

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}          % les bons codes pour les bonnes lettres
\usepackage{listings}% pour les listings informatiques
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{keystroke}% pour les touches du clavier
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry,pst-all}
\usepackage{amssymb}
\geometry{a4paper,left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,noheadfoot}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} %pour faire un arc de cercle $\wideparen{AB}$ 
\usepackage{eurosym} % pour avoir le symbole euro \euro
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{slashbox} %pour barrer une cellule d'un tableau
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs, wasysym} % mathscfs donne accès aux lettres curvilignes
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} % packages utiles pour le pstricks
\usepackage{multirow,colortbl,tabularx} % packages utilisés dans un tableau (tabular)
\usepackage{array}
\usepackage{calc,fp}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ceci sert lorsqu'on remplit une figure géométrique

\newcounter{numero}
\newcommand{\partie}{
\addtocounter{numero}{1}%
\textbf{\psframebox*[fillcolor=black!60]{\textbf{\white Partie \arabic{numero}:}}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% incrémente le numéro de la partie

\setlength\leftmargini{0.73cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\psframebox*[fillcolor=black!25]{\textbf{\white{\arabic{enumi}.}}}}
\setlength\leftmarginii{0.40cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% définition des items

\newcounter{degradecadre}
\newcounter{ptinit}
\newcounter{ptfin}
\newcounter{ycadreinit}
\newcounter{ycadrefin}
\newcommand{\cadre}[2]{\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\multido{\n=1+1}{2}{
			\FPeval{\degradecadre}{90-\i*4}
			\FPeval{\ptinit}{1.1875*(\i-1)}
			\FPeval{\ptfin}{1.1875*(\i-1)+1.1875}
			\FPeval{\ycadreinit}{(\n-1)*1.4}
			\FPeval{\ycadrefin}{(\n-1)*1.4+0.1}
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degradecadre,linestyle=none](\ptinit,\ycadreinit)(\ptfin,\ycadrefin)}}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!90,linestyle=none](0,0)(0.1,1.4)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!26,linestyle=none](18.9,0)(19,1.4)
	\rput(9.5,1){#1} \rput(9.5,0.4){#2}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cadre et titre

\newcounter{degrade}
\newcounter{ptdepart}
\newcounter{ptfinal}
\def\lignetirets{\begin{pspicture}(0,0)(19,0.2)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\FPeval{\degrade}{90-\i*4}
		\FPeval{\ptdepart}{1.2*(\i-1)}
		\FPeval{\ptfinal}{1.2*(\i-1)+1}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degrade,linestyle=none](\ptdepart,0)(\ptfinal,0.2)}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ligne tirets

\renewcommand\rmdefault{phv}

\newcommand{\procedure}[3]{
	\setlength{\arrayrulewidth}{1.8pt}
	\begin{tabularx}{#1}[t]{|X}
		\rowcolor[gray]{0.6}
		\textcolor{white}{#2}\\ 
		\cellcolor{gray!20}
		#3\\
	 \hline
	\end{tabularx}
	\setlength{\arrayrulewidth}{0.6pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% crée les cadres pour Procédure; en paramètre, on met le texte

\def\R{{\mathbb R}} % les réels
\def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\def\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\def\C{{\mathbb C}} % les complexes
\def\c{{\mathscr C}} % pour les courbes
\def\Pl{\mathscr{P}} % pour les plans
\def\Oij{$\left(O;~\vec{i},~\vec{j}\right)$} % pour nommer un repère (O;i,j)
\def\cad{c'est-à-dire}
\def\e{\mathrm{e}} %pour écrire correctement le nombre e
\def\i{\mathrm{i}} %pour écrire correctement le nombre i
\def\d{\,\text{d}} % pour avoir un d droit dans l'intégrale

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand{\Cnp}[2]{\displaystyle{{#1 \choose #2}}} % pour les p parmi n
\newcommand{\systeme}[2]{\left\{\begin{array}{l}
	#1\\
	#2\\
\end{array}\right.} % pour créer un système de deux équations

\makeatletter
\newlength{\@longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\@longarc}{$#1$}
	\addtolength{\@longarc}{-0.2em}
	\unitlength \@longarc
	\ensuremath{
		\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
			\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
		\end{picture}}
		{#1}
	}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   Pour les listings de code et les réponses du logiciel


\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
    Réponse du logiciel}}

\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\bfseries\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\itshape,%\small,
    backgroundcolor=\color{0.9white},breaklines=true}
   

\newcommand\Prog[1]{{\bfseries\ttfamily #1}}

\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}


% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour créer un arc de cercle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}

\cadre{\LARGE \emph{FORME CANONIQUE}}{\Large \emph{Découverte du rôle de chaque coefficient avec XCAS}}



\textbf{Compétences mathématiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$  Fonction carrée.

