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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13119735713989--
%%--Asie 1998--
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\begin{center}
{\LARGE {\textbf{Asie 1998 Série S}}\\[0pt]{\textbf{Enoncé}}}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]\medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère
direct $(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$, ayant comme unité
graphique 3 cm. Les nombres complexes $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}$ et
$z_{6}$ que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme
algébrique \textbf{et} sous forme exponentielle $(\rho e^{i\theta}) $.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation
\index{Equation!complexe}
:
\[
z^{2}-\sqrt{3}z+1=0
\]
On pose : $\displaystyle{z_{1}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$ et $\displaystyle {z_{2}%
=\frac{\sqrt{3}-i}{2}}$.\newline Exprimer $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme
exponentielle et placer les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives
$z_{1}$ et $z_{2}$ dans le plan $\mathcal{P}$.
\index{Forme!exponentielle}%


\item Soit \textit{r} la rotation de centre O et d'angle $\displaystyle {\frac
{2\pi}{3}}$.\newline%
\index{Rotation}%
Calculer l'affixe $z_{3}$ du point $M_{3}=\mathit{r}\,(M_{2}) $.\newline%
\index{Affixe}%
Placer $M_{3}$ sur la figure précédente.

\item Soit \textit{t} la translation
\index{Translation}
dont le vecteur $\overrightarrow{w\;}$ a pour affixe $\displaystyle{-\frac
{\sqrt{3}+i}{2}}$.\newline Calculer l'affixe $z_{4}$ du point $M_{4}%
=\mathit{t}\,(M_{2})$.\newline Placer $M_{4}$ sur la figure précédente.

\item Soient $\displaystyle{z_{5}=\frac{i}{2}(1+i\sqrt{3})}$ et
$\displaystyle{z_{6}=\frac{2}{i-\sqrt{3}}}$.\newline Exprimer $z_{5}$ et
$z_{6}$ sous forme algébrique et sous forme exponentielle.\newline Placer les
points $M_{5}$ et $M_{6}$ d'affixes respectives $z_{5}$ et $z_{6}$ sur la figure.

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $z^{6}_{k}$ pour $k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$.

\item Ecrire $z^{6}+1$ sous forme d'un produit de trois polynômes du second
degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.
\index{Polynôme}%
\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]\textit{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}. $\mathbb{N}^{\ast
}$ \textit{est l'ensemble des entiers strictement positifs}.\newline Pour tout
entier n de $\mathbb{N}^{\ast}$, on considère l'intégrale :
\index{Intégrale}
\[
I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}dx
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1,e[$ et pour tout
entier naturel n, on a :
\[
(\ln x)^{n}-(\ln x)^{n+1}>0
\]


\item En déduire que la suite $(I_{n})$ est décroissante.
\index{Suite!décroissante}%

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{1}$ à l'aide d'une intégration par parties.
\index{Intégration!par parties}%


\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout
$n\in\mathbb{N}^{*}$ :
\[
I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}%
\]


\item En déduire $I_{2}$, $I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes,
exprimées en fonction de $e$ et les valeurs approchées à $10^{-3}$ près par défaut.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $I_{n}\geqslant0 $

\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $(n+1)I_{n}\leqslant e$

\item En déduire la limite de $I_{n}$.

\item Déterminer la valeur de $nI_{n}+(I_{n}+I_{n+1})$ et en déduire la limite
de $nI_{n}$.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]$\vspace*{-0.35cm}$

\textbf{Partie A}\newline Soit la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$, qui,
à tout $x$, associe :
\index{Fonction!exponentielle}
\[
g(x)=e^{x}(x-1)+x^{2}.
\]


\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Montrer que la dérivée de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$
est :
\[
g\,^{\prime}(x)=x(e^{x}+2).
\]


\item[\textbf{b.}] Déterminer les limites de $g$ en $(+ \infty)$ et en $(-
\infty)$.

\item[\textbf{c.}] Étudier le signe de $g\,^{\prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$, et
dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{2.}] Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$
et une seule sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$.\newline Montrer que
$\alpha$ est dans l'intervalle I $=\left[  \displaystyle\frac{1}%
{2}\,;\,1\right]  .$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\\[0,3cm]Soit la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$
par :
\[
f(x) = \displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x} + x}.
\]


\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que les équations $f(x)=x$ et $g(x)=0$ sont
équivalentes sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$, et que, par suite, l'équation
$f(x)=x$ admet $\alpha$ pour solution unique sur I.

\item[\textbf{2.}] 

\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de
variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$.

\item[\textbf{b.}] Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.

\item[\textbf{c.}] Dresser le tableau de variation de $f$.

\item[\textbf{d.}] Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$
sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On
indiquera en particulier les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses
0 et 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{1.}] Montrer que, pour tout $x$ appartenant à I, $f(x)$
appartient à I.

\item[\textbf{2.}] Soit la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}^{\star}}$ définie
par:%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
u_{1}=\frac{1}{2}\\[0cm]%
u_{n}=f(u_{n-1})\quad\text{pour tout}\ n>1
\end{array}
\right.
\]


\begin{enumerate}
\item[\textbf{a.}] Montrer que, pour tout $n \in\mathbb{N}^{\star}$, $\ u_{n}
\in I$.

\item[\textbf{b.}] Montrer que, pour tout $x\in$ I, $\ $%
\[
\left|  f\,^{\prime}(x)\right|  \leqslant\frac{1}{2}%
\]


\item[\textbf{c.}] En appliquant le théorème de l'inégalité des accroissements
finis, démontrer que :
\[
\text{pour tout}\ n>1,\quad\left\vert u_{n}-\alpha\right\vert \leqslant
\frac{1}{2}\left\vert u_{n-1}-\alpha\right\vert .
\]


\item[\textbf{d.}] En déduire, par un raisonnement par récurrence, que :
\[
\text{pour tout}\ n\in\mathbb{N}^{\star},\quad\left\vert u_{n}-\alpha
\right\vert \leqslant\left(  \frac{1}{2}\right)  ^{n}.
\]


\item[\textbf{e.}] En déduire que $(u_{n})$ converge vers $\alpha$

\item[\textbf{f.}] A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la
suite pour obtenir une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-7}$ près~?
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] En utilisant la décroissance de $f$, montrer que $\alpha$
est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire
un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}