%\thispagestyle{empty}
%\input{makpoly}
%
%
%\thispagestyle{empty}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%
%\usepackage{graphics}
%\usepackage[french]{varioref}
%\usepackage [french] {babel}
%\usepackage{shapepar}
%\usepackage{pst-text}
%\newfont{\policetitre}{cmdunh10 scaled \magstep5}
%
%
%\begin{document}
% \setlength{\parindent}{0pt}
%\thispagestyle{empty}
%
%
%\begin{pspicture}(18,4)
%\pstextpath{\psellipse[linecolor=white](9,2)(9.3,2)}{\huge{\textbf{
%Recettes à Bac  Recettes à Bac  Recettes à Bac  Recettes à Bac
%Recettes à Bac Recettes à Bac  Recettes à Bac  Recettes à Bac
%Recettes à Bac  Recettes à Bac  }}}
%\pstextpath{\psline[linecolor=white](1.4,1.7)(16.6,1.7)}{\policetitre{ANALYSE
%1 ANALYSE 1 ANALYSE 1}}
%\end{pspicture}
%
%
%\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
%
%Les ingrédients ont été spécialement calculés pour 32 élèves de
%$TS_3$ et préalablement machés par leur GP (gentil prof). Bon
%appétit~!
%
%\bigskip

\input{makcyber}

\LECOND{V}{Cinquième}{RECETTES À BAC - ANALYSE}{ }{RECETTES À BAC - ANALYSE}{ChefAna.eps}






\SUBSECTION{Comment montrer qu'une fonction est dérivable~?}{ }

Là où la fonction est définie, les théorèmes opératoires
permettent en général de conclure.

Par exemple $x\mapsto (x+1)e^x+\sin x$ est dérivable sur $\bbr$
comme produit et somme de fonctions dérivables.

Faîtes néanmoins attention à des fonctions comme
$x\mapsto\sqrt{x}$ où $x\mapsto|x|$~: elles ne sont pas dérivables
en zéro, même si elles sont définies et même continues en zéro.

\bigskip

Là où il y a <<~problème~>>, $i.e.$ là où les théorèmes habituels
ne permettent pas de conclure, il faut revenir à la définition
utilisant la limite du taux de variation. Ainsi $f$ sera dérivable
en $a$  lorsque le taux d'accroissement $\fr{f(x)-f(a)}{x-a}$
admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Alors
$$f'(a)=\lim_{x\to a,\ x\neq
a}\fr{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0}\fr{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Par exemple, soit $f~:~x\mapsto (x-1)\sqrt{1-x^2}$, définie sur
$[-1,1]$. Les théorèmes opératoires montrent que $f$ est dérivable
sur $]-1,1[$ comme composée et produit de fonctions dérivables sur
$]-1,1[$ mais ne permettent pas de conclure en $-1$ et en 1.

Au voisinage de 1, étudions la limite du taux de variation
$$\fr{f(x)-f(1)}{x-1}=\fr{(x-1)\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\sqrt{x^2-1}$$
Alors $\ds\lim_{x\to 1}\fr{f(x)-f(1)}{x-1}=0$ et donc $f$ est
dérivable en 1 avec $f'(1)=0$.

\sm

Au voisinage de $-1$, le taux de variation s'écrit
$$\fr{(x-1)\sqrt{1-x^2}}{x+1}=\fr{(x-1)\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}}=\fr{(x-1)\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}$$
Ainsi $\ds\lim_{x\to-1}\fr{f(x)-f(-1)}{x+1}=-\infty$. La fonction
$f$ n'est donc pas dérivable en $-1$. Nous pouvons malgré tout
déduire du résultat que la courbe admet au point d'abscisse $-1$
une tangente verticale ( car de <<~pente infinie~>>).


\SUBSECTION{Comment étudier la position relative de deux
courbes~?}{}

Soit $\CR$ la courbe d'équation $y=f(x)$ et $\CR'$ la courbe
d'équation $y=g(x)$. Pour étudier la position relative de $\CR$ et
$\CR'$, il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$.

