%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0

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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13158567315389--
%%--Concours ENI session 2001--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
\bigskip{\Huge ENI 2001}
\end{center}

Les 30 exercices propos\'{e}s sont ind\'{e}pendants. Pour chaque exercice il y
a 5 r\'{e}ponses possibles rep\'{e}r\'{e}es par les lettres A, B, C, D, E.
\textbf{Une r\'{e}ponse et une seule est correcte.}\newline Aucun document
n'est autoris\'{e} et l'usage des calculatrices est interdit.\newline Certains
exercices peuvent \^{e}tre hors de la fraction du programme trait\'{e} au jour
de l'\'{e}preuve; le nombre d'exercices est pr\'{e}vu pour compenser cette
\'{e}ventualit\'{e}.\\[0.3cm]

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par
\[
f\left(  x\right)  =\cos^{2}\left(  3x\right)
\]
On cherche la valeur $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  $ :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  =6\sqrt{2}$

\item $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  =6$

\item $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  =3$

\item $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  =12$

\item $f^{\prime}\left(  \frac{\pi}{4}\right)  =1$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{x^{3}+2x-3}{x^{2}+2x-3}%
\]


\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =1$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =\frac{3}{2}$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow1}f\left(  x\right)  =\frac{5}{4}$

\item $f$ n'admet pas de limite lorsque $x$ tend vers $1$.
\end{enumerate}

\item Soit $x\in\mathbb{R}$ tel que :%
\[
\cos x=\frac{1}{2}%
\]


\begin{enumerate}
\item $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

\item $\cos\left(  3x\right)  =\frac{3}{2}$

\item $\cos\left(  3x\right)  =-1$

\item $\left|  \sin\left(  3x\right)  \right|  =1$

\item $\cos\left(  2x\right)  =1$
\end{enumerate}

\item Soit la fonction $f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$ d\'{e}finie par
:%
\[
f\left(  z\right)  =z^{2}-z+\frac{1}{2}%
\]
On cherche l'image du complexe
\[
a=\frac{2-i}{3+i}%
\]
par la fonction $f$ :

\begin{enumerate}
\item $f\left(  a\right)  =2+i$

\item $f\left(  a\right)  =7-2i$

\item $f\left(  a\right)  =0$

\item $f\left(  a\right)  =1-i$

\item $f\left(  a\right)  =4+7i$
\end{enumerate}

\item Soit l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ :%
\[
1+x^{2}-2x^{2}\ln x=0
\]
On cherche le nombre de solutions de $\left(  E\right)  $ appartenant \`{a}
$\left]  0,+\infty\right[  $ :

\begin{enumerate}
\item L'\'{e}quation admet une unique solution.

\item L'\'{e}quation admet deux solutions.

\item L'\'{e}quation admet trois solutions.

\item L'\'{e}quation admet quatre solutions.

\item L'\'{e}quation n'admet aucune solution.
\end{enumerate}

\item On cherche la valeur de cette int\'{e}grale :%
\[
I=\int_{1}^{e}x^{4}\ln x\,dx
\]


\begin{enumerate}
\item $I=\frac{7e^{5}}{25}+\frac{1}{15}$

\item $I=\frac{4e^{5}}{25}+\frac{1}{25}$

\item $I=\frac{3e^{5}}{25}+\frac{1}{25}$

\item $I=\frac{3e^{5}}{25}-\frac{1}{15}$

\item $I=\frac{e^{5}}{25}+C$
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re la suite arithm\'{e}tique $\left(  u_{n}\right)  _{n\in
N}$ telle que $u_{20}=9$ et $u_{100}=249$. On a alors :

\begin{enumerate}
\item $u_{200}=349$

\item $u_{200}=449$

\item $u_{200}=\frac{847}{3}$

\item $u_{200}=459$

\item $u_{200}=549$
\end{enumerate}

\item Soit le syst\`{e}me $\left(  S\right)  $ :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
\frac{x}{y^{4}}=e^{-3}\\
x^{3}y^{5}=e^{\frac{49}{4}}%
\end{array}
\right.
\]
alors :

\begin{enumerate}
\item $\left(  S\right)  $ n'admet pas de solution.

