\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}

\entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{IUT de Nantes - SGM1}


\setcounter{page}{41}

\begin{document}

%\tableofcontents

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{IV}{Quatrième}{FONCTIONS }{  R\'ECIPROQUES}{Fonctions réciproques}{/home/moi/Lycee/IUT/yingyang.ps}




\begin{Abstract}
Nous allons nous occuper d'un problème important : une fonction $f$ envoie $x$ vers $f(x)$. Existe-t-il un moyen pour revenir vers $x$ ? 
\end{Abstract}

\CHAP{\'ETUDE TH\'EORIQUE}{\'Etude théorique}
\bigskip

\SECTION{BIJECTION - INJECTION - SURJECTION}{Bijection - Injection - Surjection}

\SUBSECTION{Parlons patate}

Une fonction $f$ envoie tout élément de l'ensemble de départ vers un unique élément de l'ensemble d'arrivée. 


\des{limfonc.42}{3}


On remarque que certains éléments de l'ensemble d'arrivée ne sont pas reliés à un antécédent de l'ensemble de départ. Si en revanche tout le monde admet un antécédent, la fonction est alors SURJECTIVE


\des{limfonc.43}{3}


\ENC{\Def \ \ Surjection}{Une fonction $f~:~E\to F$ est \textbf{surjective} si et seulement si tout élément de $F$ admet \textbf{au moins un antécédent } dans $E$.\\
Cela revient à dire que $f(E)=F$}

\sm

On remarque également que certains éléments de l'ensemble d'arrivée ont plusieurs antécédents. Si au contraire, tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent, la fonction est INJECTIVE.

\des{limfonc.44}{3}


\ENC{\Def \ \ Injection}{Une fonction $f~:~E\to F$ est \textbf{Injective} si et seulement si tout élément de $F$ admet \textbf{au plus un antécédent } dans $E$.\\
Cela revient à dire qu'il n'existe pas 2 éléments de $E$ qui ont la même image, ou encore que 
$$f \text{ injective}\ssi \big(f(x)=f(x')\Longrightarrow x=x'\big)$$}


\sm

Maintenant, on voudrait que le <<~retour~>> de $F$ sur $E$ soit également une fonction : il faut que tout élément de $F$ admette un et un seul antécédent par $f$, c'est à dire <<~au moins et au plus~>> un antécédent par $f$, c'est à dire que $f$ soit à la fois injective et surjective.
On dit alors qu'elle est bijective.

\des{limfonc.45}{3}


\ENC{\Def\ \ Bijection}{Une fonction est bijective si elle est à la fois injective et surjective}


\SUBSECTION{Parlons fonction}

Considérons une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\bbr$ qui à un réel $x$ de $I$ associe un réel $y$. 
Nous voudrions savoir si nous pouvons définir une fonction <<~retour~>> qui permette, à partir de $y$, de revenir à $x$. On l'appelle une telle fonction une 
\textbf{fonction réciproque} et on la note $f^{-1}$. On a donc $f\cdot f^{-1}=f^{-1}\cdot f=id$ avec $id$ la fonction \textit{identité}\footnote{
Notez au passage que ça ressemble à l'inverse d'un réel : $x\cdot x^{-1}=1$ où 1 est <<~l'identité~>> du produit des réels...}.


\des{limfonc.46}{2}


Il faut donc que $f^{-1}$ soit une fonction et donc que, à tout réel $y$ de l'ensemble d'arrivée on associe un unique élément $x$ de
l'ensemble de départ. Il faut donc que $f$ soit \textbf{bijective}. 

\sm

Résumons : il y a un seul $y$ dans $f(I)$ tel que $f(x)=y$. Il faut qu'il y ait un seul $x$ dans $I$ tel que $x=f(y)$

Par exemple, il y a un problème pour la figure suivante


\des{limfonc.48}{4}

Le problème vient du fait que $f$ change de sens de variation. Nous en avons déjà parlé au premier chapitre, il faut que $f$ soit strictement monotone pour que $f$ soit injective. Pour la surjectivité, il suffit de prendre comme ensemble image $f(i)$, d'où

\ENC{\Thm\ \ Bijectivité des fonctions numériques}{ Soit $I$ un intervalle et soit $f~:~ I\to f(I)$. Alors $f$ est bijective si et seulement si $f$ est strictement monotone sur $I$}


\SUBSECTION{Parlons graphique}

Supposons que notre fonction $f$ est strictement croissante de $I$ sur $f(I)$, alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$. Peut-on déduire le graphe de $f^{-1}$ à partir de celui de $f$ ? Observez ce dessin

\des{limfonc.47}{7}

Une symétrie par rapport à la droite d'équation $y=x$ encore appelée première bissectrice  règle le problème.

