d'étudier un  à un des cas  isolés, il est
bon pour  un informaticien  aussi de voir  qu'un programme  plus général
pourra traiter tous les cas.  Cependant, il sera utile d'étudier des cas
simples d'abord pour se donner une idée. 

Après une rapide exploration avec papier et crayon, il est temps pour un
\emph{informathicien} d'introduire des notations adéquates. 

Notons  $M_n$  le  nombre  minimum  de mouvements  pour  transférer  $n$
disques. Pouvez-vous donner les premières valeurs de $M_n$?

\iutx Bon, s'il  n'y a qu'un disque, on ne pourra  pas faire mieux qu'un
déplacement: $M_1=1$. Avec deux disques, hop, hop, hop: trois mouvements;
$M_2=3$. Pour  trois, j'avais trouvé  sept déplacements mais je  ne suis
pas sûr que ça soit la meilleure solution.

\pro  C'est  ce  que nous  allons  prouver  mais  tout d'abord,  en  bon
mathématicien, rajoutons un cas extrême: s'il y a zéro disque, il faudra
zéro mouvement.

\iutx C'est un peu tiré par les cheveux.

\pro  Mais  considérer les  cas  les  plus  triviaux permet  souvent  de
simplifier le cas général. Il est temps d'ailleurs de voir grand mais il
nous  faudrait une  idée. Essayons  de  trouver des  points communs  aux
déplacements de deux et trois disques respectivement. 

\iutx Ben, je mets le petit sur  le piquet du milieu, le grand sur celui
d'arrivée puis le petit sur ce même piquet d'arrivée.

\pro  Pour trois  c'est pareil:  je mets  les deux  petits sur  celui du
milieu, le grand sur celui d'arrivée  puis les deux petits par dessus le
grand.

\iutx Vous trichez! Vous avez bougé deux disques en même temps.

\pro En fait, j'ai vu que  je savais bougé deux disques d'un piquet vers
un autre. Cela me demande trois étapes qui se cachent derrière le \og\textit{je mets  les deux  petits sur  celui du
milieu} \fg{}.

Cela nous  donne en  fait la  solution: avec $n+1$  disques, je  bouge les
$n$ plus petits sur le piquet du milieu ($M_{n}$ mouvements), je bouge le plus grand sur le
piquet d'arrivée (1 mouvement) puis je redéplace les $n$ petits sur le
grand ($M_{n}$ mouvements). Ainsi:

$$M_{n+1} \leqslant 2M_n+1$$

\iutx Pourquoi avoir utilisé $\leqslant $ et non pas $=$? Et puis, on ne
connaît pas $M_n$.

\pro Vous touchez du doigt deux problèmes essentiels qui vont guider bon
nombre de nos raisonnements. 

Pour  le $\leqslant $,  il est  essentiel de  comprendre que  nous avons
prouvé que $2M_n+1$ mouvements  étaient \textbf{suffisants} mais nous ne
savons    toujours    pas    si    ces    $2M_n+1$    mouvements    sont
\textbf{nécessaires}. C'est très important de comprendre la différence.

Par exemple, pour acheter un chocolat chaud à la cafétéria et l'offrir à
son professeur adoré, il est \textbf{suffisant} d'avoir 10 euros dans sa
poche   mais   ce   n'est   pas   nécessaire.    Inversement,   il   est
\textbf{nécessaire}  d'avoir   au  moins  20  centimes   mais  ce  n'est
malheureusement pas suffisant.

Nous étudierons cela en détail  dans le prochain chapitre sur la logique
mais nous pouvons nous contenter pour le moment d'une approche intuitive.

\begin{NB}
On  considère P  et Q  deux propositions  (des énoncés,  des  faits, des
formules).

\begin{itemize}
\item Q est une \textbf{condition nécessaire} pour avoir P si, dès que P
  est  vraie,  alors nécessairement,  forcément,  obligatoirement, Q  est
  vraie. On note souvent $P \Longrightarrow Q$.
\item Q est  une \textbf{condition suffisante} pour avoir  P s'il suffit
  que  Q  soit  vraie  pour  que  P soit  vraie.   On  note  souvent  $P
  \Longleftarrow Q$.
\item  Lorsque  P  est  à  la fois  condition  nécessaire  et  condition
  suffisante de Q, on dit  que P est une \textbf{condition nécessaire et
    suffisante} de Q ou encore  que P est vraie \textbf{si, et seulement
    si,} Q est vraie. On note souvent $P \Longleftrightarrow Q$.
\end{itemize}

Lorsque qu'une \og affirmation\fg{} du  type $P \Longrightarrow Q$ ou $P
\Longleftrightarrow Q$ est vraie, on dit que c'est un \textbf{théorème}.
\end{NB}

Nous développerons des méthodes de preuve dans la section suivante.

Revenons tout d'abord à nos disques. Peut-on faire mieux que la solution
proposée?

À un moment donné, il \textit{faut}  bien bouger le plus grand disque puisqu'il
est sur le mauvais piquet. Il \textit{faut}  donc qu'il soit tout seul et il \textit{faut}
donc avoir  bougé auparavant  les $n$ autres  disques plus  petits. Cela
\textit{nécessite} \textit{au minimum}  $M_n$ mouvements. Après cela, on
peut bouger  le grand disque  autant de fois  qu'on le désire mais  à un
moment donné,  il \textit{faudra} le  placer sur le piquet  d'arrivée et
déplacer  les  $n$  autres  disques  sur  le  piquet  d'arrivée  ce  qui
\textit{nécessite} à nouveau $M_n$ mouvements. 

Ainsi, il \textit{faudra au minimum} effectuer $2M_n+1$ mouvements.

On a donc prouvé que:

$$M_{n+1}\geqslant 2M_n+1$$

Il  est donc  \textbf{nécessaire} d'effectuer  $2M_n+1$  mouvements pour
déplacer  les $n+1$  disques. Or  nous avons  montré auparavant  que ces
$2M_n+1$ mouvements étaient \textbf{suffisants}. On en déduit donc que:


$$
\begin{cases}
  M_0=0\\
  M_{n}=2M_{n-1}+1 \text{ pour tout } n>0
\end{cases}
$$


Est-ce que cette formule marche bien avec nos premiers exemples?

\iutx  $M_1=2\cdot 0+1=1$:  OK. $M_2=2\cdot  1+1=3$:  OK. $M_3=2\cdot
3+1=7$: OK.

\pro Ça ne prouve pas grand  chose mais ça nous rassure. De toute façon,
nous avons prouvé que cette formule est bonne. Que vaut $M_{64}$?

\iutx  Ben $M_{64}=2M_{63}+1$.  Le problème,  c'est qu'on  ne  connaît pas
$M_{63}$.

\pro  Et   oui:  on  définit  la  \textit{suite}   \textbf{M}  à  partir
d'elle-même, ce qui  n'est pas très pratique. On dit  qu'on a définit la
suite par \textbf{récurrence}.  Vous  verrez cette année en informatique
que  ce mode  de  calcul n'est  pas  réservé aux  suites  que vous  avez
peut-être  étudiées  au  lycée.  Par  exemple,  en  langage  formel,  on
travaille avec les  lettres d'un alphabet. On peut  alors définir un mot
comme étant soit une lettre, soit une lettre suivi d'un mot.

\iutx C'est un peu  idiot: en fait, vous me dites que  pour savoir si un
truc est un mot, faut déjà savoir si c'est un mot.

\pro Vous n'êtes  pas assez précis. Prenons notre  alphabet et la chaîne
de caractères  \og math\fg{}.  C'est la lettre  \og m\fg{} suivie  de la
chaîne \og ath\fg{} qui est la lettre \og a\fg{} suivie de la chaîne \og
th\fg{} qui est la lettre \og  t\fg{} suivie de la lettre \og h\fg{} qui
est un  mot puisque c'est une  lettre. En remontant, on  obtient que \og
th\fg{} est  un mot puis que  \og ath\fg{} aussi et  enfin \og math\fg{}
est donc un mot.

\iutxap{Ben  on le savait  avant. Si  c'est ça  c'qu'on apprend  à l'IUT
  d'info,  il  est  peut-être   encore  temps  de  m'inscrire  ailleurs.}
Fabuleux! Math est un mot! J'aurais pas cru, comme ça, a priori.

\pro Ah, comme quoi ce que nous faisons est utile.

\iutxap{Complètement gâteux le gars} Je n'en doute pas.

\pro  Et la  fin du  monde  dans tout  ça? Pour  connaître $M_{64}$,  il
semblerait qu'il faille connaître tous les $M_k$ précédents.

Voyons voir, calculez jusqu'à $M_6$.

\iutx Si vous voulez:
\begin{itemize}
\item $M_3=2\cdot 3+1=7$;
\item $M_4=2\cdot 7+1=15$;
\item $M_5=2\cdot 15+1=31$;
\item $M_6=2\cdot 31+1=63$;
\end{itemize}

Ouais, bof. Je ne vois pas trop où ça nous mène.


\pro  \og  \textit{Ils ont  des  yeux et  ils  ne  voient pas}\fg{}.  Et
pourtant, quand  j'étais jeune, un enfant  de six ans  aurait reconnu la
suite:

$$2^3-1,\ 2^4-1,\ 2^5-1, \ 2^6-1,...$$

\iutxa{Ben  tiens!  Les   puissances  à  6  ans  et   pourquoi  pas  les
  logarithmes à 7.}


\pro Vous dites? 

\iutx Je réfléchissais.

\pro Ah. Alors, vous avez sûrement envie de dire que tout prête à croire
que:

$$M_n=2^n-1, \text{ pour tout entier strictement positif } n$$

\iutx Ben oui,  c'est vrai au début donc  y a pas de raison  pour que ça
s'arrête.

\pro  Encore  faudrait-il  le   prouver.  Par  exemple,  est-ce  que  la
proposition suivante est un théorème: 

\begin{center}
  \textit{Les entiers impairs supérieurs à 3 sont tous des nombres premiers.}
\end{center}

\iutx 3 est premier, 5 est premier, 7 est premier...

\pro...donc c'est vrai! 

\iutx Ben  non. 9  est impair mais  n'est pas premier...Ouais,  OK, j'ai
compris.

\pro  \og Vrai  pour  les premiers,  vrai  pour tous\fg{}  n'est pas  un
théorème! Vous retiendrez également que...


\begin{NB}

 Pour prouver qu'une proposition
n'est pas un théorème, il suffit d'exhiber un \textbf{contre-exemple}.
\end{NB}

Nous  en   reparlerons  plus  loin.  Revenons  à   notre  récurrence  ou
induction.  


\begin{NB}
Pour prouver qu'une  propriété $\PR_n$  dépendant uniquement
d'un paramètre $n$ est vraie pour tout $n \geqslant n_0$, il faut
vérifier que:

\begin{itemize}
\item $\PR_{n_0}$ est vraie (on parle parfois d'initialisation);
\item  pour tout  $n \geqslant  n_0$, $\PR_n  \Longrightarrow \PR_{n+1}$
  (on parle parfois d'hérédité).
\end{itemize}
\end{NB}

Cela peut  par exemple se  prouver en \textit{raisonnant  par l'absurde}
comme nous le verrons en exercice mais nous en reparlerons plus tard.

Ici,  pour  tout   entier  naturel  non  nul  $n$,   notons  $\PR_n$  la
proposition: $M_n=2^n-1$.

Cette proposition est vraie pour $n=1$ puisque $M_1=1=2^1-1$.


Il existe  donc au moins un entier  naturel non nul $k$  tel que $\PR_k$
soit vraie. 

Alors $M_{k+1}=2M_k+1=2(2^k-1)+1=2\cdot 2^k-2+1=2^{k+1}-1$.

Ainsi $\PR_k \Longrightarrow \PR_{k+1}$ pour tout entier naturel non nul
$k$.

Le tour est joué. On peut donc affirmer que $M_n=2^n-1$ pour tout entier
naturel non nul $n$. 

\iutx       Donc       $M_{64}=2^{64}-1$.        Je      prends       ma
calculatrice...$M_{64}=\numprint{18446744073709551615}$. Ça ne m'arrange
pas tellement pour connaître la date de la fin du monde.

\pro  C'est  pourtant simple.  Disons  que  les  moines sont  très  bien
entraînés et se relaient efficacement. Ils déplacent alors un disque par
seconde. Cela nous donne une durée de jeu de...


\iutx              Ah,              ça             je              sais:
$\numprint{18446744073709551615}/\numprint{3600}/24/365,25/100$ ce qui fait en gros
$\numprint{5.8}$ milliards de siècles...

\pro  Et  comme  l'Univers  a   grosso  modo  140  millions  de  siècles
d'existence, cela nous laisse de la marge et nous pouvons espérer passer
des vacances de Noël 2012 assez tranquilles.

\iutx  Ouf! Mais  cela ne  nous indique  pas comment  déplacer  les huit
disques du  jeu initial. On sait  juste qu'en étant  aussi efficaces que
les moines, cela nous
prendra $M_8=2^8-1=255$ secondes.

\pro Je vous laisse donc cinq minutes pour le faire.

\medskip

\textit{Cinq minutes plus tard}

\medskip

\iutx Il  faut se  rendre à l'évidence:  je ne  suis pas fait  pour être
moine. Faut le faire pour chaque  $n$ jusqu'à 8 en fait et noter comment
on a fait. Pfff... C'est pénible.

\pro Et quand  un informathicien a bien réfléchi sur  le papier, il peut
laisser faire  le sale boulot  à la machine.  On a en effet  une méthode
qu'on sait être correcte. Mais il est très difficile de l'appliquer pour
un grand $n$ donné.  On sait que ça marche mais on  ne sait pas vraiment
comment ça marche. Et c'est  là qu'une programmation bien pensée devient
merveilleusement  efficace.  Si on  a  à  notre  disposition un  langage
sachant traiter  la récursion,  il va suffire  de lui donner  un minimum
d'instruction.

Rappelons ici notre méthode:  avec $n+1$  disques, je  bouge les
$n$ plus petits sur le piquet du milieu ($M_{n}$ mouvements), je bouge le plus grand sur le
piquet d'arrivée (1 mouvement) puis je redéplace les $n$ petits sur le
grand ($M_{n}$ mouvements). 


Illustrons notre propos avec le langage OCAML qui aime les récursions:



\caml

On commence par créer une fonction qui affichera le mouvement effectué:

\begin{lstlisting}[caption={mouvement élémentaire}]
let mvt depart arrivee=
print_string
("Déplace un disque de la tige "^depart^" vers la tige "^arrivee);
print_newline();;
\end{lstlisting}


Le programme proprement dit~:

\begin{lstlisting}[caption={résolution récursive du problème des tours de Hanoï}]
let rec hanoi a b c= function
   | 0 -> ()  (*0 disque : on ne fait rien*)
   | n -> hanoi a c b (n-1); (*n-1 disques sont déplacés de a vers b*)
          mvt a c; (*on déplace le disque restant en a vers c*)
          hanoi b a c (n-1) (*n-1 disques sont déplacés de b vers c*);;
\end{lstlisting}

Les phrases entre \verb+(*+ et\verb+*)+ sont des commentaires.


Par exemple, dans le cas de 4 disques, on obtient instantanément:

\begin{lstlisting}
# hanoi "A" "B" "C" 4;;
Déplace un disque de la tige A vers la tige B
Déplace un disque de la tige A vers la tige C
Déplace un disque de la tige B vers la tige C
Déplace un disque de la tige A vers la tige B
Déplace un disque de la tige C vers la tige A
Déplace un disque de la tige C vers la tige B
Déplace un disque de la tige A vers la tige B
Déplace un disque de la tige A vers la tige C
Déplace un disque de la tige B vers la tige C
Déplace un disque de la tige B vers la tige A
Déplace un disque de la tige C vers la tige A
Déplace un disque de la tige B vers la tige C
Déplace un disque de la tige A vers la tige B
Déplace un disque de la tige A vers la tige C
Déplace un disque de la tige B vers la tige C
- : unit = ()
\end{lstlisting}

\iutx Waouh! Ça je préfère.

\pro Je  n'en doute pas,  mais pour y  arriver, il faudra passer  par le
stade \og réflexion mathématiquement assistée avec papier-crayon\fg{}

\begin{extra}
En  1889, l'Italien Guiseppe  \textsc{Peano}, liguiste  et mathématicien
italien, propose une construction  axiomatique de l'ensemble des nombres
naturels.

Un axiome, c'est  quelque chose qu'on tient pour  vrai sans preuve. Pour
construire l'ensemble  des entiers naturels, \textsc{Peano}  a posé cinq
axiomes:

\begin{enumerate}
\item     l'élément appelé zéro et noté 0, est un entier naturel.
 \item    Tout entier naturel $n$ a un unique successeur, noté $s(n)$ ou $S_n$.
\item     Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
\item     Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
\item     Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble est égal à $\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

Le dernier  axiome est  à la base  de la  preuve par récurrence  que nous
venons  de voir.  En fait,  on  peut montrer  que cet  axiome peut  être
remplacé par un autre qui  lui est équivalent: \og \textit{tout ensemble
  d'entiers naturels non vide possède un plus petit élément}\fg{}.

Le  principe  de  récurrence   devient  une  conséquence  de  ce  nouvel
axiome. On le montre par une démonstration par l'absurde.


Consid\'{e}rons l'ensemble 
$$U=\left\{ k\in \mathbb{N\mid }k\geq n_{0}\text{ et }P\left( k\right) \text{
est faux}\right\}
$$%
Supposons que $U$ soit non vide (nous sommes en train de faire une d\'{e}%
monstration par l'absurde...), il admet donc un plus petit \'{e}l\'{e}ment%
 $n\in \mathbb{N}$, $n\geq n_{0}+1$ (puisque $%
P\left( n_{0}\right) $ est vrai par hypoth\`{e}se) et $P\left( n\right) $
faux. Par cons\'{e}quent $n-1\geq n_{0}$ et $P\left( n-1\right) $ est vrai
ce qui prouve que $P\left( n\right) $ est vrai ce qui donne
la contradiction attendue.

Ce raisonnement est souvent utilisé pour remplacer la récurrence.


\end{extra}




\subsection{Théorèmes}



Mathemator   et  Hihutix   sont  sortis   prendre  un   chocolat  chaud:
profitons-en pour  avancer un  peu plus vite,  sachant que  cette partie
sera traitée plus rigoureusement dans le prochain chapitre.

\medskip

En math\'{e}matiques, mais aussi dans toute science, on est amen\'{e} \`{a} 
\'{e}noncer \og des v\'{e}rit\'{e}s\fg{} ou des cons\'{e}quences logiques. On
commence par \og planter le d\'{e}cor\fg{}, i.e.\footnote{%
id est = c'est \`{a} dire} on pr\'{e}cise les objets qui entrent en jeu et
un th\'{e}or\`{e}me s'\'{e}nonce alors le plus souvent sous la forme : 
\begin{eqnarray*}
&&\text{si on a }P\text{ alors on a \textbf{forc\'{e}ment} }Q \\
&&\text{ou bien} \\
&&\text{si }P\text{ est vraie alors }Q\text{ est \textbf{forc\'{e}ment} vraie%
}
\end{eqnarray*}%
o\`{u} $P$ et $Q$ d\'{e}signent des affirmations (des \'{e}nonc\'{e}s) ou
des faits ou des formules .... Ces \og v\'{e}rit\'{e}s\fg{} portent le nom de th%
\'{e}or\`{e}mes et \textbf{se notent}%
$$
P\Rightarrow Q
$$%
qu'il faut \textbf{absolument} lire : \og si $P$ est vraie alors $Q$ est 
\textbf{forc\'{e}ment} vraie\fg{} ou bien \og si on a $P$ alors on a  forc\'{e}ment 
$Q$\fg{} ou, \textbf{\`{a} la rigueur}, \og $P$ implique (ou entra\^{\i}ne) $Q$\fg{}$.$

\begin{exemple}
$f$ est une fonction num\'{e}rique de variable r\'{e}elle d\'{e}finie sur
l'intervalle $I=\left[ a,b\right] $ avec $a<b$ et $x_{0}\in I.$ On vient de
\og planter le d\'{e}cor\fg{}, c'est obligatoire. Maintenant nous \'{e}non\c{c}ons
une \og v\'{e}rit\'{e}\fg{} que vous connaissez tous :%
$$
\begin{tabular}{l}
si $f$ est d\'{e}rivable en $x_{0}$ alors $f$ est forc\'{e}ment continue en $%
x_{0}$%
\end{tabular}%
$$%
C'est un th\'{e}or\`{e}me ! La paresse aidant, on se permet de l'\'{e}crire
sous la forme :%
$$
\begin{tabular}{l}
$f$ d\'{e}rivable en $x_{0}\Rightarrow f$ continue en $x_{0}$%
\end{tabular}%
$$%
mais il faut absolument lire cette formule \og si $f$ est d\'{e}rivable en $%
x_{0}$ alors $f$ est forc\'{e}ment continue en $x_{0}\fg{}.$
\end{exemple}

\begin{exemple}
Consid\'{e}rons l'\'{e}nonc\'{e}%
$$
\begin{tabular}{l}
Si $x^{2}=4$ alors forc\'{e}ment on a $x=2$%
\end{tabular}%
$$%
Est-ce un th\'{e}or\`{e}me ou, si vous pr\'{e}f\'{e}rez, cette affirmation
est-elle vraie ? J'imagine que beaucoup d'entre vous seraient tent\'{e}s de
dire oui ! Malheureusement c'est faux, on n'a pas forc\'{e}ment $x=2,$ $x$
peut aussi \^{e}tre \'{e}gal \`{a} $-2.$ Par contre, si on nous dit que $les$
$x$ avec lesquels on travaille sont $<0$ alors 
$$
\begin{tabular}{l}
Si $x^{2}=4$ alors forc\'{e}ment on a $x=-2$%
\end{tabular}%
$$%
est un th\'{e}or\`{e}me que l'on \'{e}crit%
$$
\begin{tabular}{l}
Si $x^{2}=4$ et $x<0$ alors forc\'{e}ment on a $x=-2$%
\end{tabular}%
$$
\end{exemple}

Pour d\'{e}montrer un th\'{e}or\`{e}me $P\Rightarrow Q,$ $P$ est l'hypoth%
\`{e}se et $Q$ est la conclusion, on utilise \'{e}videmment l'hypoth\`{e}se $%
P$ mais aussi des \og v\'{e}rit\'{e}s\fg{} connues (d\'{e}montr\'{e}es) ou admises
(axiomes) pour arriver \`{a} prouver $Q.$ Cette d\'{e}marche porte le nom de
d\'{e}monstration. Ce n'est pas la seule fa\c{c}on de raisonner, en effet,
consid\'{e}rons donc le th\'{e}or\`{e}me 
$$
\text{si on a }P\text{ alors on a forc\'{e}ment }Q
$$%
Cet \'{e}nonc\'{e} nous dit qu'il suffit de savoir que $P$ est vraie (ou v%
\'{e}rifi\'{e}e) pour que $Q$ le soit. Pour cela on dit que $P$ est une 
\textbf{Condition Suffisante} de $Q.$ Si $Q$ est fausse, il est impossible
que $P$ soit vraie car, si $P$ \'{e}tait vraie, le th\'{e}or\`{e}me $%
P\Rightarrow Q$ nous affirme que $Q$ serait forc\'{e}ment vraie. En cons\'{e}%
quence pour que $P$ soit vraie, il faut d'abord que $Q$ le soit. Pour cela
on dit que $Q$ est une \textbf{Condition N\'{e}cessaire} de $P.$ Nous venons
de prouver ou de d\'{e}montrer que si $P\Rightarrow Q$ est un th\'{e}or\`{e}%
me alors nous avons aussi le th\'{e}or\`{e}me 
$$
\text{si }Q\text{ est fausse alors }P\text{ est forc\'{e}ment fausse}
$$%
qui s'\'{e}crit \og non $Q\Rightarrow $ non $P$\fg{} ou, en utilisant un symbole de
la logique des propositions, $\lnot Q\Rightarrow \lnot P.$ Inversement si $%
\lnot Q\Rightarrow \lnot P$ est un th\'{e}or\`{e}me, si $P$ est vraie, cela 
\'{e}quivaut \`{a} dire que \og non $P$\fg{} est fausse, il est alors impossible
que $Q$ soit fausse, en cons\'{e}quence $P\Rightarrow Q$ est un th\'{e}or%
\`{e}me. La conclusion de ce qui pr\'{e}c\`{e}de est la suivante :%
\begin{itemize}
\item D\'{e}montrer $P \Rightarrow Q$, c'est aussi d\'{e}montrer 
$\lnot Q\Rightarrow \lnot P$.

\item D\'{e}montrer $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$, c'est aussi d\'{e}montrer $P\Rightarrow Q$.
\end{itemize}%


Nous avons dit que, si $P\Rightarrow Q$ est un th\'{e}or\`{e}me, $Q$ est une
condition n\'{e}cessaire de $P,$ cela se traduit par le fait qu'il est
impossible d'avoir simultan\'{e}mant $P$ vraie et $Q$ fausse et donc que si
on suppose simultan\'{e}ment $P$ vraie et $Q$ fausse, un raisonnemnt doit
nous amener obligatoirement \`{a} contredire au moins une v\'{e}rit\'{e}
connue.

\begin{NB}
En conclusion, pour d\'{e}montrer un th\'{e}or\`{e}me $P\Rightarrow Q$ on
peut utiliser les techniques suivantes :

\begin{itemize}
\item Supposer que $P$ est vraie et, en utilisant des r\'{e}sultats prouv%
\'{e}s ou d\'{e}finitions ou .... , arriver \`{a} prouver que $Q$ est vraie.
C'est ce qu'on appelle une d\'{e}monstration directe.

\item Supposer que $Q$ est fausse et, en utilisant des r\'{e}sultats prouv%
\'{e}s ou d\'{e}finitions ou des calculs ou ...., arriver \`{a} prouver que $%
P$ est fausse. Ce type de raisonnement est un \textbf{raisonnement ou d\'{e}%
monstration par contraposition}.

\item Supposer simultan\'{e}ment que $P$ est vraie et $Q$ fausse et, en
utilisant des r\'{e}sultats prouv\'{e}s ou d\'{e}finitions ou des calculs ou
...., arriver \`{a} une contradiction flagrante ou un r\'{e}sultat
manifestement impossible qui peut \^{e}tre $2=-2$ dans $\mathbb{R}$ ou $x\in
A$ et $x\notin A$ ou .... Ce type de raisonnement est un \textbf{%
raisonnement ou d\'{e}monstration par l'absurde}.
\end{itemize}
\end{NB}



\begin{remarque}
Il est bien \'{e}vident que dans toute d\'{e}monstration on se sert de la
transitivit\'{e} de l'implication%
\begin{eqnarray*}
&&\text{\og si on a }P\text{ alors on a }R\text{\fg{} et \og si on a }R\text{ alors on
a }Q\text{\fg{}} \\
&&\text{nous donnent \og si on a }P\text{ alors on a }Q\text{\fg{}}
\end{eqnarray*}%
c'est le \og modus barbara\fg{}, litt\'{e}ralement \og la mani\`{e}re \'{e}trang\`{e}%
re\fg{}. Le \og modus ponens\fg{}, litt\'{e}ralement \og la mani\`{e}re en posant\fg{},
traduit que si l'implication $\left( P\Rightarrow Q\right) $ est vraie et si 
$P$ est vraie alors $Q$ est vraie. Pour sa part, le \og modus tollens\fg{}, litt%
\'{e}ralement \og la mani\`{e}re en \^{o}tant\fg{}, traduit que si $\left(
P\Rightarrow Q\right) $ est vraie et que $Q$ est fausse alors $P$ est fausse.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Les th\'{e}or\`{e}mes qui s'\'{e}noncent sous la forme 
$$
P\Leftrightarrow Q
$$%
traduisent que $P$ est une condition n\'{e}cessaire et suffisante de $Q$ (ou
inversement), cela traduit que $P$ est vraie si, et seulement si, $Q$ est
vraie. Pour le d\'{e}montrer il est conseill\'{e} de d\'{e}montrer les deux
th\'{e}or\`{e}mes $P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow P$ plut\^{o}t que de
vouloir \`{a} tout prix proc\'{e}der par \'{e}quivalences.
\end{remarque}

\vfill
\eject


\section{Théorie naïve des ensembles}


\subsection{Éléments}



\pro Pour cette  partie du cours, je m'inspirerai  grandement d'un livre
de Jean et Suzanne \textsc{Daniau}
publié en  1975 aux éditions  CEDIC sous le titre  \og \textit{Activités
  mathématiques des  enfants de  cinq à six  ans. Suggestions  à l'usage
  des maîtres}\fg{}

\iutxap{Il cherche vraiment à  m'humilier. C'est bien un prof!} J'espère
avoir le niveau CP.

\pro Les  concepteurs des programmes  de la maternelle des  années 1970
ont peut-être  été un peu trop  ambitieux mais je vous  ai signalé cette
petite  information  pour  dédramatiser  le  cours  et  vous  mettre  en
confiance.

\iutx Quel pédagogue! J'ai vraiment de la chance de suivre votre enseignement.



\pro Tout  petit, donc, on  apprend à regrouper des  collections d'objets
selon certains  critères: les copains, les  boulets, les cours  à ne pas
rater, les joueurs dans une équipe, les équipes dans un championnat, les
championnats  selon  le sport,  etc.   En  mathématiques,  on est  assez
collectivistes:  on s'intéresse  aux propriétés  partagées par  tous les
membres   d'une  tribu   et  peu   à  celles   vérifiées   par  quelques
individus\footnote{Les  dirigeants de la  République Populaire  de Chine
  ont le  plus souvent suivi  une solide formation  mathématique: cause?
  Conséquence?...}.

Par exemple,  je voudrais collectionner les  nombres entiers strictement
supérieurs à 1 et qui
ne sont divisibles que par 1 et eux-mêmes: comment faire?

\iutx C'est les nombres premiers. 

\pro Certes, et  l'étude de ces nombres particuliers  occupe les esprits
depuis  des siècles.  Vous  savez  peut-être que  le  nombre de  nombres
premiers  est infini\footnote{Vous  pouvez même  le prouver  pendant vos
  temps libres ou en DS, c'est un raisonnement par l'absurde classique...}
mais on a envie de se référer à cette collection de nombres. De ce genre
d'envie  est née la  notion d'\textit{ensemble}  qui n'a  été pleinement
développée  qu'à partir  du  début  du XX\up{e}  siècle.   Je préfère  à
présent laisser la parole au
Maître:

\medskip

En math\'{e}matiques, pour utiliser correctement un concept, il est n\'{e}%
cessaire que ce dernier soit parfaitement d\'{e}fini et qu'on puisse en appr%
\'{e}cier les contours. C'est ce que nous allons essayer de faire pour le
concept d'\textbf{ensemble} et ce n'est pas si facile car notre langage
courant peut tr\`{e}s bien utiliser le terme ensemble pour d\'{e}noter des
objets qui ne sont pas des ensembles \og math\'{e}matiquement parlant\fg{}.

Notre ambition, ici, se limite \`{a} pr\'{e}senter un cadre strict
d'utilisation de la th\'{e}orie des ensembles et \`{a} montrer combien le
langage de tous les jours peut \^{e}tre trompeur voire erron\'{e} ou d\'{e}nu%
\'{e} de sens lorsque le discours utilise ou d\'{e}finit certains ensembles.
N'entend-on pas chaque nouvelle ann\'{e}e universitaire qu'une promotion est
constitu\'{e}e d'\'{e}tudiants et nous pr\'{e}ciser ensuite qu'une promotion
est aussi constitu\'{e}e de groupes. Nous sommes alors en pr\'{e}sence d'un
ensemble nomm\'{e} \textsl{promotion }et se pose alors la question: \og quels
sont les \'{e}l\'{e}ments de cet ensemble ?\fg{}. Sont-ce les \'{e}tudiants
inscrits ? Sont-ce les groupes ? Quel est le sens math\'{e}matique du verbe 
\textsl{constituer} ? On ne peut se contenter de r\'{e}ponses approximatives
puisque toute sp\'{e}cification informatique se doit d'utiliser des
ensembles dont les d\'{e}finitions et les limites sont parfaitement claires.

On consid\`{e}re g\'{e}n\'{e}ralement que les notions d'ensemble,
d'appartenance et d'\'{e}galit\'{e} sont des notions \textit{primitives}, en ce sens
qu'elles font parties du patrimoine culturel de quiconque comme les notions
de point et de droite en g\'{e}om\'{e}trie. N\'{e}anmoins, nous allons
rappeler, voire red\'{e}finir certains mots car la th\'{e}orie -m\^{e}me
\og naïve\footnote{%
Par opposition \`{a} la th\'{e}orie dite axiomatique.}\fg{}- des ensembles, la
TNE, doit \^{e}tre employ\'{e}e avec un vocabulaire pr\'{e}cis et tout n'est
pas si simple ....



\iutx Le Maître est sage.

\pro Pour  vous convaincre qu'une  approche trop simpliste  et intuitive
peut être  trompeuse, considérez la  situation suivante, connue  sous le
nom   de  \emph{paradoxe   de  \textsc{Russell}},   du  nom   du  célèbre
mathématicien britannique et néanmoins prix Nobel de littérature Bertrand \textsc{Russell}: 

\begin{quote}
Dans  une ville,  il  existe deux  types  d'hommes: ceux  qui se  rasent
eux-mêmes  et les  autres. Pour  ces derniers,  la mairie  a  désigné un
barbier, chargé de tous les raser, et eux seulement: qui rasera le barbier?...
\end{quote}

\iutx Moi je me rase tout seul, une fois par mois.

\pro Merci pour cette information pertinente mais je voulais pointer ici
le problème  de l'existence  d'un ensemble de  tous les  ensembles: pour
garantir la  validité de la théorie  des ensembles, il  a fallu postuler
que l'ensemble de tous les ensembles...n'en était pas un!

\iutx Et vous discutiez de ça en maternelle?

\pro   Je  dois   avouer   que  non.   Mais   trêve  de   considérations
philosophiques. Nous admettrons qu'il  existe des ensembles de référence
et qu'à  partir d'eux on peut  en construire d'autres  à l'aide d'outils
que nous allons découvrir...ensemble.


\iutxa{Grave drôle sa blague à deux balles.}

\pro  N'oublions  pas  non  plus  que nous  travaillons  au  département
d'informatique et qu'un ordinateur travaille avec des ensembles finis et
donc on peut étudier somme  toute assez \og naïvement\fg{} les ensembles
sans être confrontés à des paradoxes.

\medskip

Bon, reprenons. Retenons donc de ce qui pr\'{e}c\`{e}de qu'un ensemble est une
collection d'objets (objets mat\'{e}riels ou concepts abstraits) d\'{e}finis
sans ambigu\"{\i}t\'{e} et que les objets de cet ensemble sont appel\'{e}s 
\textbf{\'{e}l\'{e}ments} de l'ensemble. Nous venons d'utiliser le concept
primordial de la th\'{e}orie des ensembles \`{a} savoir celui d'\textbf{%
appartenance} : si $E$ d\'{e}signe un ensemble\footnote{%
Nous supposons \'{e}videmment l'existence d'au moins un ensemble.} et si $u$
est un \'{e}l\'{e}ment de cet ensemble on \'{e}crit 

$$u\in E$$

%
et $a\notin E$ pour exprimer que $a$ n'est pas un \'{e}l\'{e}ment de $E.$ Il
faut tout de suite noter que le symbolisme utilis\'{e} est tout \`{a} fait
arbitraire, il n'y a aucune raison s\'{e}rieuse pour noter les \'{e}l\'{e}%
ments de (l'ensemble) $E$ par des lettres minuscules, il ne faut surtout pas
y voir une notion de hi\'{e}rarchie. Nous verrons ainsi qu'un ensemble peut
avoir comme \'{e}l\'{e}ments des ensembles.

La relation d'appartenance permet de d\'{e}finir \textbf{l'\'{e}galit\'{e}}
de deux ensembles, deux ensembles sont \'{e}gaux si, et seulement si, ils
ont les m\^{e}mes \'{e}l\'{e}ments. Pour exprimer l'\'{e}galit\'{e} des deux
ensembles $A$ et $B$ on \'{e}crit $A=B$ et $A\neq B$ exprime que les
ensembles $A$ et $B$ ne sont pas \'{e}gaux, l'un des deux ensembles poss\'{e}%
dant au moins un \'{e}l\'{e}ment qui n'appartient pas \`{a} l'autre. Cette d%
\'{e}finition nous am\`{e}ne \`{a} dire qu'un ensemble est d\'{e}fini par la
liste non ordonn\'{e}e et sans r\'{e}p\'{e}tition de ses \'{e}l\'{e}ments : 
\textbf{d\'{e}finition en extension.} Nous pouvons alors d\'{e}cider d'une
premi\`{e}re notation pour les ensembles, une liste (non ordonn\'{e}e) des 
\'{e}l\'{e}ments de l'ensemble \og encadr\'{e}e\fg{} par deux accolades :%

$$\text{Chaprot}=\bigl\{\text{ Papa , Maman , La bonne, Moi }\bigr\}$$


Papa,  Maman, La bonne  et Moi  sont les  quatre éléments  de l'ensemble
Chaprot.

Il n'y a pas d'ordre dans l'écriture des éléments:


$$\text{Chaprot}=\bigl\{\text{     Maman    ,     Papa,     La    bonne,
  Moi }\bigr\}=\bigl\{\text{ Moi, Maman , La bonne, Papa }\bigr\}$$

L'ensemble Chaprot peut lui-même appartenir à un ensemble:

$$\text{Familles}=\bigl\{\text{ Chaprot, Dugland, Du Fermoir de Monsac }\bigr\}$$

Ainsi, Chaprot  est un élément  de Familles et  Maman est un  élément de
Chaprot.





Rappelons qu'un ensemble doit \^{e}tre d\'{e}fini sans ambigu\"{\i}t\'{e} et
qu'en cons\'{e}quence l'\'{e}criture $\left\{ a,a\right\} $ est
incorrecte, elle d\'{e}signe en fait $\left\{ a\right\} $. Un ensemble qui
ne poss\`{e}de qu'un \'{e}l\'{e}ment est appel\'{e} un singleton et un
ensemble qui poss\`{e}de deux \'{e}l\'{e}ments est appel\'{e} une paire
(paire non ordonn\'{e}e, ne pas confondre avec un couple) ou doublet.

On remarque imm\'{e}diatement qu'il est impossible de d\'{e}finir un
ensemble en extension lorsqu'il a une infinit\'{e} d'\'{e}l\'{e}ments. Un
principe majeur de la th\'{e}orie des ensembles permet dans ce cas, mais
aussi dans d'autres, d'identifier les \'{e}l\'{e}ments d'un ensemble par
l'interm\'{e}diaire d'une propri\'{e}t\'{e} qu'ils partagent tous. L'axiome
en question porte le nom d'axiome de s\'{e}lection, ou sch\'{e}ma de \textbf{%
compr\'{e}hension}. De mani\`{e}re simplifi\'{e}e il s'\'{e}nonce :\vspace{%
0.2cm}

\textit{un ensemble }$A$\textit{\ \'{e}tant donn\'{e} ainsi qu'un \'{e}nonc%
\'{e} ou une propri\'{e}t\'{e}} $\mathcal{P}$,\textit{\ il existe un
ensemble }$B$ \textit{dont les \'{e}l\'{e}ments sont ceux des \'{e}l\'{e}%
ments de }$A$ \textit{qui satisfont l'\'{e}nonc\'{e} ou la propri\'{e}t\'{e} 
}$\mathcal{P}.$ \textit{Cet ensemble }$B$\textit{\ est not\'{e} indiff\'{e}%
remment par :}%



\begin{eqnarray*}
B &=&\left\{ x\in A:\mathcal{P}\right\} =\left\{ x\in A\text{ };\mathcal{P}%
\right\} =\left\{ x\in A\mid \mathcal{P}\right\} =\left\{ x\in A\diagup 
\mathcal{P}\right\} \text{ ou encore} \\
B &=&\left\{ x:x\in A\text{ et }\mathcal{P}\right\} =\left\{ z\text{ };z\in A%
\text{ et }\mathcal{P}\right\} =\left\{ u\mid u\in A\text{ et }\mathcal{P}%
\right\} =\left\{ x\diagup x\in A\text{ et }\mathcal{P}\right\}
\end{eqnarray*}%


Cet axiome permet de d\'{e}montrer qu'il existe un ensemble qui ne poss\`{e}%
de aucun \'{e}l\'{e}ment, l'ensemble vide not\'{e} $\left\{ {}\right\} $ ou $%
\emptyset ,$ et que cet ensemble est unique; pour cela il suffit
d'appliquer l'axiome pr\'{e}c\'{e}dent \`{a} un ensemble quelconque $A$ et
de prendre pour $\mathcal{P}$ l'\'{e}nonc\'{e} $x\neq x$ :%

$$
B=\left\{ x\in A\mid x\neq x\right\} =\left\{ {}\right\} =\emptyset
$$

Consid\'{e}rons un \og autre\fg{} ensemble vide, $B^{\prime }=\left\{ x\in
A^{\prime }\mid x\neq x\right\} ,$ nous voulons prouver que $B=B^{\prime },$
pour cela supposons que $B\neq B^{\prime },$ cela signifie que $B$ ou $%
B^{\prime }$ poss\`{e}de au moins un \'{e}l\'{e}ment qui n'appartient pas 
\`{a} l'autre donc $B$ ou $B^{\prime }$ ne serait pas l'ensemble vide ce qui
est impossible par hypoth\`{e}se; conclusion $B=B^{\prime }.$




\begin{DANGER}
Attention!  L'ensemble $\bigl\{\emptyset\bigr\}$  est un  ensemble ayant
l'ensemble  vide pour  unique élément:  il n'est  donc pas  vide!!! Avec
Python:

\sage
\begin{lstlisting}[caption={}]
>>> V=[]
# len donne le nombre d'éléments
>>> len(V) 
0
>>> W=[V]
>>> len(W)
1
>>> W
[[]]
\end{lstlisting}
\end{DANGER}




\begin{remarque}
En G\'{e}nie Logiciel, on utilise des ensembles \og typ\'{e}s\fg{} et l'ensemble
vide n'est pas unique, il y a autant d'ensembles vides que d'ensembles de
base; \og en gros\fg{} cela signifie que l'ensemble vide des \'{e}tudiants est diff%
\'{e}rent de l'ensemble vide des chaises.
\end{remarque}

\iutx Merci pour cette comparaison.

\pro Elle est du Maître. Mais  pour me faire pardonner, je vous offre un
petit   sucre   informatique.  Le   langage   Python  a   l'intéressante
particularité  de pouvoir  définir  des listes  par compréhension:

\sage

\begin{lstlisting}[caption={}]
>>> E=[2,10,12]
>>> F=[k**2 for k in E]
>>> F
[4, 100, 144]
>>> 100 in F
True
\end{lstlisting}



\begin{remarque}
  Une   petite   curiosité:    la   \textit{paire   ordonnée}   (ou   le
  \textit{couple}) constituée  de $a$  et de $b$  dans cet ordre  se note
  $(a,b)$.  L'ordre est important  et on peut éventuellement avoir $a=b$
  ce qui n'est  pas le cas pour une paire.  En informatique, une manière
  d'éliminer  les doublons  dans  une  liste est  de  la transformer  en
  ensemble puis à nouveau en liste. Sur Python:

  \begin{lstlisting}[caption={}]
>>> A=[1,1,1,2,2,5,6,7,7,7,7,7,7]
>>> E=set(A)
>>> E
set([1, 2, 5, 6, 7])
>>> B=list(E)
>>> B
[1, 2, 5, 6, 7]
# Ou plus rapidement
>>> C=list(set(A))
>>> C
[1, 2, 5, 6, 7]
  \end{lstlisting}
\end{remarque}







Nous retiendrons de ce paragraphe qu'\`{a} chaque fois que sera consid\'{e}r%
\'{e} un ensemble soit il est d\'{e}fini en extension, on indique alors
entre deux ac\-colades \textbf{dans un ordre quelconque} les diff\'{e}rents 
\'{e}l\'{e}ments de cet ensemble, soit il est d\'{e}fini en compr\'{e}%
hension et on indique entre deux accolades une propri\'{e}t\'{e} caract\'{e}%
ristique des \'{e}l\'{e}ments de cet ensemble, ces \'{e}l\'{e}ments
appartenant au pr\'{e}alable \`{a} un ensemble bien d\'{e}fini.

Il ne faut surtout pas croire que travailler avec des ensembles soit une
chose simple. C'est vrai si l'ensemble $A$ poss\`{e}de des \'{e}l\'{e}ments
facilement identifiables et en petit nombre, mais si les \'{e}l\'{e}ments de 
$A$ sont des ensembles qui ont eux-m\^{e}mes pour \'{e}l\'{e}ments des
ensembles, on peut avoir beaucoup de mal \`{a} se repr\'{e}senter l'ensemble 
$A$ et \`{a} le manipuler.






\subsection{Ensembles égaux}

\pro La  définition de  l'égalité de deux  ensembles n'est  pas vraiment
très originale:

\begin{definition}[Égalité d'ensembles]
Deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux  si, et seulement si, ils ont les mêmes
éléments. On note alors $E=F$.
\end{definition}

\iutx Ils sont  forts ces mathématiciens! Où vont-ils  trouver ces idées
incroyables? 

\pro riez, riez, mais tout ne sera pas toujours aussi simple. Cependant,
en  grand pédagogue  que je  suis,  je vais  essayer de  vous mettre  en
confiance:

\begin{exemple}
  On       note      $E=\bigl\{x\in\bbz\,|\,       x^2=1\bigr\}$      et
  $F=\bigl\{x\in\bbr\,|\, \left|x\right|=1\bigr\}$. Que pouvez-vous dire
  de $E$ et $F$? 
\end{exemple}

Cependant,  démontrer  que  deux   ensembles  sont  égaux  peut  devenir
fastidieux, voire  difficile. Nous  verrons plus loin  (cf \vref{carac})
comment procéder.

