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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1316441237755--
%%--Equations et inéquations du second degré--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
On considère les polynômes $P,$ $Q,$ $R$ définis sur $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$ par:%
\[
P(x)=-3x^{2}+2\quad;\quad Q(x)=3x^{2}-\sqrt{6}x+\frac{1}{2}\quad;\quad
R(x)=-x^{2}+x-1.
\]


\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $P(x)=0$ puis $P(x)>0;$

\item $Q(x)=0$ puis $Q(x)\leq0;$

\item $R(x)=0$ puis $R(x)\leq0.$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Factoriser, si possible, $P(x),$ $Q(x)$ et $R(x)$;

\item Dresser les tableaux de variation des polynômes $P,$ $Q$ et $R$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Résoudre dans $%
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
$:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item
\[
\frac{2x-5}{x-1}=\frac{x-1}{x+1};
\]


\item
\[
x^{4}-5x^{2}+6=0;
\]


\item
\[
\frac{2-x}{-x^{2}-2x+3}\geq0;
\]


\item
\[
\frac{x}{x-4}\geq\frac{1}{x+5}.
\]

\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Après avoir factorisé $P(x)=2x^{3}-8x^{2}+2x+12,$ résoudre l'équation
$P(x)=0.$
\end{exercise}

\begin{exercise}
Étant donnés les réels $a\neq0,$ $b$ et $c,$ on considère le polynôme
$P(x)=ax^{2}+bx+c$ de discriminant $\Delta=b^{2}-4ac.$ Déterminer si les
propositions suivantes sont vraies ou fausses (quels que soient $a\neq0,$ $b $
et $c)$ en justifiant les réponses:

\begin{enumerate}
\item Si pour tout réel $x$ on a $P(x)<0,$ alors $\Delta<0;$

\item Si $\Delta<0$ alors, pour tout réel $x$, on a $P(x)<0;$

\item S'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $P(\alpha
)P(\beta)<0$, alors $\Delta>0;$

\item On suppose $\Delta>0$ et l'on note $x_{1}$ et $x_{2}$ les racines de
$P(x)$ avec $x_{1}<x_{2}.$

Si $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels tels que $x_{1}<\alpha<x_{2}<\beta,$
alors $P(\alpha)P(\beta)<0.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Le plan étant muni d'un repère $\left(  O;\overrightarrow{i};\overrightarrow
{j}\right)  ,$ on note $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y=x^{2}$ et
$\mathcal{D}$ la droite d'équation $y=-2x+2$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$;

\item Calculer \textbf{les coordonnées} des points d'intersection de
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}.$
\end{enumerate}

\item $m$ étant un réel donné, on note $\mathcal{D}_{m}$ la droite d'équation
$y=-2x+m.$

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{D}_{m}$ est parallèle à $\mathcal{D};$

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}_{m}$
coupe $\mathcal{P}$ en un seul point;

\item Construire la droite correspondante et calculer \textbf{les coordonnées}
du point d'intersection.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $m$ pour lesquelles $\mathcal{D}_{m}$ coupe
$\mathcal{P}$ en deux points distincts $A_{m}$ et $B_{m};$

\item On appelle $I_{m}$ le milieu du segment $\left[  A_{m}B_{m}\right]  .$

Determiner la courbe que décrit $I_{m}$ lorsque $m$ varie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}