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\begin{document}

\begin{center}
  \Large{Feuille d'exercices sur les limites de fonctions}
\end{center}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13156470314018--
%%--Limites de fonctions et asymptotes--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\section{Apprentissage:}

\subsection{Opérations sur les limites.}

\begin{exercise}
Etudier la limite de:
%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^{2}+\sqrt{x}-5\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x}-1}\quad$en $1.$

\item $f(x)=\cos x+\frac{1}{x}\quad$en $0,\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=2x+\sin x\quad$en $\frac{\pi}{2},\quad$en $+\infty.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\subsection{Formes indéderminées.}

\begin{exercise}
Etudier la limite de:%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^{2}-2x-5$\quad en $+\infty.$

\item $f(x)=\frac{\sqrt{x}+x}{x+1}\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=x-2\sqrt{x}+7$\quad en $+\infty.$

\item $f(x)=\frac{x^{2}+x-\sqrt{x}}{x^{2}+1}\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}+x\quad$en $-\infty.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\subsection{Théorèmes de comparaison.}%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f$ est une fonction telle que pour tout $x>1,$%
\[
\frac{3x+\cos x}{x}\leq f(x)\leq\frac{3x+7}{x-1}.
\]


Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

\item Déterminer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction:%
\[
f:x\mapsto\frac{\cos x}{x+1}.
\]


\item $f$ est une fonction telle que:%
\[
\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+},\text{ }\left\vert f(x)-3\right\vert \leq\frac{1}{x+1}.
\]


Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$f$ est la fonction définie sur $\left[  0;+\infty\right[  $ par:%
\[
f(x)=\sqrt{1+x}-\sqrt{x}.
\]


\begin{enumerate}
\item Vérifier que:%
\[
\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+},\text{ }f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}.
\]


\item En déduire que:%
\[
\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
^{+},\text{ }\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\leq f(x)\leq\frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]


\item Qelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty\lbrack$ par:%
\[
f(x)=\frac{2x+\sin x}{x-1}.
\]


Déterminer $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x).$
\end{exercise}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion
\pagebreak

\subsection{Limite de fonctions composées.}

\begin{exercise}
Déterminer la limite de:%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-5}}\quad$en $5.$

\item $f(x)=\sqrt{-x^{3}+x^{2}+x}\quad$en $-\infty.$

\item $f(x)=\sqrt{\frac{-x+1}{x^{2}+1}}\quad$en $-\infty.$

\item $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\quad$en $-1,\quad$en 1$.$

\item $f(x)=\cos\pi x+\frac{1}{(x-1)^{2}}\quad$en $1.$

\item $f(x)=\cos(\frac{\pi x+1}{x+2})\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\sin\frac{1}{\sqrt{x}}\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{x})^{3}\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\cos^{2}(\pi\sqrt{\frac{x-1}{x+1})}\quad$en $+\infty.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\subsection{Asymptote oblique.}

Dans les exercies \ref{exDeb} à \ref{ExFin}, dire si $C_{f}$ admet la droite
$(\Delta)$ proposée comme asymptote oblique en $\pm\infty$ et préciser la
position relative de $C_{f}$ par rapport à $(\Delta).$%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
\label{exDeb}$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x+3+\frac{10}{x+1}$;\quad$\left(  \Delta\right)  :y=2x+3.$

\item $f(x)=-x+1-\frac{1}{x^{2}}$;\quad$\left(  \Delta\right)  :y=-x+1.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x+\frac{\sin x}{x}$;\quad$\left(  \Delta\right)  :y=x.$

\item $f(x)=3x+7-\frac{5}{\sqrt{\left\vert x\right\vert }}$;\quad$\left(
\Delta\right)  :y=3x+7.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{2x^{2}-7x-3}{x-4}$;\quad$\left(  \Delta\right)  :y=2x+1.$