\subsection{Inclusion}

Un ensemble d\'{e}sign\'{e} par $B$ est \textbf{contenu} ou \textbf{inclus}
dans l'ensemble d\'{e}sign\'{e} par $A$ ou encore est une \textbf{partie} de
l'ensemble $A$ si, et seulement si, tout \'{e}l\'{e}ment de $B$ est aussi un 
\'{e}l\'{e}ment de $A$. On note alors $B\subseteq A$ ou $A\supseteq B$. On
dit aussi que $B$ est \textbf{une partie ou un sous ensemble de} $A$. La d%
\'{e}finition pr\'{e}c\'{e}dente affirme que $\emptyset $ est inclus dans
n'importe quel ensemble $A$ car, si ce n'\'{e}tait pas le cas, l'ensemble
vide poss\`{e}derait au moins un \'{e}l\'{e}ment qui n'appartient pas \`{a} $%
A.$ On notera aussi que tout ensemble est inclus dans lui m\^{e}me. On
retiendra donc que si $A$ d\'{e}signe un ensemble \textbf{on a toujours} 

$$
\emptyset \subseteq A\text{ et }A\subseteq A
$$


\begin{remarque}
Pratiquement tous les auteurs d'ouvrages math\'{e}matiques en langue fran\-%
\c{c}aise utilisent le symbole $\subset $ pour d\'{e}finir l'inclusion
(large), nous estimons qu'ils le font \`{a} tort. Nous ne nous alignons pas
sur une notation anglo-saxonne, nous ne faisons qu'utiliser la notation du
syst\`{e}me internationnal. Pour nous, le symbole $\subset $ d\'{e}signe
l'inclu\-sion stricte en ce sens que si $B\subset A$ on ne peut avoir $B=A$
et par cons\'{e}quent l'\'{e}nonc\'{e} $A\subset A$ est faux. Pour \'{e}%
viter les confusions toujours possibles nous utiliserons le symbole $%
\varsubsetneq $ ou $\subsetneqq $ pour d\'{e}signer l'inclusion stricte%
\begin{equation*}
B\varsubsetneq A\text{ signifie }\left( B\subseteq A\text{ et }B\neq
A\right) \vspace{0.2cm}
\end{equation*}%
qu'il ne faut pas confondre avec $B$ $\nsubseteq A$ qui exprime que $B$
n'est pas inclus dans $A.$ On dit que $B$ est une partie propre de $A$ si,
et seulement si, $B\subseteq A$ avec $B\neq A$ et $B\neq \emptyset \ $(il
est n\'{e}cessaire que $A$ ne soit pas vide et ne soit pas un singleton).
\end{remarque}



Comme nous l'avons d\'{e}j\`{a} indiqu\'{e}, un ensemble est toujours inclus
dans lui m\^{e}me. Pour tout ensemble $A$ il est correct d'\'{e}crire $%
A\subseteq A.$ La d\'{e}finition de l'\'{e}galit\'{e} de deux ensembles s'%
\'{e}crit maintenant%
$$
\left[ A\subseteq B\text{ et }B\subseteq A\right] \Leftrightarrow A=B
$$


\begin{NB}
Cette propri\'{e}t\'{e} est \`{a} retenir. Pour d\'{e}montrer l'\'{e}galit%
\'{e} de deux ensembles, on n'a pratiquement pas d'autre m\'{e}thode que de d%
\'{e}montrer la double inclusion. Notons aussi le r\'{e}sultat \'{e}vident 
$$
\left[ C\subseteq B\text{ et }B\subseteq A\right] \Rightarrow C\subseteq A
$$
\end{NB}

Pour guider les raisonnements ou pour \og imaginer\fg{} les ensembles en pr\'{e}%
sence on est amen\'{e} \`{a} sch\'{e}matiser les ensembles par une ligne ferm%
\'{e}e sans point double, une \og patate\fg{}  peut tr\`{e}s
bien faire l'affaire mais un cercle ou un rectangle sont aussi d'excellentes
solutions. Ces figures sont appel\'{e}es diagrammes d'Euler-Venn ou
\textit{diagrammes de Venn}. Pour \'{e}viter les confusions, il est convenu que les 
\'{e}l\'{e}ments de l'ensemble repr\'{e}sent\'{e} \og sont tous \`{a} l'int\'{e}%
rieur du dessin et pas sur la fronti\`{e}re\fg{}. Pour mettre en exergue un ou
plusieurs \'{e}l\'{e}ments, on utilise des points ou croix et pour repr\'{e}%
senter l'ensemble vide, il n'y a aucune bonne solution.%



Les patates permettent d'illustrer l'inclusion:




% Definition of circles
\def\firstcircle{(0,0) ellipse (2.5cm and 1.5cm)}
\def\secondcircle{(0,0) circle (.75cm)}

\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}

\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
    outline/.style={draw=circle edge, thick}}

\setlength{\parskip}{5mm}
% Set A and B
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
        \clip \firstcircle;
        \fill[filled] \secondcircle;
    \end{scope}
    \draw[outline] \firstcircle node {$A$};
    \draw[outline] \secondcircle node  {};
    \node[anchor=south] at (current bounding box.north) {$A \subseteq B$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Parties d'un ensemble}

Nous admettons que si $E$ d\'{e}signe un ensemble alors \textbf{l'ensemble
des parties de} $E$ est un ensemble (math\'{e}matiquement parlant) not\'{e} $%
\mathcal{P}\left( E\right) $ mais aussi $\mathbb{P}\left( E\right) .$ Cet
ensemble peut s'\'{e}crire en \og pseudo-compr\'{e}hension\fg{} par: 

$$
\mathcal{P}\left( E\right) =\Bigl\{ X\mid X\subseteq E\Bigr\}
$$

nous pr\'{e}cisons bien \og pseudo-compr\'{e}hension\fg{} car nous ne pouvons
indiquer \`{a} quel ensemble appartient $X$ puisque nous cherchons \`{a} d%
\'{e}finir cet ensemble. Il faut imm\'{e}diatement retenir l'\'{e}quivalence%

$$
X\in \mathcal{P}\left( E\right) \Leftrightarrow X\subseteq E\vspace{0.2cm}
$$


qui seule permet de v\'{e}rifier que $X$ est bien un \'{e}l\'{e}ment de $%
\mathcal{P}\left( E\right) $ car il ne faut surtout pas croire que notre
esprit soit capable de \og ma\^{\i}triser\fg{} un ensemble de parties quasi imm%
\'{e}diatement. Pour imaginer un peu plus ce qu'est $\mathcal{P}\left(
E\right) $ on peut dire que $\mathcal{P}\left( E\right) $ est l'\textbf{%
ensemble} des solutions du probl\`{e}me $X\subseteq E$ o\`{u} $X$ est
l'inconnue. On remarque alors que $\emptyset $ et $E$ sont des solutions 
\'{e}videntes et donc que $\mathcal{P}\left( E\right) $ ne peut \^{e}tre
vide. Si $E=\emptyset ,$ $\mathcal{P}\left( E\right) $ ne contient qu'un
seul \'{e}l\'{e}ment qui est $\emptyset $ ; $\mathcal{P}\left( \emptyset
\right) =\left\{ \emptyset \right\} $ et on se persuadera que $\left\{
\emptyset \right\} $ n'est pas l'ensemble vide, c'est parfaitement clair,
entre les deux accolades \og il y a quelque chose\fg{} qui existe et qui est
l'ensemble vide, $\left\{ \emptyset \right\} $ est un singleton ! Si $E\neq
\emptyset $ alors $\mathcal{P}\left( E\right) $ poss\`{e}de au moins deux 
\'{e}l\'{e}ments distincts $\emptyset $ et $E$ :%

$$
\mathcal{P}(E)=\Bigl\{ \emptyset ,\ldots ,E\Bigr\}
$$

\begin{exemple}
Prenons pour ensemble $E=\Bigl\{ D,L,M\Bigr\} $
 alors

$$
\mathcal{P}\left( E\right) =\Bigl\{ \emptyset ,\left\{ D\right\} ,\left\{
L\right\} ,\left\{ M\right\} ,\left\{ D,L\right\} ,\left\{ D,M\right\}
\left\{ L,M\right\} ,E\Bigr\}
$$


Que dire de $\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( E\right) \right) $ ? Que
c'est un ensemble \og compliqu\'{e}\fg{}, qu'il a 256 \'{e}l\'{e}ments dont en
voici quelques uns :%

$$
\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( E\right) \right) =\Bigl\{ \emptyset
,\left\{ \left\{ D\right\} \right\} ,\cdots ,\left\{ \left\{ D\right\}
,\left\{ D,L\right\} \right\} ,\cdots ,\left\{ \left\{ D,L\right\} ,\left\{
D,M\right\} \right\} ,\cdots \Bigr\}
$$

On comprend tout de suite la difficult\'{e} d'imaginer l'ensemble des
parties d'un ensemble d'autant plus que les diagrammes de Venn ne peuvent
nous venir en aide.
\end{exemple}

\begin{remarque}
$\mathcal{P}\left( E\right) $ est ordonn\'{e} par la relation $\subseteq .$
Nous d\'{e}taillerons plus loin le concept de relation d'ordre mais
indiquons tout de suite les propri\'{e}t\'{e}s sous-jacentes :

\begin{enumerate}
\item \textit{La relation }$\subseteq $\textit{\ est r\'{e}flexive, cela
signifie que pour toute partie }$A$\textit{\ de }$E$\textit{, i.e. pour tout 
\'{e}l\'{e}ment }$A$\textit{\ de }$\mathcal{P}\left( E\right) ,$\textit{\ on
a }$A\subseteq A.$

\item \textit{La relation }$\subseteq $\textit{\ est antisym\'{e}trique,
cela signifie que si l'on a simultan\'{e}ment }$A\subseteq B$\textit{\ et }$%
B\subseteq A$\textit{\ on a forc\'{e}ment }$A=B.$

\item \textit{La relation }$\subseteq $\textit{\ est transitive, cela
signifie que si l'on a simultan\'{e}ment }$A\subseteq B$\textit{\ et }$%
B\subseteq C$\textit{\ alors on a forc\'{e}ment }$A\subseteq C.$
\end{enumerate}
\end{remarque}

Nous allons maintenant nous int\'{e}resser aux \og op\'{e}rations\fg{}
ensemblistes, on se donne un ensemble de travail appel\'{e} $E$ et les
ensembles que nous utilisons sont tous des parties\footnote{%
La th\'{e}orie axiomatique des ensembles n'exige pas la donn\'{e}e d'un
ensemble $E$ pour d\'{e}finir ce que l'on appelle les op\'{e}rations
usuelles.} de $E.$


\subsection{Op\'{e}rations}

\subsubsection{Intersection}

\begin{definition}
L'\textbf{intersection} des ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble $A\cap B$
constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments communs \`{a} $A$ et $B.$ En d'autres
termes:%

$$
A\cap B=\Bigl\{ x\in E\mid x\in A\text{ et }x\in B\Bigr\}
$$
\end{definition}
% 

C'est une partie de $E.$ L'intersection est une\textit{ loi de composition} (ou op%
\'{e}ration) \textit{interne} dans $\mathcal{P}\left( E\right) $ qui est\textit{ associative,}
\textit{commutative} et qui admet $E$ comme \textit{\'{e}l\'{e}ment neutre} $\left( A\cap
E=A\right) $, de plus, tout \'{e}l\'{e}ment est idempotent $\left( A\cap
A=A\right) $. Lorsque $A\cap B=\emptyset $ on dit que les ensembles $A$ et $%
B $ sont \textbf{disjoints}.%


% Definition of circles
\newcommand\A{(0,0) ellipse (1.5cm and 2.5cm)}
\newcommand\B{(0:2.75cm) ellipse (2.5cm and 1.5cm)}
\newcommand\Cc{(1.5cm,1.5cm) circle (1.5cm)}
\newcommand\Uni{(-3,-3) rectangle (6,3)}

\colorlet{circle edge}{blue!50}
\colorlet{circle area}{blue!20}

\tikzset{filled/.style={fill=circle area, draw=circle edge, thick},
    outline/.style={draw=circle edge, thick}}

\setlength{\parskip}{5mm}
% Set A and B
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
        \clip \A;
        \fill[filled] \B;
    \end{scope}
     \draw \Uni ;
    \draw[outline] \A node [above left] {$A$};
    \draw[outline] \B node [below right] {$B$};
    \node[anchor=east] at (current bounding box.base) {\textcolor{blue}{$A \cap B$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{remarque}
On a l'\'{e}quivalence $A\cap B=B\Leftrightarrow B\subseteq A,$ en effet,
supposons en premier que $A\cap B=B,$ par d\'{e}finition $A\cap B\subseteq A$
et on obtient tout de suite $B\subseteq A.$ Supposons maintenant que $%
B\subseteq A,$ les \'{e}l\'{e}ments communs \`{a} $A$ et $B$ sont exactement
les \'{e}l\'{e}ments de $B$ et donc $A\cap B=B.$
\end{remarque}


\subsubsection{Union}

\begin{definition}
L'\textbf{union} ou la \textbf{r\'{e}union }des ensembles $A$ et $B$ est
l'ensemble:%
$$
A\cup B=\Bigl\{ x\in E\mid x\in A\text{ ou }x\in B\Bigr\}
$$
\end{definition}


On doit se persuader que le \og ou\fg{} intervenant dans cette d\'{e}finition est
un \og ou non exclusif\fg{} et par cons\'{e}quent on a $A\subseteq \left( A\cup
B\right) ,B\subseteq \left( A\cup B\right) $ et $\left( A\cap B\right)
\subseteq \left( A\cup B\right) .$ L'union est une loi de composition (ou op%
\'{e}ration) interne dans $\mathcal{P}\left( E\right) $ qui est associative,
commutative et qui admet $\emptyset $ comme \'{e}l\'{e}ment neutre $\left(
A\cup \emptyset =A\right) $, de plus tout \'{e}l\'{e}ment est idempotent $%
\left( A\cup A=A\right) $.%



\begin{center}
\begin{tikzpicture}
  \draw \Uni ;
    \draw[filled] \A node[left] {$A$}
                  \B node [right] {$B$};
    \node[anchor=north] at (current bounding box.south) {\textcolor{blue}{$A \cup B$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{remarque}
On a l'\'{e}quivalence $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subseteq A$. En effet, si $%
A\cup B=A$ et comme $B\subseteq \left( A\cup B\right) $, on obtient $%
B\subseteq A.$ Si $B\subseteq A$, tout \'{e}l\'{e}ment de $B$ est aussi un 
\'{e}l\'{e}ment de $A$  donc tout \'{e}l\'{e}ment de $A\cup B$ est aussi
un \'{e}l\'{e}ment de $A$; on obtient alors $\left( A\cup B\right)
\subseteq A$ et comme $A\subseteq \left( A\cup B\right) $ on conclut que $%
A\cup B=A.$
\end{remarque}

\subsubsection{Différence}

\begin{definition}
La \textbf{diff\'{e}rence} des ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble%
$$
A-B=\Bigl\{ x\in E\mid x\in A\text{ et }x\notin B\Bigr\}
$$
\end{definition}



\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
        \clip \A;
        \draw[filled, even odd rule] \A node [left]{$A$}
                                     \B;
    \end{scope}
\draw \Uni;
  \draw[outline] \A
                   \B node [right] {$B$};
    \node[anchor=north] at (current bounding box.south) {\textcolor{blue}{$A - B$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{remarque}
Certains pr\'{e}f\`{e}rent utiliser la notation $A\setminus B$ \`{a} la
place de $A-B.$
\end{remarque}


\subsubsection{Différence symétrique}


\begin{definition}
La \textbf{diff\'{e}rence sym\'{e}trique} des ensembles $A$ et $B$ est
l'ensemble:%

\begin{eqnarray*}
A\bigtriangleup B &=&\Bigl\{ x\in E\mid x\in A-B\text{ ou }x\in B-A\Bigr\}
=\left( A-B\right) \cup \left( B-A\right) \\
A\bigtriangleup B &=&\Bigl\{ x\in E\mid x\in A\cup B\text{ et }x\notin A\cap
B\Bigr\} =\left( A\cup B\right) -\left( A\cap B\right)
\end{eqnarray*}
\end{definition}


\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\draw \Uni;
    \draw[filled, even odd rule] \A [left] node {$A$}
                                 \B [right] node{$B$};
    \node[anchor=north] at (current bounding box.south) {\textcolor{blue}{$A \bigtriangleup B$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}



L'op\'{e}ration $\bigtriangleup $ est associative (nous d\'{e}montrons cette
affirmation plus loin), commutative, admet $\emptyset $ comme \'{e}l\'{e}%
ment neutre et tout \'{e}l\'{e}ment $A$ est son propre sym\'{e}trique $%
\left( A\bigtriangleup A=\emptyset \right) .$ On r\'{e}sume toutes ces propri\'{e}t%
\'{e}s en disant que $\mathcal{P}\left( E\right) $ muni de la loi $\bigtriangleup $
est un groupe\footnote{%
Les structures de groupe, anneau et corps doivent devenir pour vous des
notions famili\`{e}res mais ne peuvent faire l'objet de questions \`{a} un
DS.} commutatif. Vous pourrez v\'{e}rifier que $A\bigtriangleup B\bigtriangleup C$ peut \^{e}%
tre repr\'{e}sent\'{e} par:


\begin{center}
  \begin{tikzpicture}
\draw (-3,-3) rectangle (6,3.5);
\draw[filled, even odd rule] \A [left] node {$A$}
                               \B [right] node {$B$}
                                 \Cc [above] node{$C$};
    \node[anchor=north]     at      (current     bounding     box.south)
    {\textcolor{blue}{$A \bigtriangleup B \bigtriangleup C$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}


\begin{remarque}
La diff\'{e}rence sym\'{e}trique correspond au \og ou exclusif\fg{}.\vspace{0.3cm}
\end{remarque}



\subsubsection{Complémentaire}


\begin{definition}
$A$ d\'{e}signant une partie de $E,$ le \textbf{compl\'{e}mentaire} de $A$
par rapport \`{a} $E$ ou le compl\'{e}mentaire de $A$ dans $E$ est
l'ensemble not\'{e} $\complement_{E}A$ d\'{e}fini par 
$$
\complement_{E}A=E-A=\Bigl\{ x\in E\mid x\notin A\Bigr\}
$$
\end{definition}





\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{scope}
        \clip \Uni;
        \draw[filled, even odd rule] \Uni 
                                     \A  ;
    \end{scope}
  \draw[outline] \Uni
                   \A node {$A$};
    \node[anchor=north] at (current bounding box.south) {\textcolor{blue}{$\complement_EA$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}



S'il n'y a pas d'ambigu\"{\i}t\'{e} sur le r\'{e}f\'{e}rentiel $E$, $%
\complement _{E}A$ est not\'{e} $\overline{A}$ et $\overline{\overline{A}}=A$.%


\subsubsection{Lois de \textsc{De Morgan}}

\begin{theoreme}[Lois de \textsc{De Morgan} ]
 $$ 
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcap%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}} \qquad \qquad\text{et}\qquad \qquad
\overline{\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcup%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}%
$$
\end{theoreme}


Ceci  s'exprime en fran\c{c}ais courant de la fa\c{c}on suivante:

\begin{itemize}
\item Le compl\'{e}mentaire d'une union est \'{e}gale \`{a} l'intersection
des compl\'{e}mentaires.

\item Le compl\'{e}mentaire d'une intersection est \'{e}gale \`{a} la r\'{e}%
union des compl\'{e}mentaires.
\end{itemize}

\begin{remarque}
$A-B=A\cap \overline{B}$ et $A\bigtriangleup B=\left( A\cap \overline{B}\right) \cup
\left( \overline{A}\cap B\right) .$
\end{remarque}


\subsection{Fonction caractéristique}\label{carac}


\pro Nous avons d\'{e}j\`{a} indiqu\'{e} quelques propri\'{e}t\'{e}s des op\'{e}%
rations que nous venons de pr\'{e}senter, le plus souvent sans d\'{e}%
monstration car ces derni\`{e}res sont assez fastidieuses lorsque, pour d%
\'{e}montrer l'\'{e}galit\'{e} de deux ensembles, il faut envisager
plein de cas. Les diagrammes de Venn peuvent nous aiguiller vers une d%
\'{e}monstration mais ne peuvent en aucun cas la remplacer. Nous allons,
ici, pr\'{e}senter un outil tr\`{e}s efficace qui permet de faire beaucoup
de d\'{e}monstrations sans trop de peine.




Soit $E$ un ensemble. Pour toute partie $A$ de $E$ on d\'{e}finit
l'application\footnote{%
La d\'{e}finition compl\`{e}te d'une application sera donn\'{e}e lors de l'%
\'{e}tude des relations binaires.} caract\'{e}ristique $\indi{A}$ de $A$
dans $E$ par : 


$$
 \indi{A}\ \colon \begin{array}{rll} E & \to & \bigl\{0;1\bigr\}\\
   x & \mapsto &
   \begin{cases}
     1\quad \text{ si } x\in A\\
     0\quad \text{ si } x\not\in A
   \end{cases}
 \end{array}
 $$





Une propri\'{e}t\'{e} essentielle de cette notion est donn\'{e}e par l'\'{e}%
quivalence%
$$
\indi{A}=\indi{B}\Longleftrightarrow A=B
$$


\iutx Je ne vois pas trop où se trouve la simplification!

\pro   Un   informaticien   utilise   un   \og   \textit{computer}\fg{},
c'est-à-dire    un    calculateur.    Nous   voudrons    donc    pouvoir
\textit{calculer} avec des ensembles.


\begin{notation}
Pour simplifier  les écritures, nous utiliserons des  opérations sur ces
applications caractéristiques:

\begin{itemize}
\item $\indi{A}.\indi{B}$ ou $\indi{A}\indi{B}$ d\'{e}finie pour tout $x$ de $E$ par $\left( \indi{A}\indi{B}\right) \left( x\right) =\indi{A}\left( x\right)\times \indi{B}\left( x\right)$;

\item  $1-\indi{A}$ d\'{e}finie par $\left( 1-\indi{A}\right) \left( x\right) =1-\indi{A}\left( x\right) $;

 \item  $\indi{A}+ \indi{B}$ d\'{e}finie par $\left( \indi{A}+ \indi{B}\right) \left( x\right) =\indi{A}\left( x\right) + \indi{B}\left( x\right) .$
\end{itemize}
\end{notation}



On voudrait maintenant exprimer $\indi{\overline{A}},$ 
$\indi{A\cap B},$ $\indi{A-B},$ $\indi{A\cup B}$ et $\indi{A\bigtriangleup B}$
\`{a} l'aide de $\indi{A}$ et de $\indi{B}$.

Je vous donne un coup de main:

\begin{itemize}
\item $\indi{\overline{A}}=1-\indi{A},$ c'est \'{e}vident, ces deux
applications co\"{\i}ncident sur $E.$

\item $\indi{A\cap B}=\indi{A}\indi{B},$ c'est tout aussi \'{e}%
vident, elles co\"{\i}ncident sur $E$ ; on en d\'{e}duit que $\indi{A\cap A}=\indi{A}\indi{A}=\indi{A}.$

\item $\indi{A-B}=\indi{A}-\indi{A}\indi{B}.$ On peut le d%
\'{e}montrer en v\'{e}rifiant la co\"{\i}ncidence de ces deux applications
sur $E$ mais il est plus judicieux de remarquer que $A-B=A\cap \overline{B}$
et du coup%
$$
\indi{A-B}=\indi{A\cap \overline{B}}=\indi{A}\indi{\overline{%
B}}=\indi{A}\left( 1-\indi{B}\right) =\indi{A}-\indi{A}\indi{B}
$$

\item Concernant $\indi{A\cup B},$ pour trouver une formule similaire
aux pr\'{e}c\'{e}dentes, il faut faire preuve d'un peu d'imagination : nous
utilisons le r\'{e}sultat\footnote{%
C'est une des formules de De Morgan.} $\overline{X\cup Y}=\overline{X}\cap 
\overline{Y}$ que nous d\'{e}montrons \`{a} l'aide du tableau suivant%
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x\in X$ & $x\in Y$ & $x\in \overline{X\cup Y}$ & $\overset{}{x\in \overline{%
X}\cap \overline{Y}}$ \\ \hline
non & non & oui & oui \\ \hline
non & oui & non & non \\ \hline
oui & non & non & non \\ \hline
oui & oui & non & non \\ \hline
\end{tabular}%
\medskip
$$%
\smallskip Ceci \'{e}tant, $A\cup B=\overline{\overline{A\cup B}}=\overline{%
\overline{A}\cap \overline{B}}$ ; on obtient alors 
$$
\indi{A\cup B}=\indi{\overline{\overline{A}\cap \overline{B}}%
}=1-\indi{\overline{A}\cap \overline{B}}
$$%
soit $\indi{A\cup B}=1-\left( 1-\indi{A}\right) \left( 1-\indi{B}\right) $ qui se d\'{e}veloppe en 
$$
\indi{A\cup B}=\indi{A}+\indi{B}-\indi{A}\indi{B}
$$

\item
 Pour $\indi{A\bigtriangleup B}$ je vous laisse prouver que : $\indi{A\bigtriangleup
B}=\indi{A}+\indi{B}-2\indi{A}\indi{B}$.

\end{itemize}






\begin{recherche}
Voici quelques propri\'{e}t\'{e}s (en vrac) importantes qu'il faut conna%
\^{\i}tre, certaines sont \'{e}videntes et d'autres pas, nous reprenons des r%
\'{e}sultats d\'{e}j\`{a} \'{e}nonc\'{e}s et nous ne donnons que quelques d%
\'{e}monstrations, le lecteur \'{e}tant invit\'{e} \`{a} les reprendre et 
\`{a} en faire d'autres. Il doit \^{e}tre clair que tous les ensembles utilis%
\'{e}s sont des parties de l'ensemble $E$ !
\end{recherche}




\begin{itemize}
\item $\cup $ et $\cap $ sont associatives et commutatives. D\'{e}montrons
l'associativit\'{e} de l'inter\-section. Pour cela choisissons trois parties
quelconques $A,$ $B$ et $C$ de $\mathcal{P}\left( E\right) .$ Il nous faut d%
\'{e}montrer l'\'{e}galit\'{e} des ensembles $U=A\cap \left( B\cap C\right) $
et $V=\left( A\cap B\right) \cap C$ et pour cela il suffit de prouver l'\'{e}%
galit\'{e} des applications caract\'{e}ristiques de $U$ et $V$ dans $E.$
Allons-y : $\indi{U}=\indi{A\cap \left( B\cap C\right) }=\indi{A}\indi{B\cap C}=\indi{A}\indi{B}\indi{C}=\indi{A\cap
B}\indi{C}=\indi{V}.$ L'associativit\'{e} de $\cap $ et $\cup $
permet d'utiliser les notations, lorsque $k\mathbb{\in N}^{\ast },$%
 $$
\begin{array}{l}
\bigcup\limits_{i=1}^{k}A_{i}=A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n} \\ 
\bigcap\limits_{i=1}^{k}A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap \ldots \cap A_{n}%
\end{array}%
$$

\item $A\subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B\Longleftrightarrow A\cap
B=A\Longleftrightarrow A-B=\emptyset $

\item $A\subseteq (A\cup B),(A\cap B)\subseteq A$

\item $A-A=A\bigtriangleup A=A\cap \emptyset =\emptyset $

\item $A\cap A=A\cup A=A\cup \emptyset =A\cap E=A\bigtriangleup \emptyset =A$

\item $A\cap \left( A\cup B\right) =A=A\cup \left( A\cap B\right) $

\item $\overline{\left( \overline{A}\right) }=A,\overline{A}\cap A=\emptyset
,\overline{A}\cup A=E,\complement _{E}\emptyset =\overline{\emptyset }%
=E,\complement _{E}E=\overline{E}=\emptyset $

\item $\cap $ et $\cup $ sont distributives l'une par rapport \`{a} l'autre :%

\begin{eqnarray*}
A\cap \left( B\cup C\right) &=&\left( A\cap B\right) \cup \left( A\cap
C\right) \\
A\cup \left( B\cap C\right) &=&\left( A\cup B\right) \cap \left( A\cup
C\right)
\end{eqnarray*}%


La d\'{e}monstration se fait, soit en v\'{e}rifiant la double inclusion
(c'est un bon exercice), soit en utilisant les applications caract\'{e}%
ristiques.

\item La diff\'{e}rence sym\'{e}trique est associative et commutative. D\'{e}%
montrons l'associa\-tivit\'{e} toujours \`{a} l'aide des applications caract%
\'{e}ristiques :%
 $$
\indi{A\bigtriangleup \left( B\bigtriangleup C\right) }=\indi{A}+\indi{B\bigtriangleup
C}-2\indi{A}\indi{B\bigtriangleup C}\text{ avec }\indi{B\bigtriangleup
C}=\indi{B}+\indi{C}-2\indi{B}\indi{C}
$$%
donne%
 $$
\indi{A\bigtriangleup \left( B\bigtriangleup C\right) }=\indi{A}+\indi{B}+\indi{C}-2\indi{A}\indi{B}-2\indi{A}\indi{C}-2\indi{B}\indi{C}+4\indi{A}\indi{B}\indi{C}
$$%
On v\'{e}rifie que $\indi{\left( A\bigtriangleup B\right) \bigtriangleup C}$ s'exprime
de la m\^{e}me fa\c{c}on.

\item Rappelons les lois de De Morgan%
 $$
\left\{ 
\begin{array}{l}
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcap%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}} \\ 
\overline{\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcup%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}%
\end{array}%
\right.
$$%
Nous avons d\'{e}j\`{a} d\'{e}montr\'{e} $\overline{A_{1}\cup A_{2}}=%
\overline{A_{1}}\cap \overline{A_{2}},$ pour d\'{e}montrer%
 $$
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcap%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}
$$%
une r\'{e}currence imm\'{e}diate suffit :%
 $$
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n+1}A_{i}\right) }=\overline{\left(
\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) \cup A_{n+1}\right) }=\overline{%
\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }\cap \overline{A}_{n+1}=\left(
\bigcap\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}\right) \cap \overline{A}_{n+1}
$$%
et l'associativit\'{e} de l'intersection permet de conclure. Dans la formule%
 $$
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcap%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}
$$%
rempla\c{c}ons chaque $A_{i}$ par $\overline{A_{i}}$ :%
 $$
\overline{\left( \bigcup\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}\right) }%
=\bigcap\limits_{i=1}^{n}\overline{\overline{A_{i}}}=\bigcap A_{i}
$$%
et en \'{e}crivant l'\'{e}galit\'{e} des compl\'{e}mentaires de chaque
membre il vient 
 $$
\overline{\left( \bigcap\limits_{i=1}^{n}A_{i}\right) }=\bigcup%
\limits_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}
$$
\end{itemize}




\subsubsection*{Fonctions caractéristiques et OCAML}


Commentez le listing suivant:

\caml

\begin{lstlisting}[caption={}]
# let rec appartient = function
    | (el,[]) -> 0
    | (el,tete::queue) -> if el=tete then 1
                          else appartient(el,queue);;

# let rec carac = function
    |(sous,[]) -> []
    |(sous,tete::queue) -> appartient(tete,sous)::carac(sous,queue);;

# let ens=['a';'b';'c';'d';'e';'f';'g';'h'];;

# let sous_ens_1=['a';'c';'e'];;

# carac(sous_ens_1,ens);;

# let rec op_carac = function
  | (_,[],f) -> []
  | ([],_,f) -> []
  | (tete1::queue1,tete2::queue2,f) -> f(tete1,tete2)::op_carac(queue1,queue2,f);;

# let rec carac2ens = function
  | ([],_) -> []
  | (_,[]) -> []
  | (tete::queue,tete_ens::queue_ens) -> 
          if tete=0 then carac2ens(queue,queue_ens)
          else tete_ens::carac2ens(queue,queue_ens);;

# let op(a,b,ens,f) =
  carac2ens(op_carac(carac(a,ens),carac(b,ens),f),ens);;

# let sous_ens_2=['a';'d';'f'];;

# let inter(a,b)=a*b;;

# op(sous_ens_1,sous_ens_2,ens,inter);;

# let diff(a,b)=a-a*b;;

# op(sous_ens_1,sous_ens_2,ens,diff);;

# let comp(a,ens)=op(ens,a,ens,diff);;

# comp(sous_ens_1,ens);;

# let union(a,b)=a+b-a*b;;

# op(sous_ens_1,sous_ens_2,ens,union);;

# let sous_ens_3=['b';'c';'d'];;

# let morg_1=op(op(sous_ens_1,sous_ens_2,ens,inter),op(sous_ens_1,sous_ens_3,ens,inter),ens,union);;

# let morg_2=op(sous_ens_1,op(sous_ens_2,sous_ens_3,ens,union),ens,inter);;

# morg_1=morg_2;;
\end{lstlisting}


\subsection{Partition d'un ensemble}


\pro 
$E$ d\'{e}signant ici un ensemble non vide. Soit $P$, une partie non vide de 
$\mathcal{P}(E)$ (on a donc $P\subseteq \mathcal{P}\left( E\right) $ et $%
P\neq \emptyset )$ $P$ est un ensemble non vide de parties de $E$. On dit
que $P$ est une \textbf{partition} de $E$ si, et seulement si,

\begin{enumerate}
\item tout \'{e}l\'{e}ment de $P$ est non vide,

\item deux \'{e}l\'{e}ments distincts quelconques de $P$ sont disjoints,

\item tout \'{e}l\'{e}ment de $E$ appartient \`{a} l'un des \'{e}l\'{e}ments
de $P.$
\end{enumerate}

Si $E$ est fini toute partition $P$ de $E$ est du type $P=\left\{
A_{1},A_{2},\ldots ,A_{k}\right\} $ avec 
$$
A_{i}\subseteq E,A_{i}\neq \emptyset ,A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \text{ si }%
i\neq j\text{ et }\bigcup\limits_{i=1}^{k}A_{i}=E
$$%

\iutx Ouais, bon, pour faire simple, on met les garçons d'un côté et les
filles  de l'autre.  Normalement, on  couvre  tout le  monde et  il y  a
personne à la fois dans les deux groupes.

\pro On peut en effet imaginer une partition de $E$ comme un d\'{e}coupage\ de $E,$ aucun
des morceaux n'\'{e}tant vide, les morceaux \'{e}tant tous disjoints deux 
\`{a} deux. Par exemple 
\begin{equation*}
\left\{ \left\{ \beta \right\} ,\left\{ \alpha ,\delta \right\} \left\{
\varepsilon ,\gamma \right\} \right\}
\end{equation*}
est une partition de l'ensemble $\left\{ \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta
,\varepsilon \right\} .$


Pour vous distraire, voici un exercice extrait de mon livre de CE1:




%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{CE1_partition}
\end{center}
%\end{figure}





\subsection{Produit cart\'{e}sien}


\pro  Dès qu'un  mathématicien à  un outil  à sa  disposition  comme les
ensembles,  il   a  tendance  à   essayer  d'en  créer   d'autres,  plus
sophistiqués.

\iutx Avouez que les mathématiciens ont l'esprit plutôt tordu.

\pro Ce  sont des  aventuriers de l'esprit,  toujours à la  recherche de
nouvelles terres  vierges à conquérir. Plus  prosaïquement, les produits
d'ensembles que nous  allons explorer sont le point  de départ des bases
de données.

Par exemple, vous êtes embauché\footnote{Hihutix est donc un garçon...} dans un restaurant. Vous disposez de
trois ensembles:

\begin{itemize}
\item l'ensemble des entrées: $$E=\bigl\{\text{Cuisses de sauterelles panées}, \text{ \oe uf mou},
  \text{ huîtres de l'Erdre}\bigr\}$$
\item  l'ensemble  des   plats  de  résistance:  $$P=\bigl\{\text{Turbot  à
    l'huile  de  ricin},  \text{  Chien  à  l'andalouse},  \text{  Soupe
    d'orties}\bigr\}$$
\item l'ensemble des desserts: $$D=\bigl\{\text{Pomme}, \text{Banane}, \text{Noix}\bigr\}$$
\end{itemize}


Vous avez envie de créer un nouvel ensemble.

\iutx celui des menus possibles. Il suffit de regrouper tout le monde en
prenant $E\cup P \cup D$.

\pro  Je  sais   bien  que  la  gastronomie  n'est   pas  la  principale
préoccupation des jeunes au  palet perverti par les tristes fastefoudes
mais en général  on commande UNE entrée SUIVIE  D'UN plat de résistance
SUIVI D'UN dessert  or la simple union que vous  avez proposée peut vous
faire choisir un menu 
totalement  différent: cinq  desserts et  vingt entrées,  dans n'importe
quel ordre, par exemple.

Nous  avons  besoin  de  créer   un  \og  objet\fg{}  ordonné  de  trois
composantes, chacune étant choisie respectivement dans $E$, $P$ et $D$.

Par exemple, (\oe uf mou, chien à l'andalouse, pomme) est un menu. C'est
un  triplet, à  ne pas  confondre avec  l'ensemble $\bigl\{$\oe  uf mou,
chien à l'andalouse, pomme $\bigr\}$ qui n'est pas ordonné.





\begin{extra}

\`{A} partir de deux \'{e}l\'{e}ments $a$ et $b,$ non n\'{e}cessairement
distincts, on peut construire les deux ensembles suivants :

\begin{enumerate}
\item La paire $\left\{ a,b\right\} =\left\{ b,a\right\} $ qui se transforme
en le singleton $\left\{ a\right\} $ si $a=b$ (nous avons d\'{e}j\`{a} signal%
\'{e} que l'\'{e}criture fautive $\left\{ a,a\right\} $ d\'{e}signe le
singleton $\left\{ a\right\} ).$

\item La paire $\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $
qui se transforme, si $a=b,$ en le singleton 
$$
\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{
a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\}
$$
\end{enumerate}

Si $a\neq b$ les deux paires $\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\}
\right\} $ et $\left\{ \left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $
sont distinctes, cette \'{e}criture permet de d\'{e}finir un ordre car pour
chacune de ces paires un seul \'{e}l\'{e}ment est inclus dans l'autre. Nous d%
\'{e}cidons de noter une telle paire $\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{
a,b\right\} \right\} $ par $\left( a,b\right) $ ou $\left( a;b\right) $ appel%
\'{e} couple, le couple $\left( a,a\right) $ d\'{e}signant l'ensemble $%
\left\{ \left\{ a\right\} \right\} .$ Cette d\'{e}finition compliqu\'{e}e
d'un couple permet de s'assurer que l'ensemble de tels couples est bien un
ensemble et nous donne les r\'{e}sultats indispensables suivants :

\begin{enumerate}
\item Nous avons d\'{e}j\`{a} indiqu\'{e} que si $a=b,$ le couple $\left(
a,b\right) =\left( a,a\right) $ est le singleton $\left\{ \left\{ a\right\}
\right\} .$ R\'{e}ciproquement si le couple $\left( a,b\right) =\left\{
\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} $ est un singleton c'est que 
$\left\{ a\right\} =\left\{ a,b\right\} $ et qu'en cons\'{e}quence $b\in
\left\{ a\right\} $ soit $b=a.$

\item Pour que les deux couples $\left( a,b\right) $ et $\left( c,d\right) $
soient \'{e}gaux, il faut et il suffit que $a=c$ et $b=d.$ D\'{e}montrons-le
: $\left( a,b\right) =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\}
\right\} $ et $\left( c,d\right) =\left\{ \left\{ c\right\} ,\left\{
c,d\right\} \right\} ,$ si $a=b$ le couple $\left( a,a\right) =\left\{
\left\{ a\right\} \right\} $ est un sigleton et par cons\'{e}quent le couple 
$\left( c,d\right) $ aussi ; on en d\'{e}duit que $c=d$ et $\left(
a,a\right) =\left( c,c\right) =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} =\left\{
\left\{ c\right\} \right\} $ donnent $a=c.$ Si $a\neq b$ n\'{e}cessairement $%
a=c$ et $\left\{ a,b\right\} =\left\{ c,d\right\} $ et comme $b$ ne peut 
\^{e}tre \'{e}gal \`{a} $c$ sinon on aurait $a=b,$ on obtient $b=d.$
\end{enumerate}

On d\'{e}finit le triplet $\left( a,b,c\right) $ comme l'ensemble $\left\{
\left\{ a\right\} \left\{ a,b\right\} \left\{ a,b,c\right\} \right\} $, etc.
\end{extra}



Généralisons sans trop entrer dans les détails. La
notion de couple se g\'{e}n\'{e}ralise naturellement en notion de triplet,
de quadruplet,\ldots , de $n$-uplet, un $n$-uplet \'{e}tant not\'{e} $%
\underset{n\text{ \'{e}l\'{e}ments}}{\underbrace{\left( a_{1},a_{2},\cdots
,a_{n}\right) }}.$ L'\'{e}galit\'{e} de deux $n$-uplets \'{e}tant d\'{e}%
finie par%
$$
\bigl( a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}\bigr) =\left( a_{1}^{\prime
},a_{2}^{\prime },\cdots ,a_{n}^{\prime }\right) \Leftrightarrow
a_{i}=a_{i}^{\prime }\text{ pour tout }i
$$

$E_{1}$ et $E_{2}$ d\'{e}signant deux ensembles, nous admettons que
l'ensemble des couples $\left( a_{1},a_{2}\right) $ avec $a_{1}\in E_{1}$ et 
$a_{2}\in E_{2}$ est bien un ensemble que l'on note $E_{1}\times E_{2}$ appel%
\'{e} \textbf{produit cart\'{e}sien} des ensembles $E_{1}$ et $E_{2}$, une 
\'{e}criture en pseudo compr\'{e}hension \'{e}tant%

$$
E_{1}\times E_{2}=\bigl\{ \left( a_{1},a_{2}\right) \mid a_{1}\in E_{1}\text{
et }a_{2}\in E_{2}\bigr\}
$$

On d\'{e}finit de m\^{e}me le produit cart\'{e}sien des $n$ ensembles $%
\left( n\in \mathbb{N}^{\ast }\text{ et }n\geq 2\right) $ $E_{i\in \left\{
1,2,3,\cdots ,n\right\} }$ comme \'{e}tant l'ensemble :%

$$
E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times
E_{n}=\prod\limits_{i=1}^{n}E_{i}=\bigl\{ \left( a_{1},a_{2},\cdots
,a_{n}\right) \mid a_{i}\in E_{i}\bigr\}
$$

et lorsque tous les ensembles $E_{i}$ sont \'{e}gaux \`{a} $E$ on note $%
E\times E\times \cdots \times E$ par $E^{n}.$

Pour se repr\'{e}senter le produit cart\'{e}sien $E\times F$ avec $%
E=\left\{ a,b,c\right\} $ et $F=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} ,$ on peut \'{e}%
videmment l'\'{e}crire en extension: il poss\`{e}de $3\times 5=15$ \'{e}l%
\'{e}ments (voir \`{a} ce sujet le paragraphe suivant).%


$$
E\times F=\bigl\{ \left( a,1\right) ,\left( a,2\right) ,\cdots ,\left(
c,5\right) \bigr\}
$$


mais il est souvent pr\'{e}f\'{e}rable de faire appel \`{a} un tableau du
type suivant :%
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\times $ & $\bm{1}$ & $\bm{2}$ & $\bm{3}$ & $\bm{4}$ & $%
\bm{5}$ \\ \hline
$\bm{a}$ & $\left( a,1\right) $ & $\left( a,2\right) $ & $\left(
a,3\right) $ & $\left( a,4\right) $ & $\left( a,5\right) $ \\ \hline
$\bm{b}$ & $\left( b,2\right) $ & $\left( b,2\right) $ & $\left(
b,3\right) $ & $\left( b,4\right) $ & $\left( b,5\right) $ \\ \hline
$\bm{c}$ & $\left( c,1\right) $ & $\left( c,2\right) $ & $\left(
c,3\right) $ & $\left( c,4\right) $ & $\left( c,5\right) $ \\ \hline
\end{tabular}%
\end{center}

\iutx Je  ne vois pas trop comment  dresser une table avec  nos menus du
départ. Il faudrait un tableau en 3D.

\pro On utilise plutôt dans ce cas un arbre:

\tikzstyle{lien}=[->,>=stealth,rounded corners=5pt,thick]
\tikzset{individu/.style={draw,thick,fill=#1!25},
individu/.default={green}}

{\footnotesize

\begin{tikzpicture}
[level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=1.5cm},
level 3/.style={sibling distance=0.4cm}]
\node [individu=gray] {Menus}
child{ node [individu=blue]{Cuisses}
       child{ node [individu=red]{Turbot}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Chien}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Soupe}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
     }
child{ node [individu=blue]{\OE uf}
       child{ node [individu=red]{Turbot}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Chien}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Soupe}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
     }
child{ node [individu=blue]{Huîtres}
       child{ node [individu=red]{Turbot}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Chien}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
       child{ node [individu=red]{Soupe}
            child{ node [individu=green]{P}
                 }
            child{ node [individu=green]{B}
                 }
            child{ node [individu=green]{N}
                 }
            }
     };
\end{tikzpicture}


}

Un menu  est donc  un triplet  élément de $E\times  P\times D$.  On peut
ensuite  s'intéresser  aux menus  végétariens,  aux  menus sans  viande,
etc. Nous nous intéresserons par la suite à la manière de les compter.

\iutx Là c'est facile: il y a $3\times 3\times 3=27$ menus possibles. En
fait, le  $\times$ du produit cartésien  marche comme le  $\times$ de la
multiplication des nombres.


\pro  Attention aux  conclusions hâtives!  Il ne  faut pas  se  fier aux
apparences:  c'est en  quoi  la rigueur  mathématique  peut nous  éviter
certains  désagrément,  comme par  exemple  recevoir  comme dessert  des
huîtres au lieu d'un pomme. 

En effet,  un élément de $E\times  F$ en reprenant  un exemple précédent
est  constitué  d'une lettre  et  d'un  nombre  alors qu'un  élément  de
$F\times E$ est  constitué d'un nombre suivi d'une  lettre, ce qui n'est
pas la même chose.


Cela peut aussi avoir des conséquences fâcheuses en informatique:

\caml

\begin{lstlisting}[caption={}]
# let ens=['a';'b';'c'];;
val ens : char list = ['a'; 'b'; 'c']
# let tri=['a','b','c'];;
val tri : (char * char * char) list = [('a', 'b', 'c')]
# tri=ens;;
Characters 4-7:
  tri=ens;;
      ^^^
Error: This expression has type char list
       but an expression was expected of type (char * char * char) list
\end{lstlisting}




OCAML  n'est  pas  content:  \lstinline+ens+  est  en  effet  une  liste
de caractères contenant trois éléments alors que \lstinline+tri+ est une
liste  de   triplets  de  trois  caractères  ne   contenant  qu'un  seul
élément. Être  trop imprécis sur le  type d'objet utilisé  peut créer de
sérieux problèmes dans vos programmes...



\begin{recherche}
Le produit cartésien est-il associatif?
\end{recherche}




\begin{remarque}
Si dans le produit cart\'{e}sien $E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times
E_{n} $ l'un des ensembles est vide (est l'ensemble vide), le produit cart%
\'{e}sien $E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times E_{n}$ est l'ensemble vide.
\end{remarque}


\subsection{Notion de cardinal}\label{cardinal}

\pro  Le  cardinal  d'un  ensemble,  c'est  en gros  le  nombre  de  ses
éléments.  La notion  de cardinal  est intimement  liée à  la  notion de
fonction  et   à  l'ensemble  $\bm{N}$  des  entiers   naturels  que  nous
détaillerons  plus tard. Nous  nous contenterons  dans un  premier temps
d'une approche intuitive. 
 Le cardinal de $E$
est indiff\'{e}remment not\'{e}:%

$$
\card\left( E\right) \text{ ou }\left\vert E\right\vert \text{ ou }%
\#E
$$
Par exemple $\left\vert \emptyset \right\vert =0,$ cette notation ne devra
bien s\^{u}r pas \^{e}tre confondue avec la valeur absolue d'un r\'{e}el ou
bien le module d'un nombre complexe. Quoi qu'il en soit, le contexte
permettra g\'{e}n\'{e}ralement de lever l'ambigu\"{\i}t\'{e}.





Nous admettons les r\'{e}sulats suivants qui ne concernent que des ensembles 
\textbf{finis}\footnote{Des   démonstrations  seront   proposées   à  la
  section \vref{denombrement}}:


\begin{proprietes}
  \begin{itemize}
  \item Si $A\subseteq B$ alors $\bigl| A\bigr| \leq \bigl| B\bigr| .$ Une cons\'{e}quence int\'{e}ressante est celle ci
: si $A\subseteq B$ avec $\bigl| A\bigr| =\bigl| B\bigr| $ alors $A=B.$

\item $\bigl| A-B\bigr| \leq \bigl| A\bigr| .$

\item $\bigl| A\cup B\bigr| =\bigl| A\bigr| +%
\bigl| B\bigr| -\bigl| A\cap B\bigr| $

\item \textbf{Si on a} $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset $ \textbf{lorsque} $i\neq
j,$ alors $\left| \bigcup\limits_{i=1}^{n}E_{i}\right|
=\sum\limits_{i=1}^{n}\bigl| E_{i}\bigr| $.