\item $\left(  S\right)  $ admet pour unique solution
\[
\left(  x=\frac{1}{e^{4}},y=e^{\frac{1}{4}}\right)
\]


\item $\left(  S\right)  $ admet pour unique solution
\[
\left(  x=\frac{1}{e},y=e^{\frac{1}{2}}\right)
\]


\item $\left(  S\right)  $ admet pour unique solution
\[
\left(  x=e^{2},y=e^{\frac{5}{4}}\right)
\]


\item $\left(  S\right)  $ admet deux solutions
\[
\left(  x=e^{2},y=\pm e^{\frac{5}{4}}\right)
\]

\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re la suite $\left(  u_{n}\right)  _{n\in N}$ telle que
\[
u_{n}=\ln\left(  \frac{n+2}{n+3}\right)
\]
Si on note
\[
S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}%
\]
on a alors :

\begin{enumerate}
\item lim$_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=-\infty$

\item lim$_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=0$

\item lim$_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=3$

\item lim$_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=1$

\item lim$_{n\rightarrow+\infty}S_{n}=2$
\end{enumerate}

\item Soient $A$, $B$ et $C$ des points deux \`{a} deux distincts et d'affixes
respectives :%
\[
z_{A}=-i\quad z_{B}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\quad z_{C}=-\frac
{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i
\]
Un argument $a$ du complexe
\[
\frac{z_{B}-z_{A}}{z_{A}-z_{C}}%
\]
est :

\begin{enumerate}
\item $a=\frac{4\pi}{3}$

\item $a=\frac{2\pi}{3}$

\item $a=-\frac{\pi}{2}$

\item $a=-\frac{2\pi}{3}$

\item $a=\frac{\pi}{3}$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\left[  2,+\infty\right[  $ par :%
\[
f\left(  x\right)  =\sqrt{x^{2}+3x}-\sqrt{x^{2}-2x}%
\]


\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0$

\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =1$

\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\frac{5}{2}$

\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =\frac{3}{2}$

\item $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =+\infty$
\end{enumerate}

\item On cherche \`{a} r\'{e}soudre dans $\mathbb{R}$ l'\'{e}quation $\left(
E\right)  $ :%
\[
2x+1+e^{2x}=0
\]


\begin{enumerate}
\item $\left(  E\right)  $ n'admet pas de solution.

\item $\left(  E\right)  $ admet une solution dans $\left[  0,1\right]  $.

\item $\left(  E\right)  $ admet deux solutions.

\item $\left(  E\right)  $ admet une solution dans $\left[  -\frac{1}%
{2},0\right]  $.

\item $\left(  E\right)  $ admet une solution dans $\left[  -1,-\frac{1}%
{2}\right]  $.
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ par :%
\[
f\left(  x\right)  =\ln\left(  \sqrt{x^{2}+1}+x\right)
\]
alors :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  1\right)  =1$

\item $f^{\prime}\left(  1\right)  =0$

\item $f^{\prime}\left(  1\right)  =2$

\item $f^{\prime}\left(  1\right)  =\frac{1}{\sqrt{2}}$

\item $f^{\prime}\left(  1\right)  =\frac{1}{\sqrt{2}+1}$
\end{enumerate}

\item Soit la courbe $\mathcal{C}$ d'\'{e}quation :%
\[
y=-\frac{x}{2}+\ln\left(  \frac{x-1}{x}\right)
\]
Les valeurs de $x$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ a des tangentes horizontales
sont :

\begin{enumerate}
\item $x=-1$

\item $x=2$

\item $x=2$ et $x=-1$

\item $x=e$ et $x=\frac{1}{e}$

\item pas de valeur.
\end{enumerate}

\item Dans le plan, on consid\`{e}re le triangle $ABC$ et $I$ le milieu du
segment $\left[  BC\right]  $. On suppose que $AB=AC=2$ et que $BC=2\sqrt{2}$.
L'ensemble des points $M$ tels que :%
\[
\left\|  -2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow
{MC}\right\|  =2\sqrt{2}%
\]
est :

\begin{enumerate}
\item Une droite passant par $I$.

\item Le plan tout entier.

\item Un cercle de centre $I$.