\textbf{Compétences informatiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$ Tracés de graphes dépendant de paramètres formels. 

\textbf{Prérequis\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$  Utilisation de paramètres formels dans une fenêtre de géométrie.

\lignetirets


\partie \textbf{TRACÉ DU GRAPHIQUE}\\
\procedure{\linewidth}{Le problème}{On trace le graphe d'une fonction du type $x\mapsto a(x-b)^2+c$}

\begin{enumerate}
\item On ouvre une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur \Alt et \keystroke{g}.
\item On crée trois paramètres formels $a$, $b$ et $c$ variant entre $-5$ et 5~:

  \begin{lstlisting}
    assume(a:=[1,-5,5])
    assume(b:=[1,-5,5])
    assume(c:=[1,-5,5])
  \end{lstlisting}

\procedure{\linewidth}{\textbf{ATTENTION !}}{ On les rentre dans des cellules différentes.}

\item On crée la fonction $f$~:

  \begin{lstlisting}
f:=x->a*(x-b)^2+c
  \end{lstlisting}

\item On affiche son graphe en bleu~:

  \begin{lstlisting}
graphe(f(x),x=-7..5,couleur=bleu)
  \end{lstlisting}

\item On place trois points particuliers~:

  \begin{lstlisting}
S:=point(b,c);A:=point(b,0);O:=point(0,c)
  \end{lstlisting}

\item On trace deux segments particuliers~:

  \begin{lstlisting}
SA:=segment(S,A);SO:=segment(S,O)
  \end{lstlisting}

\item On trace le graphe de la fonction carrée en vert~:

  \begin{lstlisting}
graphe(x^2,couleur=vert)
  \end{lstlisting}

\end{enumerate}


\partie \textbf{OBSERVATION}\\

\begin{enumerate}
\item 
Quelles conjectures pouvez-vous alors émettre sur 

\begin{itemize}
\item l'influence de $b$ sur ces courbes ? \dotfill
\item l'influence de $c$ sur ces courbes ? \dotfill
\item l'influence de $a$ sur ces courbes ? \dotfill\\
.\dotfill

\end{itemize}

\item 

Un point semble jouer un rôle important

\begin{itemize}
\item Quelles sont ses coordonnées~?\dotfill

\item Quel est ce rôle~?\dotfill\\
.\dotfill
\end{itemize}


\end{enumerate}


\partie \textbf{PREUVE DE NOS CONJECTURES}\\


\procedure{\linewidth}{Le problème}{Il est intéressant d'observer un phénomène  sur quelques exemples, mais vous savez bien qu'\emph{une
  hirondelle ne fait pas le printemps...} 

Il  s'agit donc  de prouver  ce que  nous avons  avancé quelque  soit les  nombres $a$,  $b$  et $c$
utilisés.

Pour rester dans un contexte général, nous allons garder ces noms de code pour nos nombres. 


 }



Étudions alors les variations de $f  :\begin{array}{rll} \R &\to & \R \\ x  & \mapsto & a(x-b)^2+c \end{array}$


\begin{enumerate}
\item 
Nous avons déjà étudié ces variations sur des  exemples. Nous avions \og coupé\fg $\R$ en deux, un
nombre servant de \og frontière\fg

Quel est ce nombre~? \dotfill


\item 
Le  monde des  paraboles se  sépare en  deux grandes  catégories bien  distingables \og  à  l'\oe il
nu\fg~:~qu'en pensez-vous~? \dotfill\\
.\dotfill



Quel nombre influe sur ce critère~?\dotfill

\end{enumerate}

Nous sommes maintenant prêts à bien organiser notre étude générale.

\vspace{2cm}

\procedure{\linewidth}{\textbf{REMARQUE }}{ \Prog{XCAS} donne la forme canonique d'un trinôme avec la commande
\code{canonical\_form}}

\begin{lstlisting}
canonical_form(2*x^2+5*x+2)
\end{lstlisting}

renvoie \code{2*(x+5/4)\textasciicircum2-9/8}

\end{document}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