\item $\bigl| E_{1}\times E_{2}\bigr| =\bigl|
E_{1}\bigr| .\bigl| E_{2}\bigr| $ et 
\begin{eqnarray*}
\bigl| E_{1}\times E_{2}\times \cdots \times E_{n}\bigr| &=&%
\bigl| E_{1}\bigr| .\bigl| E_{2}\bigr| .\cdots
.\bigl| E_{n}\bigr| \\
\bigl| E^{n}\bigr| &=&\bigl( | E|
\bigr) ^{n}
\end{eqnarray*}

\item La formule suivante est absolument \`{a} conna\^{\i}tre :%
$$
\bigl| \mathcal{P}\left( E\right) \bigr| =2^{| E| }
$$
Nous la d\'{e}montrerons en exercice.
  \end{itemize}
\end{proprietes}





\vfill
\eject


%%%%%%%%%%%%%%







\section{Calcul booléen}

\subsection{Présentation}

\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}\vspace{0cm}Le    Britannique   George
  \textsc{Boole}  (1815  - 1864)  publie  en  1854  \textit{An Investigation
    Into  the Laws  of Thought,  on Which  are Founded  the Mathematical
    Theories of Logic and Probabilities} qui, comme son nom
  l'indique, tente  de traduire en équations mathématiques  des idées et
  concepts. Les  applications de ses travaux ont  été innombrables, tant
  dans le domaine de l'informatique  que dans ceux de l'électronique, de
  la téléphonie, des probabilités. 

Il  y a  de  nombreuses  manière d'introduire  le  calcul booléen.  Nous
partirons  de ce que  nous connaissons,  à savoir  la théorie  naïve des
ensembles.

Le calcul booléen nous permettra  dans un premier temps de calculer avec
des      ensembles.       Nous      allons      créer       une      \og
correspondance\fg{}  entre $\PR(E)$  et  un ensemble  que nous  noterons
$\BR$. 
\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{boole_cartoon}\end{flushright}\end{minipage}

(En      mathématiques,     nous     parlons
  d'\textit{isomorphisme}. 
 Puisque  vous avez  étudié  le Grec  ancien,
  vous avez reconnu les racines $ i \sigma o \varsigma$ qui signifie \og
  le même\fg{} et  $\mu o \rho \varphi o \varsigma$  qui signifie \og le
  corps\fg{}...).

\subsection{Algèbre de Boole}

\subsubsection{Correspondance avec les parties d'un ensemble}

Donnons nous un ensemble tout \`{a} fait quelconque $E$, mais distinct de
l'ensemble vide. Nous allons travailler avec les \'{e}l\'{e}ments de $%
\mathcal{P}\left( E\right) $ dont nous distinguons tout de suite deux \'{e}l%
\'{e}ments particuliers $\emptyset $ et $E.$ Nous avons \`{a} notre
disposition deux op\'{e}rations binaires qui sont l'union et l'intersection,
une op\'{e}ration unaire qui est la compl\'{e}mentation (le compl\'{e}%
mentaire dans $E$) ainsi qu'une relation d'ordre qui est l'inclusion
(large). Nous r\'{e}sumons ces donn\'{e}es par:
$$
\left( \mathcal{P}(E),\cup ,\cap ,\complement_{E},\subseteq
,\emptyset ,E\right) \vspace{0.2cm}
$$


Nous d\'{e}cidons maintenant de changer les notations pour qu'elles
deviennent plus universelles, plus pratiques et donc plus automatiques.

Voici le dictionnaire des notations qui est en vigueur dans tous les
ouvrages et chez tous les utilisateurs de l'alg\`{e}bre de Boole (les
informaticiens, les logiciens, les \'{e}lectriciens et \'{e}lectroniciens,
les th\'{e}oriciens des graphes et des probabilit\'{e}s, etc.
Le r\'{e}sultat est appel\'{e} alg\`{e}bre de Boole.

Ainsi $\mathcal{P}\left( E\right) $ est not\'{e} $\mathcal{B}$; usuellement les 
\'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{P}\left( E\right) $ sont not\'{e}s par des
lettres majuscules $A,B,\ldots ,$ et les \'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{B}$
par les lettres minuscules correspondantes (ce n'est pas du tout
obligatoire) $a,b,\ldots .$%


\begin{table}[h!]
\begin{flushright}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{IZ|ZI}
\whline
$\mathcal{P}(E)$ & $\mathcal{B}$ \\ \whline
$A,$ $B,\cdots ,$ sont des \'{e}l\'{e}ments & $a,$ $b,\cdots ,$ sont des 
\'{e}l\'{e}ments \\ \hline
$\emptyset $ & $0$ \\ \hline
$E$ & $1$ \\ \hline
$A\cup B$ & $a+b$ (ou $a\vee b$) \\ \hline
$A\cap B$ & $a.b$ (ou $ab$ ou $a\wedge b$) \\ \hline
$\complement_{E}A=\overset{\text{ }}{\overline{A}}$ & $\overline{a}
$ \\ \hline
$\subseteq $ & $\leqslant $ \\ \whline
\end{tabularx}%
\end{flushright}
\caption{Correspondance entre $\PR(E)$ et $\BR$}\label{table::bool0}
\end{table}



Les propri\'{e}t\'{e}s dans $\mathcal{B}$ se d\'{e}duisent alors sans
difficult\'{e} en traduisant les r\'{e}sultats connus dans $\mathcal{P}(E)$ 
\`{a} l'aide de ces nouvelles notations. Pour avoir un r\'{e}sultat dans $%
\mathcal{B},$ il suffit d'\'{e}crire une \'{e}galit\'{e} dans $\mathcal{P}%
(E) $ et de la traduire dans $\mathcal{B}$ \`{a} l'aide du dictionnaire.
Prenons un exemple : $A\cup \left( A\cap B\right) =A$, c'est un r\'{e}sultat
connu. Traduisons-le dans $\mathcal{B}$ : $a+(a.b)=a$; ce r\'{e}sultat, qui
du premier abord ne para\^{\i}t pas naturel, peut se v\'{e}rifier en le
\og retraduisant\fg{} dans $\mathcal{P}(E).$

Nous allons r\'{e}\'{e}crire un certain nombre de r\'{e}sultats classiques
dans $\mathcal{P}(E)$ et les traduire dans $\mathcal{B}$ ; il faut bien
comprendre qu'on ne cr\'{e}e rien de nouveau, on ne fait que changer de
notations et, si au d\'{e}but cela peut \^{e}tre perturbant, \`{a} l'usage
on se rendra compte que ces nouvelles notations sont tr\`{e}s pratiques car
elles ont des applications concr\`{e}tes. Si, lors de l'usage d'une propri%
\'{e}t\'{e} dans $\mathcal{B}$ on a le moindre doute, il suffira de la
traduire dans $\mathcal{P}(E)$ pour s'assurer ou non de sa validit\'{e}.%


\begin{table}[h!]
\begin{flushright}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{IZ|ZIZ|ZI}
\whline
$\mathcal{P}(E)$ & $\mathcal{B}$ & $\mathcal{P}(E)$ & $\mathcal{B}$\\ 
\whline
$\emptyset \cup \emptyset =\emptyset $ & $0+0=0$ &
$\emptyset \cap \emptyset =\emptyset $ & $0\cdot 0=0$ \\ \hline
$E\cup E=E$ & $1+1=1$ &
$E\cap E=E$ & $1\cdot 1=1$ \\ \hline
$A\cup \emptyset =A$ & $a+0=a$ &
$A\cap \emptyset =\emptyset $ & $a\cdot 0=0$ \\ \hline
$A\cup E=E$ & $a+1=1$ &
$A\cap E=A$ & $a\cdot 1=a$ \\ \hline
$A\cup A=A$ & $a+a=a$ &
$A\cap A=A$ & $a\cdot a=a$ \\ \hline
$A\cup \overline{A}=E$ & $a+\overline{a}=1$ &
$A\cap \overline{A}=\emptyset$ &
$a\cdot \overline{a}=0$
 \\ \whline
\end{tabularx}%
\end{flushright}
\caption{Correspondance entre $\PR(E)$ et $\BR$}\label{table::bool1}
\end{table}



\begin{table}[h!]
\begin{flushright}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{IZ|ZI}
\whline
 $\mathcal{P}(E)$ & $\mathcal{B}$\\ 
\whline
$\cup $ est associative & $+$ est associative \\ \hline
$\cup $ est commutative & $+$ est commutative \\ \hline
$\cap $ est associative & $\cdot $ est associative \\ \hline
$\cap $ est commutative & $\cdot $ est commutative \\ \hline
$\cap $ est distributive pour $\cup $ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) \\ 
(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\cup $ est distributive pour $\cap $ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c) \\ 
(b\cdot c)+a=(b+a)\cdot (c+a)%
\end{array}%
\right. $ \\ \hline
$\overset{}{\overline{\overline{A}}=A}$ & $\overline{\overline{a}}=a$ \\ 
\whline
\end{tabularx}%
\end{flushright}
\caption{Propriétés des calculs booléens et ensemblistes}\label{table::bool2}
\end{table}



Les lois de De Morgan se transformant en%
\begin{center}
\begin{tabular}{ll}
$\left\{ 
\begin{array}{c}
\overline{\bigcup\limits_{i}A_{i}}=\bigcap\limits_{i}\overline{A_{i}} \\ 
\overline{\bigcap\limits_{i}A_{i}}=\bigcup\limits_{i}\overline{A_{i}}%
\end{array}%
\right. $ & $\left\{ 
\begin{array}{c}
\overline{\sum\limits_{i}a_{i}}=\prod\limits_{i}\overline{a_{i}} \\ 
\overline{\prod\limits_{i}a_{i}}=\sum\limits_{i}\overline{a_{i}}%
\end{array}%
\right. $%
\end{tabular}%
\end{center}

L'op\'{e}ration \og$+$\fg{} est appel\'{e}e \textit{addition bool\'{e}enne}, l'op\'{e}%
ration \og $\cdot $\fg{} est appel\'{e}e \textit{multiplication bool\'{e}enne} et l'op\'{e}ration
unaire qui transforme $a$ en $\overline{a}$ est la \textit{compl\'{e}mentation bool%
\'{e}enne}.


\iutx Sauf votre respect, vous racontez n'importe quoi: $1+1=1$!!!??? Où
vous avez vu ça, vous ?!

\pro  Attention   en  effet  à  ne   pas  se  laisser   piéger  par  les
notations. Nous travaillons  sur $\BR$ et les symboles  $+$ et $1$ n'ont
pas la  même signification  que dans $\bm{R}$.  Pour plus de  sûreté, on
devrait   écrire  $+_{\BR}$,  $1_{\BR}$,   $+_{\bm{R}}$,  $+_{\bm{N}}$,
$1_{\bm{R}}$, $1_{\bm{N}}$,  etc. mais  ce serait fastidieux.  Il faudra
bien faire attention au contexte.

Certains langages  forcent à  différencier les symboles  des différentes
opérations selon l'ensemble dans lequel on travaille:


\begin{lstlisting}[caption={}]
# 1 + 1 ;;
- : int = 2
# 1.5 + 2.3 ;;
Characters 0-3:
  1.5+2.3;;
  ^^^
Error: This expression has type float but an expression was expected of type
         int
# 1.5 +. 2.3 ;;
- : float = 3.8
# true + false ;;
Characters 0-4:
  true + false ;;
  ^^^^
Error: This expression has type bool but an expression was expected of type
         int
# true & false ;;
- : bool = false
\end{lstlisting}



Vous  aurez remarqué  que  le \og  +\fg{}  de OCAML  est  le symbole  de
l'addition des entiers, que \og +.\fg{} est le symbole de l'addition des
flottants,  que  \og\lstinline+true+\fg{}  et  \og  \lstinline+false+\fg{}  sont  les
symboles des éléments \og 0\fg{} et \og 1\fg{} de $\BR$ et que \og \lstinline+&+\fg{} est le
symbole de l'addition des booléens.


Mis \`{a} part les \'{e}galit\'{e}s \og naturelles\fg{} qui n'ont pas
besoin de m\'{e}morisation, il est tr\`{e}s important de retenir celles qui
le sont moins, \`{a} savoir:

\begin{itemize}
\item $a+a=a$

\item $a\cdot a=aa=a$

\item $a+1=1$

\item $(a+b)\cdot (a+c)=(a+b)(a+c)=a+\left( bc\right) =a+bc$ car nous d\'{e}%
cidons d'utiliser la hi\'{e}rarchie habituelle de ces op\'{e}rations.

\item $a+a\cdot b=a$ qui correspond \`{a} $A\cup \left( A\cap B\right) =A$

\item $a\cdot (a+b)=a$ qui correspond \`{a} $A\cap \left( A\cup B\right) =A$

\item $a\cdot \overline{a}=0$

\item $a+\overline{a}=1$
\end{itemize}

N'oublions pas la relation d'ordre, l'inclusion $\subseteq $ dans $\mathcal{P%
}\left( E\right) $ est not\'{e}e $\leqslant $ dans $\mathcal{B}$ : 
$$
a \leqslant b\Longleftrightarrow a+b=b $$$$
a \leqslant b\Longleftrightarrow a\cdot b=a $$$$
a \leqslant b\Longleftrightarrow \overline{a}+b=1 $$$$
a \leqslant b\Longleftrightarrow a\cdot \overline{b}=0
$$
Pour s'en souvenir il suffit de reprendre les propri\'{e}t\'{e}s caract\'{e}%
ristiques de l'inclusion dans $\mathcal{P}(E),$ \`{a} savoir%
$$
A \subseteq B\Longleftrightarrow A\cup B=B $$$$
A \subseteq B\Longleftrightarrow A\cap B=A $$$$
A \subseteq B\Longleftrightarrow \overline{A}\cup B=E $$$$
A \subseteq B\Longleftrightarrow A\cap \overline{B}=\emptyset$$

et on a toujours $$0\leqslant a\cdot b\leqslant a\leqslant a+b\leqslant 1$$ puisque ce n'est autre que
la traduction de%
$$
\emptyset \subseteq A\cap B\subseteq A\subseteq A\cup B\subseteq E
$$

\begin{remarque}
Nous n'avons pas introduit de symbole op\'{e}ratoire bool\'{e}en pour la diff%
\'{e}rence et la diff\'{e}rence sym\'{e}trique de deux ensembles car ces
deux op\'{e}rations, dans $\mathcal{P}\left( E\right) $, s'expriment l'aide
de l'union, l'intersection et la compl\'{e}mentation :%
\begin{eqnarray*}
A-B &=&A\cap \overline{B}\text{ se traduit en }a\overline{b} \\
A\bigtriangleup B &=&\left( A\cup B\right) -\left( A\cap B\right) \text{ se traduit
en} \\
\left( a+b\right) \cdot \overline{\left( a\cdot b\right) } &=&\left( a+b\right)
\cdot \left( \overline{a}+\overline{b}\right) =a\cdot \overline{b}+\overline{a}\cdot b
\end{eqnarray*}
\end{remarque}


Une alg\`{e}bre de Boole peut \^{e}tre d\'{e}finie alg\`{e}briquement \`{a}
l'aide du syst\`{e}me d'axiomes:

\begin{definition}[Algèbre de Boole]
\begin{enumerate}
\item {L'ensemble }$\mathcal{B}${\ est muni de deux op\'{e}%
rations internes associatives et commutatives not\'{e}es }$+${\ et }$%
\mathbf{\cdot }${\ ;}

\item {les deux lois sont distributives l'une par rapport \`{a}
l'autre ;}

\item $\mathcal{B}${\ contient deux \'{e}l\'{e}ments }$0${\ et 
}$1${, }$0${\ \'{e}tant \'{e}l\'{e}ment neutre pour }$+$%
{\ et }$1${\ \'{e}tant \'{e}l\'{e}ment neutre pour }$\mathbf{\cdot }
${\ ;}

\item {pour tout }$a\in \mathcal{B}${\ il existe un unique 
\'{e}l\'{e}ment }$\overline{a}\in \mathcal{B}${\ tel que }$a+%
\overline{a}=1${\ et }$a\cdot \overline{a}=0.$
\end{enumerate}

{De ces uniques axiomes d\'{e}coulent TOUTES les autres propri\'{e}t%
\'{e}s.}
\end{definition}


\begin{remarque}
Si $E$ ne poss\`{e}de qu'un \'{e}l\'{e}ment alors $\mathcal{P}\left(
E\right) $ poss\`{e}de exactement deux \'{e}l\'{e}ments qui sont $\emptyset $
et $E$. L'alg\`{e}bre de Boole associ\'{e}e ne poss\`{e}de donc que les \'{e}%
l\'{e}ments $0$ et $1,$ c'est l'alg\`{e}bre de Boole la plus utilis\'{e}e.
Elle est not\'{e}e $\mathcal{B}_{2}$ et est appel\'{e}e \textbf{alg\`{e}bre de Boole
binaire}.
\end{remarque}



\subsubsection{Table}

Pour vérifier ces propriétés, on peut dresser une table. Par exemple:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{T{6}}
	     \whline
             $x$&$y$&$z$&$y+z$&$xy$&$xz$&$x(y+z)$&$xy+xz$\\
             \whline
             1&1&1&1&1&1&1&1\\
             1&1&0&1&1&0&1&1\\
             1&0&1&1&0&1&1&1\\
             1&0&0&0&0&0&0&0\\
             0&1&1&1&0&0&0&0\\
             0&1&0&1&0&0&0&0\\
             0&0&1&1&0&0&0&0\\
             0&0&0&0&0&0&0&0\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Cela permet de vérifier que $x(y+z)=xy+xz$.







\subsubsection{Dualité}

La  duale  d'une  expression   booléenne  s'obtient  en  échangeant  les
opérations $\cdot$ et $+$ ainsi que les nombres $0$ et $1$.

Par exemple, la duale de $x\cdot(y+0)$ est $x+(y\cdot 1)$.

Il  faut  retenir  qu'une   égalité  reste  vraie  lorsqu'on  prend  les
expressions duales des deux termes (pourquoi?...pensez à $\overline{...}$).

Par exemple, $x\cdot(x+y)=x$  (propriété d'absorption) est équivalente à
$x+(x\cdot y)=x$ (également propriété d'absorption).




\subsection{Fonctions bool\'{e}ennes}


Une \textbf{fonction bool\'{e}enne} de $n$ variables est une \textbf{%
application} de $\mathcal{B}_{2}^{n}$ dans $\mathcal{B}_{2}.$ Le cardinal de 
$\mathcal{A}\left( \mathcal{B}_{2}^{n},\mathcal{B}_{2}\right) $ \'{e}tant $%
2^{2^{n}},$ il existe donc $2^{2^{n}}$ fonctions bool\'{e}ennes de $n$
variables. Notons $f$ une fonction bool\'{e}enne de $n$ variables, $f$ est
compl\`{e}tement d\'{e}termin\'{e}e par l'ensemble des images des \'{e}l\'{e}%
ments de $\mathcal{B}_{2}^{n}$ et on appelle support de $f$ l'ensemble des 
\'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{B}_{2}^{n}$ qui ont pour image $1.$ Nous
notons $S_{n}\left( f\right) $ le support de $f$ :%

$$
S_{n}\left( f\right) =\left\{ b\in \mathcal{B}_{2}^{n}\mid f\left( b\right)
=1\right\}
$$

Par  exemple,   il  y  a  $2^{2^2}=16$  fonctions   booléennes  de  deux
variables. Compléter ce tableau:


\begin{flushright}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{IZZIZ*{15}ZI}
	     \whline
$x$&$y$&$f_0$&$f_1$&$f_2$&$f_3$&$f_4$&$f_5$&$f_6$&$f_7$&$f_8$&$f_9$&$f_{10}$&$f_{11}$&$f_{12}$&$f_{13}$&$f_{14}$&$f_{15}$\\
\whline
0&0&&&&&&&&&&&1&&&&&\\ \hline
0&1&&&&&&&&&&&0&&&&&\\ \hline
1&0&&&&&&&&&&&1&&&&&\\ \hline
1&1&&&&&&&&&&&0&&&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
           \end{flushright}
           
Six de  ces fonctions joueront un  rôle spécial que  nous explorerons au
moment d'étudier les portes logiques.

Le support de $f_{10}$ est $S_2(f_{10})=\bigl\{(0,0),(1,0)\bigr\}$.



\begin{definition}

On appelle \textbf{litt\'{e}ral positif} une variable bool\'{e}enne \'{e}%
crite sous la forme $x_{i}$ et \textbf{litt\'{e}ral n\'{e}gatif} une
variable bool\'{e}enne de la forme $\overline{x_{i}}.$ On appelle \textbf{mon%
\^{o}me bool\'{e}en} tout produit de litt\'{e}raux, un m\^{e}me litt\'{e}ral
n'apparaissant pas deux fois.

\end{definition}

$\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}\cdot x_{3},$ $x_{1}\cdot x_{2}\cdot \overline{x_{3}}$ et 
$\overline{x_{2}}\cdot x_{3}$ sont des mon\^{o}mes, l'ordre dans lequel sont \'{e}%
crites les variables n'ayant aucune importance. Par contre $x_{1}\cdot x_{2}.%
\overline{x_{1}}$ n'est pas un mon\^{o}me, $x_{1}\cdot \overline{x_{1}}$ \'{e}%
tant \'{e}gal \`{a} 0, nous avons $x_{1}\cdot x_{2}\cdot \overline{x_{1}}=0.$

\begin{definition}
  
Si $m$ est un mon\^{o}me, nous dirons que le mon\^{o}me $m_{1}$ est un
\textbf{diviseur} de $m$ si $m$ peut s'\'{e}crire $m=m_{1}\cdot m_{2},$ $m_{2}$ \'{e}tant
un mon\^{o}me ou le bool\'{e}en 1.

\end{definition}

$\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}},$ $\overline{x_{1}}\cdot x_{3},$ $\overline{%
x_{2}}$ et $\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}\cdot x_{3}$ sont des diviseurs de $%
\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}\cdot x_{3}.$


\begin{definition}
  On appelle \textbf{polyn\^{o}me bool\'{e}en} une somme de mon\^{o}mes.
\end{definition}


Par exemple $ \overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot \overline{x_{2}}%
\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{2}\cdot \overline{x_{3}}$                 ou                $
\overline{x_{1}}+x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}$.


\begin{definition}

Dans ce qui suit $f$ est une fonction bool\'{e}enne de $n$ variables et nous
notons $f$ pour $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}).$ On dit que $f$ est

\begin{itemize}
\item Un \textbf{p-terme} ou mon\^{o}me bool\'{e}en si $f=\prod\limits_{j\in
J\subseteq \mathbb{N}_{n}}y_{j}$ avec $y_{j}\in \left\{ x_{j},\overline{x_{j}%
}\right\} .$ Un p-terme est \textbf{complet} si, et seulement si, $J=\mathbb{%
N}_{n},$ cela signifie que toutes les variables figurent dans le mon\^{o}me.
Un p-terme complet est appel\'{e} un \textbf{minterme}$.$

\item Un \textbf{s-terme} ou clause bool\'{e}enne si $f=\sum\limits_{j\in
J\subseteq \mathbb{N}_{n}}y_{j}$ avec $y_{j}\in \left\{ x_{j},\overline{x_{j}%
}\right\} .$ Un s-terme est complet si, et seulement si, $J=\mathbb{N}_{n},$
un \textbf{s-terme complet} est appel\'{e} un \textbf{maxterme.}

\item \textbf{Disjonctive} si $f$ est une somme de p-termes$.$

\item \textbf{Disjonctive canonique} si $f$ est une somme de mintermes.

\item \textbf{Conjonctive} si $f$ est un produit de s-termes$.$

\item \textbf{Conjonctive canonique} si $f$ est un produit de maxtermes.
\end{itemize}

\end{definition}


Des petits exemples avec des fonctions de trois variables pour mettre en pratique:

\begin{tabular}{l}
$f_{1}=\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}+x_{1}+x_{2}\cdot \overline{x_{3}}$ est
une forme disjonctive, \\ 
$f_{2}=\overline{x_{1}}\cdot \overline{x_{2}}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot \overline{x_{2}}%
\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{2}\cdot \overline{x_{3}}$ est une forme disjonctive canonique, \\ 
$f_{3}=\left( \overline{x_{1}}+\overline{x_{2}}\right) \cdot \left(
x_{3}+x_{1}\right) \cdot x_{3}$ est une forme conjonctive, \\ 
$f_{4}=\left( \overline{x_{1}}+\overline{x_{2}}+x_{3}\right) \cdot \left( x_{1}+%
\overline{x_{2}}+x_{3}\right) $ est une forme conjonctive canonique.%
\end{tabular}%

Nous verrons  par la suite qu'il  sera très important  de déterminer les
formes canoniques disjonctives et conjonctives.

Il est important de remarquer qu'un minterme vaut 1 pour une combinaison
de  ses variables  et  une seulement:  il  faut que  tous les  littéraux
 valent 1 en même temps.

Par  exemple,  $\overline{x_1}x_2 \overline{x_3}x_4x_5$  vaut  1 si,  et
seulement si, $x_1=x_3=0$ et $x_2=x_4=x_5=1$.


On peut montrer (mais on  peut l'admettre en première lecture) que toute
expression  booléenne  peut  s'écrire  sous  la  forme  d'une  somme  de
mintermes  différents   qui  ne   peuvent  donc,  d'après   la  remarque
précédente,  valoir 1  que  dans un  seul  cas et  comme  ils sont  tous
distincts, quand un minterme vaut 1, les autres valent 0.

Comme 1  + n'importe quoi vaut  toujours 1, on peut  écrire une fonction
booléenne sous la forme d'une somme de mintermes.

Un tableau (qu'on appellera table canonique) permet d'obtenir facilement
ces mintermes.

Consid\'{e}rons la fonction bool\'{e}enne de 3 variables:
$f=f(x_{1},x_{2},x_{3})=\left(x_1+x_2\right)\overline{x_{3}}$


\begin{center}
             \begin{tabularx}{\linewidth}{IZ|Z|ZIZ|ZIZI}
	     \whline
             $x_1$&$x_2$&$x_3$&$x_1+x_2$&$\overline{x_3}$&$(x_1+x_2)\overline{x_3}$\\
             \whline
             1&1&1&&&\\
             1&1&0&&&\\
             1&0&1&&&\\
             1&0&0&&&\\
             0&1&1&&&\\
             0&1&0&&&\\
             0&0&1&&&\\
             0&0&0&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}

Nous   en   déduisons   que  $f(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2   \overline{x_3}+x_1
\overline{x_2} \overline{x_3}+\overline{x_1}x_2 \overline{x_3}$.


On aurait pu y arriver par le calcul:

\begin{tabular}{rcll}
  $f(x_1,x_2,x_3)$&$=$&$(x_1+x_2)\overline{x_3}$ & \\
                  &$=$&$x_1 \overline{x_3}+x_2 \overline{x_3}$ & distributivité\\
                  &$=$&$x_1 1\overline{x_3}+x_2 1\overline{x_3}$ &\\
                  &$=$&$x_1(x_2+\overline{x_2})\overline{x_3}+(x_1+\overline{x_1})x_2
                  \overline{x_3}$&\\
                  & $=$             &$x_1x_2             \overline{x_3}+x_1
                  \overline{x_2}\overline{x_3}+x_1x_2
                  \overline{x_3}+\overline{x_1}x_2       \overline{x_3}$&
                  distributivité\\
                  &$=$&$x_1x_2   \overline{x_3}+x_1
\overline{x_2} \overline{x_3}+\overline{x_1}x_2 \overline{x_3}$& idempotence\\
\end{tabular}

Pour  obtenir la  forme canonique  conjonctive, on  utilise le  fait que
$\overline{x + y}=\overline{x}\cdot \overline{y}$.

C'est facile car $\overline{f}=0 \Leftrightarrow f=1$ et $\overline{f}=1
\Leftrightarrow f=0$.


Ainsi                                                    $f=x_1x_2x_3+x_1
\overline{x_2}x_3+\overline{x_1}x_2x_3+\overline{x_1}\overline{x_2}x_3+\overline{x_1}+\overline{x_2}+\overline{x_3}$.


Ensuite, $f=\overline{\overline{f}}=\overline{x_1x_2x_3+x_1
\overline{x_2}x_3+\overline{x_1}x_2x_3+\overline{x_1}\overline{x_2}x_3+\overline{x_1}\overline{x_2}\overline{x_3}}$.

Finalement, $f=\left(\overline{x_1}+\overline{x_2}+\overline{x_3}\right)\left(\overline{x_1}+x_2+\overline{x_3}\right)\left(x_1+\overline{x_2}+\overline{x_3}\right)\left(x_1+x_2+\overline{x_3}\right)\left(x_1+x_2+x_3\right)$.



Ces écritures  ne sont  pas toujours minimales  mais nous  seront utiles
pour étudier les portes logiques.


\subsection{Portes logiques}

L'informatique,   concrètement,    c'est   au   départ    des   circuits
électroniques: ça passe ou ça ne passe pas. Les calculs dans une algèbre
de Boole sont  donc tout à fait adaptés. On trouve  dans le commerce des
composants  électroniques  modélisant  les  fonctions NON,  OR,  AND  et
également NOR, NAND, XOR que nous avons étudiées en exercice.

Voici leur représentation à la mode américaine:
\begin{center}
 
\begin{circuitikz} \draw
(0,0) node[and port] (myand) {}
(5,0) node[or port] (myor) {}
(9,0) node[not port] (mynot) {}

(0,-2) node[nand port] (mynand) {}
(5,-2) node[nor port] (mynor) {}
(9,-2) node[xor port] (myxor) {}

(myand.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myand.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myand.out) node[anchor=west] {$x\cdot y$}

(myor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myor.out) node[anchor=west] {$x+y$}

(mynot.in) node[anchor=east] {$x$}

(mynot.out) node[anchor=west] {$\overline{x}$}


(mynand.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(mynand.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(mynand.out) node[anchor=west] {$x\nand y$}

(mynor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(mynor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(mynor.out) node[anchor=west] {$x\nor y$}

(myxor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myxor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myxor.out) node[anchor=west] {$x\oplus y$}

 ;
\end{circuitikz}
\end{center}



et à la mode européenne:


\begin{center}
 
\begin{circuitikz} \draw
(0,0) node[european and port] (myand) {}
(5,0) node[european or port] (myor) {}
(9,0) node[european not port] (mynot) {}

(0,-2) node[european nand port] (mynand) {}
(5,-2) node[european nor port] (mynor) {}
(9,-2) node[european xor port] (myxor) {}

(myand.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myand.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myand.out) node[anchor=west] {$x\cdot y$}

(myor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myor.out) node[anchor=west] {$x+y$}

(mynot.in) node[anchor=east] {$x$}

(mynot.out) node[anchor=west] {$\overline{x}$}


(mynand.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(mynand.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(mynand.out) node[anchor=west] {$x\nand y$}

(mynor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(mynor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(mynor.out) node[anchor=west] {$x\nor y$}

(myxor.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myxor.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(myxor.out) node[anchor=west] {$x\oplus y$}

 ;
\end{circuitikz}
\end{center}

L'Europe,  c'est   mieux,  alors  on   adoptera  la  deuxième   série  de
représentations.

Construisons  par  exemple  un   circuit  correspondant  à  la  fonction
$f(x,y)=x\cdot y+\overline{x}\cdot\overline{y}$:



\begin{center}
\begin{circuitikz} \draw
(0,4) node[european and port] (myand1) {}
(3,1) node[european and port] (myand2) {}
(5,2) node[european or port] (myor) {}
(0,0) node[european not port] (mynot1) {}
(0,2) node[european not port] (mynot2) {}

(myand1.in 1) node[anchor=east] {$x$}

(myand1.in 2) node[anchor=east] {$y$}

(mynot1.in) node[anchor=east] {$y$}

(mynot2.in) node[anchor=east] {$x$}


(mynot1.out) -| (myand2.in 2)

(mynot2.out) -| (myand2.in 1)


(myand1.out) -| (myor.in 1)

(myand2.out) -| (myor.in 2)

(myor.out) node[anchor=west] {$x\cdot y+\overline{x}\cdot\overline{y}$}

;
\end{circuitikz}
\end{center}


\subsection{Minimisation de circuits}


Construisez  les  circuits  correspondant  à  $xyz+x  \overline{y}z$  et
$xz$. Des remarques?



Pouvoir placer  un maximum  de circuit  sur un même  chip est  une tâche
importante. Pour  cela, il faut que  les circuit soient  les plus petits
possibles tout en effectuant les tâches requises. 

C'est un problème qui peut  devenir compliqué et même actuellement, on a
du  mal à  mettre  au  point des  algorithmes  traitant des  expressions
booléennes dépassant 25 littéraux.

Nous  ne verrons  que des  cas simples  avec une  méthode  graphique: le
diagramme de \textsc{Karnaugh}.

Il existe entre autre  la méthode de \textsc{Quine-McCluskey} qui permet
d'être   automatisée   sur  machine   mais   dont   la  complexité   est
exponentielle.




\subsubsection{2 variables}

On suppose  qu'on dispose  d'une fonction de  deux variables  sous forme
disjonctive canonique.

Les quatre littéraux possibles sont regroupés dans un tableau:

\vspace{2cm}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}(3,3)
\Karnaughdiagram{2}{{$ \overline{x}\overline{y}$}{$ \overline{x}y$}{$x \overline{y}$}{$xy$}}($ x$,$ y$)[$f$]
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}
Ensuite,  on met des  1 quand  le littéral  est présent  et un  zéro (ou
rien) sinon.

Par exemple, pour $xy+\overline{x}y$ on obtient:




\begin{figure}[!h]
\vspace{3cm}
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}(3,3)
\Karnaughdiagram{2}{{}{$1$}{}{$1$}}($ x$,$ y$)[$f$]
\PrimImpl(25,10)(8,16)
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


On repère  ensuite les  cellules de 1  adjacentes qui vont  permettre un
regroupement. 

Dans le cas présent, $f(x,y)=y \left(\overline{x}+x\right)=y$.

Il est peu utile dans ce cas de recourir à cette méthode.

\subsubsection{3 variables}

Ça  devient plus  intéressant à  partir de  3 variables.  Le but  est de
recouvrir  le  plus  de 1  avec  des  blocs  les plus  grands  possibles
contenant un  nombre de  1 égal  à une puissance  de 2.  Plusieurs blocs
peuvent se recouvrir.

Prenons       par        exemple       $f(x,y,z)=x       \overline{y}z+x
\overline{y}\overline{z}+xyz+\overline{x}yz+\overline{x}\overline{y}\overline{z}$.

\vspace{2cm}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}(15,5)
\Karnaughdiagram{3}{10011101}($ x$,$ yz$)[$f$]
\PrimImpl(15,10)(8,16)
\PrimImpl(35,10)(8,16)
\PrimImpl(20,5)(16,8)
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


Alors $f(x,y,z)=\overline{y}\overline{z}+x \overline{y}+yz$.

Autre exemple: $f(x,y,z)=x       \overline{y}z+x
\overline{y}\overline{z}+\overline{x}yz+\overline{x}\overline{y}\overline{z}+\overline{x}\overline{y}z$.

\vspace{2cm}

\begin{figure}[!h]
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}(15,5)
\Karnaughdiagram{3}{11011100}($ x$,$ yz$)[$f$]
\PrimImpl(20,10)(16,16)
\PrimImpl(30,15)(16,8)
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}

Cette fois, $f(x,y,z)=\overline{y}+\overline{x}z$.


\subsubsection{4 variables}


Considérons   le  tableau   suivant   (écrivez  l'expression   booléenne
correspondant...).



\begin{figure}[!h]
\vspace{4cm}
\begin{center}
\unitlength=1mm
\begin{picture}(5,5)
\Karnaughdiagram{4}{1010001111100011}($x_0x_1$,$x_2x_3$)[$f$]
\PrimImpl(40,20)(16,16)
\PrimImpl(20,5)(16,8)
\PrimImpl(5,-5)(27,27)[rt]
\PrimImpl(5,45)(27,27)[rb]
\PrimImpl(55,45)(27,27)[lb]
\PrimImpl(55,-5)(27,27)[lt]
\end{picture}
\end{center}
\end{figure}


On obtient $f(x_0,x_1,x_2,x_3)=x_1x_2+\overline{x_1}\overline{x_3}+x_0 \overline{x_1}\overline{x_2}$



%\subsection{Le corps F$\mathbf{_2}$}


% \caption{Portes logiques}
%   \label{fig:2}
% \end{figure}


\vfill

\eject

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Un peu de calcul matriciel}


\subsection{Produit de matrices}


Nous aurons  besoin de  multiplier des matrices  entre elles.  Voici une
disposition pratique pour effectuer les calculs.

$$c_{ij}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$


avec $n$  le nombre de  colonnes de  A qui doit  être égal au  nombre de
lignes de B.


\subsubsection{Produit de deux matrices \og carré\fg{}}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} &  \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13}  \\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33}  \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$3$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ 
  c_{21}&  \node[node style sp,red] {c_{22}};& c_{23} \\ 
  c_{31}&  c_{32} &  c_{33} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$3$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
 \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2);%
%       node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2);%
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2);%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}


  \begin{DANGER}[produit de matrice non commutatif]
    Le produit  de deux matrices  n'est pas  commutatif. Cela
    signifie qu'en général $A\times B\neq B\times A$.
    \end{DANGER}





\subsubsection{Produit d'une matrice \og carré\fg{} et d'une matrice \og colonne\fg{}}



\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32}  & a_{33}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{red}{$3$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
   \node[node style sp] {b_{11}};  \\ 
  \node[node style sp] {b_{21}};  \\ 
  \node[node style sp] {b_{31}};   \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{red}{$1$ colonne}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  c_{11}  \\ 
   \node[node style sp,red] {c_{21}}; \\ 
  c_{31} \\ 
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ C=A\times B$ : \textcolor{red}{$3$ lignes}  \textcolor{red}{$1$ colonne}};
% arrows
\draw[blue] (A-2-1.north) -- (C-2-1.north);
\draw[blue] (A-2-1.south) -- (C-2-1.south);
\draw[blue] (B-1-1.west)  -- (C-2-1.west);
\draw[blue] (B-1-1.east)  -- (C-2-1.east);
 \draw[<->,red](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-1);%
%       node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,red](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-1);
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,red](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-1);%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[red,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,red,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-1.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}



\subsection{Matrices et Python: approche naïve}


\subsubsection{Création d'une matrice}

Nous créerons nos matrices
comme
une liste de listes représentant les lignes.

\sage

Par exemple, 
$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6
\end{pmatrix}$ sera rentré avec~:

\begin{lstlisting}[caption={}]
M=[[1,2],[3,4],[5,6]]
\end{lstlisting}

Comment faire calculer  le nombre de lignes et le  nombre de colonnes de
\verb+M+ à Python~?


\subsubsection{Somme de matrices}

Créez  une procédure  qui prend comme  arguments deux  matrices et
renvoie leur somme. Elle commencera par:


\begin{lstlisting}[caption={}]
def somm(A,B):
   C=[[0 for k in len(A[1])] for k in len(A)]
             ?...?
   return(C);
\end{lstlisting}


\subsubsection{Produit de matrices}


Soit  $A=(a_{ij})_{{1 \leqslant  i  \leqslant n}  \atop  {1 \leqslant  i
    \leqslant m}}$ et $B=(b_{ij})_{{1 \leqslant  i  \leqslant m}  \atop  {1 \leqslant  i
    \leqslant p}}$.


Alors $A\times B=C$ avec $C=(c_{ij})_{{1 \leqslant  i  \leqslant n}  \atop  {1 \leqslant  i
    \leqslant p}}$ et \[\forall (i,j)\in\bbn^*_n\times \bbn^*_p,\quad c_{ij}=\sum_{k=1}^ma_{ik}\cdot b_{kj}\]


Créez alors  une procédure  qui prend comme  arguments deux  matrices et
renvoie leur produit. 





\subsubsection{Matrice identité }


Créer  une procédure  \verb+Id(n)+  qui crée  la matrice  identité
d'ordre $n$.

\subsubsection{Puissances d'une matrice}


Tout est dans le titre...



\subsubsection{Trace d'une matrice}

On calcule la somme des éléments diagonaux.


\subsubsection{Transposée d'une matrice, matrices orthogonales}


On échange lignes et colonnes.





\vfill

\eject






%%%%%%%%%


\section{Relations binaires}

\subsection{Au CE1}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{CE1-relations}
\end{center}
%\end{figure}

\subsection{Généalogie}

\pro Voici mon arbre généalogique:


\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tikzstyle{every node}=[]
\footnotesize
\node {Marcel \& Gisèle} [edge from parent fork down]
  [sibling distance=2cm]
  child {node {Berthe}}
  child {node {Kurt}
  };
\node at (5,0) {Günter \& Gertrude} [edge from parent fork down] 
  [sibling distance=2cm] 
  child {node {Tatiana}}
  child {node {Georgina}}
  child {node {Barbarella}};
\node at (1.9,-1.5) {\& } [edge from parent fork down] 
  [sibling distance=2cm] 
  child {node {Clovis}}
  child {node {Dagobert}}
  child {node {Mathémator}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Formez les couples $(x,y)$ tels que $x$ soit le grand-père de $y$.

\iutx   Ben  il   y  a   (Marcel,Clovis),   (Marcel,Dagobert),  (Marcel,
Mathémator), (Günter,Clovis), (Günter,Dagobert) et(Günter,
Mathémator).

\pro Voici un bel exemple de relation binaire...

\subsection{À l'IUT}

\pro

Les relations nous entourent: d\`{e}s que l'on con\c{c}oit des objets,
objets mat\'{e}riels ou abstraits, on s'int\'{e}resse imm\'{e}diatement aux
relations qui peuvent exister entre ces objets, relation ayant, ici, son
sens usuel. Nous allons \og math\'{e}matiser\fg{} cette notion. Le vocabulaire et
notations utilis\'{e}s pourront parfois surprendre mais nous estimons que
les mauvaises habitudes \og fran\c{c}aises\fg{} sont sources de confusions et vont 
\`{a} l'encontre de la pr\'{e}cision que l'on souhaite obtenir.

La d\'{e}finition d'une relation est excessivement simple:

\begin{definition}[Relation binaire]
On appelle
relation binaire de l'ensemble $E$ vers (ou dans) l'ensemble $F$ tout
triplet $\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) $ o\`{u} $G_{\mathcal{R}}$ est
une partie de $E\times F$. Notons $\mathcal{R}$ (ou $R$ ou $f$ ou $\ldots $)
ce triplet : 
$$
\mathcal{R}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right)
$$
\end{definition}


\iutx Ça serait quand même plus simple de dire qu'une relation, c'est un
ensemble de couples.

\pro C'est en effet l'idée.  Il faut cependant être plus spécifique dans
la pratique afin d'effectuer certaines opérations.


$E$ est \textbf{l'ensemble de d\'{e}part}\footnote{%
Aussi appel\'{e} source de la relation.} ou domaine\footnote{%
Il y a une querelle en France pour l'utilisation de ce mot car un domaine,
en topologie, d\'{e}signe un ensemble compact connexe. Les anglo-saxons
utilisent "maximal domain"\ pour domaine de d\'{e}part.} de d\'{e}part de la
relation $\mathcal{R}$, $F$ est \textbf{l'ensemble d'arriv\'{e}e} ou but ou
cible de la relation $\mathcal{R}$, $G_{\mathcal{R}}$ est \textbf{le graphe}
de la relation $\mathcal{R}$ avec, il ne faut surtout pas l'oublier, $G_{%
\mathcal{R}}\subseteq E\times F$. Les ensembles $E$ et $F$ \'{e}tant d\'{e}%
finis, c'est alors $G_{\mathcal{R}}$ qui d\'{e}termine la relation $\mathcal{%
R},$ pour cela, on se permet de confondre, si besoin, la relation $\mathcal{R%
}$ avec son graphe $G_{\mathcal{R}}.$ La relation $\mathcal{R}$ de $E$ vers $%
F$ \textbf{est alors assimil\'{e}e \`{a} un ensemble: une partie de }$%
\bm{E\times F}$.

Il faut bien comprendre que pour d\'{e}finir parfaitement la relation $%
\mathcal{R}$ il nous faut conna\^{\i}tre trois \'{e}l\'{e}ments $E,F$ et $G_{%
\mathcal{R}}\subseteq E\times F$ ; si au moins l'un de ces trois \'{e}l\'{e}%
ments manque, la relation $\mathcal{R}$ n'est pas d\'{e}finie. Si $G_{%
\mathcal{R}}=\emptyset ,$ $\mathcal{R}$ est la relation vide de $E$ vers $F$%
, ce sera forc\'{e}ment le cas si $E$ ou $F$ est vide. L'ensemble des
relations binaires de $E$ vers (ou dans) $F$ est not\'{e} $%
E\longleftrightarrow F$ ou $E\leftrightarrow F$ et est confondu, si besoin,
avec $\mathcal{P}\left( E\times F\right) ,$ l'ensemble des parties de $%
E\times F.$


Les \'{e}critures $\mathcal{R}\in E\longleftrightarrow F$ ou $\mathcal{R}%
:E\longleftrightarrow F$ ou $\mathcal{R}\in \mathcal{P}\left( E\times
F\right) $ doivent se traduire par \og $\mathcal{R}$ est une relation binaire
de $E$ vers $F$\fg{}. Si $E=F$ on dit que $\mathcal{R}$ est une relation
binaire de $E$ vers $E$ ou de $E$ dans $E$ ou encore une relation binaire 
\textbf{sur} $E$.

Si $(x,y)\in G_{\mathcal{R}},$ on dit que l'\'{e}l\'{e}ment $x$ de
l'ensemble de d\'{e}part $E$ est en relation par $\mathcal{R}$ avec l'\'{e}l%
\'{e}ment $y$ de l'ensemble d'arriv\'{e}e $F$. L'\'{e}criture $x\mathcal{R}y$
ou $\mathcal{R}\left( x,y\right) $\footnote{%
Cette notation, $\mathcal{R}\left( x,y\right) ,$ est appel\'{e}e \og\'{e}%
criture pr\'{e}dicative\fg{}.} est \'{e}quivalente \`{a} $(x,y)\in G_{\mathcal{R}%
}$ ou $(x,y)\in \mathcal{R}$ puisque l'on se permet de confondre $\mathcal{R}
$ et $G_{\mathcal{R}}$ :%

$$
x\mathcal{R}y\Leftrightarrow \mathcal{R}\left( x,y\right) \Leftrightarrow
(x,y)\in G_{\mathcal{R}}\Leftrightarrow \left( x,y\right) \in \mathcal{R}
$$

et on dit que $y$ est \textbf{une} image de $x$ par la relation $\mathcal{R}$
et que $x$ est \textbf{un} ant\'{e}c\'{e}dent de $y$. Si $(x,y)\notin G_{%
\mathcal{R}}$, $x$ n'est pas en relation avec $y$.

\begin{remarque}
Le couple $\left( x,y\right) $ de $G_{\mathcal{R}}$ est aussi not\'{e} $%
x\mapsto y,$ c'est une notation de la m\'{e}thode B.
\end{remarque}

\iutx Euh...je préfère la présentation CE1...

\pro Revenons-y si vous le désirez. 