En effet, si nous obtenons par exemple $f(x)-g(x)\se 0$ sur
l'intervalle $I$, alors $f(x)\se g(x)$ sur $I$ et donc $\CR$ est
au-dessus de $\CR'$ sur $I$.

\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une courbe admet une asymptote
d'équation $y=ax+b$ au voisinage de $\omega$~?}{ }

Il suffit de montrer que $\left[f(x)-(ax+b)\right]$ tend vers 0
quand $x$ tend vers $\omega$.

\break


\SUBSECTION { Quel lien existe-t-il entre tangente et fonction
dérivée~?}{ }

Si $f$ est dérivable en $a$, sa courbe représentative admet une
tangente au point d'abscisse $a$ d'équation
$$y=(x-a)\cdot f'(a)+f(a)$$
Retenez bien que $\TR_a$ admet comme coefficient directeur
$f'(a)$.

\SUBSECTION{Comment résoudre dans $\bbr$ l'équation $2x-32=0$~?}{
}

Je ne pense pas que la résolution de cette équation vous pose
d'énormes problèmes. Profitons-en pour <<~décortiquer~>> le
raisonnement sous-jacent.

Tout d'abord, nous pouvons nous demander ce que signifie
<<~résoudre une équation~>>.

Une équation est une proposition mettant en œuvre une égalité, ici
$2x-32=0$.

Cette proposition peut être fausse~: si nous donnons à $x$ la
valeur 0, nous obtenons $-32=0$.

Elle peut être vraie~: si nous donnons à $x$ la valeur 16, nous
obtenons $0=0$.

Résoudre l'équation dans l'ensemble des nombres réels, c'est donc
déterminer les éléments de $\bbr$ qui rendent vraie la
proposition.

Nous pouvons décomposer la résolution d'une équation en deux
phases \bel
\item transformer la proposition, $i.e.$ déterminer une
proposition réputée plus simple que la première mais qui admette
le même ensemble de solutions;
\item déterminer l'ensemble des solutions.
\el

Ici, appelons $(E)$ la proposition $2x-32=0$

$(E)\ssi 2x-32+32=32$

\sm

 \footnotesize{Le symbole $\ssi$ signifie ici que les deux
prositions ont le même ensemble de solutions}

\sm


\normalsize{$(E)\ssi 2x=32$}

$(E)\ssi2x/2=32/2$

$(E)\ssi x=16$

Nous pouvons nous arrêter là car la dernière proposition n'est
vraie que si nous donnons à $x$ la valeur 16. Or 16 est un nombre
réel, donc finalement l'équation proposée admet une unique
solution, le réel 16.


\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une fonction est paire~?}

Il faut vérifier que l'ensemble de définition de $f$ est
symétrique par rapport à zéro puis que pour tout réel $x$ de
l'ensemble de définition $f(-x)=f(x)$.

Nous en déduisons que la courbe est symétrique par rapport à l'axe
des ordonnées. Il suffira donc d'étudier la fonction sur la
<<~moitié~>> de l'ensemble de définition, puis de déduire le reste
de la courbe par symétrie.

\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une fonction est impaire~?}

cf le paragraphe précédent en remplaçant $f(-x)=f(x)$ par
$f(-x)=-f(x)$ et <<~symétrique par rapport à l'axe des
ordonnées~>> par <<~symétrique par rapport à l'origine du
repère~>>.

\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une courbe admet le point $A(a,b)$
comme centre de symétrie~? }

Faîtes avant tout un dessin pour visualiser que $A$ est le milieu
du segment $[MM']$ avec $M\big(x,f(x)\big)$ et
$M'\big(x',f(x')\big)$. Alors d'une part $\fr{x+x'}{2}=a$, donc
$x'=2a-x$ et d'autre part $\fr{f(x)+f(x')}{2}=b$, $i.e.$
$$f(x)+f(2a-x)=2b$$


\break


\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une fonction est périodique~?}

Il s'agit de trouver un réel $T$ tel que pour tout réel $x$
appartenant à l'ensemble de définition de $f$, alors
$$f(x+T)=f(x)$$
Il suffira alors d'étudier la fonction sur un intervalle de
longueur $T$, par exemple $[0,T]$, puis de déduire le reste de la
courbe par des translations successives de vecteur $k\ve{i}$, avec
$k\in\bbz$.