\item $\left\{  I\right\}  $

\item L'ensemble vide
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re une urne $U$ contenant 4 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1 et
3 jetons num\'{e}rot\'{e}s 2. On tire au hasard et simultan\'{e}ment 3 jetons
dans $U$. La probabilit\'{e} $P$ que la somme des num\'{e}ros tir\'{e}s soit
\'{e}gale \`{a} 4 est :

\begin{enumerate}
\item $P=\frac{18}{35}$

\item $P=\frac{17}{35}$

\item $P=\frac{12}{35}$

\item $P=\frac{9}{35}$

\item $P=\frac{10}{24}$
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\ln\left|  \sqrt{2x}-1\right|
\]
L'ensemble des r\'{e}els pour lesquels $f$ existe est :

\begin{enumerate}
\item $\left]  0,+\infty\right[  $

\item $\left]  \frac{1}{2},+\infty\right[  $

\item $\left]  0,\frac{1}{2}\right[  $

\item $\left[  0,\frac{1}{2}\right[  \cup\left]  \frac{1}{2},+\infty\right[  $

\item $\left[  0,+\infty\right[  $
\end{enumerate}

\item Soit l'int\'{e}grale
\[
I=\int_{1}^{2}\frac{2x^{2}+2x-1}{x^{2}+x}dx
\]
D\'{e}terminer les r\'{e}els $a$, $b$ et $c$ tels que :%
\[
\frac{2x^{2}+2x-1}{x^{2}+x}=a+\frac{b}{x}+\frac{c}{x+1}%
\]
En d\'{e}duire :

\begin{enumerate}
\item $I=2+\ln\left(  \frac{3}{4}\right)  $

\item $I=2+\ln\left(  \frac{4}{3}\right)  $

\item $I=3+\ln\left(  \frac{3}{4}\right)  $

\item $I=2+\ln\left(  12\right)  $

\item $I=2-\ln\left(  12\right)  $
\end{enumerate}

\item Dans l'espace muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re les
points $A\left(  1,2,3\right)  $, $B\left(  -2,1,0\right)  $, $C\left(
4,3,1\right)  $. Le plan $ABC$ admet pour \'{e}quation :

\begin{enumerate}
\item $2x+y+z-7=0$

\item $x+6y+3z-22=0$

\item $x-z+2=0$

\item $4x+y+5z-21=0$

\item $x-3y+5=0$
\end{enumerate}

\item Dans l'espace muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e} on consid\`{e}re
l'ensemble $S$ des points $M$ dont les coordonn\'{e}es $\left(  x,y,z\right)
$ v\'{e}rifient l'\'{e}quation $x^{2}=1$

\begin{enumerate}
\item $S$ est une sph\`{e}re

\item $S$ est un plan

\item $S$ est l'union de deux plans parall\`{e}les

\item $S$ est un cylindre

\item $S$ est l'union de deux droites parall\`{e}les
\end{enumerate}

\item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :%
\[
f\left(  x\right)  =\frac{\sin\left(  3x\right)  }{\ln\left(  1+2x\right)  }%
\]


\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =0$

\item $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =\frac{2}{3}$

\item $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =1$

\item $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =\frac{3}{2}$

\item $\lim_{x\rightarrow0}f\left(  x\right)  =+\infty$
\end{enumerate}

\item Dans le plan, on consid\`{e}re les deux cercles C$_{1}$ et C$_{2}$ de
centres respectifs A$\left(  1,0\right)  $, B$\left(  0,1\right)  $ de rayon
1. L'ensemble des points du plan situ\'{e}s \`{a} la fois \`{a}
l'int\'{e}rieur de C$_{1}$ et \`{a} l'int\'{e}rieur de C$_{2}$ a pour aire A.