La relation $\RR$ est définie par \og est sur le (la)\fg{}
avec un ensemble de départ qui est en fait l'ensemble des élèves:

$$E=\bigl\{a,b,c,d,e,f,g\bigr\}$$
 et un ensemble d'arrivée qui est en fait l'ensemble des
jeux:

$$J=\bigl\{T,M,B\bigr\}$$

Son graphe est:

$$G_\RR=\bigl\{(a,T),(b,T),(c,M),(d,M),(e,M),(f,B),(g,B)\bigr\}$$

Les écritures suivantes sont équivalentes:

$$(a,T)\in  G_\RR   \Longleftrightarrow  a\  \RR\   T  \Longleftrightarrow
(a,T)\in \RR $$


\begin{remarque}
Posons-nous la question \og combien existe-t-il de relations (binaires) de $E$
vers $F$\fg{}? Nous venons de dire que, les ensembles $E$ et $F$ \'{e}tant pr%
\'{e}cis\'{e}s, la relation est d\'{e}termin\'{e}e par son graphe qui est
une partie de $E\times F$. Il y a donc autant de relations de $E$ vers $F$
que de parties dans $E\times F$, c'est \`{a} dire $2^{|E\times F| }$. 

Si, par exemple $E$ a 30 \'{e}l\'{e}ments et $F$ a 10 
\'{e}l\'{e}ments, alors il existe $2^{300}$ relations de $E$ vers $F$ ($%
2^{300}\simeq 2.10^{90}$ et le nombre d'atomes estim\'{e} dans tout
l'univers est $10^{77}$ !!!).
\end{remarque}







\subsection{Domaine, codomaine}

L'ensemble des \'{e}l\'{e}ments de $E$ qui ont au moins une image par $%
\mathcal{R}$ est l'ensemble de d\'{e}finition ou \textbf{domaine} de d\'{e}%
finition de la relation $\mathcal{R}$ que l'on note le plus souvent par $%
\mathcal{D}_{\mathcal{R}}$ ou $\limfunc{dom}(\mathcal{R})$. Remarquons que l'on
a forc\'{e}ment $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}\right) \subseteq E.$%
$$
\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}\right) =\left\{ x\in E\mid \text{il existe
au moins }y\in F\text{ avec }x\mathcal{R}y\right\}
$$
Si on est s\^{u}r que $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}\right) =E,$ c'est-%
\`{a}-dire que tout \'{e}l\'{e}ment de l'ensemble de d\'{e}part a au moins
une image, on dit que la relation $\mathcal{R}$ est \textbf{totale} ou
partout d\'{e}finie. Dans le cas contraire, on dit qu'elle est non totale et
c'est l\`{a} que les ennuis commencent car on trouve dans la litt\'{e}rature
le qualificatif de partiel. Que ce soit clair, si une relation $\mathcal{R}$
est qualifi\'{e}e de partielle, c'est qu'on ne sait pas, au moment o\`{u} on
cherche \`{a} la d\'{e}finir, si elle est totale ou non ou qu'elle n'est pas
forc\'{e}ment totale. En cons\'{e}quence une relation partielle peut tr\`{e}%
s bien \^{e}tre une relation totale et on peut conclure en affirmant que
l'adjectif "partiel"\ ne sert \`{a} rien d'autre que de dire qu'on ne sait
pas si elle est totale. Pour \'{e}viter des confusions f\^{a}cheuses, nous
conseillons donc, lors de l'utilisation de l'adjectif \textsl{partiel, }de
bien pr\'{e}ciser le sens qu'on lui attribue. Nous retiendrons de ces
commentaires que parmi les relations, certaines sont totales et d'autres non
!

L'ensemble des \'{e}l\'{e}ments de $F$ qui ont au moins un ant\'{e}c\'{e}%
dent dans $E$ est appel\'{e} l'image de $\mathcal{R}$ ou l'image de $E$ par $%
\mathcal{R}$ ou le \textbf{codomaine} de $\mathcal{R}$. On utilise indiff%
\'{e}remment les notations suivantes pour d\'{e}signer le codomaine de $%
\mathcal{R}$%

$$
\limfunc{Im}\mathcal{R}\text{ ou }\limfunc{Im}(\mathcal{R})\text{ ou }\limfunc{Ran}(%
\mathcal{R})\text{ ou }\limfunc{codom}\left( \mathcal{R}\right)
$$


$\limfunc{Im}\left( \mathcal{R}\right) $ se lisant \og im de $\mathcal{R}$\fg{} ou
\og image de $\mathcal{R}$\fg{}, la notation $\limfunc{Ran}\left( \mathcal{R}\right) 
$ venant de l'anglais \og range\fg{} (cible en fran\c{c}ais). Il faut tout de
suite remarquer que $\limfunc{Im}(\mathcal{R})$ n'est autre que l'ensemble de
toutes les images des \'{e}l\'{e}ments de $E$ par la relation $\mathcal{R}$ 
$$
\limfunc{Im}(\mathcal{R})=\left\{ y\in F\mid \text{il exite au moins }x\in E%
\text{ avec }x\mathcal{R}y\right\}
$$
et que l'on a forc\'{e}ment $\limfunc{Im}(\mathcal{R})\subseteq F$.






\subsection{Repr\'{e}sentation d'une relation}


Lorsque $E$ et $F$ sont finis on a forc\'{e}ment $G_{\mathcal{R}}\subseteq
E\times F$ qui est fini et on peut repr\'{e}senter la relation $\mathcal{R}$
ou  son  graphe  $G_{\mathcal{R}}$  de différentes  manières.  En  voici
quelques exemples.


\subsubsection{Représentation linéaire ensembliste}



Prenons pour $E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} ,$ $F=\left\{ \alpha ,\beta
,\gamma ,\delta \right\} $ et pour graphe:
$$
G_{\mathcal{R}}=\left\{ \left( a,\gamma \right) ,\left( b,\beta \right)
,\left( b,\delta \right) ,\left( d,\gamma \right) ,\left( e,\delta \right)
\right\}
$$


$G_{\mathcal{R}}$ est aussi not\'{e} 
$
G_{\mathcal{R}}=\left\{ a\mapsto \gamma ,b\mapsto \beta ,b\mapsto \delta
,d\mapsto \gamma ,e\mapsto \delta \right\}
$.





Le domaine de $\mathcal{R}$ est $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}\right)
=\left\{ a,b,d,e\right\} ,$ c'est l'ensemble constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}%
ments de $E$ qui ont au moins une image dans $F.$ Le codomaine de $\mathcal{R%
}$ est $\limfunc{codom}\left( \mathcal{R}\right) =\left\{ \beta ,\gamma
,\delta \right\} ,$ c'est l'ensemble constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments de $%
F $ qui ont au moins un ant\'{e}c\'{e}dent ou encore l'ensemble des images
des \'{e}l\'{e}ments de $E$ par $\mathcal{R}$.%






\subsubsection{Représentation sagittale}

Les ensembles $E$ et $F$
sont repr\'{e}sent\'{e}s par des \og patates\fg{} et un \'{e}l\'{e}ment $x$ de $E$
(un point de la patate $E)$ est reli\'{e} \`{a} un \'{e}l\'{e}ment $y$ de $F$
par une fl\`{e}che orient\'{e}e de $E$ vers $F$ si, et seulemnt si, $x%
\mathcal{R}y.$


\pgfdeclarelayer{background}
\pgfsetlayers{background,main}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm} 
\SetGraphUnit{0.75cm}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(ga)
\Edge(b)(be)
\Edge(b)(de)
\Edge(d)(ga)
\Edge(e)(de) 


\SetGraphUnit{1.5cm} 
\SO(e){c}
\SO[L=$\alpha$](de){al}


\begin{pgfonlayer}{background} 
\node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,fit=(a) (b) (d) (e) ] {};
\node[color=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[inner sep=6pt,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[inner sep=6pt,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation non totale}
\end{figure}

Cette relation n'est pas totale car il y a au moins un \'{e}l\'{e}ment de
l'ensemble de d\'{e}part $E$ qui n'a pas d'image, en l'occurence $c$ n'a pas
d'image. 

On visualise imm\'{e}diatement $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}%
\right) =\left\{ a,b,d,e\right\} $ et $\limfunc{Im}\left( \mathcal{R}\right) =%
\limfunc{codom}\left( \mathcal{R}\right) =\limfunc{Ran}\left( \mathcal{R}%
\right) =\left\{ \beta ,\gamma ,\delta \right\} .$

\subsubsection{Table relationnelle}


C'est la même chose sous forme de tableau:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.15\linewidth}{Y{0}}
	     \whline
             De&Vers\\
             \whline
             a & $\gamma$\\
\hline
b & $\beta$\\
\hline
b & $\delta$\\
\hline
d & $\gamma$\\
\hline
e& $\delta$\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}


\subsubsection{Dictionnaire}


La même chose en plus ramassé:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.15\textwidth}{Y{0}}
	     \whline
             De & Vers\\
\whline
 a & $\gamma$\\
\hline
b & $\beta$,$\delta$\\
\hline
d & $\gamma$\\
\hline
e& $\delta$\\

             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}


\subsubsection{Représentation matricielle}



 Si les ensembles $E$ et $%
F $ sont d\'{e}finis par:

$$
E =\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\} \qquad F =\left\{ y_{1},y_{2},\cdots ,y_{p}\right\}
$$


alors la relation $\mathcal{R}$ est d\'{e}finie par la matrice\footnote{%
Ceux qui ne savent pas encore ce qu'est une matrice (ce doit \^{e}tre le cas
de la majorit\'{e} d'entre vous) le d\'{e}couvriront avec le module Alg\`{e}%
bre et Analyse 1, il suffit de savoir ici qu'une matrice est tout simplement
un tableau de \og nombres\fg{}.} $R=(r_{i,j})\in \mathfrak{M}_{n,p}$ d\'{e}finie par:
$$
R=\left( 
\begin{array}{cccccc}
r_{1,1} & \cdots & r_{1,j} & \cdots & \cdots & r_{1,p} \\ 
\vdots &  & \vdots &  &  & \vdots \\ 
r_{i,1} &  & r_{i,j} &  &  & r_{i,p} \\ 
\vdots &  & \vdots &  &  & \vdots \\ 
r_{n,1} & \cdots & r_{n,j} & \cdots & \cdots & r_{n,p}%
\end{array}%
\right) \text{ avec }r_{i,j}=\left\{ 
\begin{array}{l}
1\text{ si }x_{i}\mathcal{R}y_{j} \\ 
0\text{ sinon}%
\end{array}%
\right.
$$

$r_{i,j}$ \'{e}tant l'\'{e}l\'{e}ment se trouvant sur la $i^{\grave{e}me}$
ligne et $j^{\grave{e}me}$ colonne$,$ les lignes \'{e}tant num\'{e}rot\'{e}%
es du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. La
matrice $R$ est appel\'{e}e la matrice d'adjacence ou d'incidence de la
relation $\mathcal{R}.$

Si l'on reprend l'exemple précédent, il nous faut d\'{e}cider d'ordonner les \'{e}l\'{e}ments de $E$ et de $F$
et, pour s'assurer que celui qui va nous lire ne fera pas de confusions, il
faut s'obliger \`{a} faire figurer les \'{e}l\'{e}ments \`{a} c\^{o}t\'{e}
de la matrice d'autant plus que certains utilisateurs peuvent tr\`{e}s bien d%
\'{e}cider d'un autre placement pour les \'{e}l\'{e}ments de $E$ et de $F$
puisque les \'{e}l\'{e}ments de $E$ et de $F$ ne sont pas indic\'{e}s :%

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$\curvearrowright $ & $\alpha $ & $\beta $ & $\gamma $ & $\delta $ \\ \hline
$a$ & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ \hline
$b$ & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ \hline
$c$ & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} \\ \hline
$d$ & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} & \textbf{0} \\ \hline
$e$ & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{0} & \textbf{1} \\ \hline
\end{tabular}%
\end{center}

Mais bon,  généralement, on place en  ligne les élément de  départ et en
colonne les élément d'arrivée donc on peut se contenter de la matrice:

$$
R=
\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&1&0&1\\
0&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}
$$

mais il faut être sûr de ce que l'on fait.

\subsection{Relation r\'{e}ciproque}

La \textbf{relation r\'{e}ciproque} de la relation $\mathcal{R}=(E,F,G_{%
\mathcal{R}})$ est la relation not\'{e}e $\mathcal{R}^{-1}$ d\'{e}finie par $%
\mathcal{R}^{-1}=(F,E,G_{\mathcal{R}^{-1}})$ avec 
$
G_{\mathcal{R}^{-1}}=\left\{ (y,x)\in F\times E\mid (x,y)\in G_{\mathcal{R}%
}\right\}
$,
c'est-\`{a}-dire $y\mathcal{R}^{-1}x\Leftrightarrow x\mathcal{R}y$.

 Pour
obtenir la repr\'{e}sentation sagittale de $\mathcal{R}^{-1},$ il suffit de
modifier le sens des fl\`{e}ches de la repr\'{e}sentation sagittale de $%
\mathcal{R}$. 

\begin{extra}

Si $R$ est la matrice de $\mathcal{R}$ alors $^{t}R,$ la
transpos\'{e}e   de   $R,$  est   la   matrice  de   $\mathcal{R}^{-1}$,
c'est-à-dire  la  matrice  obtenue   en  inversant  les  lignes  et  les
colonnes, ce  qui est assez logique  compte tenu de  notre définition de
la représentation matricielle.%


En reprenant l'exemple précédent:

$$
R=
\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
0&1&0&1\\
0&0&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}
\qquad
\tr R=
\begin{pmatrix}
0&0&0&0&0\\
0&1&0&0&0\\
1&0&0&1&0\\
0&1&0&0&1
\end{pmatrix}
$$
\end{extra}


Les r\'{e}sultats suivants d\'{e}coulent imm\'{e}diatement de la d\'{e}%
finition : 
\begin{itemize}
\item $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}\right) =\limfunc{Im}(\mathcal{R}^{-1})=\limfunc{%
Ran}(\mathcal{R}^{-1})$

\item $\limfunc{dom}\left( \mathcal{R}^{-1}\right) =\limfunc{Im}(\mathcal{R})=\limfunc{%
Ran}(\mathcal{R})$

\item $\left( \mathcal{R}^{-1}\right) ^{-1} =\mathcal{R}$
\end{itemize}


\iutx Tout ceci est bien abstrait!...

\pro Un  petit exemple alors...Considérons les ensembles  et la relation
suivants:
\begin{itemize}
\item Étudiants$=\bigl\{$Roger, Berthe, Jean-Pierre, Gudrun$\bigr\}$;
\item Chaînes$=\bigl\{$ TF1, Gulli, Zen TV$\bigr\}$;
\item  TV$=\bigl\{$Roger   $\mapsto$  Gulli,  Berthe   $\mapsto$  Gulli,
  Jean-Pierre $\mapsto$ Zen TV, Gudrun $\mapsto$ Gulli$\bigr\}$.
\end{itemize}

Ainsi       la       relation       $TV       \in       \text{Étudiants}
\longleftrightarrow\text{Chaîne}$       peut       s'interpréter      en
\og ... regarde ...\fg{}.

Que pensez-vous de la relation réciproque?

\iutx Ben c'est $TV^{-1}       \in       \text{Chaîne}
\longleftrightarrow\text{Étudiants}$   qui    peut       s'interpréter      en
\og ...est regardée par...\fg{}.

Ça revient quand même à peu près au même.

\pro \og En gros\fg{} peut-être mais nous travaillerons plus finement...

\subsection{Image, contre image, image réciproque d'une partie}


Si $U$ est une partie de $E,$ $\mathcal{R}\left( U\right) $ ou $\mathcal{R}%
\left\langle U\right\rangle $ d\'{e}signe l'ensemble des images des \'{e}l%
\'{e}ments de $U$ par $\mathcal{R}$. Si $U$ est vide ou si $U\cap \mathcal{D}%
_{\mathcal{R}}=\emptyset ,$ $\mathcal{R}\left( U\right) $ est vide et il est
clair que $\mathcal{R}\left( E\right) =\limfunc{Im}(\mathcal{R})=\limfunc{Ran}(%
\mathcal{R}).$

\begin{remarque}
Si $U$ n'est pas une partie de $E,$ $\mathcal{R}\left( U\right) $ n'a pas de
sens ! Ce doit \^{e}tre clair et c'est absolument \`{a} retenir.
\end{remarque}

Si $V$ est une partie de $F$, la contre image (ou l'image r\'{e}ciproque) de 
$V$ par $\mathcal{R}$ est l'image de $V$ par $\mathcal{R}^{-1}.$ Elle est
donc not\'{e}e $\mathcal{R}^{-1}\left( V\right) $ ou bien $\mathcal{R}%
^{-1}\left\langle V\right\rangle $, elle est vide si $V$ est vide ou si $%
V\cap \limfunc{Im}(\mathcal{R})=\emptyset .$ On pourra remarquer que $\mathcal{R%
}^{-1}\left( F\right) =\limfunc{dom}\mathcal{R}.$

La relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie par son diagramme
sagittal:%

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(ga)
\Edge(b)(be)
\Edge(b)(de)
\Edge(d)(ga)
\Edge(e)(de) 


\SetGraphUnit{1.5cm} 
\SO(e){c}
\SO[L=$\alpha$](de){al}


\begin{pgfonlayer}{background} 
\node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,fit=(a) (b) (d) (e) ] {};
\node[color=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[inner sep=6pt,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[inner sep=6pt,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Image et contre-image}
\end{figure}

Nous avons $\mathcal{R}\left( \left\{ a,b\right\} \right)
=\left\{ \beta ,\gamma \right\} ,\mathcal{R}\left( \bigl\{ c\bigr\} \right)
=\left\{ \gamma \right\} ,\mathcal{R}^{-1}\left( \bigl\{ \alpha \bigr\}
\right) =\emptyset ,\mathcal{R}^{-1}\left( \left\{ \gamma \right\} \right)
=\left\{ a,c,d\right\} $ mais aussi $\mathcal{R}\left( \emptyset \right)
=\emptyset $ et $\mathcal{R}\left( \left\{ a,\beta \right\} \right) $ n'a
pas de sens car $\left\{ a,\beta \right\} $ n'est pas une partie de
l'ensemble de d\'{e}part de $\mathcal{R}.$


\pro Allez, vous voulez reprendre un exemple...

Qui      regarde      Gulli?      Il     faut      définir      $TV^{-1}
\left(\bigl\{\text{Gulli}\bigr\}\right)$.

\iutx Fastoche: c'est $\bigl\{$Roger, Berthe, Gudrun$\bigr\}$.


\subsection{\'{E}galit\'{e} de deux relations}


\begin{definition}
Les relations $\mathcal{R}_{1}=(E_{1},F_{1},G_{\mathcal{R}_{1}})$ et $%
\mathcal{R}_{2}=(E_{2},F_{2},G_{\mathcal{R}_{2}})$ sont \'{e}gales si, et
seulement si, $E_{1}=E_{2}$ \textbf{et} $F_{1}=F_{2}$ \textbf{et} $G_{%
\mathcal{R}_{1}}=G_{\mathcal{R}_{2}}.$
\end{definition}


 Vous \^{e}tes pri\'{e}s de ne pas
modifier cette d\'{e}finition en fonction des circonstances. Il faut
comprendre que les relations: 
$$
\mathcal{R}=(E,F,G_{\mathcal{R}})\text{ et }\mathcal{R}_{1}=(\limfunc{dom}%
\left( \mathcal{R}\right) ,\limfunc{Im}(\mathcal{R}),G_{\mathcal{R}})
$$


ne sont pas forc\'{e}ment \'{e}gales m\^{e}me si on a l'impression que
\og c'est pareil\fg{}. Tout ce que l'on peut dire c'est qu'elles ont le m\^{e}me
graphe et c'est d\'{e}j\`{a} beaucoup. Imaginons que $E$ et $F$ soient deux
fichiers \textit{informatiques } et que $G_{\mathcal{R}}$ nous donne les
couples de fiches correspondant \`{a} une certaine requ\^{e}te (relation).
Ce n'est pas parce que certaines fiches (\'{e}l\'{e}ments des fichiers) ne
seront pas utilis\'{e}es que vous devez les ignorer ou les faire dispara%
\^{\i}tre des fichiers !




\subsection{Restriction, prolongement}


\begin{definition}
  
Soit $\mathcal{R}=(E,F,G_{\mathcal{R}})$ une relation de $E$ vers $F$ et $A$ 
\textbf{une partie de} $E$. La \textbf{restriction} de $\mathcal{R}$ \`{a} $%
A $ est la relation not\'{e}e $\mathcal{R}_{\mid A}$ d\'{e}finie par%
$
\mathcal{R}_{\mid A}=\left( A,F,G_{\mathcal{R}}\cap (A\times F)\right)
$.

Si $\mathcal{U}=\left( A,F,G_{\mathcal{U}}\right) $ et si $\mathcal{U}=%
\mathcal{R}_{\mid A}$ on dit que $\mathcal{R}$ est \textbf{un} prolongement
de $\mathcal{U}$ \`{a} $E.$
\end{definition}



\begin{DANGER}
Nous d\'{e}cidons de noter $\left( \mathcal{R}^{-1}\right) _{\mid B}$ par $%
\mathcal{R}_{\mid B}^{-1}$ qu'il ne faut surtout pas confondre avec $\left( 
\mathcal{R}_{\mid B}\right) ^{-1}$ : $\mathcal{R}_{\mid B}^{-1}$ est la
restriction de $\mathcal{R}^{-1}$ \`{a} la partie $B$ (cela n'a de sens que
si $B\subseteq F$) et $\left( \mathcal{R}_{\mid B}\right) ^{-1}$ est la
relation r\'{e}ciproque de la restriction de $\mathcal{R}$ \`{a} la partie $%
B $ (cela n'a de sens que si $B\subseteq E$)
\end{DANGER}




Si $B$ \textbf{est une partie de} $F$, $\left( \mathcal{R}_{\mid
B}^{-1}\right) ^{-1}$est appel\'{e}e la restriction de $\mathcal{R}$ \`{a}
la partie $B$ de l'ensemble d'arriv\'{e}e, c'est la relation ($E,B,G_{%
\mathcal{R}}\cap (E\times B)).$


Consid\'{e}rons par exemple la relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie par son diagramme
sagittal
et visualisons quelques restrictions:


\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
\Edge(d)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=white,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e)] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit= (c) (d) ,pin={[pin edge={thick}]A}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_{|A}$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be)  (de),pin={[pin edge={thick}]B}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\left(\left(\RR^{-1}\right)_{|B}\right)^{-1}$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}






Remarquons enfin que $\left( \mathcal{R}_{\mid B}^{-1}\right) _{\mid A}^{-1}=\left( A,B,G_{%
\mathcal{R}}\cap \left( A\times B\right) \right) =\left( \left( \mathcal{R}%
_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}$:



\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{b,c,d,e} }
\foreach \v in {c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(d)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit= (c) (d) ,pin={[pin edge={thick}]A}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]B}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\left(\RR_{|B}^{-1}\right)_{|A}^{-1}$}
\end{figure}


\iutx   Ouh  la   la...  $\left(\left(\RR^{-1}\right)_{|B}\right)^{-1}$,
$\left(\RR_{|B}^{-1}\right)_{|A}^{-1}$...Vous avez plus illisible?

\pro  Bon,  je  suppose  qu'il  faut rallumer  la  Télé.  Résumons:  ici
$\RR=TV$,       prenons       $A=\bigl\{$Berthe,Gudrun$\bigr\}$       et
$B=\bigl\{$Gulli$\bigr\}$.


$\left(\RR^{-1}\right)_{|B}=\bigl\{$(Gulli,Roger),(Gulli,Berthe),(Gulli,Gudrun)$\bigr\}$:
il s'agit des couples satisfaisant à \og Gulli est regardé par...\fg{}.

Maintenant,      $\left(\left(\RR^{-1}\right)_{|B}\right)^{-1}$      est
l'ensemble des couples satisfaisant à \og ... regarde Gulli\fg{}.

\iutx      
$\left(\left(\RR^{-1}\right)_{|B}\right)^{-1}=\bigl\{$(Roger,Gulli),(Berthe,Gulli),(Gudrun,Gulli)$\bigr\}$.
 On met les couples à l'envers. Ça,
ça va.

\pro  Bien.  Ensuite, point  de  vue  notation,  $\RR_{|B}^{-1}$ est  un
diminutif de $\left(\RR^{-1}\right)_{|B}$: c'est la même chose. 

On                   a                   donc                   toujours
$\RR^{-1}_{|B}=\bigl\{$(Gulli,Roger),(Gulli,Berthe),(Gulli,Gudrun)$\bigr\}$.

Alors $\left(\RR^{-1}_{|B}\right)_{|A}^{-1}$  est l'ensemble des couples
satisfaisant à  \og ...regarde Gulli\fg{}  sachant que l'on  ne s'occupe
que des filles.

 Ainsi $\left(\RR^{-1}_{|B}\right)_{|A}^{-1}=\bigl\{$(Berthe,Gulli),(Gudrun,Gulli)$\bigr\}$. 


C'est bien la même chose que $\left( \left( \mathcal{R}%
_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}$ quand on y pense...

\iutx Mouais...

\subsection{N\'{e}gation, inclusion, union, intersection}


Une relation $\mathcal{R}$ de $E$ vers $F$ \'{e}tant assimil\'{e}e \`{a} un
ensemble, une partie de $E\times F,$ on est naturellement amen\'{e} \`{a}
utiliser les op\'{e}rations ensemblistes \'{e}l\'{e}mentaires.

Dans ce qui suit $\mathcal{R}_{1}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}_{1}}\right) $ et 
$\mathcal{R}_{2}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}_{2}}\right) $ sont deux relations
de  $E$ vers  $F$  et  $R_{1}$ et  $R_{2}$  sont, respectivement,  leurs
matrices\footnote{En  première  lecture,  nous  laisserons  de  côté  le
  calcul matriciel qui exige également de connaître dans ce cas précis le calcul booléen et le
  corps $\bm{F_2}$}.

\subsubsection{Négation}

\begin{definition}
La \textbf{n\'{e}gation} de $\mathcal{R}_{1}$ (on dit aussi le compl%
\'{e}mentaire de $\mathcal{R}_{1}$) est la relation: 
$$
\overline{\mathcal{R}_{1}}=\left( E,F,\complement_{E\times F}G_{%
\mathcal{R}_{1}}\right)
$$
\end{definition}

Cela signifie tout simplement que $x\overline{\mathcal{R}_{1}}y$ si, et
seulement si, $\left( x,y\right) \notin G_{\mathcal{R}_{1}}$ ou encore que $%
x $ n'est pas en relation avec $y$ par $\mathcal{R}_{1}$. 

La relation $%
\overline{\mathcal{R}_{1}}$ est aussi not\'{e}e $\lnot \mathcal{R}_{1}.$ 

\pro Par exemple ici, Berthe $TV^{-1}$ TF1: Berthe ne regarde pas TF1.

\iutx Elle a raison.

\begin{extra}[Après l'étude du calcul booléen]
 La
matrice bool\'{e}enne de $\overline{\mathcal{R}_{1}}$ s'obtient en rempla%
\c{c}ant dans la matrice bool\'{e}enne de $\mathcal{R}_{1}$ les \og 0\fg{} par des
\og 1\fg{} et les \og 1\fg{} par des \og 0\fg{}. Cela revient \`{a} ajouter 1 \`{a} chaque \'{e}%
l\'{e}ment de la matrice de $\mathcal{R}_{1},$ les calculs se faisant modulo
2 $\left( \text{i.e. }1+1=0\right)$.
\end{extra}





\subsubsection{Inclusion}


\begin{definition}
On dit que la relation $\mathcal{R}_{1}$ est incluse dans la relation $%
\mathcal{R}_{2}$ ou que la relation $\mathcal{R}_{1}$ est une \textbf{sous
relation} de la relation $\mathcal{R}_{2}$ si, et seulement si, $G_{\mathcal{%
R}_{1}}\subseteq G_{\mathcal{R}_{2}}.$ Cela signifie que 
$$
x\mathcal{R}_{1}y\Rightarrow x\mathcal{R}_{2}y
$$
et on \'{e}crit alors $\mathcal{R}_{1}\subseteq \mathcal{R}_{2}$.
\end{definition}


Attention! Si $A$ est une partie propre de $E,$ la restriction de $\mathcal{R%
}_{1}$ \`{a} $A$ n'est pas incluse dans $\mathcal{R}_{1}$ tout simplement
parce que$\mathcal{R}_{1\mid A}$ n'est pas une relation de $E$ vers $F$ mais
de $A$ vers $F$ ; par contre, la relation 
$$
\mathcal{R}_{1}^{\prime }=\left( E,F,G_{\mathcal{R}_{1}^{\prime }}=G_{%
\mathcal{R}_{1}}\cap \left( A\times F\right) \right)
$$

est incluse dans $\mathcal{R}_{1},$ c'est une sous relation de $\mathcal{R}%
_{1}.$ Visuellement, une sous relation est obtenue en \og supprimant\fg{} des fl%
\`{e}ches :%





\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_1$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
%\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
%\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_2$ est une sous-relation de $\RR_1$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}


\pro Pour être plus concret, modifions un peu notre exemple télévisuel en supposant
qu'on peut maintenant regarder plusieurs chaînes de télévision. 

Par exemple, posons à présent TV2$=\bigl\{$Roger $\mapsto$ Gulli, Berthe $\mapsto$ Gulli,
Berthe $\mapsto$ Zen TV,
  Jean-Pierre $\mapsto$ Zen TV, Gudrun $\mapsto$ Gulli, Gudrun $\mapsto$
  TF1, Gudrun $\mapsto$ Zen TV$\bigr\}$.

Alors $TV\subseteq TV2$. 



\begin{extra}[Après l'étude du calcul booléen]
Matriciellement cela se traduit par le fait que tous les \og $1$\fg{} de la matrice 
$R_{1}$ sont aussi des \og 1\fg{} de la matrice $R_{2}$ ce qui donne, en utilisant
le calcul bool\'{e}en $\left( 1+1=1\right) $ :%
$$
\mathcal{R}_{1}\subseteq \mathcal{R}_{2}\Leftrightarrow R_{1}+R_{2}=R_{2}
$$
\end{extra}




\begin{notation}[Méthode B]
Voici les notations utilis\'{e}es en m\'{e}thode B, $\mathcal{R}$ d\'{e}%
signant une relation de $E$ vers $F$. 

\textbf{Obligatoirement }$A\subseteq E$ \textbf{et} $B\subseteq F$.

\begin{itemize}
\item \textit{La relation }$\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\cap \left( A\times
F\right) \right) $\textit{\ est not\'{e}e }$A\vartriangleleft \mathcal{R},$%
\textit{\ c'est une sous relation de }$\mathcal{R}$\textit{\ et les
informaticiens parlent de \og restriction de domaine\fg{}.}

\item \textit{La relation }$(E,F,G_{\mathcal{R}}\cap (E\times B))$\textit{\
est not\'{e}e }$\mathcal{R}\vartriangleright B,$\textit{\ c'est une sous
relation de }$\mathcal{R}$\textit{et les informaticiens parlent de
\og restriction de codomaine\fg{}.}

\item \textit{La relation }$\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\cap \left( A\times
B\right) \right) $\textit{\ est not\'{e}e }$A\vartriangleleft \mathcal{R}%
\vartriangleright B$\textit{, c'est une sous relation de }$\mathcal{R}\ $%
\textit{et les informaticiens parlent de \og restriction de domaine et de
codomaine\fg{}.}
\end{itemize}
\end{notation}


\subsubsection{Réunion et intersection}


\begin{definition}
 La \textbf{r\'{e}union} de $\mathcal{R}_{1}$ et de $\mathcal{R}%
_{2}$ est la relation $\mathcal{R}_{1}\cup \mathcal{R}_{2}=\left( E,F,G_{%
\mathcal{R}_{1}}\cup G_{\mathcal{R}_{2}}\right) .$

 L'\textbf{intersection} de $\mathcal{R}_{1}$ et de $\mathcal{R}%
_{2}$ est la relation $\mathcal{R}_{1}\cap \mathcal{R}_{2}=\left( E,F,G_{%
\mathcal{R}_{1}}\cap G_{\mathcal{R}_{2}}\right) .$
\end{definition}

Cela revient en fait à ajouter ou à enlever des flèches.

\begin{DANGER}
On notera bien que l'on ne peut comparer ou faire l'union ou l'intersection
de deux relations qu'\`{a} la condition qu'elles aient le m\^{e}me ensemble
de d\'{e}part et le m\^{e}me ensemble d'arriv\'{e}e.
\end{DANGER}


\begin{extra}[Après l'étude du calcul booléen]
La matrice bool\'{e}enne
de $\mathcal{R}_{1}\cup \mathcal{R}_{2}$ est $R_{1}+R_{2}.$

 La matrice bool\'{e}een
de $\mathcal{R}_{1}\cap \mathcal{R}_{2}$ s'obtient \og en ne gardant que les 1
qui ont la m\^{e}me place\fg{} dans $R_{1}$ et $R_{2}.$

 Si on veut l'obtenir
par le calcul on peut proc\'{e}der ainsi (c'est tout de m\^{e}me un peu
compliqu\'{e}) : on utilise une des lois de De Morgan, \`{a} savoir que le
compl\'{e}mentaire d'une union est \'{e}gale \`{a} l'intersection des compl%
\'{e}mentaires, $\overline{\overline{\mathcal{R}_{1}}\cup \overline{\mathcal{%
R}_{2}}}=\mathcal{R}_{1}\cap \mathcal{R}_{2}.$ On rajoute donc \textbf{%
(modulo 2)} 1 \`{a} chaque \'{e}l\'{e}ment des matrices $R_{1}$ et $R_{2},$
on fait alors la \textbf{somme} \textbf{bool\'{e}enne} des r\'{e}sultats
obtenus et on ajoute alors \textbf{(modulo 2)} 1 \`{a} chaque \'{e}l\'{e}%
ment de cette somme.
\end{extra}


Rien  ne vaut  un bon  exemple...Considérons deux  relations  $\RR_1$ et
$\RR_2$:





\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
%\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_1$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(de)
\Edge(c)(de)
%\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
\Edge(d)(ga)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_2$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}

On remarque qu'aucune n'est incluse dans l'autre et on obtient:%




















\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(al)
\Edge(a)(de)
\Edge(b)(al)
\Edge(b)(be)
\Edge(b)(ga)
\Edge(b)(de)
\Edge(c)(al)
\Edge(c)(be)
\Edge(c)(ga)
\Edge(c)(de)
\Edge(d)(al)
\Edge(d)(be)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(al)
\Edge(e)(be)
\Edge(e)(ga)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\overline{\RR_1}$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
%\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
%\Edge(a)(be)
\Edge(a)(de)
\Edge(c)(de)
%\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
%\Edge(d)(ga)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_{1}\cup\RR_2$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
%\Edge(a)(ga)
%\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
%\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR_1\cap\RR_2$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}



\pro  Rallumons la  télé  mais  cette fois  en  distinguant les  chaînes
regardées le midi de celles regardées le soir:

TVmidi$=\bigl\{$Roger $\mapsto$ Gulli, Berthe $\mapsto$ Gulli,
Berthe $\mapsto$ Zen TV, Jean-Pierre $\mapsto$ Zen TV, Gudrun $\mapsto$ Gulli, Gudrun $\mapsto$
  TF1, Gudrun $\mapsto$ Zen TV$\bigr\}$.

TVsoir=$=\bigl\{$Roger $\mapsto$ TF1, Berthe $\mapsto$ Gulli,
Berthe $\mapsto$ TF1,
  Jean-Pierre $\mapsto$ TF1, Gudrun $\mapsto$ Gulli, Gudrun $\mapsto$
  TF1$\bigr\}$.


Comment  décririez-vous les  relations  TVmidi $\cap$  TVsoir et  TVmidi
$\cup$ TVsoir?

\iutx Je me souviens de mes cours de probas: $\cap$ c'est \og et\fg{} et
$\cup$ c'est \og ou\fg{} donc:
\begin{itemize}
\item  TVmidi  $\cap$  TVsoir  c'est   \og  ...regarde  le  midi  et  le
  soir ...\fg{};
\item  TVmidi  $\cup$  TVsoir  c'est   \og  ...regarde  le  midi  ou  le
  soir ...\fg{};
\end{itemize}

\pro Parfait. Cela donne:

\begin{itemize}
\item TVmidi  $\cap$  TVsoir$=\bigl\{$ Berthe $\mapsto$ Gulli,
  Gudrun $\mapsto$ Gulli, Gudrun $\mapsto$
  TF1$\bigr\}$;
\item  TVmidi  $\cup$   TVsoir$=\bigl\{$Roger  $\mapsto$  Gulli,  Berthe
  $\mapsto$  Gulli,Berthe  $\mapsto$   Zen  TV,  Berthe  $\mapsto$  TF1,
  Jean-Pierre $\mapsto$ Zen TV,  Jean-Pierre $\mapsto$ TF1,
  Gudrun $\mapsto$ Gulli, Gudrun $\mapsto$
  TF1, Gudrun $\mapsto$ Zen TV$\bigr\}$;
\end{itemize}
\subsection{Composition de relations}




\begin{definition}
$\mathcal{R}=(E,F,G_{\mathcal{R}})$ et $\mathcal{S}=(U,V,G_{\mathcal{S}})$
sont deux relations. La \textbf{composition} (ou la compos\'{e}e) de $%
\mathcal{R}$ par $\mathcal{S}$ (attention \`{a} l'ordre) \textbf{ne peut se
faire que si} $F=U$ ou, si l'on pr\'{e}f\`{e}re, que si l'ensemble d'arriv%
\'{e}e de $\mathcal{R}$ est \'{e}gal \`{a} l'ensemble de d\'{e}part de $%
\mathcal{S}$. Dans ce cas la compos\'{e}e de $\mathcal{R}$ par $\mathcal{S}$
est la relation not\'{e}e $\mathcal{S}\circ \mathcal{R}$ qui a pour ensemble
de d\'{e}part $E$ (l'ensemble de d\'{e}part de $\mathcal{R}$), pour ensemble
d'arriv\'{e}e $V$ (l'ensemble d'arriv\'{e}e de $\mathcal{S}$) et pour graphe 
$G_{\mathcal{S}\circ \mathcal{R}}$ qui est l'ensemble des couples $\left(
x,z\right) $ de $E\times V$ tel qu'il existe au moins un $y\in F$ v\'{e}%
rifiant $\left( x,y\right) \in G_{\mathcal{R}}$ \textbf{et} $\left(
y,z\right) \in G_{\mathcal{S}}.$
\end{definition}

Pour simplifier les choses, $\mathcal{S}\circ \mathcal{R}$ est aussi not\'{e}e $\mathcal{R}\mathbf{.}%
\mathcal{S}$ ou bien encore $\mathcal{R};\mathcal{S}$ (attention \`{a}
l'ordre!). En effet, si $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{S}z$ il est plus
\og naturel\fg{}  d'\'{e}crire $x\mathcal{R}.\mathcal{S}z$. Sans compter
que la paresse am\`{e}ne souvent \`{a} noter la relation $\mathcal{R}\mathbf{.}%
\mathcal{S}$ par $\mathcal{RS}$...

\textbf{Nous utiliserons  plutôt un  symbole largement utilisé  en informatique:}
\og $\bm{\RR}$ \textbf{suivi de} $\bm{\SR}$ \fg{} \textbf{sera noté} $\bm{\RR} \suivi \bm{\SR}$.


\begin{DANGER}
Il est imp\'{e}ratif qu'\`{a} chaque fois que vous aurez \`{a} manipuler la
composition de deux relations, vous vous assuriez de son existence ! C'est tr%
\`{e}s clair, pour que $\mathcal{S\circ R}=\mathcal{R}\suivi\mathcal{S}$
existe ou ait un sens il est obligatoire que l'ensemble d'arriv\'{e}e de $%
\mathcal{R}$ \textbf{co\"{\i}ncide exactement} avec l'ensemble de d\'{e}part
de $\mathcal{S}$ ; il est vrai que, math\'{e}matiquement parlant, on
pourrait avoir une d\'{e}finition de la composition moins restrictive, mais
l'informatique, qui utilise ces math\'{e}matiques, impose la d\'{e}fnition
que nous avons donn\'{e}e.
\end{DANGER}


Le mieux est encore d'analyser un exemple:





\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d,e}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,fill=green!10,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F=U}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\RR$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{1,2,3,4,5} }
\foreach \v in {1,2,3,4,5}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(be)(2)
\Edge(be)(4)
\Edge(ga)(5)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=red,fill=red!20,,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(1) (2) (3) (4) (5),pin={[pin edge={thick}]V}] {};
\node[draw=black,fill=green!10,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]U=F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\SR$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d,e}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de,ep} }
\foreach \v/\n in {al/1,be/2,ga/3,de/4,ep/5}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(de)
\Edge(a)(ep)
\Edge(c)(ep)
\Edge(d)(ep)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=red,fill=red!20,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de) (ep),pin={[pin edge={thick}]V}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$\SR \circ \RR$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}




\begin{extra}[Après l'étude du calcul booléen]
Si $R$ est la matrice de $\mathcal{R}$ et $S$ la matrice de $\mathcal{S}$
alors $R\times S$ est la matrice de $\mathcal{S\circ R}$ \textbf{(attention 
\`{a} l'ordre)}$,$ les calculs se faisant dans l'alg\`{e}bre de boole
binaire $\mathcal{B}_{2},$ c'est-\`{a}-dire avec \og $1+1=1$\fg{}. Le produit $%
R\times S$ est alors qualifi\'{e} de multiplication bool\'{e}enne.

\vspace{0.3cm}

Quant à l'exemple précédent, matriciellement nous avons:%
\begin{equation*}
R=\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 1 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 1%
\end{array}%
\right) ,S=\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right),
R\times S=\left( 
\begin{array}{ccccc}
0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right)
\end{equation*}%

\end{extra}

\begin{theoreme}[Pseudo associativit\'{e}]
On retiendra que si 
 $\mathcal{R=}\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) ,\mathcal{S}=\left( F,V,G_{%
\mathcal{S}}\right) \text{ et }\mathcal{T}=\left( V,W,G_{\mathcal{T}}\right)
$
alors:
$$
\mathcal{T}\circ \left( \mathcal{S}\circ \mathcal{R}\right) =\left( 
\mathcal{T}\circ \mathcal{S}\right) \circ \mathcal{R} 
\text{ ou }\left( \mathcal{R}\suivi\mathcal{S}\right) \suivi\mathcal{T} =\mathcal{R}%
\suivi\left( \mathcal{S}\suivi\mathcal{T}\right)
$$
\end{theoreme}


Cette propri\'{e}t\'{e} porte le nom de pseudo associativit\'{e} car on ne peut consid\'{e}rer la composition des relations comme une
loi de composition interne, nous n'avons pas encore fix\'{e} \og de cadre\fg{}
pour cette op\'{e}ration.



\begin{recherche}
Que pensez de  $\RR^{-1}\circ \RR$ ou de $\RR  \circ \RR^{-1}$? Regardez
ce que cela donne avec la relation $\RR$ introduite précédemment.

Vérifiez, en  deuxième lecture, que la méthode  matricielle est efficace
dans ce cas.
\end{recherche}



On notera aussi que la relation r\'{e}ciproque de $\mathcal{S\circ R}$ est $%
\mathcal{R}^{-1}\circ \mathcal{S}^{-1}$:%
$$
\left( \mathcal{S}\circ \mathcal{R}\right) ^{-1}=\mathcal{R}^{-1}\circ 
\mathcal{S}^{-1}\text{ ou }\left( \mathcal{R}\suivi \mathcal{S}\right) ^{-1}=%
\mathcal{S}^{-1}\suivi\mathcal{R}^{-1}
$$



\begin{theoreme}
Lorsque cela a un sens, la composition est distributive par rapport (ou
pour) l'union:
$$
\left\{ 
\begin{array}{c}
\mathcal{R\circ }\left( \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2}\right) =\left( 
\mathcal{R\circ S}_{1}\right) \cup \left( \mathcal{R\circ S}_{2}\right) \\ 
\left( \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2}\right) \circ \mathcal{R}=\left( 
\mathcal{S}_{1}\circ \mathcal{R}\right) \cup \left( \mathcal{S}_{2}\circ 
\mathcal{R}\right)%
\end{array}%
\right.
$$


La composition est compatible avec l'inclusion, en ce sens que, si les
compositions ont un sens:
$$
\left\{ 
\begin{array}{c}
\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}\Rightarrow \mathcal{R}\circ \mathcal{T}%
\subseteq \mathcal{S}\circ \mathcal{T} \\ 
\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}\Rightarrow \mathcal{T}\circ \mathcal{R}%
\subseteq \mathcal{T}\circ \mathcal{S}%
\end{array}%
\right.
$$


Lorsque cela a un sens:
$$
\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}\text{ et }\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U}%
\Rightarrow \left( \mathcal{R}\circ \mathcal{T}\subseteq \mathcal{S}\circ 
\mathcal{U}\text{ et }\mathcal{T}\circ \mathcal{R}\subseteq \mathcal{U}\circ 
\mathcal{S}\right)
$$
\end{theoreme}


\iutx On allume la Télé?

\pro Allez,  on va changer un  peu. Cette fois  considérons des animaux,
leurs petits noms et leurs cris:

\begin{itemize}
\item   Baptême=$\bigl\{$            alouette$\mapsto$Josette,
  alouette$\mapsto$Pépette,                     albatros$\mapsto$Bernard,
  bécasse$\mapsto$Germaine$\bigr\}$;
\item   Cri=$\bigl\{$Josette$\mapsto$turlute,   Josette$\mapsto$grisole,
  Pépette$\mapsto$turlute, Bernard$\mapsto$piaule, Germaine$\mapsto$croule$\bigr\}$
\end{itemize}

Quelle est la tête de Baptême $\suivi$ Cri et comment l'interpréter?

\iutxap{Il a  une case.  D'où il sort  des noms pareils?}  Fastoche mais
vous  manquez  de rigueur:  il  faut  préciser  sur quels  ensembles  on
travaille.

Par exemple, appelons:

\begin{itemize}
\item Noms$=\bigl\{$Josette, Pépette, Bernard, Germaine$\bigr\}$;
\item Animaux$=\bigl\{$alouette, albatros, bécasse$\bigr\}$;
\item Bruits$=\bigl\{$turlutte, grisole, piaule, croule$\bigr\}$.
\end{itemize}

Alors $\text{Baptême}  \in \text{Animaux}\leftrightarrow\text{Noms}$ et $\text{Cri}\in \text{Noms}\leftrightarrow \text{Bruits}$. 


On peut donc bien définir $\text{Baptême}\suivi\text{Cri}\in\text{Animaux}
\leftrightarrow \text{Bruits}$.

Alors $\text{Baptême}\suivi \text{Cri} =\bigl\{$ alouette$\mapsto$turlute,
  alouette$\mapsto$grisole, albatros$\mapsto$piaule,
  bécasse$\mapsto$croule$\bigr\}$.

Ceci nous donne le nom des cris de certains animaux.

