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[Démonstration]
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}{\end{itemize}}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13165205253380--
%%--Sur le barycentre--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
$ABC$ est un triangle, $O$ est le centre de son cercle circonscrit $\Gamma$ et
$G$ son centre de gravit\'{e}. $A^{\prime},$ $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$
d\'{e}signent les mileux respectifs de $\left[  BC\right]  ,$ $\left[
CA\right]  $ et $\left[  AB\right]  .$

\begin{enumerate}
\item On note $H$ le point d\'{e}fini par $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow
{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\quad\left[  1\right]  .$ Le but
des questions suivantes est de d\'{e}montrer que $H$ est l'orthocentre de
$ABC.$

\begin{enumerate}
\item Prouver, \`{a} partir de l'\'{e}galit\'{e} $\left[  1\right]  ,$ que
$\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OA^{\prime}};$

\item D\'{e}montrer que $\left(  AH\right)  $ est perpendiculaire \`{a}
$\left(  BC\right)  ;$

\item D\'{e}montrer que $\left(  BH\right)  $ est perpendiculaire \`{a}
$\left(  AC\right)  .$ Conclure$.$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Prouver que $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\quad\left[
2\right]  ;$

\item Examinons la question de savoir si $O,$ $G$ et $H$ peuvent \^{e}tre confondus:

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'\'{e}galit\'{e} $\left[  2\right]  $, prouver que si deux
de ces points le sont, alors le troisi\`{e}me est confondu avec eux.

En d\'{e}duire que: si deux de ces points sont confondus alors $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral;

\item R\'{e}ciproquement, v\'{e}rifer que: si $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral
alors $O,$ $G$ et $H$ sont confondus;
\end{enumerate}

\item D\'{e}montrer que: lorsque $ABC$ n'est pas \'{e}quilat\'{e}ral, les
points $O,$ $G$ et $H$ sont align\'{e}s.
\end{enumerate}

\item
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
Le but des questions suivantes est de d\'{e}montrer que les sym\'{e}triques de
$H$ par rapport aux milieux des c\^{o}t\'{e}s de $ABC$ sont sur le cercle
circonscrit $\Gamma.$ Pour cela, notons $A_{1}$ le point diam\'{e}tralement
oppos\'{e} \`{a} $A$ sur $\Gamma$ et $I$ le milieu de $\left[  HA_{1}\right]
.$

\begin{enumerate}
\item Justifier les \'{e}galit\'{e}s $2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow
{AH}=2\overrightarrow{OA^{\prime}};$

\item En d\'{e}duire que $I=A^{\prime}$ puis que $A_{1}$ est le sym\'{e}trique
de $H$ par rapport \`{a} $A^{\prime};$

\item Indiquer, sans d\'{e}monstration, les sym\'{e}triques de $H$ par rapport
\`{a} $B^{\prime}$ et $C^{\prime}.$ Conclure.
\end{enumerate}

%

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%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\begin{enumerate}
\item On consid\`{e}re la disposition suivante:%
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\begin{center}
\includegraphics[
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width=318.4375pt
]%
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\end{center}
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Exprimer $A$ comme barycentre de $B$ et $C;$

\item Exprimer $B$ comme barycentre de $A$ et $C;$

\item Exprimer $C$ comme barycentre de $A$ et $B.$\newpage
\end{enumerate}

\item
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion
On consid\`{e}re la disposition suivante:

Exprimer $G$ comme barycentre de $A,$ $B$ et $C$ et d\'{e}montrer que $G$ est
le milieu $\left[  KC\right]  .$%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpF}{163.6875pt}{134.75pt}{0pt}{}{}{Figure}%
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%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=134.75pt,
width=163.6875pt
]%
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\end{center}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$ABC$ est un triangle, $I,$ $J$ et $K$ sont les points d\'{e}finis par:%
\[
\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\quad;\quad\overrightarrow
{BJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\quad\text{et}\quad\overrightarrow
{CK}=\overrightarrow{AC}.
\]


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $I$ comme barycentre de $A$ et $B;$

\item Exprimer $J$ comme barycentre de $B$ et $C;$

\item Exprimer $K$ comme barycentre de $A$ et $C.$
\end{enumerate}

\item D\'{e}montrer que les droites $\left(  AJ\right)  ,$ $\left(  BK\right)
$ et $\left(  CI\right)  $ sont concourantes en un point que l'on pr\'{e}cisera.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$ABC$ est un triangle rectangle en $A,$ $I$ est le milieu de $\left[
BC\right]  $, $\Gamma$ est le cercle de centre $A$ passant par $I$ et $G$ est
le point de $\Gamma$ diam\'{e}tralement oppos\'{e} \`{a} $I.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que $G$ est le barycentre de $\left\{
(A,4);(B,-1);(C,-1)\right\}  ;$

\item Trouvez deux r\'{e}els $b$ et $c$ tels que $A$ soit le barycentre de
$\left\{  (G,2);(B,b);(C,c)\right\}  ;$

\item Quel est l'ensemble des points $M$ du plan tels que :%
\[
\left\Vert 2\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow
{MC}\right\Vert =2BC\quad?
\]

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Placer, avec pr\'{e}cision, le barycentre de chacune des plaques homog\`{e}nes ci-dessous.

\emph{Indication:} on pourra d\'{e}couper chaque plaque en plaques
\'{e}l\'{e}mentaires (sauf pour le S) et on admettra que leur masse est
proportionnelle \`{a} leur surface.
\end{exercise}

%

%TCIMACRO{\FRAME{dtbpFUX}{519.875pt}{216.625pt}{0pt}{\Qcb{{}}}{}{Figure}%
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\begin{center}
\fbox{\includegraphics[
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{}%
\end{center}
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\end{document}