 
 
\SUBSECTION{Parlons dérivée}

Adaptons un peu le dessin précédent et observons les tangentes 

\des{limfonc.49}{7}

Intuitivement, en faisant bouger <<~mentalement~>> le point de tangence, on <<~sent~>> que plus la pente de $\TR$ sera faible, plus celle de $\TR'$ sera forte.

En effet, l'équation de $\TR$ est $$ \TR~:~ y=y_0+(x-x_0)\cdot f'(x_0)$$ Or la symétrie par rapport à la première bissectrice échange les rôles de $x$ et $y$, donc $\TR'$ admet pour équation $x=y_0+(y-x_0)\cdot f'(x_0)$, c'est à dire, si $f'(x_0)\neq 0$

$$ \TR'~:~ y=x_0+(x-y_0)\cdot\fr{1}{ f'(x_0)} \quad \text{si } f'(x_0)\neq 0$$

On obtient donc  le théorème suivant 

\ENC{\Thm\ \ Dérivée de la réciproque}{Soit $I$ et $I'$ deux intervalles et $f~:~I\to I'$ une bijection, et soit $x_0\in I$ et $y_0=f(x_0)$. On suppose que $f$ est dérivable en $x_0$ \bel

\item si $f'(x_0)=0$, alors $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $y_0$
\item si $f'(x_0)\neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et $$\pa{f^{-1}}'(y_0)=\fr{1}{f'\pa{f^{-1}(y_0)}}$$
\el}


On en déduit que $f$ et $f^{-1}$ ont le même sens de variation.

\vfill

.

\newpage

\CHAP{R\'ECIPROQUES DES FONCTIONS USUELLES}{Réciproque des fonctions usuelles}

\SECTION{FONCTIONS PUISSANCES}{Fonctions puissance}

\SUBSECTION{Puissances paires}

Le problème avec les fonctions puissance paire, c'est qu'elles sont paires et donc non monotones sur $\bbr$

\des{limfonc.50}{2.5}

On s'occupera donc de la restriction de ces fonctions à $\bbr^+$. On notera $\sqrt[2n]{}$ la réciproque de la fonction $x\mapsto x^{2n}$

On obtient les tableaux de variations suivants :

\vspace{5cm}

et les courbes

\des{limfonc.51}{4}


\SUBSECTION{Puissances impaires}

Cette fois-ci les fonctions puissance impaire sont strictement croissantes sur $\bbr$, donc on peut définir une réciproque sur $\bbr$

On obtient les tableaux suivants :

\vspace{5cm}

et les tracés

\des{limfonc.52}{5}


Enfin, n'oubliez pas que $\sqrt[p]{x}=x^{\frac{1}{p}}$



\SECTION{FONCTIONS TRIGONOM\'ETRIQUES R\'ECIPROQUES}{Fonctions trigonométriques réciproques}

\SUBSECTION{Réciproque de sinus}


\SUBSUBSECTION{Définition}

La fonction sinus n'est pas monotone sur $\bbr$, comme vous le savez tous. Mais si on se place sur $[-\pi/2,\pi/2]$, les choses s'arrangent comme on le voit sur la courbe :

\vspace{2cm}

La restriction de sinus à $[-pi/2,\pi/2]$ est strictement croissante et continue  et est à valeurs dans $[-1,1]$ : c'est donc une bijection de $[-\pi/2,\pi/2]$ sur $[-1,1]$. On peut donc définir une fonction réciproque sur $[-1,1]$, qu'on appelle arcsinus et qu'on note Arcsin.

\ENC{\Thm\ \ Fonction Arcsinus}{On définit sur $[-1,1]$ la fonction réciproque de la fonction sinus $$\fonc{\Arcsin}{[-1,1]}{\cro{-\fr{\pi}{2},\fr{\pi}{2}}}{\Arcsin x}$$ avec pour tout $x\in[-1,1]$ $$\sin(\Arcsin x)=x$$}

Ainsi vous retiendrez que 

 \enc{$y=\Arcsin x$ signifie <<~ $y$ est le réel (l'arc) compris entre $-\pi/2$ et $\pi/2$ dont le sinus vaut $x$~>>}


Par exemple $\Arcsin(1/2)=\pi/6$ car $\sin(\pi/6)=1/2$ mais attention au sens inverse :

\pstribox{!}\ $\Arcsin\big(\sin(5\pi/6)\big)\neq 5\pi/6$ car $\Arcsin$ est à valeurs dans $[-\pi/2,\pi/2]$
 
Pour résoudre ce problème, il faut chercher un élément de $[-\pi/2,\pi/2]$ ayant le même sinus que $5\pi/6$. Il s'agit évidemment de $\pi/6$ (voir le formulaire de trigo pour les mémoires défaillantes).