\pro Vous  progressez à vue d'\oe  il: bravo! Alors je  peux vous poser
des petites questions subsidiaires que vous résoudrez pendant vos temps libres...

\begin{recherche}
\begin{enumerate}
\item Calculez $\bigl\{\text{alouette, albatros}\bigr\} \triangleleft (\text{Baptême}\suivi \text{Cri})$;
\item Calculez $\left(\bigl\{\text{alouette, albatros}\bigr\}\triangleleft
    \text{Baptême}\right)\suivi  \text{Cri}$.
\end{enumerate}
\end{recherche}
\subsection{Fonctions, applications}

\subsubsection{Définition}

\begin{definition}
On dit que \textbf{la relation} $f=(E,F,G_{f})$ est une \textbf{fonction}
(ou une d\'{e}pendance fonctionnelle) de $E$ vers (ou dans) $F$ si, et
seulement si, tout \'{e}l\'{e}ment de $E$ a \textbf{au plus} (cela veut dire
: soit z\'{e}ro ou une) une image dans $F$. 
\end{definition}


 Cela signifie aussi que si $x$
est un \'{e}l\'{e}ment quelconque de $E,$ $f\left( \left\{ x\right\} \right) 
$ est soit l'ensemble vide soit un singleton. Si $x$ a au moins une image,
c'est-\`{a}-dire s'il existe $y\in F$ tel que $\left( x,y\right) \in G_{f},$ 
$y$ est forc\'{e}ment unique et est not\'{e} $f(x).$ Lorsque la relation $%
f=(E,F,G_{f})$ est une fonction on pr\'{e}f\`{e}re le plus souvent utiliser
la notation:
$$
 f\colon \begin{array}{rll} E & \to & F\\
   x & \mapsto & f(x)=y
 \end{array}
 $$

qui se lit \og $f$ est une fonction de $E$ dans $F$ qui \`{a} $x$ associe $%
f(x)$ \fg{}. On note $\mathcal{F}(E,F)$ ou $F^{E}$ l'ensemble des fonctions de $%
E $ dans $F$.

Lorsque $E$ est de la forme $U^{n}=U\times U\times \ldots \times U,$ on dit
que la fonction de $U^{n}$ dans $F$ est une fonction de $n$ variables%

$$
 f\colon \begin{array}{rll} U^n & \to & F\\
   (u_1,u_2,...,u_n) & \mapsto & f(u_1,u_2,...,u_n)
 \end{array}
 $$

et $u_{i}$ est appel\'{e}e la $i^{\grave{e}me}$ variable de $f.$



Si la fonction $f=(E,F,G)$ v\'{e}rifie $\limfunc{dom}\left( f\right) =E$ on
dit que $f$ est une \textbf{application} de $E$ dans $F$ ou encore une 
\textbf{fonction} \textbf{totale} de $E$ dans $F.$ Une application est donc
une fonction (donc aussi une relation) qui poss\`{e}de la propri\'{e}t\'{e}
suivante : tout \'{e}l\'{e}ment de l'ensemble de d\'{e}part a une et une
seule image dans l'ensemble d'arriv\'{e}e. Si $f$ est une fonction, sa
restriction \`{a} son domaine (= son ensemble de d\'{e}finition) est une
application. C'est pourquoi, en analyse, on confond souvent ces deux notions
; nous vous demandons de ne plus le faire. Il faut aussi reconna\^{\i}tre
que la tradition fran\c{c}aise n'est pas tr\`{e}s claire, on entend parler
des fonctions polyn\^{o}mes, de la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien mais
aussi d'applications lin\'{e}aires et d'applications r\'{e}ciproques sans
nous dire pourquoi dans un cas on utilise le mot \og fonction\fg{} et dans un
autre le mot \og application\fg{}. Il faut bien se rendre compte que les fonctions
sont de vulgaires relations qui poss\`{e}dent tout simplement une propri\'{e}%
t\'{e} int\'{e}ressante. On note $\mathcal{A}(E,F)$ l'ensemble des fonctions
totales (applications) de $E$ vers $F.$



\begin{recherche}


\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$f$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick},] 
\SetGraphUnit{0.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertices[dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e}
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
%\Edge(a)(ga)
\Edge(c)(ga)
\Edge(d)(ga)
%\Edge(d)(de)
\Edge(e)(de)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$g$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}



Des commentaires en termes de fonctions ou d'applications?
\end{recherche}



\begin{theoreme}
La composition de fonctions est une fonction et la composition
d'applica\-tions est une application.
\end{theoreme}




\subsubsection{Fonctions particuli\`{e}res}

On est tr\`{e}s souvent amen\'{e} \`{a} utiliser des m\^{e}mes \og types\fg{} de
fonctions, il est alors naturel de fixer un certain vocabulaire pour \'{e}%
viter \`{a} chaque fois de red\'{e}finir ces fonctions.








\paragraph{Projection canonique}

La fonction totale (l'application) 
$$
p_{i}:E_{1}\times E_{2}\times \ldots \times E_{n}\longrightarrow E_{i}
$$%
d\'{e}finie par $p_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{i}$ est appel\'{e}e
projection canonique de 
$$
E_{1}\times E_{2}\times \ldots \times E_{n}\text{ sur }E_{i}
$$%
Si tous les $E_{i}$ sont \'{e}gaux au m\^{e}me ensemble $E,$ $p_{i}$ est
appel\'{e}e la $i^{\grave{e}me}$ projection.

\paragraph{Application identique}

La fonction totale (l'application) d\'{e}finie sur $E$ par 
$$
 \limfunc{Id}_E\colon \begin{array}{rll} E & \to & E\\
   x & \mapsto & x
 \end{array}
$$%
est l'application identique dans $E$ ou l'application identique de $E,$ on
la note aussi $id_{E}$ ou $id$ si aucune confusion n'est possible.

\paragraph{Composition r\'{e}it\'{e}r\'{e}e}

Si $f$ est une fonction totale de $E$ dans $E,$ on note $f^{k}$ la
composition 
$$
\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}
$$%
si $k$ est un entier naturel non nul et, par convention, $f^{0}=id_{E}.$ Si $%
f^{-1}$ est une fonction on note de m\^{e}me%
$$
f^{-k}=\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{f^{-1}\circ f^{-1}\circ \cdots
\circ f^{-1}}}
$$%
et on remarquera que $f^{-k}=\left( f^{k}\right) ^{-1}.$

\paragraph{Application caract\'{e}ristique}

Nous l'avons d\'{e}j\`{a} pr\'{e}sent\'{e}e et utilis\'{e}e, redonnons la d%
\'{e}finition $\ :$ $A$ est une partie de l'ensemble $E,$ l'application
caract\'{e}ristique de $A$ dans $E$ est la fonction totale $\indi{A}$ d%
\'{e}finie par%
$$
 \indi{A}\colon \begin{array}{rll} E & \to & \bigl\{0,1\bigr\}\\
   x &  \mapsto & \begin{cases}  1 \text{  si } x\in  A\\ 0 \text{  si }
     x\not \in A \end{cases}
 \end{array}
$$

\paragraph{Fonction constante}

La fonction totale (application) $f=\left( E,F,G_{f}\right) $ est dite
constante lorsque $\func{Im}\left( f\right) $ est un singleton:




\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(be)
\Edge(c)(be)
\Edge(d)(be)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Fonction constante}
\end{figure}






\paragraph{Lois de composition}

On appelle loi de composition ou op\'{e}ration dans $E$ toute fonction de $%
A\times E$ dans $E.$ Si $A=E,$ on dit que la loi est une loi de composition
interne, sinon on parle de loi de composition externe ou loi mixte. Si la
loi est une application on dit qu'elle est partout d\'{e}finie. Si $f$ est
une telle loi de composition et $(a,x)\in A\times E,$ on note $f\left(
(a,x)\right) $ par $a\circledcirc x$ ou $a\ast x$ ou $a\boxplus x$ ou $%
a\boxdot x$ ou $a+x$ ou $ax$ ou $\ldots .$ On choisit le symbole le mieux
adapt\'{e} aux circonstances ou au contexte.

\begin{exemple}
La multiplication d'un vecteur $\vec{u}$ du plan par un r\'{e}el $\lambda ,$ 
$\lambda .\vec{u}$ ou $\lambda \vec{u},$ est une loi de composition externe. 
$E$ d\'{e}signant un ensemble, l'union $\cup $ est une loi de composition
interne dans $\mathcal{P}\left( E\right) .$
\end{exemple}

\paragraph{Injection}

La fonction totale ou application $f:E\longrightarrow F$ (on a donc $%
\limfunc{dom}\left( f\right) =E$) est \textbf{injective} ou est une
injection si, et seulement si, tout \'{e}l\'{e}ment de $F$ a au plus un ant%
\'{e}c\'{e}dent. Cette d\'{e}finition \'{e}quivaut \`{a} dire que :

\begin{itemize}
\item $f^{-1}$ est une fonction.

\item il n'existe pas deux \'{e}l\'{e}ments diff\'{e}rents de $E$ qui ont la
m\^{e}me image dans $F.$ En d'autres termes deux \'{e}l\'{e}ments diff\'{e}%
rents ont toujours des images diff\'{e}rentes.

\item il n'existe pas d'\'{e}l\'{e}ment de $F$ ayant plus d'un ant\'{e}c\'{e}%
dent.
\end{itemize}

Math\'{e}matiquement cela s'\'{e}crit : 
\begin{eqnarray*}
f\text{ injective} &\Leftrightarrow &\forall (x,x^{\prime })\in E^{2},\left(
x\neq x^{\prime }\Rightarrow f(x)\neq f(x^{\prime })\right) \\
f\text{ injective} &\Leftrightarrow &\forall (x,x^{\prime })\in E^{2},\left(
f(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x=x^{\prime }\right)
\end{eqnarray*}

%\begin{exemple}
La fonction totale de $E$ dans $F$:



\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(de)
\Edge(c)(al)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) ,pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Injection}
\end{figure}

est une injection et sa relation r\'{e}ciproque est une fonction (ici, non
totale).
%\end{exemple}

\begin{remarque}
Il est clair que si $E$ a plus d'\'{e}l\'{e}ments que $F,$ il est impossible
de construire une fonction totale injective de $E$ dans $F.$
\end{remarque}

\begin{remarque}
Si $A$ est une partie non vide de $E$ l'application 
$$
i\colon \begin{array}{rll} A & \to & E\\
   x & \mapsto & x
 \end{array}
$$%
est appel\'{e}e injection canonique de $A$ dans $E$. C'est aussi la
restriction de l'application identique de $E$ \`{a} $A.$
\end{remarque}

Indiquons quelques propri\'{e}t\'{e}s :

\begin{itemize}
\item La composition d'applications injectives est une injection. La d\'{e}%
monstration est \'{e}l\'{e}mentaire.

\item Si $g\circ f$ est injective, $g$ et $f$ \'{e}tant des applications,
alors $f$ est forc\'{e}ment injective. En effet, si $f$ n'\'{e}tait pas
injective, il existerait alors au moins deux \'{e}l\'{e}ments distincts $x$
et $x^{\prime }$ de l'ensemble de d\'{e}part de $f$ v\'{e}rifiant $f\left(
x\right) =f\left( x^{\prime }\right) $ et du coup on aurait $g\circ f\left(
x\right) =g\circ f\left( x^{\prime }\right) $, c'est-\`{a}-dire $g\circ f$
non injective.
\end{itemize}

\begin{remarque}
Peut-on parler de fonction injective ? D'apr\`{e}s la d\'{e}finition que
nous avons donn\'{e}e, la r\'{e}ponse est oui si cette fonction est totale. N%
\'{e}anmoins certains usages autorisent le label d'injectif aux fonctions
non totales dont la restriction \`{a} leur domaine de d\'{e}finition est une
application injective.
\end{remarque}

\paragraph{Surjection}

La fonction totale ou application $f:E\longrightarrow F$ (on a donc $%
\limfunc{dom}\left( f\right) =E$) est \textbf{surjective} ou est une
surjection de $E$ dans\textbf{\footnote{%
Lorsque $f$ est une fonction totale surjective de $E$ dans ou vers $F,$ on a
l'habitude de dire que $f$ est une fonction totale surjective de $E$ \textbf{%
sur} $F.$}} $F$ si, et seulement si, tout \'{e}l\'{e}ment de $F$ a au moins
un ant\'{e}c\'{e}dent. Cela \'{e}quivaut \`{a} \'{e}crire que $\func{Im}%
(f)=F $ ou que $f\left( E\right) =F$ ou encore que la relation r\'{e}%
ciproque de $f $ est une relation totale.

%\begin{exemple}
L'application ou fonction totale suivante:%





\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(be)
\Edge(c)(al)
\Edge(d)(ga)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) ,pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Surjection}
\end{figure}





est une surjection, sa relation r\'{e}ciproque est totale et n'est pas, ici,
une fonction.
%\end{exemple}

\begin{remarque}
L'exemple pr\'{e}c\'{e}dent nous montre que si $F$ a plus d'\'{e}l\'{e}ments
que $E$, il est impossible de construire une fonction totale surjective de $%
E $ dans (ou sur) $F.$
\end{remarque}

Indiquons quelques propri\'{e}t\'{e}s :

\begin{itemize}
\item La composition de surjections est une surjection, la d\'{e}monstration
est \'{e}vidente.

\item Si $g\circ f$ est surjective, $g$ et $f$ \'{e}tant des applications,
alors $g$ est forc\'{e}ment surjective. Supposons que $f$ est une
application de $E$ dans $F$ et $g$ une application de $F$ dans $G.$ Il nous
faut d\'{e}montrer que tout \'{e}l\'{e}ment $z$ de $G$ a au moins un ant\'{e}%
c\'{e}dent par $g$ dans $F,$ c'est facile : $g\circ f$ \'{e}tant surjective, 
$z$ a au moins un ant\'{e}c\'{e}dent $x$ dans $E$ , $z=g\circ f\left(
x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) $. Notons $y=f\left( x\right) ,$
nous avons $z=g\left( y\right) $ et $y\in F.$
\end{itemize}

\begin{remarque}
Peut-on parler de fonction surjective ? D'apr\`{e}s la d\'{e}finition que
nous avons donn\'{e}e, la r\'{e}ponse est oui si cette fonction est totale. N%
\'{e}anmoins certains usages autorisent le label de surjectif aux fonctions
non totales dont la restriction \`{a} leur domaine de d\'{e}finition est une
application surjective.
\end{remarque}

\paragraph{Bijection}

La fonction totale $f:E\longrightarrow F$ (on a donc $\limfunc{dom}\left(
f\right) =E$) est \textbf{bijective} ou \textbf{biunivoque} ou est une
bijection si, et seulement si, elle est \`{a} la fois injective et
surjective. Cela \'{e}quivaut \`{a} \'{e}crire que tout \'{e}l\'{e}ment de $%
F $ a un et un seul ant\'{e}c\'{e}dent dans $E$. On remarque imm\'{e}%
diatement que, si $E$ et $F$ sont finis, il ne peut exister de bijection de $%
E$ sur $F$ qu'\`{a} la condition qu'ils aient le m\^{e}me cardinal (le m\^{e}%
me nombre d'\'{e}l\'{e}ments).

Indiquons quelques propri\'{e}t\'{e}s :

\begin{itemize}
\item La composition de bijections est une bijection..

\item Si l'application $f:E\longrightarrow F$ est bijective sa relation r%
\'{e}ciproque, $f^{-1}$, est une application bijective et $f\circ
f^{-1}=Id_{F}$ et $f^{-1}\circ f=Id_{E}$.
\end{itemize}

%\begin{exemple}
L'application suivante: 




\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(ga)
\Edge(c)(al)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) ,pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Bijection}
\end{figure}



est une bijection de $E$ sur $F$ et sa relation r\'{e}ciproque $f^{-1}$ est
une application bijective de $F$ sur $E.$
%\end{exemple}

\begin{remarque}
La notation $f^{-1}(y)$ n'a de sens que si $f^{-1}$ est une fonction avec $%
y\in \limfunc{dom}\left( f^{-1}\right) $, c'est forc\'{e}ment le cas si $f$
est bijective et le r\'{e}sultat est l'unique ant\'{e}c\'{e}dent de $y$.
Vous n'avez pas le droit d'\'{e}crire $f^{-1}(y)$ si $f^{-1}$n'est pas une
fonction. Si vous cherchez les ant\'{e}c\'{e}dents (\'{e}ventuels) de $y$,
il vous suffit de consid\'{e}rer l'ensemble $f^{-1}\left( \left\{ y\right\}
\right) $ et, dans le cas o\`{u} $f$ est bijective, vous obtiendrez toujours
un singleton. Il vous a \'{e}t\'{e} pr\'{e}sent\'{e} la notion de relation r%
\'{e}ciproque et si $f$ est une relation quelconque $f^{-1}$ a un sens,
c'est la relation r\'{e}ciproque de $f,$ mais ce n'est pas forc\'{e}ment une
fonction.
\end{remarque}

%\begin{exemple}
Consid\'{e}rons la relation $f$:%








\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(ga)
\Edge(c)(al)
\Edge(d)(be)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) ,pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Application surjective non injective}
\end{figure}








c'est une fonction totale surjective mais non injective puisque $a$ et $e$
ont la m\^{e}me image. La relation $f^{-1}$ n'est pas une fonction et l'\'{e}%
criture $f^{-1}\left( \alpha \right) $ est interdite. Par contre $%
f^{-1}\left( \left\{ \alpha \right\} \right) =\left\{ b\right\} $ et $%
f^{-1}\left( \left\{ \gamma \right\} \right) =\left\{ a,e\right\} .$
%\end{exemple}

%\begin{exemple}
La relation $g$:%










\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm}  
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de} }
\foreach \v/\n in {al/\alpha,be/\beta,ga/\gamma,de/\delta}{%
\Vertex[Node,L=$\n$]{\v}}   
\Edge(b)(be)
\Edge(b)(ga)
\Edge(c)(al)
\Edge(d)(be)
\begin{pgfonlayer}{background}

\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de),pin={[pin edge={thick}]F}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{$g$ n'est pas une fonction mais $g^{-1}$ l'est.}
\end{figure}











n'est pas une fonction, l'\'{e}criture $g\left( {\rm d}\right) $ est interdite
mais $g\left( \left\{ {\rm d}\right\} \right) =\left\{ \beta \right\} $ et $%
g\left( \left\{ c\right\} \right) =\emptyset .$ La relation $g^{-1}$ est une
fonction, on a donc $g^{-1}\left( \alpha \right) ={\rm c}$ mais l'\'{e}criture $%
g^{-1}\left( \delta \right) $ est interdite car $\delta $ ne fait
pas partie de l'ensemble de d\'{e}finition de la fonction $g^{-1}.$ Par
contre il est exact que $g^{-1}\left( \left\{ \delta \right\} \right)
=\emptyset .$
%\end{exemple}

\paragraph{Permutation}

$E$ \'{e}tant un ensemble fini, on appelle \textbf{permutation} de $E$ toute
bijection $f$ de $E$ sur $E.$ Pour repr\'{e}senter une permutation on
utilise la notation suivante%
$$
f=\left( 
\begin{array}{cccccc}
a & b & c & d & e & f \\ 
c & a & d & f & e & b%
\end{array}%
\right)
$$%
pour exprimer que $a$ a pour image $c$, que $b$ a pour image $a,$ que $c$ a
pour image $d$ , etc \ldots . Une transposition est une permutation qui \'{e}%
change deux \'{e}l\'{e}ments et qui laisse invariants tous les autres :%
$$
\left( 
\begin{array}{cccccc}
a & \mathbf{b} & c & d & e & \mathbf{f} \\ 
a & \mathbf{f} & c & d & e & \mathbf{b}%
\end{array}%
\right)
$$

Une \textbf{permutation circulaire} d'une unit\'{e} vers la gauche des \'{e}l%
\'{e}ments ordonn\'{e}s $a_{1}$, $a_{2}$, $\ldots $, $a_{n}$ (dans cet
ordre) est la permutation%
$$ 
pcg_{1}=\left( 
\begin{array}{cccccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{n} \\ 
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{n} & a_{1}%
\end{array}%
\right)
$$%
et une permutation circulaire de $k$ unit\'{e}s vers la gauche est la
bijection $pcg_{1}^{k}.$ On d\'{e}finit de m\^{e}me une permutation
circulaire de $k$ unit\'{e}s vers la droite. On remarquera que la
permutation circulaire de $k$ unit\'{e}s vers la gauche co\"{\i}ncide avec
la permutation circulaire de $n-k$ unit\'{e}s vers la droite.

\begin{exemple}
Consid\'{e}rons la suite de bits $s=\left( 0,1,1,0,1,1,0,0\right) ,$ notons $%
pcg_{k}$ la permutation circulaire de $k$ unit\'{e}s vers la gauche et $%
pcd_{k}$ la permutation circulaire de $k$ unit\'{e}s vers la droite. Nous
avons :%
\begin{eqnarray*}
pcg_{1}\left( s\right) &=&\left( 1,1,0,1,1,0,0,0\right) \\
pcg_{2}\left( s\right) &=&\left( 1,0,1,1,0,0,0,1\right) =pcg_{1}\left(
pcg_{1}\left( s\right) \right) \\
pcd_{3}\left( s\right) &=&\left( 1,0,0,0,1,1,0,1\right) =pcg_{1}^{5}\left(
s\right)
\end{eqnarray*}%
La suite $s$ comportant 8 \'{e}l\'{e}ments, il est clair que $pcg_{8}\left(
s\right) =pcd_{8}\left( s\right) =s.$
\end{exemple}

































































%%%%%%%%%%%%

\section{Relations binaires sur un ensemble}

\subsection{Au CE1}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.9]{CE1-rel-ens}
\end{center}
%\end{figure}




\subsection{Définition}


\begin{definition}
On appelle \textbf{relation binaire sur l'ensemble} $E$ tout triplet du type 
$$
\mathcal{R}=\left( E,E,G_{\mathcal{R}}\right)
$$

o\`{u} $G_{\mathcal{R}}$ est une partie de $E\times E.$ 
\end{definition}




Une relation binaire
sur l'ensemble $E$ est donc tout simplement une relation "classique"\ qui a
son ensemble de d\'{e}part \'{e}gal \`{a} son ensemble d'arriv\'{e}e \ Nous
allons reprendre rapidement les g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s pour ces relations
et d\'{e}velopper les particularit\'{e}s.

On confond souvent la relation $\mathcal{R}$ avec $G_{\mathcal{R}}$ puisque
c'est la donn\'{e}e de $G_{\mathcal{R}}$ qui d\'{e}finit la relation $%
\mathcal{R}.$ On utilisera les diff\'{e}rentes \'{e}critures : 
$$
(x,y)\in G_{\mathcal{R}}\Leftrightarrow (x,y)\in \mathcal{R}\Leftrightarrow x%
\mathcal{R}y\Leftrightarrow \mathcal{R}(x,y)
$$%
pour exprimer que l'\'{e}l\'{e}ment $x$ de $E$ est en relation avec l'\'{e}l%
\'{e}ment $y$ de $E.$ Lors de l'\'{e}tude des graphes qui correspondent \`{a}
des relations binaires sur l'ensemble $E$, les \'{e}l\'{e}ments de $E$ sont
appel\'{e}s les sommets du graphe $\mathcal{R}$ et les \'{e}l\'{e}ments de $%
G_{\mathcal{R}}$ sont appel\'{e}s des arcs ; si $\left( x,y\right) $ est un
arc, c'est \`{a} dire si $x\mathcal{R}y,$ on utilise le vocabulaire suivant :

\begin{itemize}
\item $x$ est l'extr\'{e}mit\'{e} initiale de l'arc $\left( x,y\right) $ ou $%
x$ est un ant\'{e}c\'{e}dent ou pr\'{e}c\'{e}dent ou pr\'{e}d\'{e}cesseur de 
$y$ ;

\item $y$ est l'extr\'{e}mit\'{e} finale ou terminale de l'arc $\left(
x,y\right) $ ou y est un suivant ou successeur de $x.$
\end{itemize}

\begin{remarque}
Comme l'ensemble de d\'{e}part de la relation $\mathcal{R}$ est \'{e}gal 
\`{a} l'ensemble d'arriv\'{e}e, on convient alors de dire que la relation $%
\mathcal{R}$ est le couple $\left( E,G_{\mathcal{R}}\right) .$ L'ensemble
des relations de $E$ dans $E$ est not\'{e} $E\longleftrightarrow E$ et cet
ensemble peut \^{e}tre confondu avec $\mathcal{P}\left( E\times E\right) .$
Le couple $\mathcal{R}=\left( E,G_{\mathcal{R}}\right) $ est aussi appel\'{e}
graphe orient\'{e} d'ensemble de sommets $E$ et d'ensemble d'arcs $G_{%
\mathcal{R}},$ cette terminologie est utilis\'{e}e pour les graphes.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Si $G_{\mathcal{R}}=\emptyset ,$ la relation est appel\'{e}e la relation
vide de $E$ ou dans $E$. Si $G_{\mathcal{R}}=E\times E,$ la relation est
appel\'{e}e la relation pleine de $E$ qui est parfois not\'{e}e $\Pi _{E}.$
Si $G_{\mathcal{R}}=\left\{ (x,x)\mid x\in E\right\} $ (la diagonale de $%
E\times E),$ la relation est la relation identit\'{e}, ce n'est autre que
l'application identique de $E$ not\'{e}e $Id_{E}$ ou $id_{E}.$
\end{remarque}








\subsection{Repr\'{e}sentations}

On considère un ensemble fini $E$: on peut donc repr\'{e}senter la relation $\mathcal{R}$ \`{a}
l'aide des outils habituels.

Par exemple, considérons la relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie par 
$$
\mathcal{R}=\left( E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} ,G_{\mathcal{R}}=\left\{
\left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left( b,a\right) ,\left( d,b\right)
,\left( c,d\right) ,\left( c,e\right) \right\} \right)
$$


On aurait envie d'utiliser le diagramme sagittal habituel:







\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ every fit/.style={ellipse,draw,thick}] 
\SetGraphUnit{.75cm} 
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] 

\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,
                             shading= ball,
                             ball color= gray!10,
                             minimum size= 15pt,
                             draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=0,y=0,dir=\SO]{line}{a,b,c,d,e} }
\foreach \v in {a,b,c,d,e}{%
\Vertex[Node]{\v}}   
{\SetVertexNoLabel
\Vertices[empty,x=3,y=0,dir=\SO]{line}{al,be,ga,de,ep} }
\foreach \v/\n in {al/a,be/b,ga/c,de/d,ep/e}{%
\Vertex[Node,L=\n]{\v}}   
\Edge(a)(al)
\Edge(a)(be)
\Edge(b)(al)
\Edge(c)(de)
\Edge(c)(ep)
\Edge(d)(be)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\node[draw=black,inner sep=4pt,thick,ellipse,fit=(al) (be) (ga) (de) (ep),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Diagramme sagittal d'une relation sur un ensemble (version 1)}
\end{figure}

Il  est cependant  plus  \og économique\fg{}  de  n'utiliser qu'une  \og
patate\fg{} car nous restons dans E. On symbolise alors les relations du
type $a\ \RR\ a$ à l'aide de \textit{boucles}:




\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(d)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(b)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Diagramme sagittal d'une relation sur un ensemble (version 2)}
\end{figure}

\begin{extra}
On peut bien sûr utiliser une matrice carr\'{e}e d'ordre $n$. 

Si $E=\left\{ x_{1},x_{2},\cdots
,x_{n}\right\} ,$ la matrice: 
\begin{equation*}
M=(m_{i,j})\text{ avec }\left\{ 
\begin{array}{l}
m_{i,j}=1\text{ si }x_{i}\ \mathcal{R}\ x_{j} \\ 
m_{i,j}=0\text{ si (}x_{i},x_{j})\notin G_{\mathcal{R}}%
\end{array}%
\right.
\end{equation*}%
est appel\'{e}e la \textit{matrice d'adjacence} de $\mathcal{R}$ ou du graphe $%
\mathcal{R}.$ On dit aussi que $M$ est la\textit{ matrice bool\'{e}enne} de la
relation $\mathcal{R},$ dans ce cas, les calculs matriciels utilisent le
fait que \og $1+1=1$\fg{}.
\end{extra}


\subsection{Inclusion, union, intersection et n\'{e}gation}

Nous avons d\'{e}j\`{a} d\'{e}fini ces concepts pour les relations binaires
"quelconques"\ mais il est important de remarquer que la n\'{e}gation,
l'union et l'intersec\-tion de relations binaires sur $E$ est encore une
relation binaire sur $E.$ On dit que ces op\'{e}rations sont ferm\'{e}es
pour l'ensemble des relations binaires sur $E$ ou que l'ensemble des
relations binaires sur $E$ est stable pour ces op\'{e}rations ou encore que
ce sont des op\'{e}rations internes. Si la relation $\mathcal{S}$ est
incluse (ou \'{e}gale) \`{a} $\mathcal{R},$ on a donc $\mathcal{S}=\left(
E,G_{\mathcal{S}}\right) ,$ $\mathcal{R}=\left( E,G_{\mathcal{R}}\right) $
avec $G_{\mathcal{S}}\subseteq G_{R},$ on dit alors que la relation $%
\mathcal{S}$ est \og plus petite\fg{} que la relation $\mathcal{R}$ et 
$
x\mathcal{S}y\Rightarrow x\mathcal{R}y
$

%\begin{example}
Reprenons la relation $\mathcal{R}$ d\'{e}finie par 
$$
\mathcal{R}=\left( E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} ,G_{\mathcal{R}}=\left\{
\left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left( b,a\right) ,\left( d,b\right)
,\left( c,d\right) ,\left( c,e\right) \right\} \right)
$$

Pour  obtenir une  sous-relation, on  \og supprime\fg{}  des fl\`{e}ches
comme nous l'avons vu précédemment:


\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(d)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(b)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La relation $\RR$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
%\Edge(c)(d)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(b)
%\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
%\Edge(b)(a)
%\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Une sous-relation de $\RR$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}


\begin{remarque}
Il ne faut pas confondre une sous relation avec la restriction d'une
relation, la restriction d'une relation s'obtient en \og supprimant\fg{} des \'{e}l%
\'{e}ments de l'ensemble $E$ (ensemble de d\'{e}part) et une sous relation
s'obtient en \og supprimant\fg{} des fl\`{e}ches.
\end{remarque}


\subsection{Composition}

\subsubsection{Rappels}

Nous avons d\'{e}j\`{a} d\'{e}fini la composition de deux relations binaires 
$\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ et nous avons indiqu\'{e} que le produit $%
\mathcal{S}\circ \mathcal{R}$ n'avait de sens que si l'ensemble d'arriv\'{e}%
e de $\mathcal{R}$ \'{e}tait \'{e}gal \`{a} l'ensemble de d\'{e}part de $%
\mathcal{S}.$ Si nous travaillons avec des relations sur le m\^{e}me
ensemble $E,$ cette condition sera toujours r\'{e}alis\'{e}e et la
composition (on dit aussi le produit) de deux relations binaires sur $E$ a
toujours un sens.


\begin{DANGER}
Nous notons aussi la composition de deux relations
binaires $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ par $\mathcal{R}\suivi\mathcal{S}$ ou $%
\mathcal{RS}$.
\end{DANGER}

\subsubsection{Quelques propriétés}


\begin{itemize}
\item La composition ou le produit de relations binaires sur l'ensemble $E$
est une loi de composition interne dans l'ensemble des relations binaires
sur $E.$

\item Ce produit est associatif et il a pour \'{e}l\'{e}ment neutre $Id_{E}$
:%
$$
\mathcal{R}\suivi Id_{E}=Id_{E}\suivi\mathcal{R}=\mathcal{R}
$$

\item Si la relation $\mathcal{R}$ n'est pas la relation vide, on pose $%
\mathcal{R}^{0}=Id_{E}$ sinon c'est la relation vide (de $E$ dans $E$).

\item $k$ d\'{e}signant un entier naturel, une d\'{e}finition r\'{e}cursive
de $\mathcal{R}^{k}$ est la sui\-vante :%
$$
i\in \mathbb{N},\mathcal{R}^{i+1}=\mathcal{R}^{i}\suivi \mathcal{R=R}\circ 
\mathcal{R}^{i}
$$%
D\'{e}taillons les premi\`{e}res puissances de $\mathcal{R}$:

 $\mathcal{R}%
^{2}=\mathcal{R}\suivi\mathcal{R},\mathcal{R}^{3}=\mathcal{R}^{2}\suivi\mathcal{R}%
=\left( \mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\right) \suivi\mathcal{R}.$ Le produit (la
composition) \'{e}tant associatif, nous obtenons $\mathcal{R}^{3}=\mathcal{R}%
\suivi\left( \mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\right) $ mais aussi $\mathcal{R}^{3}=%
\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}$ puisque l'associativit\'{e} permet de
se passer de parenth\`{e}ses. De m\^{e}me 
$$
\mathcal{R}^{4}=\mathcal{R}^{3}\suivi\mathcal{R}=\left( \mathcal{R}\suivi\mathcal{R}.%
\mathcal{R}\right) \suivi\mathcal{R}=\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\suivi\mathcal{%
R}
$$%
etc\ldots . On retiendra donc : 
$$
\mathcal{R}^{k}=\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}%
\suivi\cdots \suivi\mathcal{R}}}=\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{\mathcal{R}\circ 
\mathcal{R}\circ \cdots \circ \mathcal{R}}}
$$%
mais aussi%
$$
\begin{array}{l}
\mathcal{R}^{i+1}=\mathcal{R}^{i}\suivi\mathcal{R}=\mathcal{R}\suivi\mathcal{R}^{i}%
\text{ puisque} \\ 
\left( \mathcal{R}\suivi\mathcal{R}\suivi\cdots \suivi\mathcal{R}\right) \suivi\mathcal{R}=%
\mathcal{R}\suivi\left( \mathcal{\mathcal{R}}\suivi\mathcal{\mathcal{R}}\suivi\mathcal{%
\cdots }\suivi\mathcal{\mathcal{R}}\right)%
\end{array}%
$$%
ainsi que 
$$
\mathcal{R}^{i+j}=\mathcal{R}^{i}\suivi\mathcal{R}^{j}=\mathcal{R}^{j}\suivi\mathcal{R}%
^{i}
$$%
On convient aussi de noter 
$$
\mathcal{R}^{-k}=\underset{k\text{ fois}}{\underbrace{\mathcal{R}^{-1}\circ 
\mathcal{R}^{-1}\circ \cdots \circ \mathcal{R}^{-1}}}=\left( \mathcal{R}%
^{-1}\right) ^{k}
$$%
et on remarque que $\mathcal{R}^{-k}=\left( \mathcal{R}^{-1}\right)
^{k}=\left( \mathcal{R}^{k}\right) ^{-1}.$
\end{itemize}

\begin{remarque}
Il faut bien comprendre que si $x\mathcal{R}^{k}y$ alors il existe%
$$
u_{1},u_{2},\ldots ,u_{k-1}\text{ \'{e}l\'{e}ments de }E
$$%
v\'{e}rifiant 
$$
x\mathcal{R}u_{1}\text{ et }u_{1}\mathcal{R}u_{2}\text{ et }u_{21}\mathcal{R}%
u_{3}\text{ et }\ldots \text{ et }u_{k-1}\mathcal{R}y
$$%
et l'on dit que $y$ est un descendant de $x$ ou que $x$ est un ascendant de $%
y.$
\end{remarque}

\begin{itemize}
\item La composition est distributive pour l'union :%
$$
\left\{ 
\begin{array}{c}
\mathcal{R}\circ \left( \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2}\right) =\left( 
\mathcal{R}\circ \mathcal{S}_{1}\right) \cup \left( \mathcal{R}\circ 
\mathcal{S}_{2}\right) \\ 
\left( \mathcal{S}_{1}\cup \mathcal{S}_{2}\right) \circ \mathcal{R}=\left( 
\mathcal{S}_{1}\circ \mathcal{R}\right) \cup \left( \mathcal{S}_{2}\circ 
\mathcal{R}\right)%
\end{array}%
\right.
$$

\item La composition est compatible avec l'inclusion. Si $\mathcal{R},$ $%
\mathcal{S}$ et $\mathcal{T}$ sont des relations binaires sur $E,$ on a: 
$$
\begin{array}{c}
\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}\Rightarrow \mathcal{R}\circ \mathcal{T}%
\subseteq \mathcal{S}\circ \mathcal{T} \\ 
\mathcal{R}\subseteq \mathcal{S}\Rightarrow \mathcal{T}\circ \mathcal{R}%
\subseteq \mathcal{T}\circ \mathcal{S}%
\end{array}%
$$
et
$$
\mathcal{R} \subseteq \mathcal{S}\text{ et }\mathcal{T}\subseteq \mathcal{U%
}\Rightarrow \left( \mathcal{R}\circ \mathcal{T}\subseteq \mathcal{S}\circ 
\mathcal{U}\text{ et }\mathcal{T}\circ \mathcal{R}\subseteq \mathcal{U}\circ 
\mathcal{S}\right)
$$
\item La relation $\mathcal{R}^{+}$ est la relation d\'{e}finie par: 
$$
\mathcal{R}^{+} =\mathcal{R}^{1}\cup \mathcal{R}^{2}\cup \mathcal{R}%
^{3}\cup \cdots$$

 soit aussi:
$$
\mathcal{R}^{+} =\bigcup\limits_{i=1}^{+\infty }\mathcal{R}%
^{i}=\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N}^{\ast }}\mathcal{R}^{i}
$$%
$\mathcal{R}^{+}$ est appel\'{e}e la \textbf{fermeture transitive} de $%
\mathcal{R},$ nous verrons plus loin pourquoi.
\end{itemize}

\begin{remarque}
$x\ \mathcal{R}^{+}\; y$ \'{e}quivaut \`{a} \'{e}crire qu'il existe une suite
finie%
$$
\left( u_{i}\right) _{i\in \left\{ 0,1,2,\ldots ,k\right\} }
$$%
d'\'{e}l\'{e}ments de $E$ v\'{e}rifiant%
$$
\left\{ 
\begin{tabular}{l}
$u_{0}=x,u_{k}=y$ \\ 
$x\mathcal{R}u_{1}\text{ et }u_{1}\mathcal{R}u_{2}\text{ et }u_{2}\mathcal{R%
}u_{3}\text{ et }\ldots \text{ et }u_{k-1}\mathcal{R}y$%
\end{tabular}%
\right.
$$
\end{remarque}

\begin{itemize}
\item La relation $\mathcal{R}^{\ast }$ est la relation d\'{e}finie par $%
\mathcal{R}^{\ast }=Id_{E}\cup \mathcal{R}^{+},$ c'est-\`{a}-dire 
$$
\mathcal{R}^{\ast }=\bigcup\limits_{i=0}^{+\infty }\mathcal{R}%
^{i}=\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N}}\mathcal{R}^{i}
$$%
$\mathcal{R}^{\ast }$ est appel\'{e}e la fermeture \textbf{r\'{e}%
flexive-transitive} de $\mathcal{R}$.
\end{itemize}

\begin{remarque}
Si $E$ est fini de cardinal $n$, le graphe $G_{\mathcal{R}}$ d'une relation
binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ est lui aussi fini puisque c'est une partie de 
$E\times E.$ En cons\'{e}quence le graphe $G_{\mathcal{R}^{i}}$ de $\mathcal{%
R}^{i}$, qui est aussi une partie de $E\times E,$ est fini. Comme il y a $%
2^{n^{2}}$ parties dans $\mathcal{P}\left( E\times E\right) ,$ la suite $%
\left( \mathcal{R}^{i}\right) $ est forc\'{e}ment p\'{e}riodique \`{a}
partir d'un certain rang, cela veut dire qu'il existe un entier naturel non
nul minimum $t$ et un rang minimum $k$ tel qu'\`{a} partir du rang $k$ on a
pour tout $i\geq k$ $\mathcal{R}^{i+t}=\mathcal{R}^{i}.$ On obtient alors 
$$
\mathcal{R}^{\ast }=\bigcup\limits_{i=0}^{k+t-1}\mathcal{R}^{i}
$$
\end{remarque}

Voyons un \textbf{exemple}. Consid\'{e}rons la relation $\mathcal{R}$ sur $E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} $:%



\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(a)(e)
\Edge(d)(c)
\Edge(e)(d)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(d)(b)
\Edge(b)(d)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{}\label{fig::fermeture1}
\end{figure}

On v\'{e}rifie que $\mathcal{R}^{5}=\mathcal{R}^{3}$ et donc que 
$\mathcal{R}^{3}
=\mathcal{R}^{5}=\mathcal{R}^{7}=\mathcal{R}^{9}=\cdots$
et
$\mathcal{R}^{4} =\mathcal{R}^{6}=\mathcal{R}^{8}=\mathcal{R}^{10}=\cdots$




Nous venons de d\'{e}finir les relations $\mathcal{R}^{k},$ $\mathcal{R}^{+}$
et $\mathcal{R}^{\ast }$ ; il nous faut maintenant expliquer comment on les d%
\'{e}termine lorsque $E$ est fini.


Nous admettrons le théorème suivant:

\begin{theoreme}
Si $E$ a pour cardinal $n$ alors $\mathcal{R}^{+}=\displaystyle\bigcup\limits_{i=1}^{n}%
\mathcal{R}^{i}$ et $\mathcal{R}^{\ast }=\displaystyle\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}\mathcal{%
R}^{i}.$
\end{theoreme}







\begin{extra}

Nous sommes maintenant en mesure de d\'{e}terminer \og facilement\fg{} les matrices
bool\'{e}\-ennes de $\mathcal{R}^{+}$ et de $\mathcal{R}^{\ast },$ en effet,
il nous suffit de traduire sous forme matricielle les r\'{e}sultats pr\'{e}c%
\'{e}dents. Si nous appelons $M$ la matrice de $\mathcal{R},$ $M$ est une
matrice carr\'{e}e d'ordre $n,$ alors la matrice de $\mathcal{R}%
^{+}=\displaystyle\bigcup\limits_{i=1}^{n}\mathcal{R}^{i}$ est $S=\displaystyle\sum%
\limits_{i=1}^{n}M^{i}$ et la matrice de $\mathcal{R}^{\ast }$ est $%
T=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}M^{i}$ (rappel $M^{0}=I_{n}$). Une m\'{e}\-thode
\og pratique\fg{} (mais p\'{e}nible \`{a} la main si $n$ n'est pas petit) est la
suivante, on consid\`{e}re la suite matricielle $\left( S_{i}\right) _{i\in
\left\{ 1,\ldots ,n\right\} }$ d\'{e}finie par:%
\begin{eqnarray*}
S_{1} &=&M \\
S_{2} &=&M+M^{2}=\left( I_{n}+M\right) \times M=\left( I_{n}+S_{1}\right)
\times M \\
S_{3} &=&M+M^{2}+M^{3}=\left( I_{n}+M+M^{2}\right) \times M=\left(
I_{n}+S_{2}\right) \times M \\
&&\cdots \\
S_{n} &=&\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}M^{i}=\left(
\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}M^{i}\right) \times M=\left( I_{n}+S_{n-1}\right)
\times M
\end{eqnarray*}%
$S_{n}$ donne $S$ et $I_{n}+S_{n-1}$ donne $T.$
\end{extra}



\subsection{Fermeture d'une relation: du concret}


Disons que vous  gérer un réseau informatique avec  des centres situés à
Vertou, Saint Mars du Désert,  Chavagne en Paillé, Guéméné Penfao et des
lignes de câbles unidirectionnelles de Vertou vers Saint Mars, de Vertou vers Chavagne, de
Chavagne  vers Guéméné,  de Guéméné  vers Saint  Mars. Si  $\RR$  est la
relation qui contient le couple $(a,b)$  s'il y a une ligne entre $a$ et
$b$, on  voudrait savoir  si on peut  connecter deux centres  donnés. Le
chemin de Vertou vers Guéméné existe  mais est indirect car il passe par
Chavagne:  la relation  $\RR$  n'est  donc pas  transitive  car elle  ne
contient  pas  tous  les  couples  pouvant se  connecter.  La  fermeture
transitive est en fait la plus petite relation transitive contenant 
$\RR$.  C'est concrètement la relation qui comprend tous les couples de centres
pouvant être connectés. 

On  peut  dans  le  même  esprit s'occuper  des  fermetures  symétrique,
réflexive, réflexive-transitive,  etc. Pour les  fermetures réflexive et
symétrique,  c'est assez immédiat.  Notre problème  sera de  trouver des
algorithmes pour la fermeture transitive car c'est moins simple.

\begin{exemple}
  Essayez     de    déterminer     la     fermeture    transitive     de
  $\RR=\bigl\{(1,3),(1,4),(2,1),(3,2)\bigr\}$       sur       l'ensemble
  $\ER=\bigl\{1,2,3,4\bigr\}$.


\end{exemple}


\subsection{Chemin}


Nous parlerons l'an prochain de  graphes directionnels et de chemine sur
ces graphes.  Grosso modo, un graphe directionnel, c'est des sommets reliés par des
flèches et un chemin c'est un parcours en suivant ces flèches.

Nous pouvons reprendre l'idée pour une relation:

\begin{definition}
Soit $\RR$  une relation. Il existe  un \textbf{chemin} de  $a$ vers $b$
dans $\RR$ s'il  existe une suite d'éléments $x_1,x_2,x_3,...,x_{n-1}$
telle que  $(a,x_1), (x_1,x_2), (x_2,x_3),...,(x_{n-1},b)$ appartiennent
à $\RR$. Ce chemin est de \textbf{longueur} $n$.
\end{definition}

En      reprenant      la      relation     représentée      sur      la
figure\vref{fig::fermeture1}, il  existe un chemin  (et même plusieurs!)
de $a$ vers $c$, passant par exemple par $a,a,a,e,d,b,d,c$.


Le théorème suivant nous sera très utile:

\begin{theoreme}
Soit $\RR$  une relation sur  un ensemble et  $n$ un entier  naturel. Il
existe un chemin de longueur $n$ de $a$ vers $b$ si, et seulement si, $(a,b)\in\RR^n$.
\end{theoreme}


La démonstration s'effectue par récurrence...et est laissée au lecteur attentif.

\subsection{Propri\'{e}t\'{e}s particuli\`{e}res}



Soit $\mathcal{R}=\left( E,G_{\mathcal{R}}\right) $ avec $G_{\mathcal{R}%
}\neq \emptyset $ et $R$ sa matrice bool\'{e}enne.

