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[D�monstration]
{\noindent\textbf{#1:} }
{\ \fbox{cqfd.}
}
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\begin{itemize}
}{\end{itemize}}
\begin{document}%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 148566736321668--
%%--Calculs de fractions et nombres premiers--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%



\begin{exercise}
L'annuaire t\'{e}l\'{e}phonique d'Identit\'{e}ville contient plus de cent
pages d'abonn\'{e}s, mais moins de mille. Toutes les pages contiennent le
m\^{e}me nombre d'abonn\'{e}s et il y a au total $999991$ abonn\'{e}s. Combien
y a-t-il de pages d'abonn\'{e}s dans l'annuaire t\'{e}l\'{e}phonique
d'Identit\'{e}ville ?
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item On pose $x=3,123\overline{123}\dots$.

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi: $10^{3}\cdot x-x=3120$.

\item En d\'{e}duire que $x$ est un rationnel et son \'{e}criture sous la
forme d'une fraction irr\'{e}ductible.
\end{enumerate}

\item A l'aide d'une m\'{e}thode analogue, d\'{e}terminer l'\'{e}criture de
$y=2,2\overline{693}\dots$ sous forme d'une fraction irr\'{e}ductible.

\item D\'{e}montrer que $0,9999\overline{9}\dots=1$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re les entiers naturels $a=2520$ et $b=924$.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}composer $a$ et $b$ en produits de facteurs premiers.

\item D\'{e}terminer le PGCD de $a$ et de $b$.

\item Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier $a$
pour obtenir un carr\'{e} parfait?

\item On consid\`{e}re:
\[
c=\frac{1}{2520}-\frac{1}{924}%
\]


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le \og meilleur\fg d\'{e}nominateur commun.

\item Ecrire alors $c$ sous la forme d'une fraction r\'{e}duite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8.5cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8.5cm}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer \`{a} l'aide de l'algorithme d'Euclide, pr\'{e}sent\'{e}
ci-contre, le PGCD de $172$ et de $51$.

\item Ecrire $a=3+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{6}}}}$ sous la
forme d'une fraction irr\'{e}ductible.

On dit alors que l'on a d\'{e}velopp\'{e} $\frac{172}{51}$ en fraction continue.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion
\hfill%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{7.6cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{7.6cm}%
%EndExpansion
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Comment� pour assurer la compatibilit� avec SWP !!! (dommage on perd la qualit�.)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% \begin{pspicture}(-.3,-.3)(7.3,3.8)
%% \psset{unit=5ex,nodesep=3pt,linewidth=.3pt}
%% \rput[l](0,3.6){$174=3 \times \rnode{N1}{51} + \rnode{P2}{21}$}
%% \rput[l](0,2.4){$\rnode{M1}{51}=2 \times \rnode{N2}{21} + \rnode{P3}{9}$}
%% \rput[l](0,1.2){$\rnode{M2}{21}=2 \times \rnode{N3}{9} + \circlenode{P4}{3}$}
%% \rput[l](0,0){$\rnode{M3}{9} =3 \times \rnode{N4}{3} + 0$}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{N1}{M1}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{N2}{M2}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{N3}{M3}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{P4}{N4}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{P2}{N2}
%% \nccurve[angleA=250,angleB=70]{->}{P3}{N3}
%% \rput[Bl](5,.5){\rnode{PGCD}{}$\left[%\Hautf{3.5}%
%%                                 \begin{minipage}{3cm}\small
%%                                 Le dernier reste non nul est le PGCD de $174$ et $51$.
%%                                 \end{minipage}\right.$}
%% \ncline{->}{PGCD}{P4}
%% \rput[Bl](5,3){\rnode{Div}{}$\left[%\Hautf{3.5}%
%%                                 \begin{minipage}{3cm}\small
%%                                 On �crit les divisions euclidiennes successi\-ves.
%%                                 \end{minipage}\right.$}
%% \ncline{->}{Div}{P2}
%% \ncline{->}{Div}{P3}
%% \ncline{->}{Div}{P4}
%% \psset{unit=1cm}
%% \rput[B](3.5,3.3){\bf Algorithme d'Euclide}
%% \psframe[linewidth=1pt](-.3,-.3)(7.3,3.8)
%% \end{pspicture}%
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%}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
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]%
{Include/i40yys1n.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}%
%TCIMACRO{\TeXButton{augmenteNum}{\stepcounter{enumi}}}%
%BeginExpansion
\stepcounter{enumi}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{augmenteNum}{\stepcounter{enumi}}}%
%BeginExpansion
\stepcounter{enumi}%
%EndExpansion


\item Quel est le rapport entre ces deux premi\`{e}res questions? Montrer que
ce n'est pas une co\"{\i}ncidence.