Ainsi $\Arcsin\big(sin(5\pi/6)\big)=\pi/6$


\SUBSUBSECTION{Variations}

On sait déjà quel va être le sens de variations de $\Arcsin$ puisque c'est le même que celui de la restriction de sin sur $[-\pi/2,\pi/2]$. Nous allons quand même calculer sa dérivée qui nous servira plus tard à calculer des intégrales.

Nous avons vu à la section précédente que, avec $y=f(x)$

$$\pa{f^{-1}}'(y)=\fr{1}{f'\pa{f^{-1}(y)}}$$ pour des valeurs de $y$ telles que $f'(x)\neq 01$
Ici $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$ et $f^{-1}(y)=\Arcsin y$, d'où 
$$\Arcsin'(y)=\fr{1}{\cos\pa{\Arcsin(y)}}$$
 pour $\cos x\neq 0$, c'est à dire pour $x\not\in\{-\pi/2,\pi/2\}$. 

Oui, mais nous ne sommes pas très avancés : que vaut $\cos\pa{\Arcsin(y)}$~? Nous savons juste que $\sin\pa{\Arcsin(y)}=y$. Il faudrait donc transformer l'écriture pour <<~mettre en contact~>> sin et Arcsin.

Or nous savons que $\cos^2t+\sin^2t=1$, donc $\cos^2t=1-\sin^2t$, c'est à dire ici $$\cos^2\pa{\Arcsin (y)}=1-\sin^2\pa{\Arcsin (y)}=1-y^2$$

Ainsi $\sqrt{\cos^2\pa{\Arcsin( y)}}=\ab{\cos\pa{\Arcsin (y)}}=\sqrt{1-y^2}$. Or $\Arcsin y\in[-\pi/2,\pi/2]$, donc $\cos\pa{\Arcsin y}\se0$ c'est à dire que 
$$\ab{\cos\pa{\Arcsin y}}=\cos\pa{\Arcsin y}=\sqrt{1-y^2}$$
 Finalement

\ENC{\Prop\ \ Dérivée de Arcsin}{La fonction $\Arcsin$ est dérivable sur $]-\pi/2,\pi/2[$ et $$\Arcsin'(t)=\fr{1}{\sqrt{1-t^2}}$$}


Il est ensuite aisé d'obtenir le tracé suivant

\des{limfonc.53}{9}



\SUBSECTION{Réciproque de cosinus}

\'A vous de jouer 

\vfill

.

\break

\des{limfonc.54}{9}


\SUBSECTION{Réciproque de tangente}

Décidemment, il ne fallait pas sécher aujourd'hui

\vfill

.

\break

\des{limfonc.55}{9}


\vfill

.


\break

\CHAP{FORMULAIRE DE TRIGO}{Formulaire de Trigonométrie}

 \begin{itemize}
 \item \textbf{Formules}

 $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$

$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a$

$\tan (a+b)=\fr{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$, pour $a+b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k\in \bbz$

$\tan (a-b)=\fr{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$, pour $a-b\neq
\fr{\pi}{2}+k\pi$, $k'\in \bbz$

\sm

\item \textbf{Transformation de produits en somme}

$\cos a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a+b)+\cos(a-b))$

$\sin a\cdot\sin b=\fr{1}{2}\cdot(\cos(a-b)-\cos(a+b))$

$\sin a\cdot\cos b=\fr{1}{2}\cdot(\sin(a+b)+\sin(a-b))$

\sm

\item \textbf{Transformation de sommes en produits}

$\cos p+\cos q=2\cdot \cos (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\cos p-\cos q=-2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \sin
(\fr{p-q}{2})$


$\sin p+\sin q=2\cdot \sin (\fr{p+q}{2})\cdot \cos
(\fr{p-q}{2})$

$\sin p-\sin q=2\cdot \sin (\fr{p-q}{2})\cdot \cos
(\fr{p+q}{2})$

\sm

\item \textbf{Formules de duplication}

$\cos (2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=2\cos^{2}x-1=1-2\sin ^{2}x$

$\sin (2x)=2\cos x\sin x $

$\tan (2x)=\fr{2\tan x}{1-\tan ^{2}x}$,
$x\neq\fr{\pi}{4}+k\fr{\pi}{2}$ pour $k\in \bbz$

Avec $t=\tan (\fr{x}{2})$, on a :

$\sin x=\fr{2t}{1+t^{2}}$ , $\cos x=\fr{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ ,
$\tan x=\fr{2t}{1-t^{2}}$

\end{itemize}


\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Bazar/FigureMpost/cercleTrigo.1}
\end{center}


\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/Bazar/FigureMpost/cercleTrigo.2}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/Bazar/FigureMpost/cercleTrigo.3}\end{flushright}\end{minipage}


\bigskip\bigskip

\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/Bazar/FigureMpost/cercleTrigo.4}\end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm}
\begin{flushright}\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/Bazar/FigureMpost/cercleTrigo.5}\end{flushright}\end{minipage}



\end{document}