\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{R}$ est dite \textbf{totale \`{a} gauche} si, et
seulement si, pour tout $x$ de $E,$ il existe au moins un $y$ de $E$ v\'{e}%
rifiant $x\mathcal{R}y,$ une relation totale \`{a} gauche est une relation
\og totale\fg{} en ce sens que son domaine est l'ensemble $E.$

\item $\mathcal{R}$ est dite \textbf{totale \`{a} droite} si, et
seulement si, pour tout $x$ de $E,$ il existe au moins un $y$ de $E$ v\'{e}%
rifiant $y\mathcal{R}x,$ le codomaine de $\mathcal{R}$ est $E.$

\item  $\mathcal{R}$ est \textbf{r\'{e}flexive} si, et seulement si, pour
tout $x$ de $E$ on a $x\mathcal{R}x.$ En d'autres termes $\mathcal{R}$ est r%
\'{e}flexive si, et seulement si, $G_{\mathcal{R}}$ contient $\Delta $ la
diagonale de $E\times E,$ $\Delta =\left\{ \left( x,x\right) \mid x\in
E\right\} .$%



\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(a)(e)
\Edge(d)(c)
\Edge(b)(d)
\Edge(e)(b)
\Loop[dist=1.25cm,dir=NOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\Loop[dist=1.25cm,dir=NOEA,color= black!70,style={ultra thick}](b)
\Loop[dist=1.25cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](c)
\Loop[dist=1.25cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](d)
\Loop[dist=1.25cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](e)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation réflexive}
\end{figure}

Visuellement (diagramme sagittal), une relation est r\'{e}flexive s'il y a
une boucle \`{a} chaque \'{e}l\'{e}ment.


\begin{extra}
Matriciellement, $\mathcal{R}$ est r%
\'{e}flexive si, et seulement si, les \'{e}l\'{e}ments diagonaux de $R$ sont
tous \'{e}gaux \`{a} 1 ce qui \'{e}quivaut \`{a} \'{e}crire que $I_{n}+R=R$
et donc $\mathcal{R}\cup Id_{E}=\mathcal{R}.$
\end{extra}


\begin{theoreme}
Si $\mathcal{R}$ est r\'{e}flexive alors $\mathcal{R}^{k}$ est r\'{e}flexive.
\end{theoreme}



La \textbf{fermeture r\'{e}flexive} d'une relation quelconque $\mathcal{R}$
sur $E$ est la relation dont le graphe est $G_{\mathcal{R}}\cup \Delta $ $.$
C'est la plus petite relation binaire sur $E$ (au sens de l'inclusion) qui
contient $\mathcal{R}.$ Elle s'obtient tr\`{e}s facilement, il suffit de
\og rajouter\fg{} (au sens de l'union) au graphe de $\mathcal{R},$ la diagonale de $%
E\times E$ ; cela revient \`{a} mettre une boucle, s'il n'y en avait pas d%
\'{e}j\`{a}, \`{a} chaque \'{e}l\'{e}ment du diagramme sagittal et \`{a}
ajouter $I_{n},$ la matrice unit\'{e} d'ordre $n,$ \`{a} la matrice bool\'{e}%
enne de $\mathcal{R}.$%




\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(b)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(e)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La relation $\RR$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(b)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(e)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](b)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](c)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](d)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](e)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La fermeture réflexive de $\RR$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}




\item $\mathcal{R}$ est \textbf{irr\'{e}flexive\footnote{%
On utilise aussi le mot \og antir\'{e}flexif\fg{}.}} si, et seulement si, il
n'existe pas $x\in E$ v\'{e}rifiant $x\mathcal{R}x.$ On peut aussi exprimer
cette propri\'{e}t\'{e} en \'{e}crivant que si on a $x\mathcal{R}y$ alors on
a forc\'{e}ment $x\neq y.$ Ne pas confondre une relation irr\'{e}flexive
avec une relation non r\'{e}flexive : une relation n'est pas r\'{e}flexive d%
\`{e}s qu'il existe au moins un $x$ de $E$ ne v\'{e}rifiant pas $x\mathcal{R}%
x$ alors que pour une relation irr\'{e}flexive on n'a jamais $x\mathcal{R}x.$

\item $\mathcal{R}$ est \textbf{sym\'{e}trique} si, et seulement si, 
\`{a} chaque fois que l'on a $x\mathcal{R}y$ on a aussi $y\mathcal{R}x.$ Si
nous traduisons $x\mathcal{R}y$ par \og on peut aller de $x$ \`{a} $y$\fg{} alors $%
\mathcal{R}$ est sym\'{e}trique si \`{a} chaque fois qu'il y a un \og aller\fg{} de 
$x$ \`{a} $y,$ il y a aussi un \og retour\fg{}.%






\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left=10]
\Edge(a)(e)
\Edge(d)(c)
\Edge(b)(d)
\Edge(e)(b)
\Edge(e)(a)
\Edge(c)(d)
\Edge(d)(b)
\Edge(b)(e)
\Loop[dist=1.25cm,dir=NOEA,color= black!70,style={ultra thick}](b)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation symétrique}
\end{figure}








\begin{recherche}

\pro Considérons par exemple la relation:

$\text{Train}=\bigl\{\text{(Nantes,Paris),(Paris,Nantes),(Nantes,Vertou),(Vertou,Nantes),}\bigr.$

\hspace{2cm}$\bigl.\text{(Paris,Vertou),(Vertou,Paris),(Paris,Sucé),(Sucé,Paris)}\bigr\}$

Est-elle symétrique?


\end{recherche}


















\begin{extra}
Matriciellement, $\mathcal{R}$ est sym\'{e}trique si, et seulement si, sa
matrice $R$ est sym\'{e}trique, c'est-\`{a}-dire $^{t}R=R.$
\end{extra}
















On peut rajouter quelques théorèmes utiles pour le plaisir:

\begin{theoreme}
  \begin{itemize}
  \item L'union et l'intersection de relations sym\'{e}triques sont des relations sym%
\'{e}triques.
\item Si $\mathcal{R}$ est sym\'{e}trique alors $\mathcal{R}^{k}$ est sym\'{e}%
trique.
\item Si $\mathcal{R}$ est une relation quelconque alors $\mathcal{R}\cup \mathcal{%
R}^{-1}$ est une relation sym\'{e}trique.
  \end{itemize}
\end{theoreme}


La \textbf{fermeture sym\'{e}trique} de la relation $\mathcal{R=}\left( E,G_{%
\mathcal{R}}\right) $ est la plus petite relation sym\'{e}trique dont le
graphe  contient $G_{\mathcal{R}}.$  Il suffit  de \og  doubler\fg{} les
flèches du diagramme sagittal.



\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(b)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(e)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La relation $\RR$}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left=20]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(b)
\Edge(b)(c)
\Edge(c)(e)
\Edge(e)(c)
\Edge(d)(e)
\Edge(e)(d)
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{La fermeture symétrique de $\RR$}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}





\begin{extra}
On l'obtient tr\`{e}s facilement, si $R$
est la matrice bool\'{e}enne de $\mathcal{R}$. On \og rajoute\fg{} le minimum de
\og 1\fg{} pour que la matrice obtenue soit sym\'{e}trique. La
matrice de la fermeture sym\'{e}rique de $\mathcal{R}$ est donc \'{e}gale 
\`{a} $R+^{t}R$, c'est la matrice de $\mathcal{R}\cup \mathcal{R}^{-1}.$
\end{extra}


\item $\mathcal{R}$ est \textbf{antisym\'{e}trique} si, et seulement si, 
\`{a} chaque fois que l'on a $x\mathcal{R}y,$ avec $x$ diff\'{e}rent de $y,$
on n'a pas $y\mathcal{R}x.$ Cela \'{e}quivaut \`{a} \'{e}crire que si on a
simultan\'{e}ment $x\mathcal{R}y\ $et $y\mathcal{R}x,$ on a forc\'{e}ment $%
x=y.$ Le diagramme sagittal ne poss\`{e}de aucun \og aller et retour\fg{}.


\item  $\mathcal{R}$ est \textbf{transitive} si, et seulement si, \`{a}
chaque fois que l'on a $x\mathcal{R}y$ et $y\mathcal{R}z,$ on a aussi $x%
\mathcal{R}z.$ Si \og on peut aller de $x$ \`{a} $z$ en passant par $y,$ on
doit pouvoir aller directement de $x$ \`{a} $z$\fg{}.




\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(e)(c)
\Edge(c)(d)
\Edge(e)(d)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](b)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation transitive}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA(a){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(e)(c)
\Edge(c)(d)
\Edge(e)(d)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation non transitive}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}

\end{enumerate}





\begin{recherche}

\pro Considérons à nouveau la relation:


$\text{Train}=\bigl\{\text{(Nantes,Paris),(Paris,Nantes),(Nantes,Vertou),(Vertou,Nantes)},\bigr.$

\hspace{2cm}$\bigl.\text{(Paris,Vertou),(Vertou,Paris),(Paris,Sucé),(Sucé,Paris)}\bigr\}$

Est-elle transitive?


\end{recherche}














\begin{theoreme}
  \begin{itemize}
  \item $\mathcal{R}$ transitive $\Leftrightarrow \mathcal{R}^{2}\subseteq \mathcal{R}%
.$
\item $\mathcal{R}$ réflexive et transitive $\Rightarrow \mathcal{R}^{2}=%
\mathcal{R}.$
\item  $\RR$ est transitive  si, et  seulement si,  $\RR^n\subseteq \RR$
  pour tout entier naturel non nul $n$.
  \end{itemize}
\end{theoreme}





La \textbf{fermeture transitive} de la relation $\mathcal{R}=\left( E,G_{%
\mathcal{R}}\right) ,$ est la plus petite (au sens de l'inclusion) relation
transitive sur $E$ dont le graphe contient $G_{\mathcal{R}}.$

% %\begin{theoreme}
% Cette fermeture transitive n'est autre que $\mathcal{R}^{+}=\displaystyle\bigcup%
% \limits_{k\in \mathbb{N}^{\ast  }}\mathcal{R}^{k}$ comme nous  allons le
% voir dans le paragraphe suivant.
% %\end{theoreme}




\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA[empty](a){g}
\EA(g){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(e)
\Edge(c)(d)
\Edge(d)(b)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left=10]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\begin{pgfonlayer}{background}
% \node[draw=blue,fill=blue!20,inner sep=1.5pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (d) (e)] {};
% \node[draw=red,fill=red!20,inner  sep=2pt,thick,ellipse,fit=(be) (ga) (de)]{};
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Relation}\label{fig::ferm_trans}
\end{figure}
\end{minipage}\hspace{0.5cm}
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}%\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} 
\begin{flushright}
\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetUpEdge[lw= 1.5pt,color= black!70]
\GraphInit[vstyle=Normal] \SetGraphUnit{1cm}
\tikzset{VertexStyle/.style= {shape= circle,shading= ball,
   ball color= gray!10,minimum size= 5pt,draw}}
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->]
\Vertex{a}
\EA[empty](a){g}
\EA(g){b}
\SO(a){e}
\SO[empty](b){f}
\SO(f){d}
\EA(f){c}
\Edge(c)(b)
\Edge(c)(a)
\Edge(c)(d)
\Edge(c)(e)
\Edge(d)(b)
\Edge(d)(a)
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->,bend left=10]
\Edge(a)(b)
\Edge(b)(a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](a)
\Loop[dist=1.5cm,dir=SOEA,color= black!70,style={ultra thick}](b)
\begin{pgfonlayer}{background}
\node[draw=black,inner sep=8pt,thick,ellipse,fit=(a) (b) (c) (d) (e),pin={[pin edge={thick}]E}] {};
\end{pgfonlayer}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Fermeture transitive de la relation}\label{fig::ferm_trans2}
\end{figure}
\end{flushright}
\end{minipage}


%Nous admettrons alors (mais rien ne vous empêche de le démontrer...) que:


%\begin{theoreme}
%$\mathcal{R}$ transitive $\Leftrightarrow $ $\mathcal{R}^{+}=\mathcal{R}$
%\end{theoreme}


%  $\mathcal{R}^{+}=\displaystyle\bigcup% \limits_{k\in \mathbb{N}^{\ast  }}\mathcal{R}^{k}$

\subsection{Fermeture transitive et chemin}

En  fait,   trouver  la  fermeture  transitive   d'une  relation,  c'est
déterminer les couples reliés par un chemin.


\begin{definition}
Soit  $\RR$ une  relation  sur  un ensemble.  La  relation de  connexion
$\RR^+$ contient  tous les couples  $(a,b)$ tels qu'il existe  un chemin
sur $\RR$ de longueur non nulle allant de $a$ vers $b$.
\end{definition}

Maintenant,  souvenons-nous que  $\RR^n$ est  formé des  couples $(a,b)$
tels  qu'il existe un  chemin de  longueur $n$  de $a$  vers $b$.  Il en
découle que $\RR^+$ est en fait la réunion de tous les $\RR^n$:


\begin{theoreme}
 $$\mathcal{R}^{+}=\displaystyle\bigcup \limits_{n\in \mathbb{N}^{\ast  }}\mathcal{R}^{n}$$
\end{theoreme}


\begin{recherche}
Par exemple,  si $\RR$  est la relation  sur l'ensemble  des département
français qui  contient $(a,b)$  si les départements  $a$ et $b$  ont une
frontière commune, quelle est $\RR^n$? $\RR^+$?
\end{recherche}


Nous en arrivons au théorème important suivant:


\begin{theoreme}
La fermeture transitive d'une relation $\RR$ est égale à $\RR^+$.
\end{theoreme}


Pour les curieux, on peut survoler une petite démonstration de ce résultat.


Il   est  assez   simple   de  montrer   que   $\RR^+$  est   transitive
(faites-le...) et que $\RR^+$ contient $\RR$.

Maintenant,  il faudrait  montrer  que n'importe  quelle relation  $\SR$
transitive qui contient $\RR$ contient aussi $\RR^+$.



Comme $\SR$ est  transitive, alors $\SR^n$ aussi et  $\SR^n \subseteq \SR$.

Or          $\mathcal{S}^{+}=\displaystyle\bigcup          \limits_{n\in
  \mathbb{N}^{\ast }}\mathcal{S}^{n}$ donc $\SR^+\subseteq \SR$. Or $\RR
\subseteq \SR$ donc $\RR^+\subseteq \SR^+$. 

Finalement  $\RR^+\subseteq  \SR^+\subseteq  \SR$  ce qui  achève  notre
démonstration.

Bon, on sait ce que c'est que la fermeture transitive: il reste à savoir
comment la déterminer concrètement...

\subsubsection{Méthode matricielle pour déterminer la fermeture transitive}


La fermeture r\'{e}flexive-transitive de $\mathcal{R}$ est $\mathcal{R}%
^{\ast }=Id_{E}\cup \mathcal{R}^{+}$ et sa matrice est $\displaystyle\sum%
\limits_{i=0}^{n-1}M^{i}.$



Nous allons pr\'{e}senter une autre m\'{e}thode pour d\'{e}terminer la
fermeture transitive de la relation $\mathcal{R}$ sur $E=\left\{
e_{1},e_{2},...,e_{n}\right\} ,$ cette m\'{e}thode utilise le vocabulaire de
la th\'{e}orie de graphes (pour ce qui concerne la d\'{e}monstration). 

L'id\'{e}e est la suivante: on va prendre les sommets $e_{i}$ un par un et
relier les ascendants de $e_{i}$ \`{a} tous les descendants de $e_{i}$ s'ils
ne l'\'{e}taient d\'{e}j\`{a}. Nous notons $M_{0}$ la matrice bool\'{e}enne
de $\mathcal{R}$ et $\theta _{i}$ l'op\'{e}rateur qui consiste \`{a}
ajouter, au sens de l'addition bool\'{e}enne, la $i^{\grave{e}me}$ ligne de $%
M_{i}$ \`{a} toute ligne de $M_{i}$ poss\'{e}dant un $1$ en colonne num\'{e}%
ro $i$ ; le r\'{e}sultat se notant $M_{i}=\theta _{i}\left( M_{i-1}\right) .$
La matrice $M_{n}$ donne alors la matrice de la fermeture transitive de $%
\mathcal{R}.$

Reprenons l'exemple de la figure \vref{fig::ferm_trans}.

Sa matrice d'incidence est $M=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{pmatrix}$.

Appliquons $\theta _{1},$ nous allons ajouter (au
sens bool\'{e}en) la ligne num\'{e}ro 1 sur toute ligne poss\'{e}dant un 1
en colonne num\'{e}ro 1, seule la deuxi\`{e}me ligne est concern\'{e}e%
\vspace{0.2cm}, on obtient $M_{1}=\theta _{1}\left( M\right) =\overset{}{%
\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & \mathbf{1} & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) }.$ Appliquons \vspace{0.2cm}maintenant $\theta _{2}$ \`{a} $M_{1},$
nous allons ajouter la ligne num\'{e}ro 2 \`{a} toute ligne poss\'{e}dant un
1 en colonne num\'{e}ro 2, les lignes 1, 2 et 4 sont concern\'{e}es\footnote{%
Ajouter (en calcul bool\'{e}en) la ligne num\'{e}ro $i$ \`{a} la ligne num%
\'{e}ro $i$ ne la modifie pas.}. Nous obtenons $\theta _{2}\left(
M_{1}\right) =\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 
\mathbf{1} & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) .$ Aucune ligne n'a de 1 en colonne 3, donc $\theta _{3}\left(
M_{2}\right) =M_{3}=M_{2}.$ La ligne 3 a un 1 en colonne 4\vspace{0.2cm}, $%
\theta _{4}\left( M_{3}\right) =\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
\mathbf{1} & \mathbf{1} & 0 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) =M_{4}$ et $\theta _{5}$ ne changeant rien, la matrice de la
fermeture transitive est $M_{5}=\overset{\text{ }}{\left( 
\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) }$ qui nous donne le graphe de la figure \vref{fig::ferm_trans2}%

%%%%%%%%%%%
\vfill

\eject
 \section{Relations d'équivalence}





Tous les étudiants d'Info s'inscrivent pour un camp d'été de maths auprès de
leur professeur adoré.

Comme il  y a beaucoup  d'étudiants, on décide d'inscrire  les étudiants
dont le nom de famille commence par  une lettre comprise entre A et G le
lundi, ceux dont le nom commence par une lettre entre H et N le mardi et
les autres le mercredi.

Soit $\RR$  la relation  définie sur l'ensemble  $\ER$ des  étudiants de
l'IUT qui contient $(x,y)$ si $x$ et $y$ se sont inscrits le même jour.

 On  vérifie aisément que  cette relation  est réflexive,  symétrique et
 transitive. 

On remarque surtout  que $\RR$ divise l'ensemble $\ER$  des étudiants en
trois classes distinctes. Il suffit de savoir dans quel classe se trouve
l'étudiant pour  savoir quel  jour il s'inscrira,  sans avoir  besoin de
connaître son identité: gain de temps...

Ce genre  de relation réflexive, symétrique et  transitive s'appelle une
\textbf{relation d'équivalence}.




\begin{definition}

$\mathcal{R}=\left( E,G_{\mathcal{R}}\right) ,$ o\`{u} $E$ est un ensemble
non vide, est une \textbf{relation d'\'{e}quivalence} si, et seulement si, $%
\mathcal{R}$ est 
\begin{center}
\text{\textbf{R\'{e}flexive et Sym\'{e}trique et Transitive (R.S.T.)}}
\end{center}%


$x$ d\'{e}signant un \'{e}l\'{e}ment de $E,$ la \textbf{classe d'\'{e}%
quivalence} de $x$ est l'ensemble 
$$
cl\left( x\right) =\overline{x}=\left\{ y\in E\mid x\mathcal{R}y\right\}
=\left\{ y\in E\mid y\mathcal{R}x\right\}
$$
\end{definition}


Beaucoup d'autres notations sont utilis\'{e}es : $\overline{x}=cl(x)=%
\widehat{x}=\widetilde{x}=\left[ x\right] _{\mathcal{R}}$ ou encore $%
\mathring{x}=\breve{x}=\cdots $.




\begin{propriete}
 La classe de $x,$ $\overline{x},$ ne peut \^{e}tre un ensemble vide.
\end{propriete}


En effet, $\mathcal{R}$ \'{e}tant r\'{e}flexive, on a pour tout $x$ de $E,$ $%
x\mathcal{R}x$ et, par cons\'{e}quent, $\overline{x}$ contient au moins un 
\'{e}l\'{e}ment qui est $x.$



\begin{propriete}
$$x\mathcal{R}y\Leftrightarrow \overline{x}=\overline{y}.$$
\end{propriete}


\begin{enumerate}
\item Supposons tout d'abord que $x\mathcal{R}y$ et choisissons un \'{e}l%
\'{e}ment $z\in \overline{y}$ ; nous avons alors $y\mathcal{R}z$ et comme $x%
\mathcal{R}y$ nous obtenons $x\mathcal{R}z$ qui prouve que $z\in \overline{x}%
.$ Nous venons de d\'{e}montrer que $\overline{y}\subseteq \overline{x}.$ En
permutant les r\^{o}les de $x$ et $y$ (ne pas oublier que $\mathcal{R}$ est
sym\'{e}trique) on obtient $\overline{x}\subseteq \overline{y}$ et, par cons%
\'{e}quent, $\overline{x}=\overline{y}.$

\item Supposons maintenant que $\overline{x}=\overline{y},$ nous savons que $%
y\in \overline{y}$ et donc que $y\in \overline{x}$ ; on en d\'{e}duit que $x%
\mathcal{R}y.$
\end{enumerate}


\begin{propriete}
 $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset \Leftrightarrow x$ n'est pas
en relation avec $y.$
\end{propriete}

 Nous venons d'\'{e}tablir que $x\mathcal{R}y\Leftrightarrow 
\overline{x}=\overline{y}$. En cons\'{e}quence, si $x\mathcal{R}y,$ il est
impossible que $\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset $ puisque $\overline{%
x}=\overline{y}$ et qu'aucune classe n'est vide. Nous venons de prouver que $%
\overline{x}\cap \overline{y}=\emptyset \Rightarrow x\overline{\mathcal{R}}%
y. $ R\'{e}ciproquement, supposons que $\overline{x}\cap \overline{y}\neq
\emptyset .$ La classe de $x$ et la classe de $y$ ont donc au moins un \'{e}l%
\'{e}ment en commun $z$ qui v\'{e}rifie $x\mathcal{R}z$ et $z\mathcal{R}y$
et, du coup, on a forc\'{e}ment $x\mathcal{R}y.$ Nous venons de d\'{e}%
montrer que $\overline{x}\cap \overline{y}\neq \emptyset \Rightarrow x%
\mathcal{R}y$ donc aussi $x\overline{\mathcal{R}}y\Rightarrow \overline{x}%
\cap \overline{y}=\emptyset .$



\begin{propriete}
 L'ensemble des classes d'\'{e}quivalences, not\'{e} $E\diagup \mathcal{%
R}$, est une partition de $E.$
\end{propriete}


 Nous n'allons d\'{e}tailler ce r\'{e}sultat
que lorsque le nombre de classes est fini : notons $C_{1},C_{2},\ldots
,C_{k} $ les diff\'{e}rentes classes d'\'{e}quivalence. Nous venons de
prouver que $C_{i}\cap C_{j}=\emptyset $ si $i\neq j$. Maintenant
choisissons un \'{e}l\'{e}ment quelconque $e\in E,$ nous savons que $e\in 
\overline{e}$ et la classe de $e$ est forc\'{e}ment l'une des classes $%
C_{i}. $ Ceci prouve que 
$\displaystyle\bigcup\limits_{i=1}^{k}C_{i}=E$



\begin{propriete}
Toute partition de $E$ d\'{e}finit une relation d'\'{e}quivalence sur $E.$
\end{propriete}


À vous de  trouver une démonstration si vous avez un  peu compris ce qui
se passe...



% %%%%%%%%%%%





\vfill

\eject




\section{Structures d'ordre}


\subsection{Relation d'ordre}



%Tout d'abord, quelques définitions:

\begin{definition}
La relation $\mathcal{R}=\left( E,G\right) $ est une \textbf{relation d'ordre%
} (ordre large) si, et seulement si, $\mathcal{R}$ est

\begin{center}
\text{\textbf{R\'{e}flexive et Antisym\'{e}trique et Transitive (R.A.T.)}}
\end{center}%
et on v\'{e}rifie imm\'{e}diatement que 
$$
\mathcal{R}\text{ relation d'ordre}\Leftrightarrow \mathcal{R}^{-1}\text{
relation d'ordre}
$$

Une relation d'ordre est dite \textbf{totale} si, et seulement si, pour tout couple $%
(x,y)$ de $E$ on a soit $x\mathcal{R}y,$ soit $y\mathcal{R}x.$ Cela signifie
que deux \'{e}l\'{e}ments quelconques sont toujours \og comparables\fg{}. Si la
relation d'ordre n'est pas totale on dit qu'elle est \textbf{partielle} et, dans ce
cas, il existe au moins deux \'{e}l\'{e}ments distincts de $E$ qui ne sont
pas comparables.

La relation $\mathcal{R}=\left( E,G\right) $ est une relation d'\textbf{%
ordre strict} si, et seulement si, $\mathcal{R}$ est

\begin{center}
\text{\textbf{Irr\'{e}flexive et Antisym\'{e}trique et Transitive}}
\end{center}%
\end{definition}



En g\'{e}n\'{e}ral une relation d'ordre (large) est not\'{e}e par $\leq $ 
ou par $\preceq $ ou par $\leqslant$ et une
relation d'ordre strict est not\'{e}e par $<$ ou par $\prec$.

La relation r\'{e}ciproque de la relation d'ordre $\leqslant $ est not\'{e}e $%
\geqslant $ : 
$
x\leqslant y\Leftrightarrow y\geqslant x
$
et il est bien entendu que l'on peut utiliser \`{a} loisir, l'une ou l'autre.






\begin{theoreme}
$\mathcal{R}$ est une relation d'ordre $\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{tabular}{l}
$\mathcal{R}\cap \mathcal{R}^{-1}=Id_{E}$ \\ 
$\mathcal{R}=\mathcal{R}^{2}=\mathcal{R}^{\ast }$%
\end{tabular}%
\right. $
\end{theoreme}

Pourquoi?...


\subsection{Ensembles ordonnés}


\begin{definition}
  Un ensemble $E$ est dit ordonn\'{e} par la relation $\mathcal{R}$ si $%
\mathcal{R}$ est une relation binaire sur $E$ et si $\mathcal{R}$ est une
relation d'ordre. Un \textbf{ensemble ordonn\'{e}} se pr\'{e}sente comme le
couple $\left( E,\mathcal{R}\right) $ o\`{u} $\mathcal{R}$ est une relation
d'ordre sur $E.$ On dit que l'ensemble ordonn\'{e} $\left( E,\mathcal{R}%
\right) $ est totalement ordonn\'{e} si $\mathcal{R}$ est une relation
d'ordre total.
\end{definition}



Attention! Un m\^{e}me ensemble peut \^{e}tre muni de plusieurs relations
d'ordre diff\'{e}rentes, si $\leqslant _{1}$ et $\leqslant _{2}$ sont deux relations
d'ordre diff\'{e}rentes alors les ensembles ordonn\'{e}s $\left( E,\leqslant
_{1}\right) $ et $\left( E,\leqslant _{2}\right) $ sont des ensembles ordonn\'{e}%
s diff\'{e}rents.



\begin{exemple}
Montrer  par exemple  que la  relation d'inclusion  $\subseteq$  est une
relation  d'ordre (de quelle  nature?) sur  l'ensemble des  parties d'un
ensemble donné E.


Que pensez-vous de l'ensemble $\bbz^+$ muni de la relation \og divise\fg{}?
\end{exemple}



\begin{NB}
En fait,  on peut montrer que  le principe de  récurrence s'applique sur
tout ensemble bien ordonné.
\end{NB}


\subsection{Ordre lexicographique}


Comment sont rangés les mots dans un dictionnaire? C'est une des manière
de ranger des  éléments d'un produit cartésien (comment  le définir?). Y
en a-t-il d'autres possibles?


\subsection{Diagramme de \textsc{Hasse}}


Dresser un diagramme sagittal peut s'avérer parfois pénible: il y a trop
de flèches dans tous les  sens...Nous allons voir un moyen de visualiser
plus nettement la situation d'ensembles ordonnés.
Nous aurons besoin tout d'abord  de préciser les notions de prédécesseur
et de successeur.


\begin{definition}
On appelle \'{e}l\'{e}ments cons\'{e}cutifs de l'ensemble ordonn\'{e} $%
\left( E,\leq \right) $ deux \'{e}l\'{e}ments $a$ et $b$ qui v\'{e}rifient 
$$
\left\{ 
\begin{array}{l}
a< b \\ 
a\leqslant c\leqslant b\Rightarrow a=c\text{ ou }b=c%
\end{array}%
\right.
$$

% On note alors $a$ $\text{pred}$ $b$ ;
$a$ est un pr\'{e}d\'{e}cesseur (imm%
\'{e}diat) de $b$ ou $b$ est un successeur (imm\'{e}diat) de $a.$
\end{definition}

Tout ça pour dire que si $a$  et $b$ sont consécutifs, il n'y a personne
entre eux, ils sont différents et l'un est plus grand que l'autre.


Revenons à nos ensembles ordonnés: pour ne pas avoir trop de flèches, on
convient de ne relier $x$ à $y$ que si $x$ est un prédécesseur de $y$ et
on  place  $x$  sous  $y$.  On obtient  alors  un  \textbf{diagramme  de
  \textsc{Hasse}}.

En fait,  il s'agit  d'un diagramme sagittal  où on élimine  les boucles
puisqu'on sait que  la relation est réflexive. On  élimine aussi les \og
raccourcis\fg{}: s'il y a  une flèche de $a$ vers $b$ ,  de $b$ vers $c$
et  de $a$  vers  $c$, on  élimine  la dernière  puisqu'on  sait que  la
relation  est transitive. Enfin,  on n'a  pas besoin  de flèches  car on
\og pointe vers le haut\fg{}.

Considérons par exemple l'ensemble $\ER=\bigl\{2,3,6,7,8,9,12,18\bigr\}$
et l'ordre partiel $\bigl\{(a,b)\mid a \text{ divise }b\bigr\}$.


Le diagramme de \textsc{Hasse} correspondant est:


\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetGraphUnit{1}
\Vertex{7}
\EA(7){2} \NOEA(2){6} \SOEA(6){3}
\NOEA(6){9} \NOWE(6){12} \NOEA(12){18} \WE(12){8}

\Edge(2)(8)
\Edge(2)(6)
\Edge(3)(6)
\Edge(6)(18)
\Edge(6)(12)
\Edge(3)(9)
\Edge(9)(18)
;
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramme            de            \textsc{Hasse}            de
  $\bigl\{\{2,3,6,7,8,9,12,18\},\mid\bigr\}$}\label{fig::hasse_divise}
\end{center}
\end{figure}


Voici        un       autre        exemple        pour       $\bigl\{\PR
\left(\bigl\{a,b,c\bigr\}\right),\subseteq\bigr\}$:


\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\SetGraphUnit{1.15}
\SetUpVertex[LabelOut]
\GraphInit[vstyle=Classic]
\Vertex[Lpos=-90,L=$\emptyset$]{O}
\NO[Lpos=-60,L=$\{c\}$](O){C}
\NOWE[Lpos=180,L=$\{a\}$](O){A}
\NOEA[Lpos=0,L=$\{b\}$](O){B}
\NO[Lpos=180,L=$\{ac\}$](A){D}
\NO[Lpos=-90,L=$\{ab\}$](C){E}
\NO[Lpos=0,L=$\{bc\}$](B){F}
\NO[Lpos=90,L=$\{abc\}$](E){G}
\Edge(O)(A)
\Edge(O)(B)
\Edge(O)(C)
\Edge(B)(F)
\Edge(A)(D)
\Edge(E)(G)
\Edge(A)(E)
\Edge(B)(E)
\Edge(D)(G)
\Edge(F)(G)
\Edge(C)(F)
\Edge(C)(D)
;
\end{tikzpicture}
\caption{Diagramme            de            \textsc{Hasse}            de
  $\bigl\{\PR
\left(\bigl\{a,b,c\bigr\}\right),\subseteq\bigr\}$
}\label{fig::hasse_inclus}
\end{center}
\end{figure}



\subsection{\'{E}l\'{e}ments remarquables}

Dans tout ce qui suit $\left( E,\leq \right) $ est un ensemble ordonn\'{e}
et $A$ est une partie de $E.$



\begin{definition}
  
\begin{itemize}
\item On dit que la partie $A$ est \textbf{major\'{e}e} par $u\in E$ si, et
seulement si, on a : 
$$
\text{pour tout }x\text{ de }A,x\leq u
$$

\item On dit que la partie $A$ est \textbf{minor\'{e}e} par $v\in E$ si, et
seulement si, on a : 
$$
\text{pour tout }x\text{ de }A,v\leq x
$$
\end{itemize}
\end{definition}



\begin{definition}
  On dit que $g$ est un\textbf{\ plus} \textbf{grand \'{e}l\'{e}ment}
(ou \'{e}l\'{e}ment maximum) de $A$ si, et seulement si, 
$$
g\in A\text{ et }\forall x\in A,x\leq g
$$

Si $g$ existe, il est unique et on ne doit pas parler d'un plus grand \'{e}l
\'{e}ment de $A$ mais du plus grand \'{e}l\'{e}ment de $A$.
\end{definition}

D\'{e}montrons
ce r\'{e}sultat : pour cela supposons que $g$ et $g^{\prime }$ sont deux
plus grands \'{e}l\'{e}ments de $A,$ nous avons alors%
\begin{eqnarray*}
\forall x &\in &A,x\leq g\text{ donc }g^{\prime }\leq g \\
\forall y &\in &A,y\leq g^{\prime }\text{ donc }g\leq g^{\prime }
\end{eqnarray*}%
L'antisym\'{e}trie de $\leq $ permet alors de conclure $g=g^{\prime }.$



 Le
plus grand \'{e}l\'{e}ment de $A$ (s'il existe) est not\'{e} $\operatorname{Max}(A)$
et c'est aussi \'{e}videmment le plus petit majorant de $A.$

\begin{definition}
On dit que $p$ est un \textbf{plus petit \'{e}l\'{e}ment} (ou \'{e}l%
\'{e}ment minimum) de $A$ si, et seulement si, 
\begin{equation*}
p\in A\text{ et }\forall x\in A,p\leq x
\end{equation*}%
Si $p$ existe, il est unique et on ne doit pas parler d'un plus petit \'{e}l%
\'{e}ment de $A$ mais du plus petit \'{e}l\'{e}ment de $A.$ 
\end{definition}

Le plus petit 
\'{e}l\'{e}ment de $A$ (s'il existe) est not\'{e} $\operatorname{Min}(A)$ et c'est
alors le plus grand minorant de $A.$








\begin{definition}
  Consid\'{e}rons $\mathcal{G}$ l'ensemble des majorants de $A.$ Si $%
\mathcal{G}$ admet un plus petit \'{e}l\'{e}ment $s$ c'est la \textbf{borne sup\'{e}rieure} de $A.$
\end{definition}


Bien remarquer que $s$ n'existe pas toujours et que s'il
existe, ce n'est pas forc\'{e}ment un \'{e}l\'{e}ment de $A$ ; par contre si 
$A$ admet un plus grand \'{e}l\'{e}ment c'est sa \textbf{borne sup\'{e}rieure%
}. La borne sup\'{e}rieure de $A$ dans $E$ est not\'{e}e $\Sup_{E}(A)$ ou $%
\Sup(A).$


\begin{definition}
 Consid\'{e}rons $\mathcal{P}$ l'ensemble des minorants de $A.$ Si $%
\mathcal{P}$ admet un plus grand \'{e}l\'{e}ment $i$ c'est la \textbf{borne inf\'{e}rieure} de $A.$
\end{definition}



Bien remarquer que $i$ n'existe pas toujours et que s'il
existe, ce n'est pas forc\'{e}ment un \'{e}l\'{e}ment de $A$ ; par contre si 
$A$ admet un plus petit \'{e}l\'{e}ment c'est sa \textbf{borne inf\'{e}rieure%
}. La borne inf\'{e}rieure de $A$ dans $E$ est not\'{e}e $\Inf_{E}(A)$ ou $%
\Inf(A).$

\begin{definition}
$a\in A,$ $a$ est \textbf{maximal} dans $A$ s'il n'existe pas d'\'{e}l%
\'{e}ment $x\in A$ v\'{e}rifiant $x\neq a$ et $a\leq x.$

$\alpha \in A,$ $\alpha $ est \textbf{minimal} dans $A$ s'il n'existe
pas d'\'{e}l\'{e}ment $x\in A$ v\'{e}rifiant $x\neq \alpha $ et $x\leq
\alpha .$
\end{definition}

Si $A$ admet un plus grand \'{e}l\'{e}ment, ce plus grand \'{e}l\'{e}%
ment est maximal et c'est le seul.


Si $A$ admet un plus petit \'{e}l\'{e}ment, ce plus petit \'{e}l\'{e}%
ment est minimal et c'est le seul.



\begin{NB}
Lorsque l'on peut repr\'{e}senter l'ensemble ordonn\'{e} $(E,\leq )$ \`{a}
l'aide  d'un diagramme  de \textsc{Hasse},  on voit  appara\^{\i}tre les
\'{e}l\'{e}ments minimaux ou maximaux \'{e}ventuels de $E$ ainsi que les
bornes ou \'{e} l\'{e}ments extr\'{e}maux \'{e}ventuels de toute partie de $E.$
\end{NB}


Observons     par    exemple     le    diagramme     de     la    figure
\vref{fig::hasse_divise}. L'ensemble $\ER$ ne  possède pas de plus grand
élément ni de plus petit élément.

Cependant, 8, 12, 18  et 7 sont les éléments maximaux et  2, 3 et 7 sont
les éléments minimaux.

 La partie $W=\left\{
8,12\right\} $ de $E$ n'admet pas de majorant, il n'y a pas dans $E$ d'\'{e}l%
\'{e}ment simultan\'{e}ment \og plus grand ou \'{e}gal\fg{} \`{a} 8 et 12. Il faut,
ici, entendre \og plus grand ou \'{e}gal que\fg{} comme \og \^{e}tre un multiple de\fg{} ! 
$W$ admet un unique minorant dans $E,$ c'est 2, qui divise simultan\'{e}ment
8 et 12; 2 \'{e}tant le \og plus grand\fg{} des minorants, c'est la borne inf\'{e}%
rieure de $W$. 

La partie $V=\left\{ 2,3,6\right\} $ admet 3 majorants dans $%
E,$: ce sont 6, 12 et 18; 6 est la borne sup\'{e}rieure de $V,$ c'est aussi
le plus grand \'{e}l\'{e}ment de $V.$%


\medskip


Observons  maintenant  le  diagramme  de  \textsc{Hasse}  de  la  figure
\vref{fig::hasse_inclus}.

Le plus  petit élément est  l'ensemble vide car $\emptyset  \subseteq A$
pour tout partie A de $\ER=\bigl\{a,b,c\bigr\}$.

Le plus grand élément est $\ER$ car toute partie A de $ \ER$ est incluse
dans $ \ER$.


\subsection{Ensemble bien ordonné}




\begin{definition}
$(E,\leqslant )$ est un \textbf{ensemble BIEN ordonné} si $\leqslant $
est un  ordre total et si tout  sous-ensemble non vide de  E contient un
plus petit élément.
\end{definition}

Est-ce que $(\bbz,\leqslant )$ est bien ordonné?



% a
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\vfill

\eject


 \section{Un peu de dénombrement}\label{denombrement}


Dans  cette  section,  il  sera  utile  de se  remémorer  ce  qu'est  le
\textbf{cardinal} d'un ensemble (cf section \vref{cardinal}).


\subsection{Détour historique}

\pro   Nous  allons  être   amenés  à   travailler  sur   des  ensembles
dénombrables.   Nous   étudions   pour   l'instant   les   mathématiques
\textit{discrètes}   avant   de  survoler   un   peu  de   mathématiques
\textit{continues}. Nous avons déjà parlé de cette distinction. 

Recentrons-nous  sur  les  ensembles:  on  parle  également  d'ensembles
discrets et continus.





\iutx Pouvez-vous être plus explicite~?

\pro Premier cas : l'ensemble contient un nombre fini de valeurs,
par exemple $\{0,1\}$.

Deuxième cas : l'ensemble est
infini, mais  on peut lister ses éléments, leur attribuer un
rang. On peut donc écrire ces valeurs sous la forme $v_1,
v_2,\cdots,v_n,\cdots$. L'ensemble discret le plus <<~naturel~>>
est l'ensemble $\bbn$ : $v_1=1, v_2=2, v_3=3\cdots$. En connaissez
vous d'autres~?

\iutx Tout simplement des parties de $\bbn$ : l'ensemble des
entiers pairs, des entiers multiples de 32 etc.

\pro En effet, il y a le premier entier pair, le deuxième, etc.
Tiens, pour rigoler : y a-t-il plus d'entiers que de multiples de
32~?

\iutx Oui, évidemment, pourquoi cette question~?

\pro Parce que la réponse n'est pas aussi évidente. En effet,
chaque multiple de 32 peut être mis en correspondance avec chacun
des éléments de $\bbn$ : $v_1=32, v_2=64,\cdots, v_n=32n,\cdots$.
Il y aurait donc <<~autant~>> d'entiers multiples de 32 que
d'entiers tout court~! Plus fort : on peut aussi montrer que
l'ensemble $\bq$ est dénombrable, et donc qu'il y a <<~autant~>>
de rationnels que d'entiers, alors qu'on vous a appris que
l'ensemble $\bbn$ était strictement inclus dans $\bq$~! Mais nous
abordons des notions extrêmement complexes qui débordent largement
notre cours.

\iutx Dans ces conditions, je suppose qu'il y a autant de nombres
réels que d'entiers et donc tout ensemble est dénombrable : il y a
le premier réel, puis le deuxième, etc.

\pro Bon, je suis allé trop vite et de manière trop vague. J'ai
précisé qu'on pouvait montrer que $\bq$ était dénombrable. Eh bien
allons-y~! L'idée est toute simple : un rationnel peut être
représenté par un couple d'entier. Par exemple 2/3 sera représenté
par le couple (2,3). Dans un repère du plan, un rationnel sera
donc un point à coordonnées entière et $\bq$ sera représenté par
l'ensemble des points à coordonnées entières. Prenez une feuille
mon petit Téhessix et représentez quelques-uns de ces points. Et
maintenant, un petit jeu qui me rappellera mes folles après-midis
à dévorer Pif-gadget : reliez par un trait les points suivants

$$(0,0)-(1,0)-(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,0)-(3,0)-(2,1)-(1,2)-(0,3)-(0,4)-\cdots$$

Nous allons donc pouvoir <<~numéroter~>> chaque rationnel  (1/2
porte par exemple le dossard 9) en prenant soin de <<~sauter~>> le
couple $(2,4)$ par exemple car il représente le même rationnel que
le couple $(1,2)$. L'ensemble $\bq$ va donc pouvoir être mis en
correspondance, terme à terme, avec l'ensemble $\bbn$, donc il y a
<<~autant~>> de rationnels  que d'entiers ! Faites un  petit dessin pour
l'illustrer.



\iutx Excusez-moi, mais si 1/2 porte déjà le numéro 9, on risque de
ne pas avoir assez d'entiers pour les numéroter tous.

\ill{\pro N'oubliez pas cher disciple que nous avons une réserve
\textsl{inépuisable} d'entiers. L'important, c'est d'avoir trouvé
une correspondance terme à terme (une bijection) entre les deux
ensembles.\\
Pour illustrer  ce propos, le mathématicien  \textsc{Hilbert}(1862-1943) imagina un
hôtel un peu  spécial qui comporterait une infinité  de chambres, toutes
numérotées  avec   un  entier.  Un  voyageur  arrive   et  voudrait  une
chambre. }{hilbert}\\
 On lui annonce que l'hôtel est complet mais qu'il va 
cependant pouvoir prendre la chambre numéro 1~:~tous les occupants iront
dans la chambre suivant la leur.

\iutx ah oui~:~celui de la chambre 1  va dans la chambre 2, celui de la 3
dans la 4 etc.

\pro et  il faut garder en mémoire  qu'il n'y a pas  de dernière chambre
donc il y en aura une pour chacun.

Imaginez  maintenant  qu'un  car  d'un  million de  touristes  arrive  à
l'hôtel.

\iutx pas de problème, on se décale d'un million de chambres.

\pro  et  si  un  hôtel  similaire a  des  problèmes  de  plomberie~:~la
direction déécide de reloger ses cleints à l'hôtel Hilbert.

\iutx ce n'est  plus possible~:~il faudrait se décaler  d'une infinité de
chambres.

\pro il existe pourtant de  nombreuses possibilités comme par exemple de
demander à  chaque client d'aller dans  la chambre portant  le double du
numéro de la chambre initiale.

\iutx voyons...l'occupant  de la 1 va  à la 2, celui  de la 2 va  à la 4,
celui de la 3 va à la 6...mmmm....je ne vois pas.

\pro  c'est  simple~:~les anciens  clients  vont  dans  les chambres  de
numéros  pairs  ce qui  laisse  aux  nouveaux  les chambres  de  numéros
impairs.

\iutx waouh, c'est un peu vertigineux.

\pro     un    mathématicien    contemporain     de    \textsc{Hilbert},
\textsc{Dedekind}(1831-1916), proposa  une définition d'un  ensemble infini~:~c'est
un  ensemble  E qui  peut   être  mis  en   bijection  avec  un   de  ses
sous-ensembles S, S étant strictement inclus dans E.

Par exemple, il y a autant d'entiers que d'entiers pairs donc $\bbn$ est
infini au sens de \textsc{Dedekind}.

\iutx Mais tout  à l'heure, en comptant les  rationnels, vous avez oublié
les rationnels négatifs. 

\pro Un détail~! Il suffit d'intercaler l'opposé de chaque terme
entre deux couples de notre suite :
$$(0,0)-(1,0)-(-1,0)-(0,1)-(0,-1)-(0,2)-(0,-2)-(1,1)-(-1,1)-(2,0)-(-2,0)-\cdots$$

\iutx Mais ce n'est qu'un dessin.

\pro Effectivement, il reste à mettre tout ça en forme en
introduisant une \textsl{bijection} bien choisie, mais le plus dur
est fait : c'est \textsc{Cantor} qui a eu cette intuition à la fin du
XIX\eme siècle.

C'est encore à lui que nous devons une preuve que
$\bbr$ n'est pas dénonbrable grâce au \textsl{raisonnement
diagonal de ... Cantor}. Notre ami
russo-dano-allemand\footnote{Cantor a ensuite proposé l'hypothèse
du continu en 1878 : il y a deux sortes de sous-ensembles infinis
de $\bbr$ : ceux qui sont en correspondance terme à terme avec
$\bbn$ et ceux qui sont en correspondance terme à terme avec
$\bbr$ : il n'y aurait donc pas <<~d'infini intermédiaire~>> entre
$\bbn$ et $\bbr$. Ce résultat contribua a rendre fou ce génial
mathématicien...} a prouvé que $J=[0,1]$ n'était pas dénombrable
de la manière suivante :

Raisonnons par l'absurde et supposons  que l'ensemble des points
de J soit dénombrable. Il existe alors au moins une suite $\un$ de
nombres réels vérifiant la propriété suivante :  pour tout réel
$x$ de$J$, il existe un entier $n$ pour lequel $x = u_n$

Explicitons de la sorte la suite $\un$ :

\begin{align*}
u_1&=0,u_{11}u_{12}u_{13}u_{14}\cdots u_{1n}\cdots\\
  u_2&=0,u_{21}u_{22}u_{23}u_{24}\cdots u_{2n}\cdots\\
  u_3&=0,u_{31}u_{32}u_{33}u_{34}\cdots u_{3n}\cdots\\
  u_4&=0,u_{41}u_{42}u_{43}u_{44}\cdots u_{4n}\cdots\\
  \vdots\ &=\quad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots\qquad\vdots
  \end{align*}


     La première décimale du premier terme est $u_{11}$, sa seconde décimale est $u_{12}$, ...
     La première décimale du second terme est $u_{21}$, sa seconde décimale est $u_{22}$, ...
     ...
     La première décimale du $n$\eme terme est $u_{n1}$, sa seconde décimale est $u_{n2}$, ...

Considérons alors le réel $x$ de l'intervalle $J$ ainsi défini :
$x = 0, x_1 x_2 x_3 \cdots x_n \cdots$ et la décimale $x_i$ de
rang $i$ sera 1 si $u_{ii}$ est différent de 1 et 2 dans le cas
contraire.

Par conséquent, $x$ ne peut égaler $u_1$ (il en diffère au moins
par $u_{11}$), $x$ ne peut égaler $u_2$ (il en diffère au moins
par $u_{22}$), $x$ ne peut égaler $u_3$ (il en diffère au moins
par $u_{33}$),... : l'égalité $x = u_n$ n'a lieu pour aucun entier
$n$, donc nous avons trouvé un élément de $J$...qui n'est pas dans
$J$ : belle contradiction. Notre supposition de départ est donc
fausse et $[0,1]$ n'est pas dénombrable, donc a fortiori $\bbr$
non plus.