\item D\'{e}velopper, sur le m\^{e}me principe, $\frac{151}{18}$ en fraction continue.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item Ecrire en notation scientifique les nombres suivant:
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $a=720,021\times10^{-3}$

\item $b=605\times10^{23}\times0,016\times10^{-6}$

\item $c=\frac{729\times10^{142}}{8100\times10^{-31}}$

\item $d=0,031\times10^{322}-170\times10^{319}$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item D\'{e}terminer les entiers relatifs $n$ et $p$ tels que: $3^{n}%
\cdot5^{p}=\frac{(3^{5})^{11}\cdot5^{4}}{3^{17}\cdot5^{-3}}$

\item D\'{e}terminer les entiers relatifs $n$ et $p$ tels que: $2^{n}%
\cdot3^{p}=\frac{4^{2}\cdot9^{3}}{6^{2}\cdot12^{-2}}$

\item Donner les r\'{e}sultats des calculs suivant sous la forme la plus
simple possible:
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $u=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

\item $v=\frac{2+\frac{3}{4}}{\frac{1}{12}-\frac{1}{3}}$

\item $w=\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{7}}{\frac{2}{3}\times\frac{5}{7}}$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}} }%
%BeginExpansion
\end{multicols}
%EndExpansion
D\'{e}terminer le plus petit ensemble de nombres, parmi $\mathbb{N}\xspace$,
$\mathbb{Z}\xspace$, $\mathbb{D}\xspace$, $\mathbb{Q}\xspace$ et
$\mathbb{R}\xspace$, auquel appartient chacun des nombre $u$, $v$ et $w$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Mettre sous forme de fraction irr\'{e}ductible les nombres suivants:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{3}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{3}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $a=\frac{1}{7}-\frac{3}{2}$

\item $b=\frac{\frac{11}{4}+1}{5}$

\item $c=\frac{\frac{5}{8}\times\frac{4}{15}} {\frac{1}{2}+\frac{7}{18}}$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
On consid\`{e}re les nombres $a=\frac{1}{2}$ et $b=\frac{2}{5}$. Ecrire sous
la forme d'une fraction irr\'{e}ductible:%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item La somme du triple de ces deux nombres;

\item L'inverse de la somme de ces deux nombres;

\item La diff\'{e}rence des carr\'{e}s de ces deux nombres;

\item Le produit du carr\'{e} de ces deux nombres;

\item Le quotient de la somme de ces deux nombres par leur produit;

\item L'inverse de la somme des inverses de ces deux nombres.
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
Simplifier au maximum les expressions num\'{e}riques suivantes:
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $A=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{3}{7}$

\item $B=\left(  \frac{2}{3}\right)  ^{3}+1$

\item $C=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}$

\item $D=8\sqrt{3}-3\sqrt{48}+2\sqrt{75}$

\item $E=(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}$

\item $F=(3\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $x$ afin que $\frac{5}{7}=\frac{x}{63}$.

\item On consid\`{e}re les nombres suivants: $A=\frac{8712870}{48506557}$ et
$B=\frac{505149}{2812281}$

\item
\begin{enumerate}
\item A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approch\'{e}e \`{a}
$10^{-5}$ pr\`{e}s de $A$ et $B$.

\item D\'{e}terminer le chiffre des unit\'{e}s de $8712870\times2812281$ et de
$48506557\times505149$. $A$ et $B$ sont-ils \'{e}gaux?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
\vspace*{-0.35cm}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}composer $2880$ et $4320$ en produits de nombres premiers.

\item Donner l' \'{e}criture de $\frac{2880}{4320}$ sous forme de fraction irr\'{e}ductible.

\item Ecrire $\sqrt{2880}$ sous la forme $a\sqrt{5}$ avec $a$ entier.

\item Calculer:
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{2}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{2}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item $A=\left(  \frac{2880}{4320}-\frac{1}{5}\right)  \times\frac{4}{7}$

\item $B=\sqrt{2880}-6\sqrt{45}+3\sqrt{80}$
\end{enumerate}

%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion

\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item D\'{e}composer $14112$ et $6048$ en produits de nombres premiers.

\item En d\'{e}duire l'expression de $a=\frac{6048}{14112}$ sous forme de
fraction irr\'{e}ductible.

\item Comparer $a$ et $b=\frac{3\times10^{53}+1}{7\times10^{53}}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Les Babyloniens utilisaient, d\`{e}s l'an $2000$ avant notre \`{e}re, une
m\'{e}thode simple pour extraire les racines carr\'{e}es que nous allons
illustrer g\'{e}om\'{e}triquement.

