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[Démonstration]
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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 1316556046797--
%%--Lieux géométriques et nombres complexes--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{exercise}
[d'apr\`{e}s un sujet de BAC]Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un
rep\`{e}re orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow{u};\overrightarrow
{v}\right)  $ (unit\'{e} graphique: $3%
%TCIMACRO{\unit{cm}}%
%BeginExpansion
\operatorname{cm}%
%EndExpansion
$). On d\'{e}signe par $A$ le point d'affixe $i.$

A tout point $M$ du plan, distinct de $A,$ d'affixe $z,$ on associe le point
$M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}finie par:%
\[
z^{\prime}=\frac{z^{2}}{i-z}.
\]


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer les points $M$ confondus avec leur image $M^{\prime}.$

\item On pose $z=x+iy$ et $z^{\prime}=x^{\prime}+iy^{\prime}$ avec $x,$
$x^{\prime},$ $y$ et $y^{\prime}$ re\'{e}ls.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}montrer que:%
\[
x^{\prime}=\frac{-x\left(  x^{2}+y^{2}-2y\right)  }{x^{2}+(1-y)^{2}};
\]


\item En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ dont l'image
$M^{\prime}$ est situ\'{e}e sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner
l'ensemble $\mathcal{E}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left(
O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right)  .$

Soit $A$ le point d'affixe $-4.$

\`{A} tout point $M$ du plan d'affixe $z,$ $M\neq A,$ on associe le point
$M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}=f(z)=\dfrac{z-2i}{z+4}.$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le point $M(z)$ tel que $f(z)=i.$

\item Pour tout nombre $z$ de $%
%TCIMACRO{\U{2102} }%
%BeginExpansion
\mathbb{C}
%EndExpansion
,$ on pose $z=x+iy$ et $f(z)=x^{\prime}+iy^{\prime}$ o\`{u} $x,$ $y,$
$x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ sont des nombres r\'{e}els.

\begin{enumerate}
\item Exprimer $x^{\prime}$ et $y^{\prime}$ en fonction de $x$ et de $y.$

\item En d\'{e}duire:

\begin{enumerate}
\item l'ensemble $\left(  \mathcal{E}_{1}\right)  $ des points $M(z)$ tel que
$f(z)$ soit un r\'{e}el;

\item l'ensemble $\left(  \mathcal{E}2\right)  $ des points $M(z)$ tel que
$f(z)$ soit un imaginaire pur.
\end{enumerate}

\item Repr\'{e}senter les ensembles $\left(  \mathcal{E}_{1}\right)  $ et
$\left(  \mathcal{E}_{2}\right)  .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}