\begin{enumerate}
\item A=$\frac{\pi}{2}-1$

\item A=$\frac{3\pi}{2}$

\item A=$\frac{3\pi}{2}-1$

\item A=$\frac{3\pi}{2}-2$

\item A=$\frac{3\pi}{2}-3$
\end{enumerate}

\item Soit
\[
E=\left\{  \left(  x,y\right)  \in\mathbb{R}^{2},\frac{1}{2}\leq x\leq1\text{
et }\frac{1}{x}\leq y\leq-2x+3\right\}
\]
$A$ est l'aire de la surface $E$. On a alors :

\begin{enumerate}
\item $A=\frac{3}{4}-\ln2$

\item $A=\frac{3}{4}-\ln3$

\item $A=\frac{1}{4}+\ln2$

\item $A=\frac{3}{4}+\ln2$

\item $A=\ln2$
\end{enumerate}

\item Soit l'\'{e}quation $\left(  E\right)  $ :%
\[
\sin\left(  \frac{x}{2}\right)  =\cos\left(  \pi-x\right)
\]
On cherche le nombre de solutions de $\left(  E\right)  $ appartenant \`{a}
$\left[  -\pi,\pi\right]  $ :

\begin{enumerate}
\item L'\'{e}quation n'admet aucune solution.

\item L'\'{e}quation admet deux solutions.

\item L'\'{e}quation admet trois solutions.

\item L'\'{e}quation admet quatre solutions.

\item L'\'{e}quation admet une unique solution.
\end{enumerate}

\item Deux triangles \'{e}quilat\'{e}raux ont m\^{e}me centre et leurs
c\^{o}t\'{e}s sont parall\`{e}les. La surface del'un vaut le double de la
surface de l'autre. Le c\^{o}t\'{e} le plus petit mesure 1 cm. La distance $d$
des c\^{o}t\'{e}s parall\`{e}les est :

\begin{enumerate}
\item $d=\sqrt{3}-\sqrt{2}$

\item $d=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{6}$

\item $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$

\item $d=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

\item $d=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re deux urnes $U_{1}$ et $U_{2}$. L'urne $U_{1}$ contient
2 boules noires et 3 boules blanches et l'urne $U_{2}$ contient aussi 2 boules
noires et 3 boules blanches. On tire au hasard 2 boules dans $U_{1}$ et on les
remet dans $U_{2}$. On tire ensuite au hasard 2 boules de $U_{2}$. La
probabili\'{e} $P$ que ces deux derni\`{e}res boules soient blanches est :

\begin{enumerate}
\item $P=\frac{21}{35}$

\item $P=\frac{22}{65}$

\item $P=\frac{21}{50}$

\item $P=\frac{7}{21}$

\item $P=\frac{33}{70}$
\end{enumerate}

\item Soit la fonction $f$ d\'{e}finie de $\mathbb{R}^{+}$ dans $\mathbb{R}$
par :%
\[
\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
f\left(  0\right)  =0\\
f\left(  x\right)  =\frac{x}{x-\ln x}\text{ si }x>0
\end{array}
\right.
\]
alors :

\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =1$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =0$

\item $f^{\prime}\left(  0\right)  =2$

\item $f$ n'est pas d\'{e}rivable en $0$.

\item La courbe de la fonction $f$ admet au point $O$ une tangente verticale.
\end{enumerate}

\item Combien de mots diff\'{e}rents de 6 lettres commen\c{c}ant par une
consonne et se terminant par une voyelle peut-on former en permutant les
lettres du mot '' CASINO '' ?

\begin{enumerate}
\item 360

\item 108

\item 72

\item 144

\item 216
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re le nombre complexe
\[
a=\frac{2}{3}e^{i\frac{2\pi}{3}}%
\]
et on pose pour $n\in N$ :%
\[
u_{n}=\left|  a^{n+1}-a^{n}\right|
\]
Alors :

\begin{enumerate}
\item $u_{n}=\frac{5}{3}\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{n}$

\item $u_{n}=\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{n+1}-\left(  \frac{2}{3}\right)
^{n}$

\item $u_{n}=\sqrt{\frac{15}{31}}\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{n}$

\item $u_{n}=\sqrt{\frac{19}{31}}\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{n}$

\item $u_{n}=\frac{\sqrt{19}}{3}\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{n}$
\end{enumerate}

\item On consid\`{e}re le nombre complexe
\[
a=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}%
\]
Si on note
\[
S=1+a+a^{2}+a^{3}+a^{4}+a^{5}+\cdots+a^{2000}%
\]
on a alors :

\begin{enumerate}
\item $S=-1-i\sqrt{3}$

\item $S=-1+i\sqrt{3}$

\item $S=1-i\sqrt{3}$

\item $S=1+i\sqrt{3}$

\item $S=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{document}