\iutx Tout ceci est passionnant, mais qu'est-ce que cela a affaire
avec les probabilités~?

\pro Et bien quand une variable prend ses valeurs dans un ensemble
continu - $\bbr$ par exemple - on ne peut plus définir les
probabilités comme dans le cas discret.

\iutx Je ne vois pas pourquoi.

\pro Supposez que vous disposiez de 100 jetons identiques
numérotés de 1 à 100 dans un sac opaque et que vous en tiriez un
au hasard. La probabilité de tomber sur le jeton 32 est 1/100.
Pouvez-vous maintenant, même en disposant d'un temps infini,
inscrire tous les réels sur des jetons~?

\iutx Non, car nous venons  de voir qu'on ne peut les numéroter.

\pro Donc il faut procéder autrement. Par exemple, vous voulez
mesurer la longueur de votre sabre laser. Même avec le meilleur
instrument de mesure imaginable, vous n'obtiendrez qu'un
\textsl{intervalle} dans lequel se situe le résultat
exact (D'ailleurs, la probabilité pour que le résultat
exact soit un nombre décimal est nulle (cf l'aparté~\vpageref{paradox})) (au cm
près, au $\mu$m près, à l'$\mathring{A}$ près,...). De même, si
vous demandez à votre calculatrice de vous donner un nombre réel
au hasard dans $[0,1]$, elle se contentera de vous donner un
intervalle.

\iutx Pourtant un nombre s'affiche.

\pro Oui mais l'événement <<~obtenir 0.3232 sur l'écran de la
calculatrice~>> est en fait l'événement <<~obtenir, lors du choix
au hasard, un nombre situé dans l'intervalle
$[0,32315\,;\,0,32325[$~>>.  De même qu'on peut penser que la
<<~probabilité~>> (on ne l'a pas encore définie) de rencontrer une
personne mesurant \textsl{exactement} 1,88m est nulle, et
d'ailleurs vous vous en fichez, puisqu'il n'existe aucun moyen de
vérifier quelle est exactement sa taille. En fait, la probabilité
d'obtenir exactement 32 doit logiquement être nulle.

\iutx Ça me fait un peu penser à ce que j'ai entendu dire de la
physique quantique : on peut prévoir où se trouve à peu près une
particule élémentaire, mais on ne peut pas savoir exactement où
elle se trouve à un moment donné.

\pro En effet ! D'ailleurs, les notions mathématiques que nous
abordons et les théories physiques que vous évoquez ont été
développées presque simultanément. De plus, l'équation quantique
par excellence, la fameuse \textsl{équation de \textsc{Schrödinger}}, fait
en fait intervenir la densité de probabilité de présence de la
particule au point considéré.

 \begin{extra}[Incroyables réels : quelques quasi-paradoxes]\label{paradox}
 Vous connaissez déjà des nombres réels particuliers : les
entiers, les rationnels, les irrationnels. D'autres catégories
(pouvant recouper les ensembles habituels) sont utilisées. Ainsi,
les nombres racines de polynômes à coefficients entiers sont
appelés \textsl{nombres algébriques} : c'est le cas de 1 (solution
de $x-1=0$), de 1/3 (solution de $3x-1=0$), de $\sqrt{2}$
(solution de $x^2-2=0$), etc. On connaît des nombres qui ne sont
pas algébriques, on les appelle les \textsl{nombres
transcendants}. C'est le cas par exemple de $\pi$ et de $e$. Au
premier abord, il semble qu'il y ait beaucoup plus de nombres
algébriques que de nombres transcendants (vous n'en connaissez que
deux !). Un jour de pur délire, on pourrait même envisager qu'il y
ait autant de nombres de chaque catégorie. Or, si on prend un
nombre au hasard dans l'intervalle $[0,1]$, vous calculerez
peut-être un jour que la probabilité d'obtenir un nombre
transcendant vaut ....1!!!! En effet, la <<~mesure~>> de
l'ensemble des nombres algébriques est nulle. Pourtant, demandez à
un ordinateur de vous donner un milliard de nombres au hasard
entre 0 et 1, l'écran ne vous affichera que des nombres
algébriques (décimaux même !). Mathémator  a déjà parlé de ce
problème. L'ensemble $\bbr$ recèle bien d'autres résultats
étonnants. Il existe une famille de nombres correspondant elle
aussi à une probabilité de 1, pourtant, les mathématiciens ne
connaissent qu'un seul de ces nombres dont ils ne peuvent calculer
que quelques décimales (d'ailleurs ils ne pourront jamais en
trouver plus car il est par essence non calculable !). L'étude de
l'intervalle $[0,1]$ renvoie donc à des résultats parfois plus
philosophiques que techniques...
               \end{extra}





\subsection{Quelques résultats sur les cardinaux}


\subsubsection{Cardinal de P(E)}
Soit $E_2=\bigl\{a,b\bigr\}$
et $E_3=\big\{a,b,c\big\}$. 
En fait,  $E_3=E_2\cup \bigl\{c\bigr\}$. Les parties de  $E_3$ sont donc
les parties de $E_2$ et ces mêmes parties auxquelles on adjoint c. 

En
effet,                                                          $\mathcal
P(E_3)=\Bigl\{\emptyset,\bigl\{a\bigr\},\bigl\{b\bigr\},\bigl\{a,b\bigr\},
\emptyset\cup                         \bigl\{c\bigr\},\bigl\{a\bigr\}\cup
\bigl\{c\bigr\},\bigl\{b\bigr\}\cup
\bigl\{c\bigr\},\bigl\{a,b\bigr\}\cup \bigl\{c\bigr\}\Bigr\}$.

Ainsi      $\left|\mathcal      P(E_3)\right|=2\times     \left|\mathcal
  P(E_2)\right|$.

Notons  de  manière générale  $E_n$  un  ensemble  à $n$  éléments  avec
$n\in\bbn$   et  $E_{n+1}=E_n\cup  \bigl\{\alpha\bigr\}$   avec  $\alpha
\not\in E_n$. On montre facilement que  $\left|\mathcal      P(E_{n+1})\right|=2\times     \left|\mathcal
  P(E_n)\right|$.  Or   $\mathcal  P(E_0)=\bigl\{\emptyset\bigr\}$  donc
$\left|\mathcal P(E_0)\right|=1$. 

une rapide récurrence permet donc de prouver que:

%\begin{figure}[!h]
  \begin{theoreme}[cardinal de $\boldmath \mathcal P(E)\unboldmath$]
    Si $\left|E\right|=n$ alors $\left|\mathcal P(E)\right|=2^n$
    \end{theoreme}
%  \end{figure}


\subsubsection{Cardinal d'une partition}

Il est assez immédiat d'obtenir le résultat suivant:

\begin{theoreme}[cardinal d'une partition]\label{cardpart}
    Si la famille $(A_i)_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ de parties non
   vides d'un ensemble E  réalise une \textbf{partition} de cet ensemble
   alors:

\[\left|E\right|=\sum_{i=1}^n \left|A_i\right|\]
    \end{theoreme}


\footnote{Pour compter les élèves de la promo, il suffit de compter les élèves de
chaque groupe et d'additionner les résultats...}


\subsubsection{Cardinaux et inclusion}

\begin{theoreme}[]\label{cardinc}
    $\forall (A,B)\in\mathcal P(E)\times  \mathcal P(E),\ A\subset B\imp
    |A|\ie |B|$
    \end{theoreme}


Pour  le  prouver,  il  suffit  d'utiliser  une  petite  ruse  (bientôt)
habituelle: A et $\overline{A}\cap B$  forment une partition de B donc,
d'après             le             théorème             \vref{cardpart},
$\left|A\right|+\left|\overline{A}\cap   B\right|=\left|B\right|$,  donc
$\left|A\right|\ie \left|B\right|$

\footnote{Cette   application  n'est   pas   une  équivalence~!   Prenez
  $A=\bigl\{1\bigr\}$ et $B=\bigl\{3 ; 4\bigr\}$}

\subsubsection{Cardinal d'un produit cartésien}





Voici un autre résultat qui sera bien utile:


\begin{theoreme}[cardinal d'un produit cartésien]
     Soit   $(A_i)_{i\in\llbracket  1,n\rrbracket}$   des   parties  d'un
    ensemble E.  

$$\left|\displaystyle\prod_{i=1}^nA_i\right|=\displaystyle\prod_{i=1}^n\left|A_i\right|$$ 
    \end{theoreme}


En   effet,   pour   chaque    $n$-liste   $(x_1,...,x_n)$,   il   y   a
$\left|A_1\right|$ choix pour la première composante, $\left|A_2\right|$
choix pour la deuxième, etc.

\subsubsection{Formule du crible}


Nous n'en verrons qu'un cas particulier que vous devez déjà connaître:

\begin{theoreme}[formule du crible pour deux ensembles]\label{crible}
    $\forall  (A,B)\in\mathcal  P(E)\times  \mathcal P(E),\  \left|A\cup
      B\right|=\left|A\right|+\left|B\right|-\left|A\cap B\right|$
    \end{theoreme}

Pour le  démontrer, nous allons former  une partition de  $A\cup B$ avec
$A\cap \overline{B}$, $\overline{A}\cap B$ et $A\cap B$.

Mais on peut également \og partitionner\fg{} A avec $A\cap \overline{B}$
et $A\cap B$ puis \og partitionner\fg{} B avec $B\cap \overline{A}$
et $B\cap A$.

On  obtient  donc  que $|A|=\left|A\cap  \overline{B}\right|+\left|A\cap
  B\right|$ puis que $|B|=\left|B\cap  \overline{A}\right|+\left|B\cap
  A\right|$.


On en déduit que $\left|A\right|+\left|B\right|=\left|A\cap  \overline{B}\right|+\left|B\cap  \overline{A}\right|+\left|A\cap
  B\right|+\left|B\cap
  A\right|$ et enfin que: $$\left|A\right|+\left|B\right|-\left|A\cap B\right|=\left|A\cap  \overline{B}\right|+\left|B\cap  \overline{A}\right|+\left|A\cap
  B\right|=\left|A\cup B\right|$$




\subsection{Dénombrement}


Lorsqu'on compte des \og objets\fg{}, on met  en \og
correspondance\fg{}  des  éléments de  $\bbn$  avec des  objets: on
\emph{dénombre}. 

Cela  peut  parfois  être  simple: combien  y  a-t-il  d'issues  à  une
expérience de pile ou face~?...

Mais on peut  souvent avoir besoin d'outils performants  que nous allons
présenter à présent.


\subsubsection{Permutations}


  \begin{definition}[permutation]
    Soit E un ensemble  de cardinal $n$. On appelle \textbf{permutation}
    de E toute disposition ordonnée ($n$-liste) des $n$ éléments de E.
    \end{definition}
  


Par exemple,  les permutations de  $\bigl\{a,b,c\bigr\}$ sont $(a,b,c)$,
$(a,c,b)$, $(b,a,c)$, $(b,c,a)$, $(c,a,b)$, $(c,b,a)$.



\begin{theoreme}[nombre de permutations]
    Il y a $n!$ permutations d'un ensemble de $n$ éléments.
    \end{theoreme}




La démonstration  s'effectue par  récurrence. Il y  a bien sûr  1! façon
de permuter 1 élément.

On peut  donc supposer qu'il existe au  moins un entier $k$  tel qu'il y
ait $k!$ permutations d'un ensemble à $k$ éléments.

Considérons un ensemble à $k+1$ éléments. On en choisit 1: il y a $k+1$
choix possibles. Ensuite, il  s'agit d'ordonner les $k$ éléments restant
ce qui laisse $k!$ possibilités.

Il y a donc finalement $(k+1)\times k!=(k+1)!$ permutations au total.


On retrouve  dans l'exemple précédent  qu'il y a $3!=6$  permutations de
$\bigl\{a,b,c\bigr\}$.


\footnote{On conviendra que $0!=1$}

\subsubsection{Combinaisons}


Il n'y a pas assez de gagnants au loto. Les règles en sont donc
modifiées. Il s'agit maintenant de trouver 3 numéros parmi 5.
Combien y a-t-il de grilles (combinaisons) possibles~?

Par exemple, on pourrait dire que j'ai cinq manières de choisir le
premier numéro, quatre choix pour le deuxième et trois choix pour
le troisième, donc il y a $5\times 4\times 3$ grilles différentes
mais  dans  ce cas,  je  compte des  3-listes  ordonnées  alors que  les
3-listes  $(1,2,3)$  et $(3,2,1)$  correspondent  à  la  même grille  ou
combinaison $\bigl\{1,2,3\bigr\}$.  

 


Posons une petite définition pour clarifier les débats. Donnons en
fait un nom à une grille du loto, c'est à dire à un sous-ensemble
(une partie) contenant $p$ éléments d'un plus grand ensemble
contenant $n$ éléments.


  \begin{definition}[combinaison sans répétition]
    Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels et $E$ un ensemble contenant $n$ éléments. Un sous-ensemble de $E$ contenant $p$
éléments est appelé  une \textbf{combinaison} de $p$ éléments  de $E$ ou
encore une {$\boldmath p\unboldmath$}\textbf{-combinaison} d'éléments de
\unboldmath${E}$.
    \end{definition}
  

Or ce qui nous intéresse, c'est le nombre de ces combinaisons,
donc introduisons une notation


  \begin{definition}[nombre de combinaisons sans répétitions]
     Le nombre de $p$-combinaisons  d'un ensemble contenant $n$ éléments
     est noté ${n\choose p}$ ou encore $C_n^p$
    \end{definition}
  

Revenons à notre mini-loto. Considérons une grille quelconque
(c'est à dire une 3-combinaison de l'ensemble des 5 numéros): par
exemple $\{2,4,5\}$. Nous  avons vu dans le paragraphe précédent
qu'il y a $3!$ facons d'ordonner ces nombres. Finalement, il y a
${5\choose 3} \times 3!$ suites de 3 nombres ordonnées. Or nous en
avons comptées $5\times 4\times 3$ tout à l'heure. Nous en
déduisons finalement que
$${5\choose 3}=\frac{5\times 4\times 3}{3!}$$

Il est alors aisé de généraliser la formule suivante:


  \begin{propriete}[]
     $${n\choose p}=\frac{n\big(n-1\big)\big(n-2\big)\cdots\big(n-(p-1)\big)}{p!}$$
    \end{propriete}
  

Nous pouvons formuler cette propriété plus synthétiquement. En
effet
$${n\choose
p}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)}{p!}\times
\frac{(n-p)(n-p-1)(n-p-2)\times\cdots\times 2\times
1}{(n-p)(n-p-1)(n-p-2)\times\cdots\times 2\times
1}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$ d'où




\begin{theoreme}[]
  $${n\choose p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$$
\end{theoreme}



Cette formule nous permet un calcul direct des nombres ${n\choose p}$
mais il faut s'en m\'{e}fier car il est difficile de l'utiliser directement d%
\`{e}s que $n$ est grand $(70!>10^{100}).$ Il est donc utile de remarquer
que 
$$
{n \choose p}=\dfrac{n}{p}{{n-1}\choose {p-1}}
$$
on a alors un algorithme r\'{e}cursif pour calculer ${n\choose p}.$



\begin{theoreme}
Le nombre de suites strictement croissantes de $p$ \'{e}l\'{e}ments de $
\mathbb{N}_{n}$ est ${n\choose p}.$
\end{theoreme}

D\'{e}monstration : il suffit de remarquer que l'on d\'{e}finit une
bijection entre l'ensemble des combinaisons de $\mathbb{N}_{n}$ \`{a} $p$ 
\'{e}l\'{e}ments et l'ensemble des suites strictement croissantes de $p$ 
\'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{N}_{n}$ en associant \`{a} toute combinaison $%
\left\{ i_{1},i_{2},\cdots ,i_{p}\right\} $ l'unique suite o\`{u} $%
i_{1},i_{2},\cdots ,i_{p}$ sont rang\'{e}s par ordre croissant.




\subsection{Triangle de Pascal - Binôme de Newton}

%\subsection{Raisonnement calculatoire}

À l'aide des formules précédentes, on prouve facilement (faites-le~!) le
résultat suivant:



  \begin{propriete}[]
    $$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$$
    \end{propriete}
  




On établit ensuite, toujours par le calcul, la relation suivante, dite \textbf{Relation de Pascal} même si les mathématiciens chinois l'avaient
mise en évidence avant lui:


\begin{theoreme}[relation de \textsc{Pascal}]\label{fpascal}
     $$\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$$
    \end{theoreme}


Il est  possible de démontrer  cette formule à l'aide  d'un raisonnement
ensembliste: pour former  des groupes de $p$ éléments  dans un ensemble
en contenant $n$, on distingue un élément $n_0$ quelconque:
\begin{itemize}
\item soit le groupe le contient et alors il y a $\binom{n-1}{p-1}$
  choix des $p-1$ éléments distincts de $n_0$ parmi les $n-1$ restant~;
\item soit  le groupe  ne le contient  pas et  il faut donc  choisir $p$
  éléments parmi  les $n-1$  éléments distincts de  $n_0$: il y  a donc
  cette fois $\binom{n-1}{p}$.
\end{itemize}





Cette   relation  permet   de  démontrer   la  formule   du   binôme  de
\textsc{Newton}:


\begin{theoreme}[formule   du   binôme  de
\textsc{Newton}]
$$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$$
    \end{theoreme}



    \begin{recherche}
      Pour calculer les nombres $\binom{n}{p},$ on vient de donner trois m%
\'{e}thodes (donc 3 algos) tout en sachant que $\binom{n}{p}=0$ si $%
n>p$ et $\mathcal{C}_{n}^{0}=1$%
\begin{eqnarray*}
\binom{n}{p} &=&\frac{n!}{p!(n-p)!} \\
\binom{n}{p} &=&\dfrac{n}{p}\binom{n-1}{p-1} \\
\binom{n}{p} &=&\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}
\end{eqnarray*}%
et vous devez cr\'{e}er un programme qui calcule les nombres $\binom{n}{p}.$ Donner les avantages et les inconv\'{e}nients de ces 3 m\'{e}%
thodes.
    \end{recherche}


\subsection{Combinaisons avec r\'{e}p\'{e}titions.}

Soit $E=\left\{ e_{1},e_{2},e_{3},\cdots ,e_{n}\right\} $ un ensemble ordonn%
\'{e}, $e_{1}<e_{2}<\ldots e_{n}.$ On appelle $p$-combinaison avec r\'{e}p%
\'{e}titions de $E$ tout $p$-uplet du type 
$$
\begin{array}{l}
\underset{x_{1}\text{ fois}}{\underbrace{e_{1},e_{1},\cdots },}\underset{%
x_{2}\text{ fois}}{\underbrace{e_{2},e_{2},\cdots }}\underset{x_{3}\text{
fois}}{,\underbrace{e_{3},e_{3},\cdots },}\cdots \underset{x_{n}\text{ fois}}%
{,\underbrace{e_{n},e_{n},\ldots }} \\ 
\text{avec }\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=p,\text{ des }x_{k}\text{ pouvant 
\^{e}tre nuls.}%
\end{array}%
$$
D\'{e}terminer le nombre de tels $p$-uplets c'est d\'{e}terminer le nombre
de $p$-combinaisons avec r\'{e}p\'{e}titions de $E$ et c'est donc d\'{e}%
terminer le nombre de $n$-uplets 
$$
\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{N}^{n}\text{ v\'{e}%
rifiant }\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=p
$$

\begin{theoreme}
Le nombre  de $p$-combinaisons avec  répétitions dans un ensemble  à $n$
éléments est: 
$$
\Gamma _{n}^{p}=\binom{n+p-1}{p}
$$
\end{theoreme}

\textbf{D\'{e}monstration} : \`{a} chaque $n$-uplet $\left(
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{N}^{n}$ v\'{e}rifiant $%
\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=p,$ associons le mot construit de la fa\c{c}on
suivante :

\begin{itemize}
\item autant de $a$ que la valeur de $x_{1}$ puis un $b$

\item autant de $a$ que la valeur de $x_{2}$ puis un $b$

\item $\cdots $

\item autant de $a$ que la valeur de $x_{n-1}$ puis un $b$

\item autant de $a$ que la valeur de $x_{n}$
\end{itemize}

Nous obtenons un mot de longueur $n+p-1$ comportant exactement $p$ fois le
symbole $a,$ puisque $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=p,$ et $n-1$ fois le
symbole $b.$ Notons $\MR_{p,n-1}$ l'ensemble des mots de ce type. Il est
clair que nous venons de d\'{e}finir une bijection entre l'ensemble des $n$%
-uplets $\left( x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{N}^{n}$ v\'{e}%
rifiant $\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}=p$ et $\MR_{p,n-1}.$ Le cardinal de $%
\MR_{p,n-1}$ \'{e}tant $\binom{n+p-1}{p}$ on obtient bien le r\'{e}%
sultat attendu.

\begin{theoreme}
Le nombre de suites croissantes, au sens large, de $p$ \'{e}l\'{e}ments de $%
\mathbb{N}_{n}$ est \'{e}gal \`{a} $\Gamma _{n}^{p}.$
\end{theoreme}

D\'{e}monstration : consid\'{e}rons une suite croissante de $p$ \'{e}l\'{e}%
ments de $\mathbb{N}_{n}$ : 
$$
x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq \cdots \leq x_{p}
$$

et consid\'{e}rons l'application $\varphi $ d\'{e}finie par : 
$$
y_{i}=\varphi (x_{i})=x_{i}+i-1,i\in \left\{ 1,2,3,\cdots ,p\right\}
$$
Il est clair que $y_{1}<y_{2}<y_{3}<\cdots <y_{p}.$ $\varphi $ d\'{e}finit
donc une bijection entre l'ensemble des suites croissantes de $p$ \'{e}l\'{e}%
ments de $\mathbb{N}_{n}$ et l'ensemble des suites strictement croissantes
de $p$ \'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{N}_{n+p-1}$, or le nombre de suites
strictement croissantes de $p$ \'{e}l\'{e}ments de $\mathbb{N}_{n+p-1}$ est $%
\binom{n+p-1}{p}=\Gamma _{n}^{p}.$

\begin{exemple}
On doit ranger 10 cahiers dans 5 tiroirs, d\'{e}terminer le nombre de
rangements possibles si

\begin{enumerate}
\item les cahiers sont discernables ;

\item les cahiers sont indiscernables
\end{enumerate}
\end{exemple}

\vfill

\eject


% a
% %%%%%%%%%




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%                     E X E R C I C E S

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}

\small
\begin{listeexercices}


\subsection{Raisonnements}

\begin{exercice}
On note $P=$ \og $x$ est un entier naturel\fg{} et $Q=$ \og $2x$ est un entier naturel
pair\fg{}.

\begin{enumerate}
\item $P\Rightarrow Q${\ est-il un th\'{e}or\`{e}me ?}

\item {Traduire }$\lnot Q\Rightarrow \lnot P.$

\item $Q\Rightarrow P$ est-il un th\'{e}or\`{e}me ?

\item $\lnot P\Rightarrow \lnot Q${\ est-il un th\'{e}or\`{e}me ?}

\item $P\Leftrightarrow Q$ est-il un th\'{e}or\`{e}me ?
\end{enumerate}


\end{exercice}

\begin{exercice}
$a$ et $b$ d\'{e}signent des r\'{e}els et il est clair que l'affirmation ou
l'\'{e}nonc\'{e} $P=$\og$a=b$\fg{}$\Rightarrow Q=$\og$a^{2}=b^{2}$\fg{} est bien un th%
\'{e}or\`{e}me.


\begin{enumerate}
\item $P$ est-elle une condition n\'{e}cessaire de $Q$ ?

\item $Q$ est-elle une condition n\'{e}cessaire de $P$ ?

\item $P$ est-elle une condition suffisante de $Q$ ?

\item $Q$ est-elle une condition suffisante de $P$ ?

\item Traduire $\lnot Q\Rightarrow \lnot P.$

\item $a\neq b\Rightarrow a^{2}\neq b^{2}$ est-il un th\'{e}or\`{e}me ?
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
  \item Montrer par une preuve  directe que \og \textit{$n$ et $m$ sont
    des  entiers pairs\fg{}  $\Longrightarrow$ \og  $n+m$ est  un entier
    pair}\fg{} est un théorème.
\item  Montrer par contraposition  que \og  \textit{$n^2$ est  un entier
    pair}\fg{}   $\Longrightarrow$  \og   \textit{$n$   est  un   entier
    pair}\fg{} est un théorème.
\item  Montrer  par  l'absurde  que  \og  \textit{$n+m$  est  un  entier
    impair}\fg{}  $\Longrightarrow$  \og  \textit{exactement un  nombre,
    parmi $n$ et $m$ est un entier impair}\fg{} est un théorème.
  \end{enumerate}
\end{exercice}





\begin{exercice}
On consid\`{e}re la suite $u$ d\'{e}finie par 
$$
\left\{ 
\begin{array}{l}
u_{0}=1 \\ 
n\in \mathbb{N},u_{n+1}=\dfrac{1}{2+u_{n}}%
\end{array}%
\right.
$$%
D\'{e}montrer par r\'{e}currence que pour tout $n\in \mathbb{N}$ on a $
u_{n}\in \left[ 0,1\right] .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
D\'{e}montrer par une r\'{e}currence simple que $$\sum\limits_{i=1}^{n}i=%
\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}.$$
\end{exercice}

\begin{exercice}
D\'{e}montrer directement (pas par r\'{e}currence) que $$\sum%
\limits_{i=1}^{n}i=\dfrac{n\left( n+1\right) }{2}.$$
\end{exercice}








\begin{exercice}[Factorielle]
Écrivez un algorithme récursif qui donne $n!$ pour tout entier naturel $n$.
\end{exercice}


\begin{exercice}[Somme]
Écrivez un algorithme récursif qui calcule $\sum_{k=0}^{n}f(k)$ pour une fonction
$f$ donnée.
\end{exercice}



  \begin{exercice}[Division euclidienne]
Déterminer  un algorithme  récursif  qui renvoie  le  quotient de  deux
entiers naturels non nuls $a$ et $b$.

Déterminer un algorithme récursif qui renvoie le
reste entier de $a$ et $b$.
  \end{exercice}


  \begin{exercice}[Somme de chiffres]
Donnez un  algorithme récursif  qui calcule la  somme des  chiffres d'un
entier naturel $n$ écrit en base 10.
  \end{exercice}



  \begin{exercice}[Héron]\label{heron}
    
\textsc{Héron} d'Alexandrie a trouvé une méthode permettant de déterminer
une approximation de la racine  carrée d'un nombre positif vingt siècles
avant l'apparition des ordinateurs.

Si  $x_n$  est une  approximation  strictement  positive  par défaut  de
$\sqrt{a}$, alors $a/x_n$ est  une approximation par excès de $\sqrt{a}$
(pourquoi~?) et vice-versa.

La    moyenne   arithmétique    de   ces    deux    approximations   est
$\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$  et constitue  une meilleure
approximation que les deux précédentes.

On  peut  montrer c'est  une  approximation  par  excès (en  développant
$\left(x_n-\sqrt{a}\right)^2$ par exemple).

On obtient  naturellement un algorithme... Donnez  une version récursive
 prenant en argument  le nombre dont on cherche la racine
carrée, une première approximation $x_0$ et une précision \verb+eps+.


  \end{exercice}



  \begin{exercice}[Décimales de e]
    

Posons $e_n=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}$

Alors on a aussi
$$e_n=1+1+\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{4}\left(\cdots \left(\frac{1}{n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\right)\right)\right)$$


Un           exercice           classique           montre           que
$e-e_n \ie \frac{n+2}{n+1}\frac{1}{(n+1)!}$.

Ainsi,   pour  $n=167$,   on   obtiendra  $300$   bonnes  décimales   au
moins: trouvez-les~!

  \end{exercice}


%

  \begin{exercice}[Fractions continues dans Q]
    
 \begin{itemize}
  
\item Vous connaissez l'algorithme suivant:

%\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{eqnarray}
172&=&3\times\textcolor{0.2white}{51}+\textcolor{0.2white}{19}\\
\textcolor{0.2white}{51}&=&2\times\textcolor{0.2white}{19}+13\\
19&=&1\times13+6\\
13&=&2\times 6+1\\
6&=&6\times 1+0
\end{eqnarray}
%\end{minipage}

\item On peut donc facilement compléter  la suite d'égalité suivante:


%\begin{minipage}{\textwidth}
$$\frac{172}{51}=3+\frac{19}{51}=3+\frac{1}{\frac{51}{19}}=3+\frac{1}{2+
  \frac{13}{19}}=\dots $$
%\end{minipage}

\item  Quand  tous les  numérateurs  sont  égaux à  1,  on  dit qu'on  a
  développé $\frac{172}{51}$ en
  fraction continue et pour simplifier l'écriture on note:
$$\frac{172}{51}=[3; 2; \dots ]$$

\item Par exemple, on peut développer  $\frac{453}{54}$ en fraction continue.

\item Dans l'autre sens on peut écrire $[2; 5; 4]$ sous la forme d'une fraction irréductible.

  \end{itemize}

On suppose connus les algorithmes  donnant le reste et le quotient d'une
division euclidienne.

Écrivez un algorithme donnant le développement en fraction continue d'un
rationnel.



Écrivez ensuite un algorithme récursif qui effectue la transformation inverse.

  \end{exercice}






  \begin{exercice}[Fractions continues dans R]

En  fait,  l'étude précédente  correspond  à  un  cas particulier  d'une
définition plus générale.

Soit $x$ un  réel non entier. On construit une  suite entière $(z_n)$ de
la manière suivante:


\[x=z_0+\frac{1}{x_1}\qquad          z_0=\lfloor          x\rfloor\qquad
x_1=\frac{1}{x-z_0}\]

puis, tant que $x_k$ n'est pas entier:


\[x_k=z_k+\frac{1}{x_{k+1}}\qquad          z_k=\lfloor          x_k\rfloor\qquad
x_{k+1}=\frac{1}{x_k-z_k}\]


Le  développement de  $x$ en  fractions  continues est  alors donné  par
$[z_0,z_1,z_2,\dots]$, cette liste pouvant être infinie.
    

Écrivez un  algorithme récursif qui donne $n$  chiffres du développement
en fraction continue d'un nombre $x$ donné.
  \end{exercice}

  \begin{exercice}
On  définit  deux fonctions  \verb+tete+  et  \verb+queue+ qui  renvoient
respectivement le premier  élément d'une liste et la  liste privée de sa
tête. La syntaxe dépend des langages.

Écrivez à  présent une fonction  récursive qui renvoie le  maximum d'une
liste de nombres.

  \end{exercice}


  \begin{exercice}[Palindrome]
Écrivez un algorithme récursif qui vérifie si une liste est un palindrome.
  \end{exercice}








  \begin{exercice}[Nombres parfaits]

Un nombre parfait  est un nombre entier $n$  strictement supérieur à $1$
qui est égal à la somme de ses diviseurs (sauf $n$ bien sûr~!).

\begin{enumerate}
\item Il y en a un caché entre 1 et 10: trouvez-le...
\item Écrivez un algorithme récursif qui donne la liste des diviseurs
  d'un entier autres que lui-même.
\item  Écrivez un  algorithme qui  calcule la  somme des  éléments d'une
  liste.
\item  Écrivez un  algorithme  qui  détermine si  un  nombre entier  est
  parfait.
\item Écrivez un algorithme récursif qui donne la liste des nombres
parfaits entre 1 et un nombre $n$ donné.
\end{enumerate}

  \end{exercice}



  \begin{exercice}[Décomposition en base 2]

Une  méthode  pour  obtenir  l'écriture   en  base  2  d'un  nombre  est
d'effectuer des divisions successives. Par exemple pour 11:

\begin{center}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{11}{2}\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{5}{2}
\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{2}{2}
\hspace{1cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\color{gray},resultstyle=\color{blue}]{1}{2}

\end{center}

\begin{align*}
11 &=\Bigl(2\times5+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times\bigl(2\times2+1\bigr)+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times\bigl(2\times(2\times 1)+1\bigr)+1\Bigr)
\\ &=\Bigl(2\times (2^2+1)+1\Bigr)
\\ &=2^3+2+1
\\ &=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0 
\end{align*}



L'écriture de  11 en base  2 est donc  1011: c'est la liste  des restes
obtenus mais dans l'ordre inverse.


La méthode est facilement généralisable.  


Écrivez un algorithme récursif qui donne la décomposition d'un entier en
base 2 sous forme d'une liste.
  \end{exercice}




  \begin{exercice}


On   définit la  partie entière  d'un réel $x$  comme étant  le plus
grand entier inférieur à $x$.



On part du fait que la  partie entière d'un nombre appartenant à $[0;1[$
est nulle.

Commentez l'algorithme suivant:


\begin{algo}
\FUNC{partie\_entiere}{%
\pfarg{x}{flottant}}{entier}
\BEGIN
\IF{x>=0 et x<1}
\RETURN{0}
\ELSE
\IF{x>=0}
\RETURN{1+partie\_entiere(x-1)}
\ELSE
\RETURN{-1+partie\_entiere(x+1)}
\ENDIF
\ENDIF
\END
\end{algo}



  \end{exercice}




  \begin{exercice}
    Prouvez par récurrence l'exactitude de l'algorithme suivant:


\begin{algo}
\FUNC{Carré}{%
\pfarg{n}{entier positif}}{entier positif}
\BEGIN
\STATE{sq \recoit{} 0}
\FOR{i}{1}{n}
\STATE{sq \recoit{} sq+2*i-1}
\ENDFOR
\RETURN{sq}
\END
\end{algo}


  \end{exercice}







\begin{exercice}
On se propose de d\'{e}montrer que tous les \'{e}tudiants en informatique
ont le m\^{e}me \^{a}ge et, pour cela, on note $P\left( n\right) $
l'affirmation%



\og \textit{si \ on choisit $n$ \'{e}tudiants en informatique $\left( n\in \mathbb{N}%
^{\ast }\right) $, il est s\^{u}r qu'ils ont tous le m\^{e}me \^{a}ge}\fg{}%



Il est clair que $P\left( 1\right) $ est vraie. 

D\'{e}montrons que $P\left(
n\right) \Rightarrow P\left( n+1\right)$. Pour cela nous supposons que $%
P\left( n\right) $ est vraie (c'est l'hypoth\`{e}se de r\'{e}currence) et
nous choisissons un groupe quelconque de $n+1$ \'{e}tudiants que nous
ordonnons par ordre alphab\'{e}tique (pourquoi pas). D'apr\`{e}s l'hypoth%
\`{e}se de r\'{e}currence, les $n$ premiers de l'ordre alphab\'{e}tique ont
tous le m\^{e}me \^{a}ge ainsi que les $n$ derniers. Comme ces deux groupes
de $n$ \'{e}tudiants ont au moins un \'{e}tudiant en commun, on en d\'{e}%
duit qu'ils ont tous le m\^{e}me \^{a}ge.%

Nous venons de d\'{e}montrer que $P\left( n\right) \Rightarrow P\left(
n+1\right) $ pour tout $n\geq 1$ et, comme $P\left( 1\right) $ est vrai, $%
P\left(  n\right) $  est toujours  vrai pour  tout $n\geq  1.$ \textbf{Y
  a-t-il une erreur dans le raisonnement ?}
\end{exercice}

\subsection{Ensembles}

\begin{exercice}
On rappelle qu'une paire ordonnée (ou couple) se note $(a,b)$ et qu'on a 
$$(a,b)=(x,y) \Leftrightarrow a=x \text{ et } b=y$$
Montrez que le couple $(a,b)$ peut également être défini par:
$$(a,b)=\bigl\{\bigl\{a\bigr\},\bigl\{a,b\bigr\}\bigr\}$$
\end{exercice}


\begin{exercice}
$E=\left\{ 0,1,2,3,4,5,6\right\} .$ D\'{e}finir en extension les ensembles
suivants :
\begin{enumerate}
\item $A_{1}=\left\{ x\in \mathbb{N}\mid x^{2}\in E\right\} $

\item $A_{2}=\left\{ x\in \mathbb{R}\mid x^{2}\in E\right\} $

\item $A_{3}=\left\{ x\in E\mid x^{2}\in E\right\} $

\item $A_{4}=\left\{ x\in E\mid \sqrt{x}\in E\right\} $

\item $A_{5}=\left\{ x\in E\mid 2x\in E\right\} $

\item $A_{6}=\left\{ x\in E\mid \frac{x}{2}\in E\right\} $
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}
$E=\left\{ 0,1,2,3,4\right\} .$ Compl\'{e}ter, lorsque c'est possible, par
un des symboles (il peut y avoir plusieurs solutions, mais on s'obligera 
\`{a} choisir celle qui donne le plus \og de renseignements\fg{}): 
$$
\in ,\ni ,\subset ,\supset ,\subseteq ,\supseteq ,=,\neq ,\varsubsetneq
,\cdots$$



\begin{enumerate}
\item $2\cdots E,$ $\left\{ 2,3\right\} \cdots E,$ $\left\{ 2\right\} \cdots
E$

\item $\left\{ 2,3,4\right\} \cdots \left\{ 4,3,2\right\} ,$ $\left\{
2,3,4\right\} \cdots \left\{ 4,3,0\right\} $

\item $\emptyset \cdots E,$ $E\cdots E,$ $E\cdots \left\{ E\right\} ,$ $%
\emptyset \cdots \left\{ E\right\} $

\item $E\cdots \left\{ 0,1,2,3,\ldots ,10\right\} ,$ $\left\{
0,1,2,3,4,5\right\} \cdots E$
\end{enumerate}




\end{exercice}












\begin{exercice}
On définit un opérateur $\divideontimes$ sur les ensembles de la manière
suivante:
$$
A \divideontimes B = \lnot (A \cap B)
$$
Démontrer les égalités suivantes:

\begin{enumerate}
\item $A \divideontimes A = \lnot A$;
\item $(A \divideontimes A)  \divideontimes (B \divideontimes B) =A \cup
  B$;
\item  $(A \divideontimes  B) \divideontimes  (A \divideontimes  B)  = A
  \cdots B$.
\end{enumerate}

\end{exercice}













\begin{exercice}
  Expliciter $\mathcal{P}(\mathbb{N}_{n})$ pour pour $n\in \left\{
1,2,3\right\}$.         On          rappelle         la         notation
$\mathbb{N}_{n}=\left\{ 1,2,3,...,n\right\}= \llbracket 1,n\rrbracket.$
\end{exercice}




\begin{exercice}
Expliciter $\mathcal{P}\left( \left\{ a,\left\{ a\right\} \right\} \right) .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
Expliciter $\mathcal{P}(\emptyset ),$ $\mathcal{P}\left( \mathcal{P}%
(\emptyset )\right) .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
Expliciter $\mathcal{P}\left( \mathcal{P}(\mathbb{N}_{2})\right) .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
Donner cinq \'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( 
\mathcal{P}\left( \left\{ a,b,c\right\} \right) \right) \right) .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
D\'{e}montrer par r\'{e}currence : 
\begin{center}
$E$ possède $n$ \'{e}l\'{e}ments $%
\Rightarrow $ $\mathcal{P}(E)$ poss\`{e}de $2^{n}$ \'{e}l\'{e}ments.
\end{center}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Combien d'\'{e}l\'{e}ments $\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left( \mathcal{P}%
\left( \left\{ a,b,c\right\} \right) \right) \right) $ contient-il ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
\textbf{D\'{e}montrer} que $A\subseteq B\Rightarrow \mathcal{P}(A)\subseteq 
\mathcal{P}(B)$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
$E=\left\{ a,b,c,d\right\} ,$ $A\subset E,B\subset E$

\begin{enumerate}
\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset ,\left\{ a\right\} ,\left\{
b,c\right\} \right\} \in \mathcal{P}\left( E\right) .$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset ,\left\{ a\right\} ,\left\{
b,c\right\} \right\} \subseteq \mathcal{P}\left( E\right) .$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset \right\} \in \mathcal{P}%
\left( E\right) .$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\emptyset \in \mathcal{P}\left( E\right) .$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset \right\} \subseteq \mathcal{%
P}\left( E\right) .$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset \right\} \subset \mathcal{P}%
\left( E\right) .$

\item \textit{Quel est le cardinal de }$\mathcal{P}\left( \mathcal{P}\left(
E\right) \right) .$

\item Vrai ou Faux , $\left\{ A,B\right\} \in \mathcal{P}\left( E\right) .$

\item Vrai ou Faux , $\left\{ A,B\right\} \subset \mathcal{P}\left( E\right)
.$
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
Trouver deux ensembles $A$ et $B$ qui v\'{e}rifient :%
$$
A\in B\text{ et }A\subseteq B
$$%
On indiquera 5 solutions.
\end{exercice}


\begin{exercice}
  $A,$ $B$ et $C$ sont trois parties de l'ensemble $E$ v\'{e}rifiant $A\cap
B\cap C\neq \emptyset .$ Repr\'{e}senter \`{a} l'aide de \og patates\fg{}
(diagramme de Venn) les ensembles suivants :


\begin{enumerate}
\item $A\cup B,$ $A\cap C,$ $A\bigtriangleup C,$ $\complement_{B}(A\cap
B), $ $A-\complement_{E}B,$ $\left( \complement%
_{E}B\right) -A$

\item $(A\cap B)-C,$ $(A-C)\cap (B-C)$

\item $(A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C,$ $\left( (A\bigtriangleup B)\bigtriangleup C\right) -(A\cup B),$ 
$\complement_{A\cup B}\left( A\bigtriangleup B\right) $

\item $\overline{A}\cup \overline{B},$ $\overline{A\cap B},$ $\overline{%
A\cup B},$ $\overline{A}\cap \overline{B}$
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}
D\'{e}montrer : $\bigl[ A\cup B=B\bigr] \Leftrightarrow \bigl[ A\subseteq B%
\bigr] $
\end{exercice}

\begin{exercice}
D\'{e}montrer : $\bigl[ A\cap B=B\bigr] \Leftrightarrow \bigl[ B\subseteq A%
\bigr] $
\end{exercice}


\begin{exercice}
Repr\'{e}senter par des \og patates\fg{}, lorsque c'est possible, deux ensembles $A$
et $B$ v\'{e}rifiant :

\begin{enumerate}
\item $A\cap B=\emptyset $

\item $A\cup B=A$

\item $A\cap B=B$

\item $A\bigtriangleup B=B$

\item $A\bigtriangleup B=\emptyset $
\end{enumerate}


\end{exercice}




\begin{exercice}
$A=\left\{ a,b\right\} $ et $E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} ,$ expliciter tous
les ensembles $B$ qui v\'{e}rifient $A\cup B=E.$
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A$ et $B$ sont deux parties de $E.$ Si $A\subseteq B$ que peut-on dire de $%
\overline{A}$ et $\overline{B}$ ?
\end{exercice}



\begin{exercice}
Repr\'{e}senter chacun des 4 ensembles $A_{i\in \left\{ 1,2,3,4\right\} }$
par une \og patate\fg{} sachant que l'intersection d'un nombre quelconque de ces
ensembles n'est jamais vide et qu'aucun n'est inclus dans un autre puis repr%
\'{e}senter 
$$
A_{1}\bigtriangleup A_{2}\bigtriangleup A_{3}\bigtriangleup A_{4}
$$
On rappelle que l'op\'{e}ration $\bigtriangleup $ est associative et commutative.
\end{exercice}

\begin{exercice}
$A=\left\{ 0,1,2,3\right\} ,$ $B=\left\{ a,b\right\} $ et $C=\left\{
1,2\right\} .$ Donner quelques \'{e}l\'{e}ments de:

\begin{enumerate}
\item $A\times B,$ $\left( A\times B\right) \times C,A\times B\times C,$ $%
A\times \left( B\times C\right) ,$ $C\times \left( A\cup B\right) ,$ $A^{5}$

\item $\mathcal{P}(A)\times \mathcal{P}(B)$

\item $\mathcal{P}(A\times B)$

\item $\emptyset \times A,$ $A\times \left( \emptyset \times B\right) ,$ $%
\left\{ \emptyset \right\} \times B$
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}
  $A$, $B$ et $C$ sont trois ensembles tous diff\'{e}rents de l'ensemble vide.
D\'{e}montrer que $$\left( A\cap B\right) \times C=\left( A\times C\right)
\cap \left( B\times C\right) .$$
\end{exercice}


\begin{exercice}
  $E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} $


\begin{enumerate}
\item \textit{Donner 4 partitions de }$E$\textit{.}

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \emptyset ,\left\{ a\right\} ,\left\{
b,c,e\right\} ,\left\{ d\right\} \right\} $\textit{\ est une partition de }$%
E.$

\item \textit{Vrai ou Faux , }$\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{
b,c\right\} ,\left\{ d\right\} \right\} $\textit{\ est une partition de }$E.$
\end{enumerate}


\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Si $A\cap B=A\cup B$, que peut-on dire de $A$ et $B$?
\item Si $A\cap B=A\cap C$ et  si $A\cup B=A\cup C$, que peut-on dire de
  $A$, $B$ et $C$?
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
  \item On pose $A=\bigl\{a,b\bigr\}$ et $B=\bigl\{b,c\bigr\}$.
    \begin{enumerate}
    \item Comparer $\PR(A)\cap \PR(B)$ et $\PR(A\cap B)$.
    \item Comparer $\PR(A)\cup \PR(B)$ et $\PR(A\cup B)$.
    \end{enumerate}
  \item Répondre aux mêmes questions avec A et B des ensembles quelconques.
  \end{enumerate}
\end{exercice}



\subsection{Calcul booléen}


\begin{exercice}
  Calculer $1\cdot \overline{0}$, $ 1+\overline{1}$, $0 \cdot
      \overline{0}$ et $ \overline{\left(1+0\right)}$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\BR$ les équations:
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $x\cdot 1=0$ \item $ x+x=0$
    \item $ x\cdot 1=0$ \item $ x\cdot \overline{x}=1$
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résoudre dans $\BR^2$ l'équation $xy=x+y$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}\label{bool_exo}
Dresser les tables canoniques des fonctions suivantes:

  \begin{enumerate}
  \item $f(x,y,z)=\overline{z}$ \item $ f(x,y,z)=\overline{x}y+\overline{y}z$
    \item $ f(x,y,z)=x \overline{y}z+\overline{\left(xyz\right)}$ \item $ f(x,y,z)=\overline{y}\left(xz+\overline{xz}\right)$
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  L'opérateur booléen $\oplus$ est défini par:

$1\oplus 1=0$, $ 1\oplus 0=1$, $ 0\oplus 1=1$ et $ 0\oplus 0=0$.
\begin{enumerate}
\item Simplifier:
  \begin{enumerate}
   \begin{multicols}{2}
  \item $x \oplus 0$ \item $x\oplus 1$
  \item $ x\oplus x$ \item $ x \oplus \overline{x}$
  \end{multicols} 
\end{enumerate}

\item Montrer que:
  \begin{enumerate}
  \item $x \oplus y=\left(x+y\right)\overline{\left(xy\right)}$
  \item $ x\oplus y=\left(x \overline{y}\right)+\left(\overline{x}y\right)$
  \end{enumerate}

\item L'opération $\oplus$ est-elle commutative?