\item $f(x)=\frac{x^{3}-3x-5}{(x+1)^{2}}$;\quad$\left(  \Delta\right)
:y=x-2.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\label{ExFin}$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{-x^{2}-4x+\sin x}{x}$;\quad$\left(  \Delta\right)  :y=-x-4.
$

\item $f(x)=\frac{x^{2}+\frac{5}{2}x+\sqrt{x}+1}{2x+1}$;\quad$\left(
\Delta\right)  :y=\frac{1}{2}x+1.$
\end{enumerate}
\end{exercise}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\section{Approfondissement:}

\subsection{Limites de fonctions.}

Dans les exercices \ref{ExDeb1} à \ref{ExFin1}, étudier la limite de $f$ aux
endroits indiqués; lorsque $f$ n'est pas définie au réel $a$, étudier la
limite à droite et la limite à gauche.%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
\label{ExDeb1}$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-6x+5},\quad$en $\pm\infty,$ en 1, en 5.

\item $f(x)=\frac{x^{2}-4x-12}{x^{2}-4},\quad$en $\pm\infty$, en 2, en -2.

\item $f(x)=\frac{2x^{3}-x^{2}-1}{x^{2}+x-2},\quad$en $\pm\infty$, en 1, en -2.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=2x+\sin x,\quad$en $\pm\infty.$

\item $f(x)=x^{3}(2+\cos x),\quad$en $\pm\infty$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-x,\quad$en $+\infty.$

\item $f(x)=\sqrt{4x^{2}+x}+2x,\quad$en $-\infty.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{\sin5x}{x},\quad$en 0.

\item $f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{x}},\quad$en 0, en $+\infty.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{1-cosx}{\sin x},\quad$en 0.

\item $f(x)=\frac{x\sin x}{1-\cos x},\quad$en 0.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\label{ExFin1}$\vspace*{-0.35cm}$

$f(x)=\frac{2-\sqrt{3x-2}}{\sqrt{2x+5}-3},\quad$en 2.
\end{exercise}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-5;+\infty\lbrack$ par $f(x)=\frac
{x-3}{x+5}.$

\begin{enumerate}
\item Calculer $\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(x)$ et en déduire
$\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}f(f(x)).$

\item Retrouver cette dernière limite en explicitant $f(f(x)).$\pagebreak
\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsection{Asymptote.}

Dans les exrcices \ref{ExDeb2} à \ref{ExFin2}, on note $\mathcal{C}_{f}$ la
courbe représentative, dans un repère donné, de la fonction $f $, que l'on
étudie sur son domaine de définition.

Préciser, dans chacun des cas, lorsqu'elles existent, les asymptotes
(verticales, horizontales ou obliques)~à$~\mathcal{C}_{f}$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{multicols}{\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0,2 mm}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
\label{ExDeb2}$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x+1}{x-1}.$

\item $f(x)=-x+3+\frac{2}{x^{2}+1}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{2x^{2}+5x-4}{x}.$

\item $f(x)=\frac{x^{2}+2+\sin x}{x}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x^{2}-6x+1}{x^{2}-1}.$

\item $f(x)=\frac{x^{2}-3x+1}{x-1}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\label{ExFin2}$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item $f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}.$

\item $f(x)=\frac{3x^{3}+2x-1}{x^{2}+1}.$
\end{enumerate}
\end{exercise}%

%TCIMACRO{\TeXButton{TeX field}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\begin{exercise}
[D'aprés un sujet de BAC]$f$ est la fonction définie par:%
\[
\forall x\in%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
,\text{ }f(x)=x+\sqrt{x^{2}+1}.
\]


On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
$\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)  .$

\begin{enumerate}
\item Etudier la limite de $f$ en $-\infty.$ Interpréter graphiquement ce résultat.

\item Prouver que la droite $\left(  \Delta\right)  $ d'équation $y=2x$ est
asymptote oblique à $\mathcal{C}_{f}$ en $+\infty.$

\item Etudier la position relative de $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à $\left(
\Delta\right)  .$
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}