\sm

Vous connaissez bien sûr la fonction sinus qui vérifie
$\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout réel $x$ et qui est donc
$2\pi$-périodique.

\SUBSECTION{ Comment étudier le signe d'une expression~?}

Vaste problème...Retenir malgré tout qu'en règle général, nous
savons étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de polynômes
du 1\textsuperscript{er} ou du 2\textsuperscript{nd} degré,
d'exponentielles (~qui sont toujours positives~), de cosinus ou de
sinus, de logarithmes népériens...  Vous chercherez donc en
général à factoriser ou à réduire au même dénominateur votre
expression.

\sm

 Si cela s'avère impossible algébriquement, on vous suggérera
d'étudier une fonction. Alors soit elle admettra comme extremum
zéro, soit vous déterminerez une approximation de la valeur
d'annulation de $f$ grâce au théorème de la bijection et vous
conclurez à l'aide du tableau de variations.

\SUBSECTION{Qu'est-ce qu'une fonction croissante sur $I$~?}

C'est une fonction qui conserve l'ordre sur $I$.


\SUBSECTION{ Comment lever une indétermination~?}

Il n'y a pas une méthode mais des méthodes. Il ne s'agit donc pas
d'apprendre par cœur des recettes (tiens tiens...), ce qui vous
induirait à écrire de grosses sottises.

Vous pouvez dans un premier temps repérer des termes
<<~négligeables~>> devant d'autres et factoriser par le plus
<<~fort~>> (c'est le cas par exemple des fonctions rationnelles au
voisinage de $+\infty$ ou $-\infty$).

Vous pouvez minorer ou majorer par des valeurs permettant de
conclure à l'aide des théorèmes de comparaison (c'est le cas de la
fonction cosinus qui vérifie $-1\ie\cos x\ie 1$ pour tout réel $x$
et donc $-1/x\ie (cos x)/x\ie 1/x$ pour $x\neq 0$ et finalement
$\ds\lim_{x\to+\infty}(\cos x)/x=0$ par application du théorème
des gendarmes.

Vous pouvez utiliser les propriétés algébriques de certaines
fonctions pour retrouver des limites connues ($e^{-x}=1/e^x$,
$\ln(1/x)=-\ln x$, $x^2+1=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}$...)

Dans le cas de l'étude de limites de fonctions irrationnelles, le
recours à la quantité conjuguée peut s'avérer utile.

Dans les cas désespérés, vous pouvez essayer de reconnaître la
limite d'un taux de variation et donc utiliser la dérivée
associée.



\SUBSECTION{ Comment montrer qu'une fonction admet un extremum
local en $a$ ~?}

Montrer que la dérivée s'annule en $a$ en changeant de signe.

\newpage

\SUBSECTION{ Comment résoudre une équation ou une inéquation
trigonométrique~?}

Dessinez un cercle trigonométrique~! N'oubliez pas les
<<~$+2k\pi$~>> et connaissez parfaitement les lignes
trigonométriques de $0$, $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, $\pi/2$,
$\pi$, $2\pi$.

%\SUBSECTION{ Comment résoudre une équation ou une inéquation
%comportant des exponentielles~?}
%
%Essayez de conclure directement sachant qu'une exponentielle est
%strictement positive. Si cela ne sufffit pas, ramenez-vous à une
%équation du type $e^A=e^B$ pour en conclure que $A=B$, ou à une
%inéquation du type $e^A<e^B$ pour en conclure que $A<B$. L'étude
%de la fonction ln nous fournira d'autres méthodes.
%


\SUBSECTION{ Comment avoir 20/20 au Bac~?}

Ce n'est pas difficile, je vais vous donner le secret~:

%Illustrez ces réponses par des exemples et des dessins,
%répertoriez d'autres questions qui vous viennent à l'esprit et
%vous passerez, n'en doutons pas, de bonnes vacances.
\end{document}