\item Vrai ou faux?
  \begin{enumerate}
  \item $  x \oplus \left(y\oplus  z\right)=\left(x\oplus y\right)\oplus
    z$
  \item $x+\left(y\oplus z\right)=(x+y)\oplus(x+z)$
\item $x \oplus(y+z)=(x\oplus y)+(x\oplus z)$
  \end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{exercice}









\begin{exercice}
$\mathcal{B}$ est une alg\`{e}bre de Boole et dans ce qui suit on travaille
dans $\mathcal{B}$ ; d\'{e}velopper et r\'{e}duire les expressions :

\begin{enumerate}
\item $(a+b)(a+b+c)(c+\overline{d})$

\item $(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)$

\item $\overline{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}$

\item $\overline{(a+\overline{b})}.(\overline{c.b.\overline{d})}.(a.b+c).%
\overline{(b.c+d)}.\overline{(a.b.\overline{c}+\overline{a}.d)}$

\item $\overline{\overline{(a+\overline{b})}.(\overline{c.b.\overline{d})}%
.(a.b+c).\overline{(b.c+d)}.\overline{(a.b.\overline{c}+\overline{a}.d)}}$

\item $(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)$

\item $\overline{(a+b)(a+c)(a+d)(a+e)}$

\item $(a+b)(a+c)+(a+d)(a+e)+(\overline{a}+b)(\overline{a}+c)+\overline{e}$
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
On consid\'{e}re la fonction bool\'{e}enne de 4 variables d\'{e}finie par : 

$$f=a\overline{b}c+\overline{a}cd+abc\overline{d}$$



\begin{enumerate}
\item L'\'{e}criture pr\'{e}c\'{e}dente est-elle une \'{e}criture
disjonctive ? conjonctive ?

\item Mettre $f$ { sous forme canonique disjonctive puis
sous forme canonique conjonctive.}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Donner l'\'{e}criture canonique disjonctive puis conjonctive de toutes les
fonctions bool\'{e}\-ennes de 2 variables. On remarquera n\'{e}anmoins que
la fonction nulle n'admet pas d'\'{e}criture canonique disjonctive.
\end{exercice}

\begin{exercice}
Combien existe-t-il de fonctions bool\'{e}ennes de 3 variables ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
On consid\`{e}re la fonction bool\'{e}enne de 4 variables d\'{e}finie par : 

{\footnotesize
$
f=\overline{\left( (\overline{a}+c+d)(b+c+d)(a+b+\overline{c})(a+\overline{c}%
+\overline{d})(a+\overline{b}+\overline{d})(\overline{b}+c+\overline{d}%
)\right) }
$
}

\begin{enumerate}
\item L'\'{e}criture pr\'{e}c\'{e}dente est-elle une \'{e}criture
disjonctive ? conjonctive ?

\item Mettre 
$f$ sous forme canonique disjonctive puis
sous forme cononique conjonctive.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$f=f(a,b,c)=a+b+c$ est une fonction bool\'{e}enne de 3 variables. Donner la
forme canonique disjonctive de $f$ puis la forme canonique conjonctive de $%
f. $
\end{exercice}





\begin{exercice}
On définit deux autres opérateurs:
\begin{itemize}
\item  l'opérateur $\nor$  défini  par $1\nor  1=1\nor  0=0\nor 1=0$  et
  $0\nor0=1$ qu'on appellera \og NOR\fg{};
\item l'opérateur  $\nand$ défini par   $1\nand 0=0\nand
  1=0\nand 0=1$ et $1\nand 1=0$ qu'on appellera \og NAND\fg{}.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Montrer que:
  \begin{enumerate}
  \item $  \overline{x}=x\nand x=x\nor  x$ \item $  xy=(x\nand y)\nand(x\nand
    y)$
  \item $ x+y=(x\nand x)\nand(y\nand y)$
\item $xy=(x\nor y)\nor(y \nor y)$
\item $x+y=(x\nor y)\nor(x\nor y)$
  \end{enumerate}
\item Exprimer  chacune des  fonctions de l'exercice  \vref{bool_exo} en
  utilisant uniquement l'opérateur $ \nand$ puis uniquement l'opérateur $ \nor$.
\end{enumerate}
\end{exercice}









\begin{exercice}[Machine à voter]
Le  gouvernement syldave  est constitué  de trois  membres  qui prennent
toutes les décisions en votant  à bulletins secrets. Une proposition est
adoptée lorsqu'elle reçoit au moins deux votes sur trois. Leur conseiller
technique, ancien  étudiant de  l'IUT de Nantes,  leur propose  un petit
circuit qui détermine si une décision est adoptée. 

On note  $x$, $y$  et $z$ les  variables booléennes qui  correspondent à
chacun  des  votes  du  triumvirat. Déterminer  une  fonction  booléenne
$f(x,y,z)$ qui réponde au  problème et dessiner le circuit correspondant
avec les portes NOT, AND et OR.
\end{exercice}


\begin{exercice}[Interrupteur]
Le  président syldave (il  a fait  exécuter les  deux autres  membres du
gouvernement  grâce  à une  chaise  électrique  mise  au point  par  son
conseiller technique) a fait construire  un palais et désire que dans sa
chambre, la  lumière soit commandée par deux  interrupteurs. En appuyant
sur l'un quelconque  des interrupteurs, il faut que  la lumière s'allume
si elle  est éteinte  et s'éteigne si  elle est allumée.  Déterminer une
fonction  booléenne  $f(x,y)$ répondant  au  problème  avec  $x$ et  $y$
correspondant   à  chacun   des  interrupteurs.   Dessiner   le  circuit
correspondant avec les portes NOT, AND et OR.

Reprendre le problème avec trois interrupteurs.
\end{exercice}


\begin{exercice}[Comparateur]
  Construire  un  circuit  qui  compare  deux entiers  de  deux  bits  $
  (x_1x_0)_2$ et  $(y_1y_0)_2$ et qui renvoie  1 si le  premier est plus
  grand que le second et 0 sinon.
\end{exercice}


\begin{exercice}[NOR et NAND]
 Utiliser des portes NOR (puis NAND) pour obtenir les sorties suivantes:

 \begin{multicols}{2}
   \begin{enumerate}
   \item $\overline{x}$ \item $ x+y$
  \item $ xy$ \item $ x \oplus y$
   \end{enumerate}
 \end{multicols}
\end{exercice}



\begin{exercice}[Demi-additionneur]
  On veut additionner deux nombres binaires de deux bits. La sortie sera
  double: une  variable $u$ contiendra l'\og unité\fg{}  et une variable
  $r$ contiendra la \og retenue\fg{}. Dresser un tableau puis dessiner
  un circuit ayant deux sorties avec les portes NOT, AND et OR.
\end{exercice}


\begin{exercice}[Recherche: additionneur n-bits]
Un peu de recherche: on  dispose de demi-additionneurs (qu'on notera 1/2
Add) et de portes NOT,
AND et OR.

Imaginez alors un additionneur complet qui prend en entrée un nombre de
deux bits et une retenue et  renvoie une unité et une retenue. On notera
cette porte Add.

Imaginez alors comment, à l'aide de  portes Add et 1/2 Add, fabriquer un
additionneur $n$-bits.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Dessiner   le  circuit  correspondant   aux  fonctions   suivantes  puis
simplifier les formules à  l'aide d'un diagramme de \textsc{Karnaugh} et
dessiner le nouveau circuit à l'aide de portes NOT, AND et OR.

\begin{enumerate}
\item              $              f(x,y,z)=xy             \overline{z}+x
  \overline{y}\overline{z}+\overline{x}y
  \overline{z}+\overline{x}\overline{y}\overline{z}$.
\item $ f(x,y,z)=\overline{x}yz \left((x+\overline{z})+(\overline{y}+\overline{z})\right)$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
  Simplifier  les  expressions  suivantes  à l'aide  d'un  diagramme  de
  \textsc{Karnaugh}.

  \begin{enumerate}
  \item    $   f(w,x,y,z)=wxyz+wx    \overline{y}z+wx   \overline{y}z+wx
    \overline{y}\overline{z}+w        \overline{x}y       \overline{z}+w
    \overline{x}\overline{y}z$
\item      $f(w,x,y,z)=wxyz+wxy      \overline{z}+wx     \overline{y}z+w
  \overline{x}yz+w                                          \overline{x}y
  \overline{z}+\overline{w}xyz+\overline{w}\overline{x}yz+\overline{w}\overline{x}y
  \overline{z}+\overline{wxy}z$
  \end{enumerate}
\end{exercice}





\subsection{Relations binaires}



\begin{exercice}
$E_{1}=\left\{ a,b,c,d\right\} ,E_{2}=\left\{ 0,1,2\right\} ,E_{3}=\left\{
\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon \right\} .$ On consid\'{e}re les
relations $\mathcal{R}=\left( E_{1},E_{2},G_{\mathcal{R}}\right) $ et $%
\mathcal{S}=\left( E_{2},E_{3},G_{\mathcal{S}}\right) $ avec 
\begin{eqnarray*}
G_{\mathcal{R}} &=&\left\{ (a,0),(a,1),(c,1),(d,0)\right\} \\
G_{\mathcal{S}} &=&\left\{ (1,\beta ),(2,\delta ),(2,\varepsilon )\right\}
\end{eqnarray*}


\begin{enumerate}
\item P{r\'{e}ciser }$\limfunc{dom}\mathcal{R}${\ et }$\limfunc{Im}%
\mathcal{R}.$

\item $\mathcal{R}${\ est-elle totale ?}

\item {Reprendre les questions pr\'{e}c\'{e}dentes avec }$\mathcal{S}%
. $

\item {D\'{e}terminer }$\mathcal{S}\circ \mathcal{R}.${\ Pr%
\'{e}ciser }$\limfunc{dom}\left( \mathcal{S}\circ \mathcal{R}\right) ${\
et }$\limfunc{Im}\left( \mathcal{S}\circ \mathcal{R}\right) .$

\item {D\'{e}terminer les relations }$\mathcal{R}^{-1}${\ et }$%
\mathcal{S}^{-1}.$

\item {Vrai ou faux ?}

\begin{enumerate}
\item $a\mathcal{R}1$

\item $\mathcal{R}\left( b,0\right) $

\item $\left( 1,c\right) \in \mathcal{R}^{-1}$

\item $\left( a,\beta \right) \in \mathcal{S}\circ \mathcal{R}$

\item $\left( a,\beta \right) \in \mathcal{R}.\mathcal{S}$
\end{enumerate}

\item $\mathcal{R}^{-1}${\ est-elle une fonction ?}

\item {D\'{e}terminer la relation }$\mathcal{S}^{-1}.\mathcal{R}%
^{-1}. $

\item {D\'{e}terminer }$\mathcal{R}\circ \mathcal{S}.$

\item {D\'{e}terminer les relations suivantes :} $\mathcal{R}_{\mid
\left\{ a\right\} },$ $\mathcal{R}_{\mid \left\{ b\right\} },$ $\mathcal{R}%
_{\mid \left\{ a,b\right\} },$ $\mathcal{R}_{\mid \left\{ 1\right\} }^{-1},%
\mathcal{R}_{\mid \left\{ 1\right\} }.$
\end{enumerate}


\end{exercice}



















\begin{exercice}
$\mathcal{R}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) ${\ et }$\mathcal{R}%
^{\prime }=\left( E^{\prime },F^{\prime },G_{\mathcal{R}^{\prime }}\right) $%
{\ sont deux relations.}


\begin{enumerate}
\item {Dans quel(s) cas }$\mathcal{R}^{-1}${\ n'existe pas ?}

\item {Dans quel(s) cas }$\mathcal{R}\circ \mathcal{R}^{\prime }$%
{\ n'existe pas ?}

\item {Dans quel(s) cas }$\mathcal{R}\circ \mathcal{R}^{\prime }$%
{\ et }$\mathcal{R}^{\prime }\circ \mathcal{R}${\ existent
simultan\'{e}ment ?}
\end{enumerate}

\end{exercice}








\begin{exercice}
$\mathcal{R}$ est une relation de $E$ vers $F$ dont le graphe est $G_{%
\mathcal{R}}$. Cette relation est not\'{e}e%
$$
\mathcal{R}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) \text{ avec \'{e}videmment }G_{%
\mathcal{R}}\subseteq E\times F
$$%
Si $U$ est une partie de $E$, la relation $\left( U,F,G_{\mathcal{R}}\cap
\left( U\times F\right) \right) $ est not\'{e}e $\mathcal{R}_{\mid U},$
c'est la restriction de la relation $\mathcal{R}$ \`{a} la partie $U$ de $E.$
La relation $\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\cap \left( U\times F\right) \right) $
est une sous relation de $\mathcal{R}$ qui est not\'{e}e $U\vartriangleleft 
\mathcal{R},$ c'est une restriction de domaine de $\mathcal{R}$ \`{a} $U.$
Sachant que $U$ est une partie de $E$ et $V$ une partie de $F,$ d\'{e}finir
les relations suivantes en pr\'{e}cisant leur ensemble de d\'{e}part, leur
ensemble d'arriv\'{e}e et leur graphe


\begin{enumerate}
\item $\mathcal{R}_{1}=\left( \mathcal{R}_{\mid V}^{-1}\right) ^{-1}.$

\item $\mathcal{R}_{2}=\left( \mathcal{R}_{\mid V}^{-1}\right) _{\mid
U}^{-1}.$

\item $\mathcal{R}3=\left( \left( \mathcal{R}_{\mid U}\right) _{\mid
V}^{-1}\right) ^{-1}.$

\item $\mathcal{R}_{4}=\left( V\vartriangleleft \mathcal{R}^{-1}\right)
^{-1} $ {que l'on note} $\mathcal{R}\vartriangleright V.$

\item $\mathcal{R}_{5}=U\vartriangleleft \left( V\vartriangleleft \mathcal{R}%
^{-1}\right) ^{-1}$ {que l'on note} $U\vartriangleleft \mathcal{R}%
\vartriangleright V.$

\item $\mathcal{R}_{6}=\left( \left( \left( U\vartriangleleft \mathcal{R}%
\vartriangleright V\right) _{\mid U}\right) _{\mid V}^{-1}\right)
^{-1}.\medskip $
\end{enumerate}

\end{exercice}









\begin{exercice}
$E=\left\{ a,b,c,d\right\} ,$ $F=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} ,$ $G_{\mathcal{R}%
}=\left\{ \left( a,1\right) ,\left( a,2\right) ,\left( c,4\right) ,\left(
d,2\right) ,\left( d,5\right) \right\} $ et $\mathcal{R}$ est la relation de 
$E$ vers $F$ qui a pour graphe $G_{\mathcal{R}}.$

\begin{enumerate}
\item C{ombien existe-t-il de relations de }$E${\ vers }$F$%
{\ ?}

\item {Vrai ou faux ? Vous expliquerez votre r\'{e}ponse.}

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{R}\in E\longleftrightarrow F$

\item $\mathcal{R}\in \mathcal{P}\left( E\times F\right) $

\item $\mathcal{R}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) $

\item $a\mathcal{R}1${\ ; }$\left( a,1\right) \in \mathcal{R}${%
\ ; }$\mathcal{R}\left( a,1\right) $

\item $\mathcal{R}${\ est une relation totale.}

\item $\mathcal{R}${\ est une fonction.}
\end{enumerate}

\item {D\'{e}terminer un ensemble }$B${\ ayant un maximum d'%
\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \mathcal{R}_{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}$%
{\ soit une fonction.}

\item {D\'{e}terminer deux ensembles }$A${\ et }$B${\
ayant chacun un maximum d'\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \left( \mathcal{%
R}_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}${\ soit une fonction
totale.}

\item {D\'{e}terminer deux ensembles }$A${\ et }$B${\
ayant chacun un maximum d'\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \left( \mathcal{%
R}_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}${\ soit une fonction
totale surjective et non injective.}

\item {D\'{e}terminer deux ensembles }$A${\ et }$B${\
ayant chacun un maximum d'\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \left( \mathcal{%
R}_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}${\ soit une fonction
totale injective et non surjective.}

\item {D\'{e}terminer deux ensembles }$A${\ et }$B${\
ayant chacun un maximum d'\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \left( \mathcal{%
R}_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}${\ soit une fonction
totale bijective.}

\item {D\'{e}terminer un ensemble }$B${\ ayant un maximum d'%
\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( \mathcal{R}\rhd B\right) ^{-1}${\
soit une fonction.}

\item {D\'{e}terminer un ensemble }$A${\ ayant un maximum d'%
\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left( A\lhd \mathcal{R}\right) ^{-1}${\
soit une fonction.}

\item {D\'{e}terminer un ensemble }$A${\ et un ensemble }$B$%
{\ ayant chacun un maximum d'\'{e}l\'{e}ments pour que }$\left(
\left( \left( \mathcal{R}_{\mid A}\right) _{\mid B}^{-1}\right) ^{-1}\right)
^{-1}${\ soit une fonction totale.}

\item {Donner le r\'{e}sultat ou dire que l'\'{e}criture n'a pas de
sens en expliquant pourquoi :}

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{R}\left( c\right) ,${\ }$\mathcal{R}\left( \left\{
b\right\} \right) $

\item $\mathcal{R}^{-1}\left( 5\right) ,${\ }$\mathcal{R}^{-1}\left(
\left\{ d\right\} \right) $

\item $\mathcal{R}^{2}=\mathcal{R}\circ \mathcal{R},${\ }$\mathcal{R}%
^{-1}\circ \mathcal{R}$

\item $\mathcal{R}^{-1}\left( \left\{ 6\right\} \right) $
\end{enumerate}

\item {D\'{e}terminer une relation }$\mathcal{R}^{\prime }${\
de }$E${\ vers }$F${\ de sorte que }$\mathcal{R}\cup \mathcal{R%
}^{\prime }${\ soit une relation totale.}

\item {D\'{e}terminer une relation }$\mathcal{R}^{\prime }${\
de }$E${\ vers }$F${\ de sorte que }$\mathcal{R}\cap \mathcal{R%
}^{\prime }${\ soit une fonction.}
\end{enumerate}


\end{exercice}












\begin{exercice}
$\mathcal{R}_{1}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}_{1}}\right) $ et $\mathcal{R}%
_{2}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}_{2}}\right) $ sont deux relations de
l'ensemble $E$ vers (ou dans) l'ensemble $F,$ $G_{\mathcal{R}_{i}}$ est le
graphe de la relation $\mathcal{R}_{i}.$ On consid\`{e}re la relation $%
\mathcal{R}=\left( E,F,G_{\mathcal{R}}\right) $ dont les \'{e}l\'{e}ments $%
\left( x,y\right) $ du graphe v\'{e}rifient :%
$$
\begin{tabular}{c}
si $\left( x,y\right) \in G_{\mathcal{R}_{2}}\ $alors $\left( x,y\right) \in
G_{\mathcal{R}}$ \\ 
si $\left( x,y\right) \in G_{\mathcal{R}_{1}}\ $et pour tout $z\in F,\left(
x,\,z\right) \notin G_{\mathcal{R}_{2}}$ alors $\left( x,y\right) \in G_{%
\mathcal{R}}$%
\end{tabular}%
$$%
Il vous est demand\'{e} d'exprimer le graphe de la relation $\mathcal{R}$ en
utilisant les op\'{e}rations ensemblistes usuelles et des ensembles choisis
parmi les ensembles suivants : le domaine de $\mathcal{R}_{1}$ not\'{e} $%
\limfunc{dom}\mathcal{R}_{1},$ le domaine de $\mathcal{R}_{2}$ not\'{e} $\limfunc{%
dom}\mathcal{R}_{2},$ $G_{\mathcal{R}_{1}},$ $G_{\mathcal{R}_{2}},$ $E$ et $%
F $.
\end{exercice}













\begin{exercice}
On consid\`{e}re les ensembles $E=\left\{ a,b,c,d\right\} $ et $F=\left\{
1,2,3\right\} $.


\begin{enumerate}
\item {Combien existe-t-il de relations de }$E${\ vers }$F$%
{\ ?}

\item {On consid\`{e}re les relations }$r${\ et }$s${\
suivantes :}%
\begin{eqnarray*}
r &=&\left( E,E,G_{r}\right) \\
\text{avec }G_{r} &=&\left\{ \left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left(
c\,,a\right) ,\left( b,c\right) ,\left( d,a\right) \right\} \\
s &=&\left( E,F,G_{s}\right) \\
\text{avec }G_{s} &=&\left\{ \left( b,1\right) ,\left( c,1\right) ,\left(
d,3\right) \right\}
\end{eqnarray*}%
{Pour les diagrammes qui suivent, il est exig\'{e} que l'ensemble de d%
\'{e}part soit \`{a} gauche et l'ensemble d'arriv\'{e}e \`{a} droite, si la
question n'a pas de sens, d\^{\i}tes-le en expliquant pourquoi.}

\begin{enumerate}
\item {Donner un diagramme sagittal de la relation }$r\circ r=r^{2}$

\item {Donner un diagramme sagittal de la relation }$r.r^{-1}$

\item {Donner un diagramme sagittal de la relation }$rs=r.s=s\circ r$

\item {Donner un diagramme sagittal de la relation }$\left( \left\{
1\right\} \vartriangleleft s^{-1}\right) .\left( r^{-1}\vartriangleright
\left\{ a,c,d\right\} \right) $

\item {Donner un diagramme sagittal de la relation }$\left( r_{\mid
\left\{ a,c\right\} }^{-1}\right) _{\mid \left\{ a,c\right\} }^{-1}$
\end{enumerate}

\item {Donner le r\'{e}sultat ou dire que l'\'{e}criture n'a pas de
sens en expliquant pourquoi :}

\begin{enumerate}
\item $r\left( d\right) =$

\item $\left( r\vartriangleright \left\{ a\right\} \right) \left( c\right) =$

\item $\left( r\vartriangleright \left\{ a\right\} \right) \left( b\right) =$

\item $r_{\mid \left\{ a\right\} }\left( \left\{ d\right\} \right) =$

\item $\left( r_{\mid \left\{ d\right\} }\right) \left( d\right) =$

\item $\left( s_{\mid \left\{ a\right\} }\right) \left( \left\{ a\right\}
\right) =$

\item $s^{-1}\left( \left\{ 2\right\} \right) =$

\item $\left( \left\{ d\right\} \vartriangleleft r\right) \left( \left\{
a\right\} \right) =$

\item $sr\left( \left\{ 1\right\} \right) =$

\item $s^{-1}r^{-1}\left( \left\{ 1\right\} \right) =$

\item $r^{-1}\left( \left\{ 2\right\} \right) =$

\item $\left( \left\{ a,b\right\} \vartriangleleft s\right) ^{-1}\left(
1\right) =$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}



























\begin{exercice}
$E=\left\{ 12,13,33,51,111,128\right\} ,$ $F=\left\{ 2,3,4,5,6,7\right\} .$
On consid\'{e}re la relation $\mathcal{R}$ de $E$ vers (ou dans) $F$ d\'{e}%
finie par : $x\in E,y\in F,x\mathcal{R}y$ ssi la somme des chiffres utilis%
\'{e}s dans l'\'{e}criture de $x$ (on travaille en base 10) est \'{e}gale 
\`{a} $y.$


\begin{enumerate}
\item {D\'{e}terminer le domaine et le codomaine de }$\mathcal{R},$ 
{son graphe et donner un diagramme sagittal..}

\item $\mathcal{R}${\ est-elle une fonction ? L'\'{e}criture }$%
\mathcal{R}(33)${\ est-elle licite ?}

\item $\mathcal{R}${\ est-elle une application ?}

\item {Donner le graphe de }$\mathcal{R}^{-1},${\ }$\mathcal{R}%
^{-1}${\ est-elle une fonction? L'\'{e}criture }$\mathcal{R}^{-1}(6)$%
{\ est-elle licite?}

\item {Calculer, si cela a un sens,}

\begin{enumerate}
\item $\mathcal{R}\left( 6\right) ,${\ }$\mathcal{R}\left( 12\right)
, ${\ }$\mathcal{R}\left( \left\{ 12\right\} \right) ,${\ }$%
\mathcal{R}(E)$

\item $\mathcal{R}^{-1}\left( \left\{ 6\right\} \right) ,${\ }$%
\mathcal{R}^{-1}(F),${\ }$\mathcal{R}^{-1}(2),${\ }$\mathcal{R}%
^{-1}\left( \left\{ 2\right\} \right) $
\end{enumerate}

\item {D\'{e}terminer le graphe de la restriction de }$\mathcal{R}$%
{\ \`{a} }$\left\{ 33;51\right\} $

\item $\mathcal{R}_{\mid E-\left\{ 128\right\} }${\ est-elle une
application ? Est-elle injective ? surjective ? bijective ?}
\end{enumerate}

\end{exercice}









\begin{exercice}
Donner la repr\'{e}sentation sagittale d'une application de l'ensemble fini $%
E$ dans l'ensemble fini $F$

\begin{enumerate}
\item {non injective et non surjective ;}

\item {non injective mais surjective ;}

\item {injective mais pas surjective ;}

\item {bijective.}
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}
Déterminez  si  les  fonctions  de  $\bbz$ dans  $\bbz$  suivantes  sont
injectives ou surjectives ou...?
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $f(n)=n-1$;
\item $f(n)=n^2+12$;
\item $f(n)=n^3+37$;
\item $f(n)=\lfloor n/2 \rfloor$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}


\begin{exercice}
  Mêmes  questions  avec  les  fonctions de  $\bbz\times  \bbz\to  \bbz$
  suivantes:
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item $f(m,n)=2m-n$;
\item $f(m,n)=m^2-n^2$;
\item $f(m,n)=m^2+n^2$;
\item $f(m,n)=|m|-|n|$;
\item $f(m,n)=m-n$;
\item $f(m,n)=|n|$;
\item $f(m,n)=m$;
\item $f(m,n)=m^2-4$.
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}












\begin{exercice}
$f$ est une application de $E$ dans $F,$ $A$ et $B$ sont deux parties de $E$
et $A^{\prime }$ et $B^{\prime }$ sont deux parties de $F.$ D\'{e}montrer :


\begin{enumerate}
\item $A\subseteq B\Rightarrow f(A)\subseteq f(B)$

\item $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

\item $f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B),$ donner un exemple o\`{u} il n'y a
pas \'{e}galit\'{e}.

\item $A\subseteq f^{-1}\left( f(A)\right) $

\item $f^{-1}(A^{\prime }\cap B^{\prime })=f^{-1}(A^{\prime })\cap
f^{-1}(B^{\prime })$

\item $f\left( f^{-1}(B^{\prime })\right) \subseteq B^{\prime }$

\item $A^{\prime }\subseteq B^{\prime }\Rightarrow f^{-1}(A^{\prime
})\subseteq f^{-1}(B^{\prime })$

\item $f^{-1}(A^{\prime }\cap B^{\prime })=f^{-1}(A^{\prime })\cap
f^{-1}(B^{\prime })$
\end{enumerate}
\end{exercice}






















\begin{exercice}
$E$, $F$ et $G$ sont 3 ensembles (tous les trois $\neq \emptyset ).$ $f\in 
\mathcal{A(}E,F),$ $g\in \mathcal{A(}F,G).$


\begin{enumerate}
\item $g\circ f${\ injective }$\Rightarrow ${\ }$f${\
injective.} ?

\item $g\circ f${\ surjective }$\Rightarrow ${\ }$g${\
surjective.} ?

\item Si $f$ et $f\circ  g$ son injectives (surjectives), est-ce que $g$
  est injective (surjective)?
\end{enumerate}


\end{exercice}














\begin{exercice}
$A$ est une partie non vide de l'ensemble $E.$ Qu'appelle-t-on l'injection
canonique de $A$ dans $E$ ?
\end{exercice}






\begin{exercice}
D\'{e}montrer que la relation r\'{e}ciproque de la fonction totale $f=\left(
E,F,G_{f}\right) $ est une fonction ssi f est injective.
\end{exercice}







\begin{exercice}
$E=\left\{ a,b,c,d\right\} $ et $F=\left\{ 1,2,3,4,5,6\right\} .$ D\'{e}%
montrer qu'il est impossible de construire une surjection et, a fortiori une
bijection, de $E$ sur $F.$
\end{exercice}








\begin{exercice}
Donner une bijection de $\mathbb{N}$ sur $\mathbb{Z}.$
\end{exercice}









\begin{exercice}
Lorsqu'on est en pr\'{e}sence d'ensembles finis, il est facile de savoir
s'il existe des injections ou surjections entre ces ensembles puisque si
elles existent on est capable de les construire. Pour des ensembles infinis
c'est plus difficile mais on est s\^{u}r qu'il n'existe pas de surjection
entre un ensemble $E$ et l'ensemble de ses parties $\mathcal{P}\left(
E\right) ,$ c'est le th\'{e}or\`{e}me de Cantor\footnote{%
Ne pas confondre avec le fameux th\'{e}or\`{e}me de Cantor-Bernstein (qui
n'est pas \`{a} votre programme) qui dit que s'il existe une injection de $E$
vers $F$ et une injection de $F$ vers $E$ alors il existe une bijection de $%
E $ sur $F.$}, on va le d\'{e}montrer :

\begin{enumerate}
\item $E=\left\{ a,b,c,d\right\} ${\ et }$f${\ est la fonction
totale de }$E${\ dans }$\mathcal{P}\left( E\right) ${\ d\'{e}%
finie par }$f\left( x\right) =\left\{ x\right\} ${, d\'{e}terminer }%
$$
A=\left\{ x\in E\mid x\notin f\left( x\right) \right\}
$$

\item $E=\left\{ a,b,c,d\right\} ${\ et }$f${\ est la fonction
totale de }$E${\ dans }$\mathcal{P}\left( E\right) ${\ d\'{e}%
finie par }$f\left( x\right) =\complement _{E}\left\{ x\right\} ${, d%
\'{e}terminer }%
$$
A=\left\{ x\in E\mid x\notin f\left( x\right) \right\}
$$

\item $E=\left\{ a,b,c,d\right\} ${\ et }$f${\ est la fonction
totale de }$E${\ dans }$\mathcal{P}\left( E\right) ${\ d\'{e}%
finie par }$f\left( a\right) =\left\{ b,c\right\} ${\ et }$f\left(
x\right) =E${\ pour }$x\neq a,${\ d\'{e}terminer }%
$$
A=\left\{ x\in E\mid x\notin f\left( x\right) \right\}
$$

\item $E${\ est un ensemble non vide quelconque, fini ou infini, et }$%
f${\ est une fonction totale de }$E${\ dans }$\mathcal{P}%
\left( E\right) ${\ ; }$A${\ est la partie de }$E${\ d%
\'{e}finie par }$A=\left\{ x\in E\mid x\notin f\left( x\right) \right\} $%
{\ et pour prouver que }$f${\ n'est pas surjective nous allons
prouver que }$A${\ ne peut avoir le moindre ant\'{e}c\'{e}dent ! Pour
cela on suppose que }$A${\ poss\`{e}de au moins un ant\'{e}c\'{e}dent 
}$u,${\ }$f\left( u\right) =A.${\ De deux choses l'une, ou
bien }$u\in A${\ ou bien }$u\notin A${\ ; d\'{e}montrer
l'impossibilit\'{e} de chaque cas et conclure.}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\subsection{ Relations binaires sur un ensemble}











\begin{exercice}
Commentez cet énoncé de CM1 (on progresse...)
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{CM1-rel}
\end{center}
%\end{figure}

\end{exercice}














\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item   Donner la représentation  matricielle des relations suivantes définies
  sur $\bigl\{1,2,3,4\bigr\}$:
  \begin{enumerate}
  \item $\bigl\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\bigr\}$;
  \item $ \bigl\{(1,1),(1,4),(2,2),(3,3),(4,1)\bigr\}$;
  \item                                                                 $
    \bigl\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),$

        $(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)\bigr\}$;
   \item $ \bigl\{(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)\bigr\}$
  \end{enumerate}
\item  Quelles sont, parmi  ces relations,  celles qui  sont réflexives?
  irrefléxives? symétriques? antisymétriques? transitives?
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
  \item Énumérer les couples  des relations sur $ \bigl\{1,2,3,4\bigr\}$
    définies par les matrices suivantes:
    \begin{multicols}{2}
 \begin{enumerate}
    \item
      $\begin{pmatrix}
        1&1&0&1\\
        1&0&1&0\\
        0&1&1&1\\
        1&0&1&1
      \end{pmatrix}$
\item $
  \begin{pmatrix}
    1&1&1&0\\
    0&1&0&0\\
    0&0&1&1\\
    1&0&0&1
  \end{pmatrix}
$
\item $
  \begin{pmatrix}
    0&1&0&1\\
    1&0&1&0\\
    0&1&0&1\\
    1&0&1&0
  \end{pmatrix}
$
    \end{enumerate}

  \end{multicols}
\item Quelles sont, parmi  ces relations,  celles qui  sont réflexives?
  irrefléxives? symétriques? antisymétriques? transitives?
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Combien  d'éléments  non  nuls  contient la  matrice  représentant  la
  relation $  \RR$ sur l'ensemble  $ \ER=\bigl\{1,2,3,...,100\bigr\}$ si
  $\RR$ est:
  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $ \bigl\{(a,b)\mid a>b\bigr\}$; \item $ \bigl\{(a,b)\mid a\neq
      b\bigr\}$;
\item  $   \bigl\{(a,b)\mid  a=b+1\bigr\}$;  \item   $  \bigl\{(a,b)\mid
  a=0\bigr\}$;
\item $ \bigl\{(a,b)\mid ab=0\bigr\}$;
\item $ \bigl\{(a,b)\mid a+b=100\bigr\}$
    \end{enumerate}
    
  \end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit  $\RR=\bigl\{(a,b)\in  \bbz^2  \mid  a\neq  b\bigr\}$  Quelle  est  la
fermeture réflexive de $\RR$?
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $\RR=\bigl\{(a,b)\in \bbn^2 \mid a \text{ divise }b\bigr\}$ Quelle est la
fermeture symétrique de $\RR$?
\end{exercice}



\begin{exercice}
  Soit $\ER=\bigl\{1,2,3,4,5\bigr\}$ et $\RR$ une relation sur $\ER$ qui
  contient  les  couples $(1,3)$,  $(2,4)$,  $(3,1)$, $(3,5)$,  $(4,3)$,
  $(5,1)$, $(5,2)$ et $(5,4)$. Déterminer:

  \begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $\RR^2$ \item $\RR^3$ \item $\RR^4$
    \item $\RR^5$ \item $\RR^6$ \item $\RR^+$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}


\end{exercice}










\begin{exercice}
On consid\`{e}re les relations binaires $\mathcal{R}$ et $\mathcal{S}$ sur $%
E=\left\{ a;b;c;d;e\right\} $ qui ont pour graphe : 
\begin{eqnarray*}
G_{\mathcal{R}} &=&\left\{ (a,a),(a,b),(b,c),(c,b),(e,b)\right\} \\
G_{\mathcal{S}} &=&\left\{ (a,a),(b,a),(b,b),(c,b),(e,b),(e,d)\right\}
\end{eqnarray*}

\begin{enumerate}
\item {Donner une repr\'{e}sentation sagittale de }$\mathcal{R}$%
{\ et de }$\mathcal{S}.$

\item {D\'{e}terminer le graphe de }$\mathcal{R}\cup \mathcal{S},$%
{\ de }$\mathcal{R}\cap \mathcal{S},${\ de }$\overline{%
\mathcal{R}},${\ de }$\mathcal{S}^{-1},${\ de }$\mathcal{RS}$%
{\ de }$\mathcal{SR}.$

\item {D\'{e}terminer le graphe de }$\mathcal{R}^{+}${\ et de }%
$\mathcal{S}^{\ast }.$
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$\mathcal{R}$ est une relation binaire sur l'ensemble $E$ et on supose que $%
\mathcal{R}$ n'est pas une relation vide.

\begin{enumerate}
\item {Rappeler ce qu'est }$\mathcal{R}^{k\in \mathbf{N}^{\ast }}.$

\item {Rappeler ce qu'est }$\mathcal{R}^{+}.$

\item {Rappeler ce qu'est }$\mathcal{R}^{\ast }.$

\item {D\'{e}montrer que si }$x\mathcal{R}^{9}z${\ et }$z%
\mathcal{R}^{2001}y${\ alors }$x\mathcal{R}^{\ast }y$

\item {Traduire correctement }$x\mathcal{R}^{\ast }y.$

\item {D\'{e}montrer que }$\mathcal{R}^{\ast }${\ est une
relation transitive.}
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
$\mathcal{R}$ est une relation binaire sur $E$

\begin{enumerate}
\item {D\'{e}montrer que }$\mathcal{R}\cup \mathcal{R}^{-1}${\
et }$\mathcal{R}\cap \mathcal{R}^{-1}${\ sont sym\'{e}triques.}

\item {D\'{e}montrer que }$\mathcal{R}^{+}${\ est transitive.}

\item {D\'{e}montrer que si }$\mathcal{R}${\ est transitive
alors }$\mathcal{R}=\mathcal{R}^{+}.$

\item {D\'{e}montrer que si }$\mathcal{R}${\ est r\'{e}flexive
et transitive alors }$\mathcal{R}=\mathcal{R}^{\ast }$
\end{enumerate}
\end{exercice}



\begin{exercice}
$\mathcal{R}$ est une relation binaire sur $E=\left\{ a,b,c,d,e\right\} $
dont le graphe est 
\begin{equation*}
G=\left\{ \left( a,a\right) ,\left( a,b\right) ,\left( a,c\right) ,\left(
b,a\right) ,\left( d,a\right) ,\left( b,e\right) \right\}
\end{equation*}

\begin{enumerate}
\item {Compl\'{e}tez l'\'{e}criture : }$G\in $

\item {D\'{e}terminer le graphe de }$\mathcal{R}^{2}.$

\item {D\'{e}terminer le graphe de }$\mathcal{R}^{3},$ {d\'{e}%
terminer le graphe de }$\mathcal{R}^{k\geq 2}.$

\item {Quel est le graphe de }$\mathcal{R}^{0}${\ ?}

\item {Quel est le graphe de }$\mathcal{R}^{+}?$

\item {Quel est le graphe de }$\mathcal{R}^{\ast }${\ ?}

\item $\mathcal{R}^{\ast }${\ est-elle transitive ? justifier votre r%
\'{e}ponse.}

\item {D\'{e}terminer le graphe de }$\mathcal{R}^{-1},${\ de }$%
\mathcal{R}^{-k},${\ }$k\in N^{\ast }.$
\end{enumerate}

\end{exercice}






\subsection{Relations d'équivalence}



\begin{exercice}
Dans $\mathbb{Z}$ on consid\`{e}re la relation $x\mathcal{R}y\Leftrightarrow
x-y\in 3\mathbb{Z}=\left\{ 3k\mid k\in \mathbb{Z}\right\} .$ D\'{e}montrer
que c'est une relation d'\'{e}quivalence et d\'{e}terminer l'ensemble
quotient ; v\'{e}rifier que l'ensemble quotient d\'{e}termine une partition
de $\mathbb{Z}.$
\end{exercice}



\begin{exercice}
$E$ est un ensemble non vide et $A$ est une partie non vide fix\'{e}e de $E.$
On consid\'{e}re la relation binaire $\mathcal{R}$ sur $\mathcal{P}\left(
E\right) $ d\'{e}finie par : 

$$X\mathcal{R}Y\Leftrightarrow X\cap A=Y\cap A$$

\begin{enumerate}
\item \textit{D\'{e}montrer que }$\mathcal{R}$\textit{\ est une relation d'%
\'{e}quivalence.}

\item \textit{On suppose ici que }$E=\left\{ a,b,c,d\right\} $\textit{\ et }$%
A=\left\{ a,d\right\} .$\textit{\ D\'{e}terminer toutes les classes d'\'{e}%
quivalence.}
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit $ \ER$ l'ensemble des fonctions dérivables de $\bbr$ dans $\bbr$.

On considère la relation $\RR$ définie sur $\ER$ qui contient toutes les
couples $(f,g)$ tels que $f'(x)=g'(x)$ pour tout réel $x$.

\begin{enumerate}
\item Est-ce que $\RR$ est une relation d'équivalence?
\item Décrire la classe de $f:x\mapsto x^2$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\subsection{Ordre}



\begin{exercice}
On consid\`{e}re la relation $\preceq $ sur $\mathbb{N}^{2}$ d\'{e}finie par
: 
$$
(a;b)\preceq (a^{\prime };b^{\prime })\Leftrightarrow a\leq a^{\prime }\text{
et }b\geq b^{\prime }
$$
Est-elle une relation d'ordre ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
$E$ est un ensemble totalement ordonn\'{e} par $\leq .$ On consid\'{e}re la
relation binaire sur $E^{2}$ d\'{e}finie par : 
$$
(x,y)\preceq (x^{\prime },y^{\prime })\Leftrightarrow \left\{ 
\begin{array}{l}
x<x^{\prime }\text{ ou} \\ 
x=x^{\prime }\text{ et }y\leq y^{\prime }%
\end{array}%
\right.
$$
D\'{e}montrer que c'est une relation d'ordre total. Cet ordre porte le nom
d'ordre lexicographique, expliquer pourquoi ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
Dans $\mathbb{N}^{\ast }$ on consid\`{e}re la relation not\'{e}e \og $\mid $\fg{}
qui est  la relation \og  divise\fg{}, $a\mid b$  se lit \og  $a$ divise
$b$\fg{} ou encore \og $%
b $ est un multiple de $a$\fg{}; la d\'{e}finition math\'{e}matique de cette
relation \'{e}tant%
$$
a\mid b\text{ ssi il existe }k\in \mathbb{N}^{\ast }\text{ v\'{e}rifiant }%
b=ka
$$

\begin{enumerate}
\item {D\'{e}montrer que c'est une relation d'ordre sur }$\mathbb{N}%
^{\ast }.${\ Cet ordre est-il total ? Donner des \'{e}l\'{e}ments
comparables et non comparables.}

\item {D\'{e}montrer que c'est une relation d'ordre sur toute partie }%
$A${\ de }$N^{\ast }.$

\item {On consid\`{e}re la relation divise dans }$E=\left\{
2,4,6,8,10,12\right\} .$

\begin{enumerate}
\item {Construire le diagramme sagittal de cette relation.}

\item {Construire le diagramme de Hasse de cette relation.}

\item $E${\ admet-il un \'{e}l\'{e}ment minimum ?}

\item $E${\ admet-il un \'{e}l\'{e}ment maximum ?}

\item $E${\ admet-il des \'{e}l\'{e}ments minimaux ?}

\item $E${\ admet-il des \'{e}l\'{e}ments maximaux ?}

\item $V=\left\{ 2,4\right\} ,${\ donner trois majorants de }$V$%
{\ dans }$E.$

\item $T=\left\{ 8,10\right\} ${\ admet-il des majorants dans }$E$%
{\ ? Donner des majorants de }$T${\ dans }$\mathbb{N}^{\ast }.$

\item {Donner des minorants de }$T${\ dans }$E.$

\item {Donner tous les minorants de }$T${\ dans }$\mathbb{N}%
^{\ast }.$

\item $U=\left\{ 4,6,8\right\} ${\ admet-il une borne sup\'{e}rieure
dans }$E${\ ?}

\item $U=\left\{ 4,6,8\right\} ${\ admet-il une borne sup\'{e}rieure
dans }$\mathbb{N}^{\ast }${\ ?}

\item $U=\left\{ 4,6,8\right\} ${\ admet-il une borne inf\'{e}rieure
dans }$E${\ ?}

\item $U=\left\{ 4,6,8\right\} ${\ admet-il une borne inf\'{e}rieure
dans }$\mathbb{N}^{\ast }$?
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{exercice}









\begin{exercice}
$(E,\leq )$ est un ensemble ordonn\'{e}. Repr\'{e}senter les diff\'{e}rents
diagrammes de Hasse pour un ensemble $E$ de trois \'{e}l\'{e}ments. On pr%
\'{e}cisera, pour chaque diagramme si $E$ est totalement ordonn\'{e}. M\^{e}%
me question pour un ensemble de 4 \'{e}l\'{e}ments.
\end{exercice}





\begin{exercice}
$\mathbb{R}$ est muni de sa relation d'ordre habituelle et $\mathbb{R}^{2}$
est ordonn\'{e} comme produit direct des ensembles ordonn\'{e}s $\left( 
\mathbb{R},\mathbb{\leq }\right) $ et $\left( \mathbb{R},\mathbb{\leq }%
\right) .$ Le plan $P$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $%
\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) $ et on pourra
confondre tout point $M$ du plan, qui a pour coordonn\'{e}es $x$ et $y$ dans
ce rep\`{e}re, avec le couple $(x,y)$ de $\mathbb{R}^{2}.$ Cela permet
d'ordonner $P$ par la relation : 
$$
M_{1}\preceq M_{2}\Leftrightarrow (x_{1},y_{1})\leq (x_{2},y_{2})
$$
$\mathcal{C}$ d\'{e}signe le cercle de centre $O$ et de rayon 1, $\mathcal{D}
$ d\'{e}signe le disque de centre $O$ et de rayon 1.

\begin{enumerate}
\item {Donner 5 majorants et 5 minorants de }$\mathcal{C}${\
et de }$\mathcal{D}.$

\item $\mathcal{C}${\ et }$\mathcal{D}${\ admettent-ils une
borne sup ? une borne inf ? un plus petit \'{e}l\'{e}ment ? un plus grand 
\'{e}l\'{e}ment?}

\item {On note }$\mathcal{D}^{+}${\ l'ensemble des points de }$%
\mathcal{D}${\ qui ont leurs deux coordonn\'{e}es positives ou
nulles, }$\mathcal{D}^{+}${\ admet-il un plus petit \'{e}l\'{e}ment ?}
\end{enumerate}

\end{exercice}








\begin{exercice}
V\'{e}rifier que $\left( \mathcal{P}(E),\subseteq \right) $ est bien un
ensemble ordonn\'{e}. Soit $\left\{ A,B\right\} $ une partie de $\mathcal{P}%
(E),$ d\'{e}terminer sa borne sup et sa borne inf dans $\mathcal{P}\left(
E\right) .$
\end{exercice}

\begin{exercice}
$\mathbb{N}_{10}$ est ordonn\'{e} par la relation de divisibilit\'{e}
(rappel : $\mathbb{N}_{10}=\left\{ 1,2,\cdots ,10\right\} $).

\begin{enumerate}
\item {Tracer le diagramme sagittal de cette relation puis son
diagramme de Hasse.}

\item $\mathbb{N}_{10}${\ admet-il un plus petit \'{e}l\'{e}ment, un
plus grand \'{e}l\'{e}ment ?}

\item {\'{E}tudier les \'{e}l\'{e}ments "remarquables"\ (plus petit 
\'{e}l\'{e}ment, majorant, borne sup, }$\cdots )${\ des parties de }$%
\mathbb{N}_{10}${\ suivantes :}

\begin{enumerate}
\item $A=\left\{ 1,3,6\right\} $

\item $B=\left\{ 2,3\right\} $

\item $C=\left\{ 2,3,4\right\} $

\item $D=\left\{ 2,4\right\} $
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}




\subsection{Dénombrement}


\begin{exercice}
\begin{enumerate} 
\item Combien existe-t-il de chaînes distinctes de 8 bits?
\item Combien de chaînes de 10 bits commencent et finissent par 1?
\item  Combien y  a-t-il  de  chaînes de  quatre  lettres minuscules  de
  l'alphabet latin contenant la lettre $x$?
\item Combien de chaînes de  caractères ASCII contiennent le caractère @
  au moins une fois? (il y a 128 caractères ASCII).
\item Combien  de chaînes  de 10  bits contiennent au  moins trois  1 et
  trois 0?
\item Combien  de chaînes de six caractères formées à partir  de l'alphabet
  latin contiennent:
  \begin{enumerate}
  \item exactement une voyelle?
\item au moins une voyelle?
\item exactement deux voyelles?
\item au moins deux voyelles?
\item la lettre a?
\item les lettres a et b?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}









\end{listeexercices}



\modenormal % restaure les définitions de sections, sous-sections, etc;



%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyInfo1"
%%% End: 
