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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13124558633008--
%%--Guadeloupe 2000--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES\bigskip}

{\LARGE BACCALAUREAT S \bigskip}

{\LARGE GUADELOUPE 2000\bigskip}

{\Large ENONCE}
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Un groupe de vingt-deux personnes décide d'aller au cinéma deux
samedis de suite pour voir deux films A et B.\newline Le premier samedi, huit
personnes vont voir le film A, et les autres vont voir le film B.\newline Le
deuxième samedi, quatre personnes décident de revoir le film A, deux vont
revoir le film B, et les autres vont voir le film qu'elles n'ont pas vu la
semaine précédente.\newline Après la deuxième séance, on interroge au hasard
une personne de ce groupe.\newline On considère les événements suivants :
\newline$A_{1}$ : '' La personne interrogée a vu le film A le premier samedi
'' ;\newline$A_{2}$ : ''La personne interrogée a vu le film A le deuxième
samedi '' ;\newline$B_{1}$ : '' La personne interrogée a vu le film B le
premier samedi '' ;\newline$B_{2}$ : '' La personne interrogée a vu le film B
le deuxième samedi '' ;

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités suivantes : $p(A_{1})$ et $p(A_{2})$.

\item Calculer les probabilités de chacun des événements suivants :
$p(A_{2}/A_{1})$, $p(A_{2}/B_{1})$ et $p(A_{1} \cap A_{2})$.

\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré suivant, en remplaçant chaque
point d'interrogation par la probabilité correspondante. (Aucune justification
n'est demandée pour cette question).\newline

\vspace{1.5cm}%
%TCIMACRO{\TeXButton{unitlength}{\unitlength=1cm}}%
%BeginExpansion
\unitlength=1cm%
%EndExpansion
\begin{picture}(8,4)
\put(1,3){\line(2,1){2.24}} \put(1,3){\line(2,-1){2.24}}
\put(4,1.8){\line(2,1){2}} \put(4,1.8){\line(2,-1){2}}
\put(4,4.2){\line(2,1){2}} \put(4,4.2){\line(2,-1){2}}
\put(7,0.6){\line(2,0){2.24}} \put(7,2.8){\line(2,0){2.24}}
\put(7,3.2){\line(2,0){2.24}}  \put(7,5.3){\line(2,0){2.24}}
\put(3.4,4){$A_1$} \put(3.4,1.8){$B_1$} \put(2,2.1){?}
\put(2,3.7){?}
\put(6.4,5.3){$A_2$} \put(6.4,3.2){$B_2$} \put(6.4,2.8){$A_2$}
\put(6.4,0.6){$B_2$}
\put(5,4.9){?} \put(5,3.2){?} \put(5,2.5){?} \put(5,0.9){?}
\put(9.3,5.2){?} \put(9.3,3.1){?} \put(9.3,2.7){?}
\put(9.3,0.5){?}
\end{picture}


\item Retrouver à partir de l'arbre pondéré que $p(A_{2})=\frac{8}{11}$.
\end{enumerate}

\item Le prix du billet pour le film A est de 30 F, et de 20 F pour le film
B.\newline On appelle X la variable aléatoire égale au coût total, pour la
personne interrogée, des deux séances de cinéma.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points]%
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $z$, on pose:%
\[
P(z)=z^{3}-3z^{2}+3z+7
\]


\begin{enumerate}
\item Calculer $P(-1)$.

\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout nombre complexe $z$,
on ait:
\[
P(z)=(z+1)(z^{2}+az+b)
\]


\item Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation: $P(z)=0$.
\end{enumerate}

\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ ( unité graphique : 2cm )\newline
On désigne par $A$, $B$, $C$ et $G$ les points du plan d'affixes respectives:%
\[
z_{A}=-1\qquad z_{B}=2+i\sqrt{3}\qquad z_{C}=2-i\sqrt{3}\qquad z_{G}=3
\]


\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure et placer les points $A$, $B$, $C$ et $G$.

\item Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$. En déduire la nature du
triangle $ABC$.

\item Calculer un argument du nombre complexe:%
\[
{\frac{z_{A}-z_{C}}{z_{G}-z_{C}}}%
\]
En déduire la nature du triangle $GAC$.
\end{enumerate}

\item Soit $(D)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que :
\[
(-\overrightarrow{MA\;}+2\overrightarrow{MB\;}+2\overrightarrow{MC\;}%
).\overrightarrow{CG\;}=+12\quad(1)
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que $G$ est le barycentre du système de points pondérés
$\{(A,-1);(B,2);(C,2)\}.$

\item Montrer que la relation $(1)$ est équivalente à la relation :
\[
\overrightarrow{GM\;}.\overrightarrow{CG\;}=-4\quad(2)
\]


\item Vérifier que le point $A$ appartient à l'ensemble $(D)$.