D\'{e}taillons cette m\'{e}thode sur le calcul approch\'{e} de $\sqrt{2}$.

On remarque que le nombre $\sqrt{2}$ est la mesure du c\^{o}t\'{e} d'un
carr\'{e} de surface $2$. L'id\'{e}e est de partir d'un rectangle de surface
$2$ (le plus simple de ceux-ci \'{e}tant le rectangle de longueur $2$ et de
largeur $1$) et de le transformer de mani\`{e}re que la surface reste
\'{e}gale \`{a} $2$ et qu'il \og ressemble\fg de plus en plus \`{a} un carr\'{e}.

La longueur du rectangle initial va diminuer tandis que sa largeur va augmenter.%

%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{9cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{9cm}%
%EndExpansion


Construisons le premier rectangle. Soit $a_{1}$ sa largeur et $b_{1}$ sa
longueur; $a_{1}=1$ et $b_{1}=2$.

On a $a_{1}<\sqrt{2}<b_{1}$.

$a_{1}$ est une valeur approch\'{e}e par d\'{e}faut de $\sqrt{2}$.

$b_{1}$ est une valeur approch\'{e}e par exc\`{e}s de $\sqrt{2}$.

La moyenne arithm\'{e}tique de $a_{1}$ et $b_{1}$ fournit une nouvelle valeur
approch\'{e}e de $\sqrt{2}$.

On pose $b_{2}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2}$.%

%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{BMinipage}{\begin{minipage}{8cm}}}%
%BeginExpansion
\begin{minipage}{8cm}%
%EndExpansion
%% \begin{center}
%% \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(4.5,4.5)
%% \psset{unit=1.5}
%% \psaxes[linewidth=0.6pt]{->}(0,0)(-0.01,-0.01)(2.5,2.7)
%% %\MesAxes{-0.01}{-0.01}{2.5}{2.7}
%% \psline(1,0)(1,2)(0,2)
%% \psline(1.333,0)(1.333,1.5)(0,1.5)
%% \psline{<->}(1.9,0)(1.9,2)
%% \psline{<->}(0,2.1)(1,2.1)
%% \psline{<->}(1.433,0)(1.433,1.5)
%% \psline{<->}(0,2.4)(1.333,2.4)
%% \rput(-0.1,-0.1){$O$}
%% \rput(2.1,1){$b_1$}
%% \rput(0.5,2.2){$a_1$}
%% \rput(1.633,0.75){$b_2$}
%% \rput(0.667,2.5){$a_2$}
%% \psline[linestyle=dashed](1.333,1.5)(1.333,2.4)
%% \psline[linestyle=dashed](1,2)(1.9,2)
%% \end{pspicture}
%% \end{center}%
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%}}%
%BeginExpansion
{\includegraphics[
height=1.8572in,
width=1.7186in
]%
{Include/i40yys1n.eps}%
}%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{EMinipage}{\end{minipage}}}%
%BeginExpansion
\end{minipage}%
%EndExpansion


\begin{enumerate}
\item Calculer $b_{2}$ et en d\'{e}duire $a_{2}$.

\item Montrer que $a_{2}<\sqrt{2}<b_{2}$ puis calculer l'amplitude de
l'encadrement obtenu.

\item On r\'{e}it\`{e}re le proc\'{e}d\'{e} en posant $b_{3}=\frac{a_{2}%
+b_{2}}{2}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $b_{3}$ puis $a_{3}$.

\item Montrer que $a_{1}<a_{2}<a_{3}<\sqrt{2}<b_{3}<b_{2}<b_{1}$.

\item Quels sont les avantages et inconv\'{e}nients de cette m\'{e}thode?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On se propose dans cet exercice de d\'{e}montrer que $\sqrt{2}$ n'est pas un
rationnel, c'est \`{a} dire qu'il ne s'\'{e}crit pas comme le rapport de deux entiers.

Pour cela nous allons raisonner par l'absurde, c'est \`{a} dire que nous
allons supposer que $\sqrt{2}$ est un rationnel et cela conduira \`{a} une
contradiction. Ce qui prouvera que $\sqrt{2}$ n'est un rationnel.

\begin{enumerate}
\item Questions pr\'{e}liminaires:

soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls.

\begin{enumerate}
\item Quel peut \^{e}tre le chiffre des unit\'{e}s de $a^{2}$?

\item Quel peut \^{e}tre le chiffre des unit\'{e}s de $2b^{2}$?

\item Montrer que l'\'{e}galit\'{e} $a^{2}=2b^{2}$ n'est possible que si le
chiffre des unit\'{e}s de $a^{2}$ et de $2b^{2}$ est \'{e}gal \`{a} $0$.

