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[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 1235387009048--
%%--Etude d\'une fonction rationnelle--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
[probl\`{e}me]$\vspace*{-0.35cm}$%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\subsection
%*{Partie I: �tude d'une fonction auxiliaire}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie I: �tude d'une fonction auxiliaire}%
%EndExpansion


Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ par $g(x)=x^{3}-3x-4.$

\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de $g.$

\item Montrer qu'il existe un unique r\'{e}el $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0 $
et donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha.$

\item \'{E}tudier le signe de $g$ sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\subsection*{Partie II: �tude de $f$}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie II: �tude de $f$}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathcal{D}_{f}=%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
\backslash\{-1;1\}$ par:%
\[
f(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}}{x^{2}-1}.
\]
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe repr\'{e}sentative dans un rep\`{e}re
orthonormal (unit\'{e} graphique: $2%
%TCIMACRO{\unit{cm}}%
%BeginExpansion
\operatorname{cm}%
%EndExpansion
$).

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les limites de $f$ aux bornes des intervalles composant
son ensemble de d\'{e}finition.

\item Montrer que, pour tout $x\in\mathcal{D}_{f},$ on a:%
\[
f^{\prime}(x)=\dfrac{xg(x)}{\left(  x^{2}-1\right)  ^{2}}.
\]
En d\'{e}duire le tableau de variation de $f.$

\item
\begin{enumerate}
\item V\'{e}rifier que, $\forall x\in\mathcal{D}_{f},$ on a:%
\[
f(x)=x+2+\dfrac{x+2}{x^{2}-1}.
\]


\item En d\'{e}duire que $\mathcal{C}_{f}$ admet une asymptote oblique
$\left(  \mathcal{D}\right)  $ en $+\infty$ et en $-\infty.$

\item \'{E}tudier la position de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport \`{a} $\left(
\mathcal{D}\right)  .$

\item Pour $x>1,$ on note $M$ et $N$ les points d'abscisse $x$ respectivement
de $\mathcal{C}_{f}$ et de $\left(  \mathcal{D}\right)  .$

Pour quelles valeurs de $x$ la distance $MN$ est-elle inf\'{e}rieure \`{a}
$0.001$?
\end{enumerate}

\item Tracer la droite $\left(  \mathcal{D}\right)  $ et la courbe
$\mathcal{C}_{f}.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\subsection*{Partie III: intersection de ${\cal
%{C}}_f$ avec une droite}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie III: intersection de ${\cal{C}}_f$ avec une droite}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer l'abscisse des points $M$ o\`{u} la tangente \`{a}
$\mathcal{C}_{f}$ est parall\`{e}le \`{a} la droite d'\'{e}quation $y=x+2.$

\item D\'{e}terminer une \'{e}quation de chacune de ces tangentes et les repr\'{e}senter.

\item En d\'{e}duire \textbf{graphiquement}, suivant les valeurs de $p,$ le
nombre de solutions de l'\'{e}quation:%
\begin{equation}
f(x)=x+p\label{f(x)=x+p}%
\end{equation}

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que les solutions de l'\'{e}quation (\ref{f(x)=x+p})
v\'{e}rifient $(p-2)x^{2}-x-p=0.$

\item En d\'{e}duire, \textbf{par le calcul}, le nombre de solutions de
l'\'{e}quation (\ref{f(x)=x+p}) suivant les valeurs de $p.$
\end{enumerate}

\item Soit $\left(  \Delta\right)  $ la droite d'\'{e}quation $y=x+p.$ On note
$(\mathcal{E)}$ l'ensemble des valeurs de $p$ pour lesquelles la droite
$\left(  \Delta\right)  $ coupe $\mathcal{C}_{f}$ en deux points distincts. On
appelle alors $M$ et $N$ les deux points d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$
avec $\left(  \Delta\right)  $ et $P$ le milieu du segment $\left[  MN\right]
.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'abscisse du point $P$ est $x_{p}=\dfrac{1}{2p-4}.$

\item En d\'{e}duire que le point $P$ appartient \`{a} la courbe
$\mathcal{C}^{\prime}$ d'\'{e}quation $y=x+2+\dfrac{1}{2x}.$

\item Pr\'{e}ciser la partie de $\mathcal{C}^{\prime}$ d\'{e}crite par le
point $P,$ lorsque $p$ d\'{e}crit $\left(  \mathcal{E}\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}