\item Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation :
\[
\overrightarrow{AM\;}.\overrightarrow{GC\;}=0
\]


\item En déduire l'ensemble $(D)$ et le tracer.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\left]
0;+\infty\right[  $ par:%
\[
f(x)=x\ln(x^{2})-2x.
\]
On désigne par $(C)$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un
repère orthonormal $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$; unité
graphique : 1 cm.%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


Etude de $f$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x>0,$%
\[
f(x)=2x\ln x-2x
\]
puis que
\[
f(x)=2x\ln\frac{x}{e}%
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de $f$ en $+\infty$.

\item Montrer que $f$ est dérivable en tout $x>0$; calculer $f^{\prime}(x)$
pour $x>0$.

\item Etudier le sens de variation de $f$ sur $\left]  0;+\infty\right[  $.

\item Donner le tableau de variation de $f$ sur $\left]  0;\infty\right[  $.
\end{enumerate}

\item Déterminer, par le calcul, l'abscisse du point d'intersection de la
courbe $(C)$ avec l'axe des abscisses.

\item Montrer que l'équation $f(x)=2$ admet sur l'intervalle $[1;5]$ une
solution et une seule et en donner la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


Calcul d'aires

\begin{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[  0;+\infty\right]
$ par:
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
F(0)=0;\\
F(x)=x^{2}\ln x-\frac{3x^{2}}{2},\text{si\thinspace}x>0.
\end{array}
\right.
\]


\begin{enumerate}
\item On admet que
\[
\lim_{x\rightarrow0}x\ln x=0
\]
montrer que $F$ est dérivable en 0 et préciser $F^{\prime}(0)$

\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\left]  0;+\infty\right[  $,
$F^{\prime}(x)=f(x)$.
\end{enumerate}

\item On considère pour chaque entier $n$ positif ou nul, la droite $(D_{n})$
d'équation $y=nx$.\newline On trouvera ci-dessous un tracé de la courbe $(C)$
et des droites $(D_{0}) $, $(D_{1})$ et $(D_{2})$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $I_{n}$, d'abscisse strictement
positive, intersection de $(C)$ et de $(D_{n})$.\newline On appelle P$_{n}$ le
point de l'axe des abscisses de même abscisse que I$_{n}$.\newline Placer les
points I$_{0}$, I$_{1}$, I$_{2}$, P$_{0}$, P$_{1}$ et P$_{2}$ sur la figure
donnée en annexe.

\item Déterminer la position relative de $(C)$ et de $(D_{n})$ pour les
abscisses appartenant à $\left]  0;+\infty\right[  $.
\end{enumerate}

\item Pour tout $n\geqslant1$, on considère le domaine A$_{n}$ situé dans le
quart de plan défini par $x\geqslant0$ et $y\geqslant0$, délimité par $(C)$,
$(D_{n-1})$ et $(D_{n})$. On note $a_{n}$ son aire, exprimée en unités d'aire.

\begin{enumerate}
\item Faire apparaître les domaines A$_{1}$ et A$_{2}$ sur la figure
\ref{fig11087} page \pageref{fig11087}.

\item Calculer l'aire $t_{n}$ du triangle OP$_{n}$I$_{n}$, en unités d'aire .

\item Calculer l'aire $u_{n}$, en unités d'aire, du domaine situé dans le
quart de plan défini par $x\geqslant0$ et $y\geqslant0$, délimité par $(C)$,
l'axe des abscisses, et les parallèles à l'axe des ordonnées passant par
P$_{0}$ et P$_{n}$.

\item Vérifier que l'aire $v_{n}$, en unités d'aire, du domaine situé dans le
quart de plan défini par $x\geqslant0$ et $y\geqslant0$, délimité par $(C)$,
l'axe des abscisses et $(D_{n})$, est:%
\[
v_{n}=t_{n}-u_{n}=\frac{e^{2}}{2}(e^{n}-1)
\]


\item Calculer alors $a_{n}$.
\end{enumerate}

\item Montrer que la suite $\left(  a_{n}\right)  $ est une suite géométrique.
En préciser la raison et le premier terme.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{center}%
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[p]
\begin{center}
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\end{center}
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\end{center}


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