\item En d\'{e}duire alors que $a$ et $b$ sont des multiples de $5$
\end{enumerate}

\item Montrer qu'il n'existe pas deux entiers naturels $p$ et $q$, premiers
entre eux, tels que $\frac{p}{q}=\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
On se propose dans cet exercice de d\'{e}montrer que $\sqrt{2}$ est un nombre
irrationnel; pour cela nous allons utiliser le raisonnement par l'absurde.
Dans un premier temps, nous allons supposer que ce nombre est rationnel, les
questions de l'exercice ayant pour but de nous mener \`{a} une contradiction
mettant ainsi en d\'{e}faut l'hypoth\`{e}se de d\'{e}part.

Hypoth\`{e}se formul\'{e}e: $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.

\begin{enumerate}
\item Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls tels que $\sqrt{2}%
=\frac{p}{q}$. V\'{e}rifier que $p^{2}=2q^{2}$ puis que $p$ est pair.

\item Montrer que si $p$ est impair alors $p^{2}$ est impair. Que peut-on en
d\'{e}duire concernant $p$?

\item On pose alors $p=2n$ ($n\in\mathbb{N}\xspace$). Montrer que
$q^{2}=2n^{2}$ puis que $q$ est pair.

\item Expliquer en quoi les r\'{e}sultats d\'{e}montr\'{e}s aux questions
pr\'{e}c\'{e}dentes mettent en d\'{e}faut l'hypoth\`{e}se de d\'{e}part.
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
$\vspace*{-0.35cm}$

\begin{enumerate}
\item En calculant la somme des nombres inscrits sur chaque ligne, chaque
colonne, chaque diagonale du carr\'{e} suivant, vous saurez ce qu'on appelle
un carr\'{e} magique d'ordre $5$ et de somme $65$.%

\[
\left(
\begin{array}
[c]{ccccc}%
3 & 16 & 9 & 22 & 15\\
20 & 8 & 21 & 14 & 2\\
7 & 25 & 13 & 1 & 19\\
24 & 12 & 5 & 18 & 6\\
11 & 4 & 17 & 10 & 23
\end{array}
\right)
\]


\item Compl\'{e}ter les carr\'{e}s suivants afin qu'ils soient magiques.%

%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{4}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{4}%
%EndExpansion


$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & -1 & 0\\
-1 & . & 1\\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 1 & -1\\
-1 & . & .\\
1 & -1 & 0
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
1 & . & -1\\
-2 & . & 2\\
1 & . & -1
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
3 & 0 & .\\
-2 & 1 & .\\
2 & . & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
\frac{3}{2} & . & \frac{4}{3}\\
. & 1 & \frac{7}{6}\\
. & . & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
\sqrt{32} & . & .\\
. & -\sqrt{18} & .\\
. & . & \sqrt{50}%
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
. & 0 & .\\
0 & 1 & 2\\
. & 2 & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & . & .\\
1 & . & .\\
3 & . & .
\end{array}
\right)  $%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Compl\'{e}ter les carr\'{e}s suivants afin qu'ils soient magiques de
sommes respectives $12$, $24$, $36$ et $(-24)$.
%TCIMACRO{\TeXButton{BeginMulticols}{\begin{multicols}{4}}}%
%BeginExpansion
\begin{multicols}{4}%
%EndExpansion


$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
. & 1 & .\\
2 & . & .\\
. & . & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
. & 1 & .\\
2 & . & .\\
. & . & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
. & 3 & .\\
6 & . & .\\
. & . & .
\end{array}
\right)  $

$\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
. & -1 & .\\
-2 & . & .\\
. & . & .
\end{array}
\right)  $%

%TCIMACRO{\TeXButton{EndMulticols}{\end{multicols}}}%
%BeginExpansion
\end{multicols}%
%EndExpansion


\item Trouver un carr\'{e} magique d'ordre $3$ avec les $9$ premiers entiers
naturels non nuls. Pr\'{e}ciser sa somme.

\item Trouver un carr\'{e} magique d'ordre $3$ diff\'{e}rent de $\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\right)  $ comportant le maximum de $0$.

\item Trouver, s'il en existe, des carr\'{e}s magiques d'ordre $3$ \`{a}
coefficients entiers naturels de somme $25$, de somme~$27$.

\item On consid\`{e}re le carr\'{e} magique $\left(
\begin{array}
[c]{ccc}%
14 & 4 & 6\\
0 & 8 & 16\\
10 & 12 & 2
\end{array}
\right)  $. Trouver, \`{a} partir de celui-ci, un carr\'{e} magique d'ordre
$3$ \`{a} coefficients entiers naturels tous diff\'{e}rents de somme $2424$,
de somme $3333$.
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}
